人教版高一數學必修4第一章三角函數小結和復習教案人教版高一數學必修4第一章三角函數小結和復習教案

人教版高一數學必修4第一章三角函數小結和復習教案

三角函數小結和復習

理解本章學問結構體系（如下圖），了解本章學問之間的內在聯系。

三角函數值的符號是由對應的三角函數線的方向確定的；具有相同性質的角可以用集合或區間表示，是一種對應關系；弧度制的任意角是實數，這些實數可以用三角函數線進行圖形表示，因此，復習的目的就是要進一步了解符號確定方法，了解集合與對應，數與形結合的數學思想與方法。另外，正弦函數的圖象與性質的得出，要通過簡諧運動引入，分析、確定三角函數圖象的關鍵點畫圖象，觀看得出其性質，通過類比、歸納得出余弦函數、正切函數的圖象與性質，所以，復習本章時要在式子和圖形的變化中，學會分析、觀看、探究、類比、歸納、平移、伸縮等基本方法。例題

例1推斷下列函數的奇偶性

①y=-3sin2x②y=-2cos3x-1③y=-3sin2x+1④y=sinx+cosx⑤y=1-cos(-3x-5π)

分析：依據函數的奇偶性的概念推斷f(-x)=±f(x)是否成立；若成立，函數具有奇偶性（定義域關于原點對稱）；若不成立，函數為非奇非偶函數

解：（過程略）①奇函數②偶函數③④非奇非偶函數⑤偶函數例2求函數y=-3cos(2x-13終邊相同角象限角區間角任意角的概念角度制與弧度制誘導公式任意角的三角函數符號法則三角函數線三角函數圖象與性質弧長與扇形面積公式同角函數關系第三章：三角恒等變換π)的最大值，并求此時角x的值。

分析：求三角函數的最值時要留意系數的變化。解：函數的最大值為：ymax=|-3|=3,此時由2x-13π=2kπ+π得x=kπ+

23π,(k∈Z)

1例3求函數y11tanx的定義域。

解：要使函數y411tanx有意義，則有2,(kZ)

1tanx0xkx2(kZ)

即xk,且xk所以，函數的定義域為{χχ∈R且xk一、選擇題

4,xk2,kZ}

1．已知cos240約等于0.92,則sin660約等于（）

A．0.92B．0.85C．0.88D．0.952．已知tanx=2，則A．

115sin2x2cos2x2cosx3sin2x12的值是（）。

23B．

215C．-

25D．

3．不等式tanx≤-1的解集是（）。

3]（k∈Z）A．(2k,2k]（k∈Z）B．（k∈Z）D．（k∈Z）

4．有以下四種變換方式：

11①向左平移，再將橫坐標變為原來的；②將橫坐標變為原來的，再向左平移；

4228③將橫坐標變為原來的

12，再向左平移

4；④向左平移

48，再將橫坐標變為原來的

12。

其中，能將正弦函數y=sinx的圖象變為y=sin（2x+）的圖象的是（）

A．①②B．①③C．②③D．②④二、填空題

75．tan（-）=．

66．函數y=sinx（

6≤x≤

23）的值域是。

127．若函數y=a+bsinx的值域為，則此函數的解析式是。

8．對于函數y=Asin（ωx+）（A、ω、均為不等于零的常數）有下列說法：①最大值為A；②最小正周期為

||；③在λο上至少存在一個x，使y=0；

2④由2k2≤ωx+≤2k2（k∈Z）解得x的范圍即為單調遞增區間，

其中正確的結論的序號是。三、解答題

9．（1）已知sinθ－cosθ=

（2）求函數y=23cosx+2sin2x-3的值域及取得最值是時的x的值。

10．單擺從某點開頭來回搖擺，離開平衡位置的距離S（厘米）和時間t（秒）的函數關系

為y=6sin（2πt+)）。

623(0＜θ＜

2)，求sinθ+cosθ的值；

（1）作出它的圖象；

（2）單擺開頭搖擺（t=0）時，離開平衡位置多少厘米？（3）單擺搖擺到最右邊時，離開平衡位置多少厘米？（4）單擺來回搖擺一次需要多少時間？

3

擴展閱讀：必修四第一章三角函數復習與小結(1)

