中學《數學》專項試題03-由垂直求角（有解析）中學《數學》專項試題03-由垂直求角（有解析）PAGEPAGE1中學《數學》專項試題03-由垂直求角（有解析）專題03由垂直求角【例題講解】如圖,直線AB,CD相交于點O,OE平分∠BOC,OF⊥CD．(1)若∠AOF＝50°,求∠BOE的度數;(2)若∠BOD：∠BOE＝1：4,求∠AOF的度數．解(1)解：∵OF⊥CD,∴∠COF=90°,∵∠AOF=50°,∴∠AOC=40°,∴∠BOC=140°,∵OE平分∠BOC,∴∠BOE=∠BOC=70°;(2)解：∠BOD：∠BOE=1：4,設∠BOD=∠AOC=x,∠BOE=∠COE=4x．∵∠AOC與∠BOC是鄰補角,∴∠AOC+∠BOC=180°,即x+4x+4x=180°,解得x=20°．∵∠AOC與∠AOF互為余角,∴∠AOF=90°-∠AOC=90°-20°=70°．【綜合解答】1．如圖,直線AB、CD相交于點O,∠DOE＝∠BOD,OF平分∠AOE．(1)判斷OF與OD的位置關系,并說明理由;(2)若∠AOC：∠AOD＝1：5,求∠EOF的度數．【答案】(1)OF⊥OD,理由見解析;(2)∠EOF＝60°【分析】(1)利用角平分線的定義結合已知求出∠FOD＝90°即可得出答案;(2)求出∠AOC的度數,再利用對頂角的性質和角平分線的定義求出∠BOD＝∠AOC＝∠EOD＝30°,進而得出∠EOF的度數．(1)解：OF⊥OD,理由：∵OF平分∠AOE,∴∠AOF＝∠FOE,∵∠DOE＝∠BOD,∴∠AOF＋∠BOD＝∠FOE＋∠DOE＝×180°＝90°,即∠FOD＝90°,∴OF與OD的位置關系是OF⊥OD;(2)∵∠AOC：∠AOD＝1：5,∴∠AOC＝×180°＝30°,∴∠BOD＝∠AOC＝∠EOD＝30°,∴∠AOE＝120°,∴∠EOF＝∠AOE＝60°．【點睛】此題主要考查了角平分線的定義以及鄰補角的性質,正確得出各角之間的關系是解題關鍵．2．如圖,AB交CD于O,OE⊥AB．(1)若∠EOD＝30°,求∠AOC的度數;(2)若∠EOD：∠EOC＝1：3,求∠BOC的度數．【答案】(1)60°(2)135°【分析】(1)利用垂直定義和對頂角的性質可得答案;(2)設∠EOD=a,∠EOC=3a,利用鄰補角互補可得方程,然后解出a的值,進而可得∠AOD的度數,再利用對頂角的性質可得答案．(1)解：∵OE⊥AB,∴∠AOE＝90°,∵∠AOC＋∠AOE＋∠DOE＝180°,∠EOD＝30°,∴∠AOC＝180°－∠AOE－∠DOE＝180°－90°－30°＝60°(2)設∠EOD＝α,∵∠EOD：∠EOC＝1：3,∴∠EOC＝3α,∵∠EOD＋∠EOC＝180°,∴α＋3α＝180°,∴∠EOD＝α＝45°,∴∠AOD＝∠AOE＋∠DOE＝135°∵∠AOD與∠BOC為對頂角,∴∠BOC＝∠AOD＝135°【點睛】此題主要考查了垂線,以及對頂角,關鍵是掌握對頂角相等,理清圖中角之間的關系．3．如圖,直線AB,CD相交于點O,OE平分∠BOD．(1)若∠EOF＝55°,OD⊥OF,求∠AOC的度數;(2)若OF平分∠COE,∠BOF＝15°,求∠DOE的度數．【答案】(1)70°(2)50°【分析】(1)根據∠EOF＝55°,OD⊥OF,可知∠DOE＝35°,由于OE平分∠BOD,可知∠BOE＝35°,即可得出答案;(2)設∠DOE＝∠BOE＝x,可知x+15°+x+15°+x＝180°,解得：x＝50°．