中考沖刺：方案設計與決策型問題一鞏固練習（基礎）

【鞏固練習】

一、選擇題

1.小明中午放學回家自己煮面條吃，有下面幾道工序：①洗鍋盛水需2分鐘；②洗菜需3分鐘；③準備

面條及佐料需2分鐘；④用鍋把水燒開需7分鐘；⑤用燒開的水煮面條和菜需3分鐘.以上各工序除（4）

外，一次只能進行一道工序，小明要將面條煮好，最少用（）

A.14分鐘B.13分鐘C.12分鐘D.11分鐘

2.某學校組織340名師生進行長途考察活動，帶有行李170件，計劃租用甲、乙兩種型號的汽車共10

輛.經了解，甲車每輛最多能載40人和16件行李，乙車每輛最多能載30人和20件行李.請問可行的

租車方案有（）

A.2種B.3種C.4種D.5種

3.（2016?邯鄲一模）如圖是小李銷售某種食品的總利潤y元與銷售量x千克的函數圖象（總利潤=總銷

售額-總成本）.由于目前銷售不佳，小李想了兩個解決方案：

方案（1）是不改變食品售價，減少總成本；

方案（2）是不改變總成本，提高食品售價.

下面給出的四個圖象中虛線表示新的銷售方式中利潤與銷售量的函數圖象，則分別反映了方案（1）（2）

A.②，③B.①，③

二、填空題

4.（2016春?乳山市期中）某足球賽一個賽季共進行了26輪比賽（即每隊均需26場），其中勝一場得3

分，平一場得1分，負一場得0分，某隊在這個賽季中平局的場數比負的場數多7場，結果共得34分,

則這個隊在第一賽季中勝、平、負的場數依次是.

5.開學初，小芳和小亮去學校商店購買學習用品，小芳用18元錢買了1支鋼筆和3本筆記本；小亮用

31元買了同樣的鋼筆2支和筆記本5本.

（1）每支鋼筆的價格為;每本筆記本的價格為;

（2）校運會后，班主任拿出200元學校獎勵基金交給班長，購買上述價格的鋼筆和筆記本共48件作為獎

品，獎給校運會中表現突出的同學，要求筆記本數不少于鋼筆數，共有種購買方案？請你一一

寫出.

6.“五?一”假期，梅河公司組織部分員工到A、B、C三地旅游，公司購買前往各地的車票種類、數量

繪制成條形統計圖，如圖.根據統計圖回答下列問題:

（1）前往A地的車票有張，前往C地的車票占全部車票的%；

（2）若公司決定采用隨機抽取的方式把車票分配給100名員工，在看不到車票的條件下，每人抽取一

張（所有車票的形狀、大小、質地完全相同且充分洗勻），那么員工小王抽到去B地車票的概率為.

三、解答題

7.（2015春?高新區期末）為了實現區域教育均衡發展，我區計劃對A,B兩類學校分批進行改進，根據

預算，改造一所A類學校和兩所B類學校共需資金230萬元，改造兩所A類學校和一所B類學校共需資

金205萬元.

（1）改造一所A類學校和一所B類學校所需的資金分別是多少萬元？

（2）我區計劃今年對A、B兩類學校共6所進行改造，改造資金由國家財政和地方財政共同承擔.若今

年國家財政撥付的改造資金不超過380萬元，地方財政投入的改造資金不少于70萬元，其中地方財政

投入到A、B兩類學校的改造資金分別為每所10萬元和15萬元，請你通過計算求出有幾種改造方案？

哪種改造方案所需資金最少，最少資金為多少？

8.某商場將進價40元一個的某種商品按50元一個售出時，每月能賣出500個.商場想了兩個方案來增

加利潤：

方案一：提高價格，但這種商品每個售價漲價1元，銷售量就減少10個；

方案二：售價不變，但發資料做廣告.已知這種商品每月的廣告費用加千元）與銷售量倍數0關系為

p=-0.4m2+2m；

試通過計算，請你判斷商場為賺得更大的利潤應選擇哪種方案？請說明你判斷的理由！

9.為執行中央“節能減排，美化環境，建設美麗新農村”的國策，我市某村計劃建造4、6兩種型號的

沼氣池共20個，以解決該村所有農戶的燃料問題.兩種型號沼氣池的占地面積、使用農戶數及造價見

下表:

占地面積使用農戶數造價

型號

（單位:m7個）（單位:戶/個）（單位：萬元/個）

A15182

B20303

已知可供建造沼氣池的占地面積不超過365m2,該村農戶共有492戶.

(1)滿足條件的方案共有幾種?寫出解答過程；

(2)通過計算判斷，哪種建造方案最省錢.

