中等職業學校通用材第一章簡易邏輯

（下冊）數學第1章簡易邏輯命題邏輯聯結詞四種命題充分、必要和充要條件1.1命

題（1）長城屬于中國。

（2）雪是黑的。

（3）5是自然數。

（4）11＞25。實例考察可以判斷真假的陳述句稱為命題，正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題。小寫字母p、q、r、s…表示命題。

當命題p是真命題時，有時可簡稱為p為真；當命題p是假命題時，也可簡稱為p為假。1.1命

題例下列語句是不是命題？如果是命題，指出它的真假；如果不是命題，說明理由：（1）空集是任何集合的子集。（2）對數函數是增函數嗎？（3）（4）x＝5。（5）π是有理數。（6）上課請不要講話！例題解析1.1命

題不是命題不是命題不是命題真命題假命題不是命題1.1命

題命題可分為兩類：上面列舉的命題都是用一句簡單的陳述句表達的，我們把這類命題稱為簡單命題；而另一類命題是由一些聯結詞把一些簡單命題連接起來構成的，我們把這類命題稱為復合命題。課堂練習下列語句是不是命題？如果是命題，指出它的真假；如果不是命題，說明理由：1.1命

題1.2邏輯聯結詞根據實驗可知，如圖所示電路中，只有開關A、B同時閉合，燈泡D才亮。因此，燈泡D亮的條件是：開關A閉合____開關B閉合。根據實驗可知，如圖所示電路中，開關A、B中只要有一個閉合，燈泡D就亮。因此，燈泡D亮的條件是：開關A閉合____開關B閉合。實例考察根據實驗可知，如圖所示電路中，開關A斷開時燈泡D亮，閉合時不亮。因此，燈泡D亮的條件是：開關A____閉合。條件和結論連在一起可表達為_______開關A閉合，

________燈泡D不亮．1.2邏輯聯結詞一般地，設p，q是兩個命題，用“且”字聯

結p，q得到一個與p和q相關的新命題，記作

p∧q，讀作“p且q”。1.2邏輯聯結詞一、且（and)如圖，燈泡D亮的條件是：開關A閉合“且”開關B閉合。一般地，復合命題“p∧q”的真假情況與兩個簡單命題p、q的真假情況之間的關系可以歸納為下表：1.2邏輯聯結詞例題解析解（1）p∧q：菱形的對角線互相垂直且平分。

（2）p∧q：今天上海下雨且刮風。1.2邏輯聯結詞

例1將下列命題寫成“p∧q”形式的復合命題：

（1）p：菱形的對角線互相垂直。

q：菱形的對角線互相平分。

（2）p：今天上海下雨。

q：今天上海刮風。1.2邏輯聯結詞（3）因為“8是奇數”為假，“3＞7”為假，所以“8是奇數且3＞7”為假。

例2確定下列命題的真假：

（1）3＋5＝8且1≠12。

（2）6是偶數且3∈Ｎ。

（3）8是奇數且3＞7。解（1）因為“3＋5＝8”為真，“1≠12”為真，所以“3＋5＝8且1≠12”為真。（2）因為“6是偶數”為真，“3∈Ｎ”為假，所以“6是偶數且3∈Ｎ”為假。一般地，設p、q是兩個命題，用“或”字聯結

p、q得到一個與p和q相關的新命題，記作p∨q，

讀作“p或q”。1.2邏輯聯結詞二、或(or)

燈泡D亮的條件是：開關A閉合“或”開關B閉合。一般地，復合命題“p∨q”的真假情況與兩個簡單命題p、q的真假情況之間的關系可以歸納為下表：1.2邏輯聯結詞例題解析解（1）因為“0.5是整數”為假，“0.5是實數”為真，所以“0.5是整數或0.5是實數”為真。1.2邏輯聯結詞

例確定下列命題的真假：

（1）0.5是整數或0.5是實數。

（2）三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊。（3）3是5的約數或3是8的約數。1.2邏輯聯結詞（2）因為“三角形兩邊之和大于第三邊”為真，“三角形兩邊之差小于第三邊”為真，所以“三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊”為真。（3）因為“3是5的約數”為假，“3是8的約數”為假，所以“3是5的約數或3是8的約數”為假。一般地，設p是一個命題，對它進行否定得

到一個新命題，記作p，讀作“非p”。1.2邏輯聯結詞三、非(not)如圖，燈泡D亮的條件是：開關A“非（不）”閉合。條件和結論連在一起可表達為“如果”開關A閉合，“那么”燈泡D不亮。例題解析1.2邏輯聯結詞（3）r：2是質數。因為r為假，所以r為真。例寫出下列命題的p形式的命題，并確定其真假：

（1）p：數學家華羅庚是中國人。

（2）q：平行線相交。（3）r：2不是質數。解（1）p：數學家華羅庚不是中國人。因為p為真，

所以p為假。（2）q：平行線不相交。因為q為假，所以q為真。課堂練習1

1．分別寫出由下列各組命題構成的“p∧q”“p∨q”形式的復合命題，并判斷它們的真假：

（1）p：27是3的倍數；q：27是9的倍數。

（2）p：（－2）2＝4；q：＝4。（3）p：16＜17；q：16＝17。

（4）p：正方形的對角線相等；q：正方形的對角線垂直。（5）p：垂直于同一平面的兩平面平行；q：垂直于同一平面的兩平面相交。1.2邏輯聯結詞2．寫出下列命題的非命題，并判斷其真假：

