河南省新鄉(xiāng)市王村鄉(xiāng)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在不等式組確定的平面區(qū)域中，若的最大值為9，則a的值為A.0 B.3C.6 D.9參考答案：B2.設(shè)是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，，則的值為()A.

B.

C.

D.參考答案：D略3.已知命題p：“x∈R，x2＋1>0”；命題q：“x∈R，ex＝”則下列判斷正確的是

()A.p∨q為真命題，p為真命題

B.p∨q為真命題，p為假命題C.p∧q為真命題，p為真命題

D.p∧q為真命題，p為假命題參考答案：B4.將函數(shù)的圖象按向量平移得到函數(shù)的圖象,則等于(

)

A.

B.

C.

D.

參考答案：答案：A解析：本小題主要考查函數(shù)圖像的平移與向量的關(guān)系問(wèn)題。依題由函數(shù)的圖象得到函數(shù)的圖象，需將函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位；故5.函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C．[﹣2，2] D．[﹣1，1]參考答案：D【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【分析】通過(guò)兩角差的余弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，利用兩角差的正弦函數(shù)化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，求出函數(shù)的值域．【解答】解：∵f（x）=sinx﹣cos（x﹣）=sinx﹣cosx﹣sinx=sinx﹣cosx=sin（x﹣）．∴函數(shù)f（x）=sinx﹣cos（x﹣）的值域?yàn)閇﹣1，1]．故選：D．6.我們可以用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)π的值，如圖示程序框圖表示其基本步驟（函數(shù)RAND是產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的函數(shù)，它能隨機(jī)產(chǎn)生(0,1)內(nèi)的任何一個(gè)實(shí)數(shù)）．若輸出的結(jié)果為786，則由此可估計(jì)π的近似值為（

）A．3.126 B．3.144 C．3.213 D．3.151參考答案：B7.已知向量，若，則等于(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：B略8.已知E，F(xiàn)，G，H是空間四點(diǎn)，命題甲：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)不共面，命題乙：直線EF和GH不相交，則甲是乙成立的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)充分必要條件的定義分別判斷充分性和必要性，從而得到答案．【解答】解：命題甲能推出命題乙，是充分條件，命題乙：直線EF和GH不相交，可能平行，命題乙推不出命題甲，不是必要條件，故選：B，9.已知集合M＝{x｜1＜x＜4)，N＝{1，2，3，4，5}，則M∩N＝

A．{2，3}

B．{1，2，3}

C．{1，2，3，4}

D．{2，3，4}參考答案：A略10.若函數(shù)則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（）A．原點(diǎn)軸對(duì)稱 B．x軸對(duì)稱 C．y軸對(duì)稱 D．y=x對(duì)參考答案：C【考點(diǎn)】3O：函數(shù)的圖象．【分析】判斷f（x）的奇偶性，即可得出結(jié)論．【解答】解：f（x）的定義域?yàn)镽，f（x）=x（1﹣）=x?f（﹣x）=﹣x?=﹣x?=f（x），∴f（x）是偶函數(shù)，∴f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.對(duì)于三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解為函數(shù)的“拐點(diǎn)”，某同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心給定函數(shù)，請(qǐng)你根據(jù)上面探究結(jié)果，解答以下問(wèn)題：

