專題1阿波羅尼斯及其應用微點5阿波羅尼斯球專題1阿波羅尼斯圓及其應用微點5阿波羅尼斯球【微點綜述】對于立體幾何某些涉及距離比值的動點軌跡問題，可轉化為在某個平面內的距離關系，從而借助阿波羅尼斯球和阿波羅尼斯圓的定義及相關知識解決問題.對于這類問題也可.以利用空間坐標計算求解軌跡問題.【典例刨析】例1.（2022貴州貴陽?模擬）.在平面內，已知動點尸與兩定點A,8的距離之比為2（2>0,4。1）,那么點P的軌跡是圓，此圓稱為阿波羅尼斯圓.在空間中，也可得到類似結論.如圖，三棱柱ABC-A由G中，平面ABC,AB=BC=2,BB,=&r,ZA5C=90。，點M為A3的中點，點尸在三棱柱內部或表面上運動，月」刑=因正根，動點V尸形成的曲面將三棱柱分成兩個部分，體積分別為匕，匕（匕<%），則/=（）.如圖，在長方體ABC。—A4GR中，A3=2AO=2A41=6,點￡在棱A8上，BE=2AE,動點P滿足BP=^3PE.若點尸在平面ABC。內運動，則點P所形成的阿氏圓的半徑為；若點P在長方體A8CD-A3CR內部運動，尸為棱CQ的中點，”為CP的中點，則三棱錐4C尸的體積的最小值為DiFDiF.已知正方體MCD-A4G。的棱長為4,點P在平面ABC。內，且B4=3P3,則點尸的軌跡的長度為.古希臘數學家阿波羅尼斯發現：平面上到兩定點A、3距離之比2（%>0,4wl）是常數的點的軌跡是一個圓心在直線A3上的圓，該圓簡稱為阿氏圓.根據以上信息，解決下面的問題：在棱長為2的正方體ABCO-AMG。中，點P是正方體的表面包括邊界）上的動點，若動點夕滿足Q4=2PD,則點P所形成的阿氏圓的半徑為;若￡是CD的中點，且滿足NAP8=NEP。，則三棱錐P-AC。體積的最大值是阿波羅尼奧斯例5.（2022.湖南懷化.高二期末）.古希臘數學家阿波羅尼斯發現：平面上到兩定點A,B的距離之比為常數/L（4>0,4wl）的點的軌跡是一個圓心在直線A8上的圓.該圓被稱為阿氏圓，如圖，在長方體ABC。-AAGR中，AB=2AD=2AA]=6,點石在棱A3上，BE=2AE,動點P滿足3P=V^PE,若點P在平面ABC。內運動，則點P對應的軌跡的面積是 ;尸為G，的中點，則三棱錐P-A”體積的最小值為答案第2頁，共4頁DiDi.棱長為36的正四面體ABC。的外接球與內切球的半徑之和為,內切球球面上有一動點則+ 的最小值為.【針對訓練】.如圖，A3是平面。的斜線段，A為斜足，點。滿足sin/C43=/lsin/CBA（/l>0）,且在平面。內運動,A.當4=1時，點。的軌跡是拋物線.當2=1時，點C的軌跡是一條直線C.當4=2時，點。的軌跡是橢圓D.當2=2時，點。的軌跡是雙曲線拋物線.如圖，已知平面aJ>尸，a〃=/,A、5是直線/上的兩點，C、。是平面夕內的兩點，且CB±Z,AD=3,AB=6,C3=6.P是平面。上的一動點，且直線尸。PC與平面。所成角相等，則二面角。-的余弦值的最小值是（）C.D.1C.（2022?山西太原?二模（理））.已知點〃是棱長為3的正方體A4G2的內切球。球面上的動點，點N為線段8c上一點,NC\=2B、N,DMLBN,則動點“運動路線的長度為（）55n35/15^55JLz? 10（2022天津西青區楊柳青一中高二期中）.古希臘數學家阿波羅尼斯發現：平面上到兩定點A,3距離之比九（4＞。,2。1）是常數的點的軌跡是一個圓心在直線A8上的圓，該圓簡稱為阿氏圓.根據以上信息，解決下面的問題：在棱長為2的正方體中，點尸是正方體的表面（包括邊界）上的動點，若動點P滿足B4=2PD,則點P所形成的阿氏圓的半徑為;若E是C。的中點，且正方體的表面ADAA（包括邊界）上的動點阿法羅尼斯產滿足條件ZAPB=/EPD,則三棱錐F-ACD體積的最大值是 .阿法羅尼斯.已知正方體ABC。-A4CQ的棱長為1，點。為側面叫GC內的動點，且P4=2P3,則點P所形成的軌跡圖形長度為.（2022江西上饒,二模（理））.點M為正方體— 的內切球。球面上的動點，點N為8c上一點，2NB、=NC\,DM上