10.閱讀下列材料：

小明遇到一個問題：5個同樣大小的正方形紙片排列形式如圖1所示，將它們分割后拼接成一個新的

正方形.他的做法是：按圖2所示的方法分割后，將三角形紙片①繞AB的中點0旋轉至三角形紙片②處,

依此方法繼續操作，即可拼接成一個新的正方形DEFG.

請你參考小明的做法解決下列問題：

(1)現有5個形狀、大小相同的矩形紙片，排列形式如圖3所示.請將其分割后拼接成一個平行四邊

形.要求：在圖3中畫出并指明拼接成的平行四邊形(畫出一個符合條件的平行四邊形即可)；

(2)如圖4,在面積為2的平行四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，

分別連結AF、BG、CH、DE得到一個新的平行四邊形MNPQ,請在圖4中探究平行四邊形MNPQ面積的大小

(畫圖表明探究方法并直接寫出結果).

【答案與解析】

一、選擇題

1.【答案】C；

【解析】洗鍋盛水2分鐘，用鍋把水燒開7分鐘，用燒開的水煮面和菜要3分鐘，這樣一共是12分

鐘.而洗菜的3分鐘和準備面及佐料的2分鐘可以在燒開水的過程中來做.

2.【答案】C；

【解析】解：設甲車a輛，則乙車(10-a)輛.

根據題意：

40a+30X(10-a)2340①

16a+20X(10-a)2170②

由①得40a+300-30a2340,a24

由②得16a+200-20a2170,a這7.5

所以4WaW7.5

a=4,5,6,7

所以租車方案有4種.

3.【答案】B；

【解析】①根據函數圖象可知，斜率不變，與y軸交點上移，即售價不變，總成本減少；

②根據函數圖象可知，斜率不變，與y軸交點下移，即售價不變，總成本增加；

③根據函數圖象可知，斜率變大，與y軸交點不變，即總成本不變，售價增加；

④根據函數圖象可知，斜率變小，與y軸交點不變，即總成本不變，售價減少.

表示方案（1）的圖象為①，表示方案（2）的圖象為③.

故選B.

二、填空題

4.【答案】7、13、6；

【解析】設這個隊在第一賽季中勝了x場，負了y場，平了（y+7）場，

根據題意得：尸尸印期，

（3x+y+7=34

解得：卜=7,

Iy=6

/.y+6=13.

故答案為：7、13、6.

5.【答案】（1）3元，5元；（2）5；20,28；21,27；22,26；23,25；24,24.

x+3y=18（

【解析】（1）設每支鋼筆x元，每本筆記本y元，依題意得：\,解得：\x-3

2x+5y=31[y=5

所以，每支鋼筆3元，每本筆記本5元.

（2）設買a支鋼筆，則買筆記本（48—6本

依題意得：.+5（48-200,解得：204a?24,所以，一共有5種方案

4S-a>a

即購買鋼筆、筆記本的數量分別為:20,28；21,27；22,26；23,25；24,24.

6.【答案】（1）30；20.（2）

2

【解析】（1）考查了條形圖的知識，解題的關鍵是識圖；

（2）讓去B地車票數除以車票總數即為所求的概率;

三、解答題

7.【答案與解析】

（1）解：設改造一所A類學校需資金a萬元一所B類學校需資金a萬元.

[a+2b=230,

I2a+b=205'

解得[a=60.

lb=85

答：改造一所A類學校需資金60萬元，一所B類學校需資金85萬元；

(2)解：設改造x所A類學校，(6-x)所B類學校，依題意得

'10x+15(6-x)>70

’60x+85(6-x)-[10x+15(6-x)4380'

解得2<x<4,

又因為x是整數，

x=2、3、4、6-x=4>3、2.

所以共有三種方案：改造A類學校2所，B類學校4所；

改造A類學校3所，B類學校3所；

改造A類學校4所，B類學校2所.

設改造方案所需資金W萬元

w=60x+85(6-x)=-25x+51O.

所以當x=4時，w段小=410.

答：改造A類學校4所B類學校2所用資金最少為410萬元.

8.【答案與解析】

解：設漲價x元，利潤為y元，則

方案一：y=(50+x-40)(500-10x)=-10x2+400x+500010(x-20)2+9000

二方案一的最大利潤為9000元；

方案二：y=(50-40)x500/?-1000m=-2000m2+9000/n=-2000(x-2.25)2+10125

方案二的最大利潤為10125元；

.??選擇方案二能獲得更大的利潤.

9.【答案與解析】

解：(1)設建造4型沼氣池x個，則建造8型沼氣池(20一力個.

依題意得：+20(20-64365解得：7WxW9

[18x+30(20-x)>492

為整數，x=7,8,9,

滿足條件的方案有三種.