（1）函數(shù)的對(duì)稱中心為

；

（2）計(jì)算=

。參考答案：12.已知2個(gè)小孩和3個(gè)大人排隊(duì)，其中2個(gè)小孩不能相鄰，則不同的排法種數(shù)有

種．參考答案：72【考點(diǎn)】D8：排列、組合的實(shí)際應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，用插空法分析，①、先將3個(gè)大人排好，由排列數(shù)公式可得其排法數(shù)目，②、在4個(gè)空位中任選2個(gè)，安排2個(gè)小孩，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①、先將3個(gè)大人排好，考慮其順序有A33=6種情況，排好后有4個(gè)空位；②、在4個(gè)空位中任選2個(gè)，安排2個(gè)小孩，有A42=12種情況，則2個(gè)小孩不相鄰的排法有6×12=72種；故答案為：72．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及不相鄰問(wèn)題，不相鄰問(wèn)題可以用插空法分析．13.已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集為{x|﹣2＜x＜3}，則關(guān)于x的不等式cx2+bx+a＜0的解集為．參考答案：{x|﹣＜x＜}【考點(diǎn)】一元二次不等式的解法．【分析】由于關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集為{x|﹣2＜x＜3}，可知a＜0，且﹣2，3是一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得=﹣1，=﹣6，a＜0．代入不等式cx2+bx+a＜0化為﹣6x2﹣x+1＞0，即可得出．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集為{x|﹣2＜x＜3}，∴a＜0，且﹣2，3是一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴=﹣（﹣2+3）=﹣1，=﹣6，a＜0．∴不等式cx2+bx+a＜0化為﹣6x2﹣x+1＞0，化為6x2+x﹣1＜0，解得﹣＜x＜．因此不等式的解集為{x|﹣＜x＜}．故答案為：{x|﹣＜x＜}．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次不等式的解法、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力和實(shí)踐能力，屬于基礎(chǔ)題．14.若x，y滿足，則z=2x﹣y的最大值為

．參考答案：4【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，由圖可知，A（2，0）．化目標(biāo)函數(shù)z=2x﹣y為y=2x﹣z，由圖可知，當(dāng)直線y=2x﹣z過(guò)A時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最大值為4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．15.已知?jiǎng)t滿足條件的點(diǎn)所形成區(qū)域的面積為

△

．參考答案：答案：16.已知條件不是等邊三角形，給出下列條件：①的三個(gè)內(nèi)角不全是

②的三個(gè)內(nèi)角全不是

③至多有一個(gè)內(nèi)角為

④至少有兩個(gè)內(nèi)角不為則其中是的充要條件的是

.（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）參考答案：①③④略17.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，，則__________．參考答案：－1【分析】根據(jù)題意，分析可得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，據(jù)此可得，即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則有，又由，則；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，注意分析的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB=BC=BD=，CD=2AB=2，∠PAD=120°，E和F分別是棱CD和PC的中點(diǎn)．（1）求證：平面BEF⊥平面PCD；（2）求直線PD與平面PBC所成的角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；平面與平面垂直的判定．【專題】證明題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】（1）先推導(dǎo)出四邊形ABED是矩形，從而AB⊥平面PAD，進(jìn)而CD⊥PD，CD⊥EF，CD⊥BE，由此得到CD⊥平面BEF，由此能證明平面BEF⊥平面PCD．（2）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，建立空間直角坐標(biāo)角系，利用向量法能求出直線PD與平面PBC所成的角的正弦值．【解答】證明：（1）∵BC=BD，E為CD中點(diǎn)，∴BE⊥CD，∵AB∥CD，∴CD=2AB，∴AB∥DE，且AB=DE，∴四邊形ABED是矩形，∴BE∥AD，BE=AD，AB⊥AD，∵AB⊥PA，又PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，∴CD⊥PD，且CD⊥AD，又∵在平面PCD中，EF∥PD，∴CD⊥EF，∵EF∩BE=E，∴EF?平面BEF，BE?平面BEF，又CD⊥BE，∴CD⊥平面BEF，∵CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．解：（2）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，建立空間直角坐標(biāo)角系，∵PB=BC=BD=，CD=2AB=2，∠PAD=120°，∴PA===2，AD=BE==2，BC===2，則P（0，﹣1，），D（0，2，0），B（），C（2，2，0），=（0，3，﹣），=（﹣），=（），設(shè)平面PBC的法向量=（x，y，z），則，取x=，得=（，），設(shè)直線PD與平面PBC所成的角為θ，sinθ=|cos＜＞|=||=||=．∴直線PD與平面PBC所成的角的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，則中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．19.(本小題滿分12分)如圖所示，某班一次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損，其中，頻率分布直方圖的分組區(qū)間分別為，據(jù)此解答如下問(wèn)題．（1）求全班人數(shù)及分?jǐn)?shù)在之間的頻率；（2）現(xiàn)從分?jǐn)?shù)在之間的試卷中任取份分析學(xué)生失分情況，設(shè)抽取的試卷分?jǐn)?shù)在的份數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)望期．