(1)解：∵OE平分∠BOD,∴∠BOE＝∠DOE,∵∠EOF＝55°,OD⊥OF,∴∠DOE＝35°,∴∠BOE＝35°,∴∠AOC＝70°;(2)∵OF平分∠COE,∴∠COF＝∠EOF,∵∠BOF＝15°,∴設∠DOE＝∠BOE＝x,則∠COF＝x+15°,∴x+15°+x+15°+x＝180°,解得：x＝50°,故∠DOE的度數為：50°．【點睛】本題主要考查的是角度的基礎運算,利用角平分線以及垂直的性質進行計算是解題的關鍵．4．如圖,直線與相交于點,平分,平分,．(1)求證：;(2)若,求的度數．【答案】(1)見解析(2)111°【分析】利用角平分線的性質證明,從而證明,再由,通過兩角互余及等量代換可證明;利用對頂角相等和角平分線的性質可證明,再利用、即可求出．(1)∵平分,平分,,,,,,;(2),,．【點睛】本題考查的是角平分線、余角、對頂角等知識,解題的關鍵是熟練通過兩角互余、對頂角、角平分線的性質等相應關系進行角的代換解決問題．5．如圖,AB、CD相交于點O,OE⊥OF,∠BOF=2∠BOE,OC平分∠AOE．(1)求∠BOE的度數;(2)求∠EOC的度數．【答案】(1)30°(2)75°【分析】(1)根據OE⊥OF得到∠EOF＝90°,根據∠BOF＝2∠BOE得到3∠BOE＝90°,故可求解;(2)先求出∠AOE,再根據OC平分∠AOE即可求解．(1)∵OE⊥OF,∴∠EOF＝90°,∵∠BOF＝2∠BOE,∴3∠BOE＝90°,∴∠BOE＝30°,(2)∵∠BOE＝30°∴∠AOE＝180°?∠BOE＝150°,又∵OC平分∠AOE,∴∠EOC＝∠AOE＝75°．【點睛】本題利用垂直的定義,角平分線的定義以及角度的計算,要注意領會由垂直得直角這一要點．6．如圖,OA⊥OB,∠BOC=50°,且∠AOD：∠COD=4：7,OE為∠BOC的平分線,求出∠DOE的度數．【答案】165°【分析】設∠AOD=4x,∠COD=7x,根據題意列出方程即可求得∠COD=140°,然后根據角平分線的定義計算∠COE的度數,最后結合圖形計算∠DOE的度數．【詳解】解：∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°,∵∠AOD：∠COD=4：7,∴設∠AOD=4x,∠COD=7x,∵∠AOB+∠AOD+∠COD+∠BOC=360°,且∠BOC=50°,∴90°+7x+4x+50°=360°,∴x=20°,∴∠COD=140°．∵OE是∠BOC的角平分線,∴∠COE=∠BOC=25°,∴∠DOE=∠COD+∠COE=165°．∴∠DOE的度數為165°．【點睛】本題考查的是角的計算,角平分線的定義,根據題意列出關于x的一元一次方程是解答此題的關鍵．7．已知直線AB和CD相交于O點,射線OE⊥AB于O,射線OF⊥CD于O,且∠BOF＝25°,求∠AOC與∠EOD的度數．【答案】∠AOC＝115°,∠EOD＝25°【分析】由OF⊥CD,得∠DOF=90°,根據條件可求出∠BOD的度數,即可得到∠AOC的度數;由OE⊥AB,得∠BOE=90°,可以推出∠EOF和∠EOD的度數．