(2)設建造/型沼氣池x個時，總費用為y萬元，則：

y-2x+3(20—x)二一戶60

V-KO,：.y隨x增大而減小，

當產9時，y的值最小，此時產51（萬元）

此時方案為：建造力型沼氣池9個，建造6型沼氣池11個.

解法②:由（1）知共有三種方案，其費用分別為：

方案一:建造/型沼氣池7個，建造8型沼氣池13個，

總費用為：7X2+13X3=53（萬元）

方案二：建造力型沼氣池8個，建造6型沼氣池12個，

總費用為：8X2+12X3=52（萬元）

方案三：建造｛型沼氣池9個，建造6型沼氣池11個，

總費用為：9X2+11X3=51（萬元）

.?.方案三最省錢.

10.【答案與解析】

⑴如圖中平行四邊形即為所求.

2

⑵如圖：平行四邊形MNPQ面積為一.

5

中考沖刺：方案設計與決策型問題一鞏固練習（提高）

【鞏固練習】

一、選擇題

1.（2016春?內江期末）有甲，乙，丙三種商品，如果購甲3件，乙2件，丙1件共需315元錢，購甲

1件，乙2件，丙3件共需285元錢，那么購甲，乙，丙三種商品各一件共需（）

A.50B.100C.150D.200

2.在方格紙中，選擇標有序號①②③④中的一個小正方形涂黑，與圖中陰影部分構成中心對稱圖形.該

小正方形的序號是（）

A.①B.②C.③D.@

@■④

一②一

3.下面的四個圖案中，既可用旋轉來分析整個圖案的形成過程，又可用軸對稱來分析整個圖案的形成

過程的圖案有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

二、填空題

4.我們知道，只有兩邊和一角對應相等的兩個三角形不一定全等.你如何處理和安排這三個條件，使這

兩個三角形全等.請你仿照方案（1）,寫出方案（2）、（3）.

解：設有兩邊和一角對應相等的兩個三角形.

方案（1）：若這角恰好是直角，則這兩個三角形全等.

方案（2）：.

方案（3）：.

5.（重慶校級期中）適逢南開中學建校78周年暨（融僑）中學建校10周年校慶活動，學校準備印刷2000

份校慶專刊.甲廠的優惠是先降價20%,再降價10%,乙廠的優惠是前1000份優惠10%,后1000份

優惠30%,選擇廠更劃算.

6.幾何模型：

條件：如下左圖，A、B是直線/同旁的兩個定點.

問題：在直線/上確定一點P,使PA+PB的值最小.

方法：作點A關于直線/的對稱點A,連結A3交/于點P,則=的值最小（不必證

明）.

模型應用：

（1）如圖1,正方形ABC。的邊長為2,E為43的中點，P是AC上一動點.連結3。，由正方

形對稱性可知，6與。關于直線AC對稱.連結ED交4C于P,則P3+PE的最小值是

（2）如圖2,。。的半徑為2,點A、B、C在。。上，OAA.OB,NAOC=60°,P是OB上

一動點，則PA+PC的最小值是；

（3）如圖3,NAQB=45°,0是NAOB內一點，PO=10,Q、R分別是Q4、上的動點，

則△PQR周長的最小值是.

三、解答題

7.（2016?臨沂）現代互聯網技術的廣泛應用，催生了快遞行業的高速發展.小明計劃給朋友快遞一部

分物品，經了解有甲、乙兩家快遞公司比較合適.甲公司表示：快遞物品不超過1千克的，按每千克22

元收費；超過1千克，超過的部分按每千克15元收費.乙公司表示：按每千克16元收費，另加包裝費

3元.設小明快遞物品x千克.

（1）請分別寫出甲、乙兩家快遞公司快遞該物品的費用y（元）與x（千克）之間的函數關系式；

（2）小明選擇哪家快遞公司更省錢？

8.（2015?宜昌模擬）今年是"十二五"計劃的開局之年，5月16日國務院討論通過《國家基本公共服務

體系"十二五"規劃》.會議決定：本年度安排264億元的財政補貼用于推廣符合節能標準的家用電器（包

括空調、平板電視、洗衣機和熱水器），其中洗衣機、平板電視的補貼比熱水器補貼分別多20%、40%,

而熱水器的補貼比空調補貼少工同時建議，以后兩年用于推廣符合節能標準家用電器的財政補貼每年

6

遞增a億元，"十二五"的最后兩年用于此項財政補貼每年按照一定比例遞增，從而使"十二五"期間財政

補貼總額比規劃第二年補貼的5.31倍還多2.31a億元.

（1）若熱水器的財政補貼今年比2011年增長10%,則2011年熱水器的財政補貼為多少億元？

（2）求“十二五”的最后兩年用于此項財政補貼的年平均增長率.