參考答案：（1）；（2）.試題分析：（1）理解莖葉圖“葉”的位置只有一個(gè)數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一；重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏，特別是“葉”的位置的數(shù)據(jù)；（2）求隨機(jī)變量的分布列的主要步驟：一是明確隨機(jī)變量的取值，并確定隨機(jī)變量服從何種概率分布；二是求每一個(gè)隨機(jī)變量取值的概率，三是列成表格，求出分布列后注意運(yùn)用分布列的兩條性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列是否正確；（3)求解離散隨機(jī)變量分布列和方差，首先要理解問(wèn)題的關(guān)鍵，其次要準(zhǔn)確無(wú)誤的找出隨機(jī)變量的所有可能值，計(jì)算出相對(duì)應(yīng)的概率，寫(xiě)成隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差公式進(jìn)行計(jì)算.試題解析：（1）由莖葉圖知分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為4，人數(shù)為8，人數(shù)為10，故總?cè)藬?shù)為，………..2分∴分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為：，……….3分∴頻率為；………..4分（2）∵分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為6，分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為4，………..5分∴X的可能取值為：0,1,2,3………..6分∵,,,,………..10分∴的分布列為：0123數(shù)學(xué)期望.………..12分考點(diǎn)：1、莖葉圖的應(yīng)用；2、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.20.（本小題滿分12分）心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)視覺(jué)和空間能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)（男30女20），給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答．選題情況如下表：（單位：人）

幾何題代數(shù)題總計(jì)男同學(xué)22830女同學(xué)81220總計(jì)302050

（1）能否據(jù)此判斷有97．5％的把握認(rèn)為視覺(jué)和空間能力與性別有關(guān)?（2）經(jīng)過(guò)多次測(cè)試后，女生甲每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在5～7分鐘，女生乙每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在6～8分鐘，現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率．附表：

P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.005k2.0722.7063.8415.0246.6357.879

(參考公式：K2=，其中n=a+b+c+d)

參考答案：(1)由表中數(shù)據(jù)得K2的觀測(cè)值，∴根據(jù)統(tǒng)計(jì)有97.5%的把握認(rèn)為視覺(jué)和空間能力與性別有關(guān)；(2)設(shè)甲、乙解答一道幾何題的時(shí)間分別為x，y分鐘，則基本事件滿足的區(qū)域?yàn)椋O(shè)事件A為“乙比甲先做完此道題”，乙比甲先解答完的事件為A，則滿足的區(qū)域?yàn)閤＞y，∴由幾何概型P（A）==，∴乙比甲先解答完的概率P=．

21.某地區(qū)位于甲、乙兩條河流的交匯處，根據(jù)歷年統(tǒng)計(jì)資料預(yù)測(cè)，今年汛期甲河發(fā)生洪水的概率為0.25，乙河發(fā)生洪水的概率為0.18（假定兩河發(fā)生洪水與否互不影響）。現(xiàn)有一臺(tái)大型設(shè)備正在該地區(qū)工作，為了保護(hù)設(shè)備，施工部門(mén)提出以下三種方案：方案一：運(yùn)走設(shè)備，此時(shí)需花費(fèi)4000元；方案二：建一保護(hù)圍墻，需花費(fèi)1000元，但圍墻只能抵御一條河流發(fā)生的洪水，當(dāng)兩條河流同時(shí)發(fā)生洪水時(shí)，設(shè)備仍將受損，損失約56000元；方案三：不采取措施，此時(shí)，當(dāng)兩條河同時(shí)發(fā)生洪水時(shí)將損失60000元，當(dāng)一條河發(fā)生洪水時(shí)將損失10000.（1）試求方案三中損失的分布列；（2）若你是決策者，你會(huì)采取哪種方案？說(shuō)明理由。參考答案：解：（I）在方案三中，記“甲河發(fā)生洪水”為事件A，“乙河發(fā)生洪水”為事件B，則P(A)=0.25，P(B)=0.18．…………．．1分的分布列：100006000000.340.0450.615…………．．6分（II）對(duì)方案一，需花費(fèi)400