班級課程標題編稿老師

高一學科數學版本蘇教版必修四第一章三角函數復習與小結王東一校林卉二校黃楠審核王百玲一、考點突破

1.三角函數的概念

三角函數的概念多在選擇題或填空題中消失，主要考查三角函數的意義、三角函數值符號的選取和終邊相同的角的集合的運用。2.同角三角函數的基本關系式及誘導公式此處主要考查公式在求三角函數值時的應用，考查利用公式進行恒等變形的技能，以及基本運算力量，特殊突出算理、算法的考查。3.三角函數的圖象與性質

三角函數的圖象是三角函數概念和性質的直觀形象的反映，要嫻熟把握三角函數圖象的變換和解析式的確定及通過圖象的描繪、觀看，爭論函數的有關性質。4.三角函數的應用

主要考查由解析式作出圖象并討論性質，由圖象探求三角函數模型的解析式，利用三角函數模型解決最值問題。

三角函數來源于測量學和天文學。在現代科學中，三角函數在物理學、天文學、測量學以及其他各種技術學科中有著廣泛的應用。三角函數是進一步學習其他相關學問和高等數學的基礎。本章主要利用數形結合的思想。在討論一些簡單的三角函數時要應用換元法的思想，還要留意化歸的思想在三角函數式化簡求值中的應用，主化歸的思想要包括以下三個方面：化未知為已知；化特別為一般；等價化歸。

二、重難點提示

重點：角的概念的擴展及任意角的概念、弧度制、正弦、余弦和正切函數的圖象與性質、“五點法”作圖、誘導公式、函數y＝Asin（ωx＋φ）的圖象與正弦函數y＝sinx的圖象間的關系、同角三角函數的基本關系。難點：三角函數的概念、弧度制與角度制的互化、三角函數性質的應用、由正弦函數到y＝Asin（ωx＋φ）的圖象變換、綜合運用三角函數的公式進行求值、化簡和證明等。

一、學問脈絡圖：

第1頁版權全部不得復制二、學問點撥：1.ysinx與ycosx的周期是。x)或ycos(x)（0）的周期為T2.ysin(2。x3.ytan的周期為2。2x)的對稱軸方程是xk4.ysin(（k,0）；2（kZ），對稱中心為ycos(x)的對稱軸方程是xk（k,0）；（kZ），對稱中心為12kytan(x)的對稱中心為（,0）。2tan1時，k5.當tan

2(kZ)；

當tantan1時，k6.函數

2(kZ)

ytanx在R上為增函數。（×）

第2頁版權全部不得復制7.ysinx不是周期函數；ysinx為周期函數（T）；Y=cos|x|

ycosx是周期函數（如圖）；y=|cosx|ycosx為周期函數（T）；

隨堂練習：函數f（x）=sinx（cosx-sinx）的最小正周期是（）A.B.C.πD.2π422解：∵f（x）=sinx（cosx-sinx）=sinxcosx-sinx=1112（sin2x+cos2x）-=sin（2x+）－42222∴T=π故選C．學問點一：三角函數的概念例題1設角α屬于其次象限，|cos|＝－cos，試推斷角屬于第幾象限？222思路導航：首先應依據α所屬象限確定出所屬的象限，然后再由－cos≥0，22cos≤0確定最終答案，要點就是分類爭論。2答案：由于α屬于其次象限，所以2kπ＋∴kπ＋2＜α＜2kπ＋π（k∈Z），＜＜kπ＋（k∈Z）。422當k＝2n（n∈Z）時，2nπ＋∴