9.某工廠計劃為某山區學校生產A,B兩種型號的學生桌椅500套，以解決1250名學生的學習問題，一

套A型桌椅（一桌兩椅）需木料0.5n）3,一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m3,工廠現有庫存木料

302m3.

（1）有多少種生產方案？

（2）現要把生產的全部桌椅運往該學校，已知每套4型桌椅的生產成本為100元，運費2元；每

套B型桌椅的生產成本為120元，運費4元，求總費用y（元）與生產A型桌椅x（套）之間的關系式,

并確定總費用最少的方案和最少的總費用.（總費用=生產成本+運費）

（3）按（2）的方案計算，有沒有剩余木料？如果有，請直接寫出用剩余木料再生產以上兩種型號

的桌椅，最多還可以為多少名學生提供桌椅；如果沒有，請說明理由.

10.如圖1,矩形鐵片ABCD的長為2。，寬為a;為了要讓鐵片能穿過直徑為遮a的圓孔，需對鐵片進行

10

處理（規定鐵片與圓孔有接觸時鐵片不能穿過圓孔）；

（1）如圖2,M、N、P、Q分別是AD、AB、BC、CD的中點，若將矩形鐵片的四個角去掉，只余下四邊形

MNPQ,則此時鐵片的形狀是給出證明，并通過計算說明此時鐵片都能穿過圓孔；

（2）如圖3,過矩形鐵片ABCD的中心作一條直線分別交邊BC、AD于點E、F（不與端點重合），沿著這

條直線將矩形鐵片切割成兩個全等的直角梯形鐵片；

①當BE=DF=；a時，判斷直角梯形鐵片EBAF能否穿過圓孔,并說明理由；

②為了能使直角梯形鐵片EBAF順利穿過圓孔,請直接寫出線段BE的長度的取值范圍.

【答案與解析】

一、選擇題

1.【答案】B；

【解析】設購甲，乙，丙三種商品各一件需要x元、y元、z元.

根據題意，得［3X+2>Z=315,

Ix+2y+3z=285

兩方程相加，得

4x+4y+4z=600,

x+y+z=150.

則購甲，乙，丙三種商品各一件共需150元.

2.【答案】B；

【解析】如圖，把標有序號②的白色小正方形涂黑，就可以使圖中的黑色部分構成一個中心對稱圖形.

故選B.

3.【答案】A

【解析】根據旋轉、軸對稱的定義來分析.

圖形的旋轉是圖形上的每一點在平面上繞某個固定點旋轉固定角度的位置移動；

軸對稱是指如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩側的圖形能夠互相重合，就是軸對稱.

圖形1可以旋轉90°得到，也可以經過軸對稱，沿一條直線對折，能夠完全重合；

圖形2可以旋轉180。得到，也可以經過軸對稱，沿一條直線對折，能夠完全重合；

圖形3可以旋轉180。得到，也可以經過軸對稱，沿一條直線對折，能夠完全重合；

圖形4可以旋轉90°得到，也可以經過軸對稱，沿一條直線對折，能夠完全重合.

故既可用旋轉來分析整個圖案的形成過程，又可用軸對稱來分析整個圖案的形成過程的圖案

有4個.

故選A.

二、填空題

4.【答案】方案(2)：該角恰為兩邊的夾角時；

方案(3)：該角為鈍角時.

5.【答案】甲.

【解析】設每一份校慶專刊的單價為a元.

甲廠的花費：2000a(1-20%)(1-10%)=1440a；

乙廠的花費：1000a(1-10%)+1000a(1-30%)=1600a；

1440a<1600a

所以選擇甲廠更劃算.故答案為：甲.

6.【答案】(1)V5；(2)26;(3)10A/2.

【解析】解：(1)PB+PE的最小值是DE,DE=V22+12=V5.

(2)延長A0交。。于點D,連接CD交0B于P

則PA=PD,PA+PC=PC+PD=CD

連接AC,；AD為直徑，AZACD=90°，AD=4

VZA0C=60°，.*.ZADC=30°

在RtZ\ACD中，CD=cos30°?AD=28，即PA+PC的最小值為班

(3)解：分別作點P關于OA,0B的對稱點E,F,連接EF交OA,0B于R,Q,

則△PRQ的周長為：EF,

?.?0P=0E=0F=10,ZFOB=ZPOB,/POA=NAOE,

VZA0B=45°,AZEOF=90°

在RtaEOF中，VOE=OF=10,.?.EF=105/2,即△PRQ的周長最小值為10夜

三、解答題

7.【答案與解析】

解：(1)由題意知：

當OVxWl時，y甲=22x；

當IVx時,y平=22+15(x-1)=15x+7.

y乙=16x+3.