（1）p：x2

＜0。（2）q：2≥3。

（3）t：梯形有一組對邊平行。（4）s：樹葉都是綠色的。1.2邏輯聯結詞一般地，我們把“如果p，那么q”形式的復

合命題稱為條件命題，其中p稱為命題的條件，q

稱為命題的結論。1.2邏輯聯結詞四、如果……，那么……1.2邏輯聯結詞例題解析解（1）如果兩個三角形的面積相等，那么這兩個三角形全等。它是假命題。例把下列命題改寫成“如果p，那么q”的形式，并判斷它們的真假：

（1）面積相等的兩個三角形全等。

（2）負數的立方是負數。

（3）奇函數的圖像關于原點對稱。

（4）垂直于同一平面的兩個平面平行。（4）如果兩個平面都垂直于同一平面，那么這兩個平面平行。它是假命題。1.2邏輯聯結詞（2）如果一個數是負數，那么這個數的立方是負數。它是真命題。（3）如果一個函數是奇函數，那么這個函數的圖像關于原點對稱。它是真命題。課堂練習21．判斷下列命題的真假：

（1）如果x＞3，那么x＞2。

（2）如果x能被2整除，那么x是偶數。

（3）如果xy＝0，那么x＝0。

（4）如果a＞b，那么a

2＞b2

。1.2邏輯聯結詞

2．把下列命題改寫成“如果ｐ，那么ｑ”的形式，判斷它們的真假：

（1）若a＞b、c＞0，則ac＞bc。

（2）平行四邊形的對角線互相平分。

（3）兩個全等三角形的面積相等。

（4）垂直于同一直線的兩平面平行。1.2邏輯聯結詞1.3四種命題如果天下雨，那么露天的地面濕。（1）變化1把命題（1）的條件與結論互換，得

如果露天的地面濕，那么天下雨。（2）

變化2把命題（1）的條件與結論都否定，得

如果天沒下雨，那么露天的地面不濕。（3）

變化3把命題（1）的條件與結論互換后再否定，得

如果露天的地面不濕，那么天沒下雨。（4）實例考察1.3四種命題一般地，用p和q分別表示原命題的條件和結論，用p和q分別表示p和q的否定，于是4種的形式就是：

原命題若p則q；

逆命題若q則p；

否命題若p則q；逆否命題若q則p。例題解析1.3四種命題例把下列命題改成“如果……，那么……”的形式，寫出它們的逆命題、否命題與逆否命題，并說明它們的真假：（1）負數的平方是正數。

（2）正方形的四條邊相等。逆命題：如果一個數的平方是正數，那么它是負數。它是假命題。否命題：如果一個數不是負數，那么它的平方不是正數。它是假命題。逆否命題：如果一個數的平方不是正數，那么它不是負

數。它是真命題。1.3四種命題解（1）原命題可以寫成：如果一個數是負數，那么它的平方是正數。它是真命題。逆命題：如果一個四邊形的四條邊相等，那么它是正方形。它是假命題。

否命題：如果一個四邊形不是正方形，那么它的四條邊不相等。它是假命題。

逆否命題：如果一個四邊形的四條邊不相等，那么它不是正方形。它是真命題。1.3四種命題（2）原命題可以寫成：如果一個四邊形是正方形，那么它的四條邊相等。它是真命題。課堂練習寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并說明它們的真假：

（1）電話是一種通信工具。

（2）如果a＝0，那么ab＝0。1.3四種命題1.4充分、必要和充要條件Z＝｛整數｝

N＝｛自然數｝實例考察1.4充分、必要和充要條件一般地，用p、q分別表示兩個命題，如果p成立可以推出q也成立，那么我們就說由p可推出q，記作pq，稱p是q的充分條件，q是p的必要條件。

pq也可以寫成qp；而由p不能推出q可記作pq。p：三角形的三條邊相等；q：三角形的三個內角相等。1.4充分、必要和充要條件1.4充分、必要和充要條件一般地，如果pq且qp，則記作pq，并

稱p是q的充分必要條件，簡稱充要條件。例題解析1.4充分、必要和充要條件例1指出下列各組命題中，p是q的什么條件：（在“充分而不必要條件”“必要而不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中選擇）（1）p：（x－4）（x－5）＝0；q：x－4＝0。（2）直線l1、l2都與直線l3相交。p：同位角相等；q：直線l1、l2平行。（3）p：四邊形ABCD是平行四邊形；q：四邊形ABCD的對角線相等。（4）p：點（x，y）在第一象限；q：x＋y＞0。1.4充分、必要和充要條件（2）直線l1、l2都與直線l3相交。p：同位角相等；q：直線l1，l2平行。

解因為同位角相等直線l1，l2平行

且

直線l1，l2平行

同位角相等

所以p是q的充要條件。（1）p：（x－4）（x－5）＝0；q：x－4＝0。解因為x－4＝0（x－4）（x－5）＝0

而（x－4）（x－5）＝0成立時不一定有x－4＝0，所以p是q的必要而不充分條件。（4）p：點（x，y）在第一象限；q：x＋y＞0．

解因為點（x，y）在第一象限

x＋y＞0

而滿足x＋y＞0的點（x，y）不一定在第一象限，所以p是q的充分而不必要條件。1.4充分、必要和充要條件

（3）p：四邊形ABCD是平行四邊形；q：四邊形ABCD的對角線相等。