＜＜2nπ＋（n∈Z）。422是第一象限角；253＜＜2nπ＋（n∈Z）。422當k＝2n＋1（n∈Z）時，2nπ＋∴

是第三象限角。2

第3頁版權全部不得復制又由|cos所以的角。

|＝－cos≥0cos≤0。222應為其次、三象限角或終邊落在x軸的負半軸上。綜上所述，是第三象限22，，等角所在的象限時，一般有兩種方法：

423一種是利用終邊相同的角的集合的幾何意義，采納數形結合的方法確定，，所屬

423點評：由α所在象限，推斷諸如

的象限；另一種方法就是將k進行分類爭論。一般來說，分母是幾就應分幾類去爭論。學問點二：同角三角函數基本關系式及誘導公式3例題2（1）已知π＜α＜2π，cos（α－7π）＝，求sin（3π＋α）與tan（α－57）的值；2（2）已知2＋sinAcosA＝5cos2A，求tanA的值；1，且α∈（0，π），求sin3α－cos3α的值。53答案：（1）∵cos（α－7π）＝－cosα＝，53∴cosα＝。5（3）已知sinα＋cosα＝又π＜α＜2π，∴34＜α＜2π，sinα＝－，2537sin()47cos32sin（3π＋α）＝－sinα＝，tan（α－）＝5.752sin44cos()25（2）將已知式化為2sin2A＋2cos2A＋sinAcosA＝5cos2A，∵cosA≠0，∴2tan2A＋tanA－3＝0，tanA＝1或tanA＝－3。212(sincos)21（3）sinαcosα＝＝，252∵α∈（0，π），∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα－cosα＞0，

7，571281∴sin3α－cos3α＝×（1）＝。

525125∴sinα－cosα＝12sincos

第4頁版權全部不得復制點評：形如asinα＋bcosα和asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子分別稱為關于sinα、cosα的一次齊次式和二次齊次式，對它們涉及的三角式的變換常有如上的整體代入方法可供使用。

學問點三：三角函數的圖象與性質

），給出下列結論：3①圖象關于原點成中心對稱；②圖象關于直線x＝成軸對稱；③圖象可由函數y＝

122sin2x的圖象向左平移個單位得到；④圖象向左平移個單位，即得到函數y＝2cos2x312例題3對于函數f（x）＝2sin（2x＋的圖象。其中正確結論的個數為（）個A.0B.1C.2D.3思路導航：∵f（x）是非奇非偶函數，∴①錯誤。∵f（x）是由y＝2sin2x向左平移∴③錯誤。把x＝個單位得到的，6代入f（x）中使函數取得最值，12∴②正確。左移個單位12f（x）＝2sin（2x＋）f（x）＝2sin［2（x＋）＋］＝2cos2x，3123∴④正確。答案：C點評：利用排解法求解選擇題，是一個簡潔、易行的方法。在用排解法時，要留意函數性質的應用。例題4設函數f（x）＝sin3x＋|sin3x|，則f（x）為（）A.周期函數，最小正周期為2B.周期函數，最小正周期為33C.周期函數，最小正周期為2πD.非周期函數思路導航：本身可以直接把選項代入f(xT)f(x)檢驗，也可化簡f(x)sin3xsin3x。答案：f（x）＝sin3x＋|sin3x|2k2k2sin3x,x,333＝2k2k20,x.3333∴B正確。答案：B

第5頁版權全部不得復制點評：遇到肯定值問題可進行分類爭論，將原函數寫成分段函數。本題也可以數形結合運用圖象的疊加來考慮。后者更簡捷。

學問點四：三角函數的應用

例題5在北京召開的國際數學家大會會標如圖所示，它是由4個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形。若直角三角形中較小的銳角是θ，大正方形的面積是1，小正方形的面積是