(2)①當0<xWl時，，

令y，P<yz,B|J22x<16x+3,解得：0<x<l；

2

令yv=yZ，即22x=16x+3,解得：x=A；

2

令y，p>y%,即22x>16x+3,解得：—<x^l.

2

②X>1時，

令y甲Vy乙，即15x+7V16x+3,解得：x>4；

令y甲二y乙，即15x+7=16x+3,解得：x=4；

令y+>y乙，即15x+7>16x+3,解得：1<XV4.

綜上可知：當L<x<4時，選乙快遞公司省錢；

2

當x=4或x=L時，選甲、乙兩家快遞公司快遞費一樣多；

2

當OVxVL或x>4時，選甲快遞公司省錢.

2

8.【答案與解析】

解：(1)設2011年熱水器的財政補貼為x億元，則2012年熱水器的財政補貼為1.lx,洗衣機的財政補

貼1.2X1.lx、平板電視的財政補貼1.4X1.lx、空調的財政補貼@XLlx,根據題意列方程得：

5

1.lx+1.2X1.lx+1.4X1.lx+.§x1.lx=264

5

解得：x=5

答：2011年熱水器的財政補貼為5億元；

(2)設“十二五”的最后兩年用于此項財政補貼的年平均增長率為m.根據題意列方程得:

(264-a)+264+(264+a)+(264+a)X(1+m)+(264+a)(1+m)=264X5.31+2.31a

即(264+a)m2+3(264+a)m-0.31(a+264)=0,

m2+3m-0.31=0

解得：mi=3.1(舍去)，x2=0.1.

答：此項財政補貼的年平均增長率是10%.

9.【答案與解析】

解(1)設生產A型桌椅x套，則生產8型桌椅(500-X)套，由題意得

0.5%+0.7x(500-x)W302

2x+3x(500-x)>1250

解得240Wx<250

因為x是整數，所以有11種生產方案.

(2)y=(100+2)x+(120+4)x(500-x)=-22x+62000

?；—22<0,y隨x的增大而減少.

.?.當x=250時，y有最小值.

,當生產A型桌椅250套、3型桌椅250套時，總費用最少.

此時{in=-22x250+62000=56500(元)

(3)有剩余木料，最多還可以解決8名同學的桌椅問題.

10.【答案與解析】

(1)是菱形

如圖，過點M作MGLNP于點G

???M、N、P、Q分別是AD、AB、BC、CD的中點

AMIN^ABPN^ACPQ^ADMQ

；.MN=NP=PQ=QM

四邊形MNPQ是菱形

11,

VSMNPQ=-SABCD=-x2aXa=a

MN=+.2=乎a

SMNPQ2rzJ89

???MG=Q=75a<--a

MN510

...此時鐵片能穿過圓孔.

(2)

①如圖，過點A作AHJ_EF于點H,過點E作EKLAD于點K

顯然AB=。＞也包。,

10

故沿著與AB垂直的方向無法穿過圓孔

過點A作EF的平行線RS,故只需計算直線RS與EF之間的距離即可

19

?/BE=AK=-,EK=AB=a,AF=AD-DF=—a

55

KF~AF—AK=—a,EF=+(—?)2=a

5V55

vZAHF=ZEKF=90°,NAFH=NEFK

.,.△AHF^AEKF

9789V89

—=—可得AH=--------Cl>-------Q

EKEF8910

該直角梯形鐵片不能穿過圓孔.

39-3789,、39+3屈nr,.

②0<BE<---------------a或----------a<BE<2a.

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中考沖刺：方案設計與決策型問題一知識講解（基礎）

責編：常春芳

【中考展望】

方案設計與決策型問題對于考查學生的數學創新應用能力非常重要.如讓學生設計圖形、設計測量

方案、設計最佳方案等都是近年考查的熱點，題目多以解答題為主.

方案設計與決策型問題是近幾年的熱點試題，主要利用圖案設計或經濟決策來解決實際問題.題型

主要包括：

1.根據實際問題拼接或分割圖形；

2.利用方程（組）、不等式（組）、函數等知識對實際問題中的方案進行比較等.

方案設計與決策問題就是給解題者提供一個問題情境，要求解題者利用所學的數學知識解決問題，

這類問題既考查動手操作的實踐能力，又培養創新品質，應該引起高度重視.

【方法點撥】

解答決策型問題的一般思路，是通過對題設信息進行全面分析、綜合比較、判斷優劣，從中尋找到

適合題意的最佳方案.

解題策略：建立數學模型，如方程模型、不等式模型、函數模型、幾何模型、統計模型等，依據所

建的數學模型求解，從而設計方案，科學決策.