【詳解】解：∵OF⊥CD,∴∠DOF＝90°,又∵∠BOF＝25°,∴∠BOD＝∠DOF+∠BOF=90°+25°＝115°,∴∠AOC＝∠BOD＝115°,又∵OE⊥AB,∴∠BOE＝90°,∵∠BOF＝25°,∴∠EOF＝∠BOE-∠BOF=65°,∴∠EOD＝∠DOF﹣∠EOF＝90°－65°=25°．【點睛】此題考查的知識點是垂線、角的計算及對頂角知識,關鍵是根據垂線的定義得出所求角與已知角的關系．8．如圖,直線AB與CD相交于點O,OE平分∠BOC,OF⊥OE,OG⊥OC．(1)求證：∠COF＝∠EOG;(2)若∠BOD＝32°,求∠EOG的度數．【答案】(1)見解析;(2)∠EOG=16°．【分析】(1)根據余角的性質即可求解;(2)根據對頂角的定義,角平分線的定義,以及(1)的結論即可求解．【詳解】(1)證明：∵OF⊥OE,OG⊥OC,∴∠FOE=∠COF+∠COE=90°,∠COG=∠EOG+∠COE=90°,∴∠COF=∠EOG;(2)解：∵∠BOD=32°,∴∠BOC=180°-32°=148°,∵OG⊥OC,OE平分∠BOC,∴∠BOG=90°-∠BOD=90°-32°=58°,∠BOE=∠COE=∠BOC=74°,∴∠EOG=∠BOE-∠BOG=16°．【點睛】本題考查了垂線,余角,對頂角,角平分線,解題的關鍵是掌握垂直的定義,余角和對頂角的性質和角平分線的定義等知識．9．如圖,直線AB、CD、EF相交于點O,AB⊥CD,OG平分∠AOE,∠FOD=20°,求∠BOE和∠AOG的度數.【答案】∠BOE=70°;∠AOG=55°.【分析】先求出∠AOF,根據對頂角的性質得出∠BOE,再根據鄰補角的性質求出∠AOE,由角平分線即可求出∠AOG．【詳解】解：∵AB⊥CD,∴∠AOD=∠AOC=90°,∵∠FOD=20°,∴∠AOF=90°-20°=70°,∴∠BOE=70°;∴∠AOE=180°-70°=110°,∵OG平分∠AOE,∴∠AOG=110°÷2=55°.【點睛】本題考查了垂線、對頂角、鄰補角的定義,弄清各個角之間的數量關系是解決問題的關鍵.10．如圖,直線EF、CD相交于點O,OA⊥OB,OC平分∠AOF．(1)直接寫出∠DOF的對頂角和鄰補角;(2)若∠AOE＝30°,求∠BOD的度數．【答案】(1)對頂角有∠COE;鄰補角有∠DOE,∠COF;(2)15°【分析】(1)根據對頂角和鄰補角的定義,即可求解;(2)根據領補角的定義可得∠AOF=150°,從而得到∠DOE=75°,再由OA⊥OB,可得∠BOE=60°,即可求解．(1)解：根據題意得：∠DOF的對頂角有∠COE;鄰補角有∠DOE,∠COF;(2)解：∵∠AOE＝30°,∴∠AOF=180°-∠AOE=150°,∴∠AOC=∠COF=75°,∴∠DOE=75°,∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°,∴∠BOE=90°-∠AOE=60°,∴∠BOD=∠DOE-∠BOE=15°．【點睛】本題主要考查了對頂角和鄰補角的性質,角的和與差,明確題意,準確找到角與角間的關系是解題的關鍵．11．如圖,直線AB、CD相交于點O,OM⊥AB．(1)若∠1=∠2,證明：ON⊥CD;(2)若∠1=∠BOC,求∠BOD的度數．【答案】(1)ON⊥CD．(2)60°．【分析】(1)利用垂直的定義得出,進而得出答案;(2)根據題意得出的度數,即可得出的度數.【詳解】(1)ON⊥CD．理由如下：∵OM⊥AB,∴,∴∠1+∠AOC=90°,又∵∠1=∠2,∴∠2+∠AOC=90°,即∠CON=90°,∴ON⊥CD．