1，則sin2θ－cos2θ的值等于（）25A.1B.2477C.D.－2525251，則BE＝sinθ，5思路導航：由題意，設大正方形邊長AB＝1，小正方形的邊長是AE＝cosθ，1。524平方得2cosθsinθ＝。25∴cosθ－sinθ＝∴（cosθ＋sinθ）2＝1＋2cosθsinθ＝∴cosθ＋sinθ＝49。257。5∴sin2θ－cos2θ＝（sinθ－cosθ）（sinθ＋cosθ）＝177。5525答案：D點評：三角函數的應用特別廣泛。將實際問題轉化成數學中的同角三角函數問題，再利用三角函數的性質是解此題的關鍵。1的定義域是_______________。2sinx0sinx0思路導航：由題意知，11

cosx0cosx.22例題6函數y＝sinxcosx作單位圓如圖所示，圖中雙陰影部分即為函數的定義域{x|2kπ≤x≤2kπ＋

，k∈Z}。3

第6頁版權全部不得復制答案：{x|2kπ≤x≤2kπ＋

，k∈Z}3

點評：解三角不等式基本上有兩種方法：①利用三角函數線。②利用三角函數圖象。sinxcosx的最大、最小值。1sinxcosx22思路導航：利用三角函數中sincos1和sincos與sincos的關例題7求函數f（x）＝系，轉化成同一個量的關系式。t21答案：設sinx＋cosx＝t，則sinxcosx＝，t∈［－2，2］，且t≠－1，則y2t21t21t12＝，t∈［－2，2］。1t22t221∴當t＝2，即x＝2kπ＋（k∈Z）時，f（x）的最大值為；42321當t＝－2，即x＝2kπ－（k∈Z）時，f（x）的最小值為。42點評：利用三角函數的特別性，將問題轉化成求一元函數的最值問題。例題（全國大綱理5）設函數f(x)cosx(＞0)，將yf(x)的圖像向右平移個單位長度后，所得的圖像與原圖像重合，則的最小值等于（）A.313B.3C.6D.9思路分析：本題主要考查三角函數的周期性與三角函數圖象變換的關系。此題理解好三角函數周期的概念至關重要，將yf(x)的圖象向右平移與原圖象重合，說明白

個單位長度后，所得的圖象3是此函數周期的整數倍。3解答過程：由題意將yf(x)的圖象向右平移個單位長度后，所得的圖象與原圖象

32k(kZ)，解得6k，又重合，說明白是此函數周期的整數倍，得

330，令k1，得min6。

第7頁版權全部不得復制答案：C

規律總結：三角函數的圖象只有平移周期的整數倍，平移之后的圖象才可能與原圖象重合。

在應用過程中，嫻熟把握一些基本技能，要重視運算、作圖、推理以及科學計算器的使用等基本技能訓練，但要避開過于繁雜的運算。例題（臨沂統考）作函數y＝cotxsinx的圖象。思路導航：首先將函數的解析式變形，化為最簡形式，然后作函數的圖象。函數y＝cotxsinx的圖象即是y＝cosx（x≠kπ，k∈Z）的圖象，因此應作出y＝cosx的圖象，但要把x＝kπ，k∈Z的這些點去掉。答案：當sinx≠0，即x≠kπ（k∈Z）時，有y＝cotxsinx＝cosx，即y＝cosx（x≠kπ，k∈Z）。其圖象如圖，學習本章應當先復習角的概念，了解角度制的內容。在學習本章時應當留意任意角、弧度制、任意角的三角函數的區分和聯系，這是我們學習其他學問的基礎。學習過程中，對需要證明的內容要自己親自證明，加強對公式的理解和記憶。對函數圖象的作圖過程要抓住關鍵，充分利用周期性和奇偶性等函數性質簡化作圖過程。對三角函數式的化簡求值要多加強練習，留意對題型的歸納總結才可嫻熟解決相關問題。必修四其次章第1－2節向量的概念及表示；向量的線性運算一、預習導學1.向量的概念：。表示法。2.平行向量的概念：、相等向量的概念：。3.已知點O是正六邊形ABCDEF的中心，則下列向量組中含有相等向量的是（）A.OB、CD、FE、CBB.AB、CD、FA、DE