【典型例題】

類型一、利用方程（組）進行方案設計

C1.（2016?涼山州）為了更好的保護美麗圖畫的邛海濕地，西昌市污水處理廠決定先購買A、B兩型

污水處理設備共20臺，對邛海濕地周邊污水進行處理，每臺A型污水處理設備12萬元，每臺B型污水

處理設備10萬元.己知1臺A型污水處理設備和2臺B型污水處理設備每周可以處理污水640噸，2臺

A型污水處理設備和3臺B型污水處理設備每周可以處理污水1080噸.

（1）求A、B兩型污水處理設備每周分別可以處理污水多少噸？

（2）經預算，市污水處理廠購買設備的資金不超過230萬元，每周處理污水的量不低于4500噸，請你

列舉出所有購買方案，并指出哪種方案所需資金最少？最少是多少？

【思路點撥】

（1）根據1臺A型污水處理設備和2臺B型污水處理設備每周可以處理污水640噸，2臺A型污水處理

設備和3臺B型污水處理設備每周可以處理污水1080噸，可以列出相應的二元一次方程組，從而解答

本題；

（2）根據題意可以列出相應的不等式組，從而可以得到購買方案，從而可以算出每種方案購買資金，

從而可以解答本題.

【答案與解析】

解：（1）設A型污水處理設備每周每臺可以處理污水x噸，B型污水處理設備每周每臺可以處理污水y

噸，

[x+2y=640解得，卜=240

l2x+3y=1080ly=200

即A型污水處理設備每周每臺可以處理污水240噸，B型污水處理設備每周每臺可以處理污水200噸；

（2）設購買A型污水處理設備x臺，則購買B型污水處理設備（20-x）臺，

則112x+10（20-x）4230

'l240x+200（20-x）＞450C

解得，12.5WxW15,

第一種方案：當x=13時，20-x=7,花費的費用為：13X12+7X10=226萬元；

第二種方案：當x=14時，20-x=6,花費的費用為：14X12+6X10=228萬元：

第三種方案；當x=15時，20-x=5,花費的費用為：15X12+5X10=230萬元；

即購買A型污水處理設備13臺，則購買B型污水處理設備7臺時，所需購買資金最少，最少是226

萬元.

【總結升華】本題考查一元一次不等式組的應用、二元一次方程組的應用，解題的關鍵是明確題意，找

出所求問題需要的條件.

舉一反三:

【變式】某班有學生55人，其中男生與女生的人數之比為6：5.

（1）求出該班男生與女生的人數；

（2）學校要從該班選出20人參加學校的合唱團，要求：①男生人數不少于7人；②女生人數超過男

生人數2人以上.請問男、女生人數有幾種選擇方案？

［答案］

"解：（1）設男生有6x人，則女生有5x人.

依題意得：6x+5x=55,

??x=5,

.?.6x=30,5x=25.

答：該班男生有30人，女生有25人.

（2）設選出男生y人，則選出的女生為（20—。人.

2O-y-y>2

由題意得：<

y》7

解得:7Wy<9,

.??y的整數解為：7、8.

當y=7時，20-y=13,

當尸=8時，20—y=12.

答：有兩種方案，即方案一：男生7人，女生13人；方案二：男生8人，女生12人.

類型二、利用不等式（組）進行方案設計

Cz.溫州享有“中國筆都”之稱，其產品暢銷全球.某制筆企業欲將〃件產品運往4B,C三地銷

售，要求運往C地的件數是運往力地件數的2倍，各地的運費如圖所示.設安排x件產品運往4地.

⑴當〃=200時，

①根據信息填表:

4地8地C地合計

產品件數（件）X2x200

運費（元）30x

②若運往6地的件數不多于運往。地的件數，總運費不超過4000元，則有哪幾種運輸方案？

⑵若總運費為5800元，求〃的最小值.

【思路點撥】

（1）①運往8地的產品件數=總件數〃一運往］地的產品件數一運往。地的產品件數：運費=相應件

數X一件產品的運費；

②根據運往6地的件數不多于運往C地的件數，總運費不超過4000元列出不等式組，求得整數解

的個數即可；

（2）總運費=/產品的運費+8產品的運費+C產品的運費，進而根據函數的增減性及（1）中②得到的

x的取值求得"的最小值即可.

【答案與解析】

（1）①根據信息填表:

力地8地C地合計

產品件數（件）200-3x

運費（元）1600—24才50%56x+l600

'200-3x42x

②由題意得《

1600+56x<4000

解得40W啟42g.

7

為正整數，..“二的或41或42,...有3種方案，分別為：

（i）/地40件，3地80件，。地80件；

（ii）4地41件，8地77件，。地82件；

（iii）/f地42件，6地74件，C地84件.