(2)∵∠1=∠BOC,∴,解得：,∴．【點睛】此題主要考查了垂直的定義以及鄰補角、對頂角等知識,正確把握垂直的定義是解題關鍵.12．如圖,直線AB,CD相交于點O,EO⊥AB,垂足為O,∠EOC＝35°．求∠BOD的度數．【答案】55°【分析】先根據垂線的定義求出∠AOE=90°,則∠AOC=∠AOE-∠EOC=55°,再根據對頂角相等即可得到∠BOD=∠AOC=55°．【詳解】解：∵EO⊥AB,∴∠AOE=90°,∵∠EOC=35°,∴∠AOC=∠AOE-∠EOC=55°,∴∠BOD=∠AOC=55°．【點睛】本題主要考查了垂線的定義,幾何中角度的計算,對頂角相等,熟知垂線的定義和對頂角相等是解題的關鍵．13．如圖,已知直線AB、CD相交于點O,OE平分∠BOD,OF平分∠BOC,∠2：∠1＝4：1．(1)求∠AOF的度數．(2)判斷OE與OF的位置關系并說明理由．【答案】(1)108°(2),理由見解析【分析】(1)設∠1=x°,則∠2=4x°,求出,,根據∠BOC+∠BOD=180°,求出x=18,代入∠AOF=∠AOC+∠COF求出即可．(2)根據(1)的結論得出,即可求解．(1)解：設∠1=x°,則∠2=4x°,∵OE平分∠BOD,OF平分∠BOC,∴,∵∠BOC+∠BOD=180°,∴8x+2x=180,∴x=18,∴∠AOC=∠DOB=2x=36°,∠1=18°,∠2=72°,∴∠AOF=∠AOC+∠2=36°+72°=108°．(2)由(1)可得∠1=18°,∠2=72°,∴,∴．【點睛】本題考查了幾何圖形中角度的計算,角平分線的定義,數形結合是解題的關鍵．14．如圖,點A表示小明家,點B表示小明外婆家,若小明先去外婆家拿漁具,然后再去河邊釣魚,怎樣走路最短,請畫出行走路徑,并說明理由．【答案】見解析【分析】根據兩點之間線段最短,點到直線的距離垂線段最短即可得到答案.【詳解】解;如圖所示：連接AB,是兩點之間線段最短;作BC垂直于河岸,是垂線段最短．【點睛】本題主要考查了兩點之間線段最短,點到直線的距離垂線段最短,解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.15．如圖,直線AB,CD相交于點O,OE平分∠AOC,OF⊥CD于點O．(1)若∠BOF＝68°30′,求∠AOE的度數;(2)若∠AOD：∠AOE＝1：4,求∠BOF的度數．【答案】(1)79°15′;(2)70°【分析】(1)由OF⊥CD可得∠DOF=90°,則∠BOD=158°30′,由對頂角相等,可得∠AOC的度數,再根據角平分線的性質可的∠AOE的度數;(2)設∠AOD=α,則∠AOE=4α,∠AOC=8α,由平角的定義可得等式α+8α=180°,求出α的值,再求出∠BOF的度數即可．【詳解】解：(1)∵OF⊥CD,∴∠DOF=90°,∵∠BOF=68°30′,∴∠BOD=∠BOF+∠DOF=158°30′,∴∠AOC=∠BOD=158°30′,∵OE平分∠AOC,∴∠AOE=∠AOC=×158°30′=79°15′;(2)∵∠AOD：∠AOE=1：4,設∠AOD=α,∴∠AOE=4α,∵OE平分∠AOC,∴∠AOC=2∠AOE=8α,∴α+8α=180°,∴α=20°,∴∠AOD=20°,∴∠BOC=∠AOD=20°,∵OF⊥CD,∴∠