C.FE、AB、CB、OFD.AF、AB、OC、OD

第8頁版權全部不得復制

4.向量的加法法則：。

5.數的運算：減法是加法的逆運算，。

6.向量的加法運算：、向量共線定理：。7.平面對量基本定理：。二、問題思索1.如何用數學符號和有向線段表示向量？2.向量加法的平行四邊形法則和三角形法則如何？3.如何結合圖形進行向量計算以及用兩個向量表示其它向量？4.理解兩向量共線（平行）的充要條件，并會推斷兩個向量是否共線。（答題時間：60分鐘）一、選擇題1.集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角所表示的范圍（陰影部分）是（）A.B.C.D.2.已知角α的終邊經過點P（－4m，3m）（m≠0），則2sinα＋cosα的值是（）A.1或－1C.1或－B.或－D.－1或3.已知f（cosx）＝cos3x，則f（sinx）等于（）A.－sin3xB.－cos3xC.cos3xD.sin3x

4.（天津）已知sinα＞sinβ，那么下列命題成立的是（）A.若α、β是第一象限角，則cosα＞cosβB.若α、β是其次象限角，則tanα＞tanβC.若α、β是第三象限角，則cosα＞cosβ

第9頁版權全部不得復制

D.若α、β是第四象限角，則tanα＞tanβ5.要得到函數A.向左平移C.向左平移

個單位個單位

的圖象，只需將函數y＝sin2x的圖象（）B.向右平移D.向右平移

個單位個單位

6.已知α是某三角形的一個內角且sin（π－α）－cos（π＋α）＝，則此三角形是（）A.銳角三角形C.鈍角三角形7.若|sinθ|＝，A.C.

B.直角三角形D.等腰三角形

＜θ＜5π，則tanθ等于（）B.－D.

對稱的是（）

8.下列函數中，最小正周期為π，且圖象關于直線A.C.

9.函數y＝tg（

B.D.

）在一個周期內的圖象是（）

A.B.

C.D.

10.（上海）函數y＝x＋sin|x|，x∈的大致圖象是（）

A.B.

C.D.

第10頁版權全部不得復制

11.（福建）定義在R上的函數f（x）滿意f（x）＝f（x＋2），當x∈時，f（x）＝2－|x－4|，則（）

A.f（sinC.f（cos

）＜f（cos）＜f（sin

））

B.f（sin1）＞f（cos1）D.f（cos2）＞f（sin2）

12.如圖為一半徑為3m的水輪，水輪中心O距水面2m，已知水輪每分鐘旋轉4圈，水輪上點P到水面的距離y（m）與時間x（t）滿意函數關系式y＝Asin（ωx＋φ）＋2，則（）

A.ω＝C.ω＝，A＝5，A＝3B.ω＝D.ω＝，A＝5，A＝3二、填空題13.若扇形的周長是16cm，圓心角是2弧度，則扇形的面積是______________。14.函數15.已知tanθ＝2，則的值域是______________。＝。16.已知17.不等式18.函數，則的解集是。的單調減區間是。時，＝。19.函數f（x）是周期為π的偶函數，且當則的值是。，20.設函數f（x）＝3sin（2x＋直線x＝，

），給出四個命題：①它的周期是π；②它的圖象關于，0）成中心對稱；④它在區間上是增函數。其中正確命題的序號是。

三、解答題

21.如圖所示，某地一天從6時至14時的溫度變化曲線擬合正弦型曲線：yAsin(x)k.

第11頁版權全部不得復制

（1）求這段時間的最大溫度差；（2）寫出這段曲線的函數表達式。22.設函數f(x)2sin(2x3)(xR).（1）若0，求的值，使函數f(x)為偶數；（2）在（1）成立的條件下，求滿意f(x)1,且x的x的集合。23.（1）已知tan5,求3sin22sincoscos2的值；12（2）已知sinm(0＜m＜1),求tan、cos的值。2在y軸右側的第一個最高點和最低點分別為（x0,2)和(x02,2).（1）求函數f(x)的解析式；7（2）若x1(0,]，且cosx1，求f(x1)的值。2924.已知函數f(x)Asin(x)(A＞0,＞0,＜)的圖象在y軸上的截距為1，它25.已知函數f(x)abcosxhsinx的圖象過A（0，1）及B(,1)兩點，對2x，恒有f(x)2。2（1）求實數a的取值范圍；（2）當實數a取（1）中范圍的最大整數時，若存在實數m、n、使得式子mf(x)nf(x)1成立，試求m、n、的值。