（2）由題意得30x+8（〃-3x）+50x=5800,

整理得〃=725—7x.

V/7-3^0,：.x^72.5.

又?.”2（），.?.0<x<72.5且*為正整數.

；〃隨x的增大而減小，...當x=72時，〃有最小值為221.

【總結升華】

考查一次函數的應用，得到總運費的關系式是解決本題的關鍵，注意結合自變量的取值n的最小值.

舉一反三：

【高清課堂：方案設計與決策型問題例2】

【變式】為了保護環境，某化工廠一期工程完成后購買了3臺甲型和2臺乙型污水處理設備，共花費資

金54萬元，且每臺乙型設備的價格是每臺甲型設備價格的75%,實際運行中發現，每臺甲型設備每月能

處理污水200噸，每臺乙型設備每月能處理污水160噸，且每年用于每臺甲型設備的各種維護費和電費

為1萬元，每年用于每臺乙型設備的各種維護費和電費為L5萬元.今年該廠二期工程即將完成，產生

的污水將大大增加，于是該廠決定再購買甲、乙兩型設備共8臺用于二期工程的污水處理，要求本次購

買資金不超浮84萬元，預計二期工程完成后每月將產生不少于1300噸污水.

（1）請你計算每臺甲型設備和每臺乙型設備的價格各是多少元？

（2）請你求出用于二期工程的污水處理設備的所有購買方案；

（3）若兩種設備的使用年限都為10年，請你說明在（2）的所有方案中，哪種購買方案的總費用最少？

（總費用=設備購買費+各種維護費和電費）

【答案】

解：（1）設一臺甲型設備的價格為X萬元，由題意3x+2X0.75x=54,解得x=12,

???12X75%=9,?,?一臺甲型設備的價格為12萬元，一臺乙型設備的價格是9萬元

(2)設二期工程中，購買甲型設備a臺，由題意有12a+9(8-a)W84①;

200a+160(8-a)21300②，解得：，WaW4,

2

由題意a為正整數，.?.a=l,2,3,4.?.所有購買方案有四種,分別為

方案一：甲型1臺，乙型7臺；方案二：甲型2臺，乙型6臺

方案三：甲型3臺，乙型5臺；方案四：甲型4臺，乙型4臺

(3)設二期工程10年用于治理污水的總費用為W萬元，

W=12a+9(8-a)+1X10a+l.5X10(8-a),

化簡得：W=—2a+192,

VW隨a的增大而減少/.當a=4時,W最小(逐一驗算也可)

按方案四甲型購買4臺，乙型購買4臺的總費用最少.

類型三、利用方程(組)、不等式(組)綜合知識進行方案設計

C3.在實施“中小學校舍安全工程”之際，某縣計劃對48兩類學校的校舍進行改造.根據預測,

改造一所A類學校和三所6類學校的校舍共需資金480萬元，改造三所A類學校和一所8類學校的校舍

共需資金400萬元.

(1)改造一所A類學校和一所8類學校的校舍所需資金分別是多少萬元？

(2)該縣力、6兩類學校共有8所需要改造.改造資金由國家財政和地方財政共同承擔，若國家財政

撥付資金不超過770萬元，地方財政投入的資金不少于210萬元，其中地方財政投入到4、6兩類學校

的改造資金分別為每所20萬元和30萬元，請你通過計算求出有幾種改造方案，每個方案中A,6兩類

學校各有幾所.

【思路點撥】

(1)等量關系為：改造一所A類學校和三所B類學校的校舍共需資金480萬元；改造三所A類學校和

一所B類學校的校舍共需資金400萬元；

(2)關系式為：地方財政投資A類學校的總錢數+地方財政投資B類學校的總錢數2210；國家財政投

資A類學校的總錢數+國家財政投資B類學校的總錢數W770.

【答案與解析】

解：(1)設改造一所4類學校的校舍需資金x萬元，改造一所8類學校的校舍需資金y萬元,

則［x+3y=480x=90

解得＜

3x+y=4003=130

答：改造一所4類學校的校舍需資金90萬元，改造一所6類學校的校舍需資金130萬元.

⑵設4類學校應該有a所，則8類學校有(8-a)所.

20a+30(8—。)2210aW3

則4_，解得4、

[(90-20)。+(130-30)(8-a)W770[a^l

；.lWaW3,即a=l,2,3.

答：有3種改造方案：

方案一：4類學校有1所，8類學校有7所；

方案二：/類學校有2所，8類學校有6所；

方案三：1類學校有3所，6類學校有5所.

【總結升華】

解決問題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，進而找到所求的量的等量關系.理解“國家財政撥

付的改造資金不超過770萬元，地方財政投入的資金不少于210萬元”這句話中包含的不等關系是解決

本題的關鍵.

