數學專題--中點四邊形珙縣上羅中學黃正軍DBACHEFG

在一塊對角線垂直的四邊形場地ABCD各邊中點處栽了四棵樹，再以這四棵樹為頂點，順次連結出一個四邊形．返回猜想四邊形EFGH為神馬四邊形？四邊形之間的關系四邊形平行四邊形矩形正方形兩組對邊分別平行有一個角是直角有一組鄰邊相等有一個角是直角有一組鄰邊相等一組對邊平行另一組對邊不平行梯形兩腰相等等腰梯形有一個角是直角直角梯形

知識回顧1菱形菱形有一個角是直角且有一組鄰邊相等三角形的性質定理:三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半.這個定理提供了證明線段平行以及線段成倍分關系的根據.∵DE是△ABC的中位線,DEBCA∴DE∥BC,

知識回顧2中位線猜想順次連結任意四邊形的各邊中點所組成的四邊形（）CADB猜想：是平行四邊形EHGF簡稱：中點四邊形你知道它是什么四邊形？能證明你的猜想嗎？ADBCHGFE

證明：連接BD

∵E，H是△ABD的兩邊中點

∴EH∥BD，且EH=BD同理：FG∥BD，且FG=BDEH∥FG，且EF=FG

∴四邊形EFGH是平行四邊形1212任意四邊形中點連線所得的四邊形為平行四邊形思考：（1）一個平行四邊形；（3）一個菱形；（4）一個正方形；（5）一個等腰梯形；（6）一個對角線相等的四邊形；（7）一個對角線互相垂直的四邊形；（8）一個對角線相等且互相垂直的四邊形。（2）一個矩形當原四邊形ABCD是下列圖形時，中點四邊形EFGH是什么四邊形？思考通過上述思考，你知道中點四邊形的形狀與原四邊形的什么有著密切的聯系？要使中點四邊形EFGH是下列圖形，原四邊形ABCD需具有什么特征？（1）一個矩形；（2）一個菱形；（3）一個正方形。ADBCHGFE把你的想法與同伴交流。學生交流結論：（1）中點四邊形的形狀與原四邊形的

有密切關系；（2）只要原四邊形的兩條對角線

，就能使中點四邊形是菱形；（3）只要原四邊形的兩條對角線

，就能使中點四邊形是矩形；（4）要使中點四邊形是正方形，原四邊形要符合的條件是

。對角線相等互相垂直相等且互相垂直問題（1）

如圖，原ABC的面積與它的中點三角形（連結三角形三邊中點的線段組成的三角形）△DEF的面積及周長之間有什么關系嗎？AEDCBF答:△DEF的面積是原ABC的面積的四分之一答:△DEF的周長是原ABC的周長的二分之一問題（２）

如圖，原四邊形的面積與它的中點四邊形EFGH的面積之間有什么關嗎？EABCGFD溫馨提示:△DHG的面積是△ADC面積的多少？△BEF的面積是△ABC面積的多少?那么△DHG

與△BEF面積的和是四邊形ABCD的面積的多少呢？結論：中點四邊形的面積是原四邊形面積的一半．H問題（３）

如圖，中點四邊形EFGH的周長與原四邊形ABCD的什么量有關系？是什么關系？能證明你的猜想嗎？EABCHGFD溫馨提示：△DHG的HG與△ADC的哪一邊有關系？結論：中點四邊形的周長等于原四邊形對角線的和如圖：在四邊形ABCD中，AB=CD,M、N、P、Q分別是AD、BC、BD、AC的中點。求證：MN與PQ互相垂直平分中考之窗證明：

∵M、P分別是AD與BD的中點（2007湖南）AB

CDMNPQ同理：NQ∥AB,NQ=

AB∴MP∥NQ,MP=NQ

∴四邊形MPNQ是平行四邊形∵MQ是△ADC的中位線∵AB=CD∴

MP=MQ∴四邊形MPNQ是菱形∴MN與PQ互相垂直平分∴MP∥AB，且MP=

AB∴MQ=

CD挑戰自我如圖,四邊形ABCD中,AC=6,BD=8且AC⊥BD,順次連接四邊形ABCD各邊中點,得四邊形A1B1C1D1;再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點,得到四邊形A2B2C2D2……如此進行下去，得到四邊形AnBnCnDn.

(1)四邊形A1B1C1D1是_

__，

四邊形A2B2C2D2是

，

四邊形A11B11C11D11是____；(2)四邊形A1B1C1D1的面積是____，

四邊形A2B2C2D2的面積是____。

四邊形AnBnCnDn的面積

____；(3)四邊形A1B1C1D1的周長是_____。四邊形A2B2C2D2的周長是_____。如圖：在△ABC中，點D、E、F分別是AB、BC、AC的中點，連接DE和EF，得到四邊形ADEF。（1）試判斷四邊形ADEF的形狀并證明。（2）當

時，四邊形ADEF為菱形。（3）當

時，四邊形ADEF為矩形。（4）當

時，四邊形ADEF為正方形。學生交流談談你上了本節課有何收獲?再見ACBDHFGE返回EDCBAHG