第12頁版權全部不得復制

一、選擇題

1.C解析：當k取偶數時，比如k＝0時，＋當k取奇數時，比如k＝1時，＋

≤α≤＋

≤α≤＋

，故角的終邊在第一象限。

，故角的終邊在第三象限。

綜上，角的終邊在第一或第三象限，故選C。2.B解析：r當m＞0時，；當m＜0時，。故選B。3.A解析：（法一）令t＝cosx，由三倍角公式求出f（t）＝4t3－3t，換元可得f（sinx）的解析式。（法二）把sinx用cos（－x）來表示，利用已知的條件f（cosx），(4m)2(3m)25m，，＝cos3x得出f（sinx）的解析式。解答過程：（法一）令t＝cosx，∵cos3x＝4cos3x－3cosx，f（cosx）＝cos3x＝4cos3x－3cosx，∴f（t）＝4t3－3t，∴f（sinx）＝4sin3x－3sinx＝－sin3x，故選A。（法二）∵f（cosx）＝cos3x，∴f（sinx）＝f＝cos3（－x）－3x）＝－sin3x，故選A。，cosα＜cosβ；故A錯。，tanα＜tanβ；故B錯。，cosα＜cosβ；故C錯。，tanα＞tanβ。（均假定0≤α，4.D解析：若α、β同屬于第一象限，則若α、β同屬于其次象限，則若α、β同屬于第三象限，則若α、β同屬于第四象限，則β≤2π。）故D正確。5.D6.C解析：∵sin（π－α）－cos（π＋α）＝，∴sinα＋cosα＝∴（sinα＋cosα）2＝，∴2sinαcosα＝－，∵α是三角形的一個內角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴α為鈍角，∴這個三角形為鈍角三角形。7.C解析：∵|sinθ|＝，

＜θ＜5π，

第13頁版權全部不得復制

∴sincosθ＝－

，＝－

，∴tanθ＝＝＝－。

8.D解析：將將x代入可得y＝≠±1，排解A；

3代入ysin(x)可得23，可得y＝≠π，排解B；將代入≠±1，排解C。故選D。，可知函數y＝tg（）9.A解析：令tg（與x軸的一個交點不是∵y＝tg（）＝0，解得x＝kπ＋，排解C，D）的周期T＝＝2π，故排解B。故選A。10.C解析：由題意可知：，當0≤x≤π時，∵y＝x＋sinx，∴y′＝1＋cosx≥0，又y＝cosx在上為減函數，所以函數y＝x＋sinx在上為增函數且增速越來越小；當－π≤x＜0時，∵y＝x－sinx，∴y′＝1－cosx≥0，又y＝cosx在上為增函數且增速越來越小；又函數y＝x＋sin|x|，x∈恒過（－π，－π）和（π，π）兩點，所以C選項對應的圖象符合。11.D解析：由f（x）＝f（x＋2）知T＝2，又∵x∈時，f（x）＝2－|x－4|，可知當3≤x≤4時，f（x）＝－2＋x。當4＜x≤5時，f（x）＝6－x。其圖如下，故f(x)在（－1，0）上是增函數，在（0，1）上是減函數。又由|cos2|＜|sin2|，∴f（cos2）＞f（sin2）。故選D。12.D解析：已知水輪每分鐘旋轉4圈∴ω＝

又∵半徑為3m，水輪中心O距水面2m，∴最高點為5，即A＝3，故選D。

第14頁版權全部不得復制

二、填空題

13.16cm2解析：設扇形半徑為r，面積為S，圓心角是α，則α＝2，弧長為αr，則周長16＝2r＋αr＝2r＋2r＝4r，∴r＝4，

扇形的面積為：S＝αr2＝×2×16＝16（cm2），故答案為16cm2。14.1,3

解答：解：由題意知本題需要對