舉一反三：

【變式】為表彰在“締造完美教室”活動中表現積極的同學，老師決定購買文具盒與鋼筆作為獎品.已

知5個文具盒、2支鋼筆共需100元；4個文具盒、7支鋼筆共需161元.

（1）每個文具盒、每支鋼筆各多少元？

（2）時逢“五一”，商店舉行“優惠促銷”活動，具體辦法如下：文具盒“九折”優惠；鋼筆10支

以上超出部分“八折”優惠.若買x個文具盒需要必元，買x支鋼筆需要姓元，求力、姓關于x的函數

關系式；

（3）若購買同一種獎品，并且該獎品的數量超過10件，請你分析買哪種獎品省錢.

【答案】

解：（1）設每個文具盒x元，每支鋼筆y元，由題意得

\f5x+2y=10,0,解“,得《[x=14

4x+7y=161[y=15

答：每個文具盒14元，每支鋼筆15元.

（2）由題意知，%關于*的函數關系式為必=14X90%x,即必=12.6x.

由題意知，買鋼筆10支以下（含10支）沒有優惠，故此時的函數關系式為％=15x.

當買10支以上時，超出部分有優惠，故此時的函數關系式為及=15X10+15X80%（x-10）,

即y-i—12x+30.

（3）當力<修，即12.6_K12x+30時，解得水50；

當％=姓，即12.6x=12x+30時，解得x=50；

當%>%即12.6x>12x+30時，解得x〉50.

綜上所述，當購買獎品等于10件但少于50件時，買文具盒省錢；

當購買獎品等于50件時，買文具盒和買鋼筆錢數相等；

當購買獎品超過50件時，買鋼筆省錢.

類型四、利用函數知識進行方案設計

4.（2015?深圳模擬）將220噸物資從A地運往甲、乙兩地，用大、小兩種貨車共18輛，恰好一次

性運完這批物資，已知這兩種貨車的載重量分別為15（噸/輛）和10（噸/輛），運往甲、乙兩地的運費

如表1：

（1）求這兩種貨車各需多少輛？

（2）如果安排8輛貨車前往甲地，其余貨車前往乙地，設前往甲地的大貨車為a輛，填寫表2,寫出

運費w（元）與a的函數關系式.若運往甲地的物資不少于110噸，請設計出貨車調配方案，并求出最

少運費.

表1

甲地（元/輛）乙地（元/輛）

貨車(700800

小貨車400600

表2.

甲地乙地

大貨車a輛______輛

小貨車_____輛一輛

【思路點撥】

（1）設需要大貨車X輛，則需要小貨車（18-X）輛，根據兩種貨車的運貨總量為220噸建立方程求出

其解即可

（2）由安排8輛貨車前往甲地，其余貨車前往乙地，設前往甲地的大貨車為a輛，則甲地的小貨車為（8

-a）輛，乙地的大貨車為（8-a）輛，小貨車（2+a）輛，由總運費=兩地費用之和就可以表示會出W

與a的關系式，由運往甲地的物資不少于110噸建立不等式求出a的取值范圍，由一次函數的性質就可

以求出結論.

【答案與解析】

解：（1）設需要大貨車x輛，則需要小貨車（18-x）輛，由題意，得

15x+10（18-x）=220,

解得：x=8,

需要小貨車18-8=10輛.

答：需要大貨車8輛，則需要小貨車10輛；

（2）設前往甲地的大貨車為a輛，則甲地的小貨車為（8-a）輛，乙地的大貨車為（8-a）輛，小貨車

（2+a）輛，表格2答案為：大貨車去乙地（8-a）輛，小貨車去甲、乙兩地各（8-a）輛，（2+a）輛.

由題意，得

W=700a+800（8-a）+400（8-a）+600（2+a）,

W=100a+10800.

15a+10（8-a）>110,

a>6.

k=100>0,

??.W隨a的增大而增大，

a=6時，W1400,

,運往甲地的大貨車6輛，小火車2輛，運往乙地的大貨車2輛，小火車8輛.最小運費為11400輛.

【總結升華】

此題主要考查了一次函數的應用以及不等式的解法和一次函數的最值問題，根據題意用x表示出運

往各地的臺數是解決問題的關鍵.

類型五、利用幾何知識進行方案設計

（高清課堂：方案設計與決策型問題例1]

^^5.某區規劃修建一個文化廣場（平面圖形如圖所示），其中四邊形ABCD是矩形，分別以AB、BC、CD、

DA邊為直徑向外作半圓,若整個廣場的周長為628米，矩形的邊長AB=y米,BC=x米.（注：取n=3.14）

（1）試用含x的