關于剛體轉動及角動量第1頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三內容提要本章內容Contentschapter4剛體的定軸轉動rotationofrigid-bodywithafixedaxis剛體作定軸轉動時的功能關系relationofworkwithenergyinrotationofrigid-body角動量與角動量守恒angularmomentumandlawofconservationofangularmomentum剛體的角動量守恒lawofconservationofangularmomentumofrigid-body第2頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三第一節角動量與角動量守恒定律角動量與角動量守恒定律4-1angularmomentumandlawofconservationofangularmomentum一、角動量angularmomentumrOmv速度位矢質量角夾rv大量天文觀測表明rmvsin常量大?。篖rmvsin方向：rmv()rvL定義：rpLrmv運動質點mO對

點的角動量為角動量與角動量守恒定律角動量與角動量守恒定律Angularmomentumandlawofconservationofangularmomentum第3頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三問題的提出二、質點的角動量定理及其守恒定律theoremofparticalangularmomentumanditsconservation地球上的單擺大小會變變太陽系中的行星sin大小未必會變?？渴裁磁袛啵孔冏冏僺in大小角動量質點對點的問題的提出第4頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三質點角動量定理導致角動量隨時間變化的根本原因是什么？思路：分析與什么有關？由則兩平行矢量的叉乘積為零得角動量的時間變化率質點對參考點的位置矢量所受的合外力等于叉乘質點的角動量定理第5頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三微分形式是力矩的矢量表達：而即力矩大小sin方向垂直于所決定的平面，由右螺旋法則定指向。得質點對給定參考點的角動量的時間變化率所受的合外力矩稱為質點的角動量定理

的微分形式

如果各分力與O點共面，力矩只含正、反兩種方向。可設順時針為正向，用代數法求合力矩。第6頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三積分形式質點的角動量定理也可用積分形式表達由稱為沖量矩角動量的增量這就是質點的角動量定理

的積分形式例如，單擺的角動量大小為L=

mvr,v為變量。

在t=0時從水平位置靜止釋放，初角動量大小為L0=mv0r=0；時刻t

下擺至鉛垂位置，

角動量大小為L⊥

=

mv⊥r。則此過程單擺所受的沖量矩大小等于L-L0=mv⊥r=

mr2gr。第7頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三歸納歸納質點的角動量定理角動量的時間變化率所受的合外力矩沖量矩角動量的增量微分形式積分形式特例：當0時，有0即物理意義：當質點不受外力矩或合外力矩為零（如有心力作用）時，質點的角動量前后不改變。（后面再以定律的形式表述這一重要結論）第8頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三質點角動量守恒質點的角動量守恒定律根據質點的角動量定理

若則即常矢量當質點所受的合外力對某參考點的力矩為零時，質點對該點的角動量的時間變化率為零，即質點對該點的角動量守恒。質點的角動量守恒定律質點的角動量守恒定律稱為若質點所受的合外力的方向始終通過參考點，其角動量守恒。如行星繞太陽運動，以及微觀粒子中與此類似的運動模型，服從角動量守恒定律。第9頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三開普勒第二定律應用質點的角動量守恒定律可以證明開普勒第二定律行星與太陽的連線在相同時間內掃過相等的面積第10頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三定律證明證：時刻m對O的角動量大小為sin即因行星受的合外力總指向是太陽，角動量守恒。瞬間位矢掃過的微面積則常量（稱為掠面速率）故，位矢在相同時間內掃過的面積相等第11頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三質點系角動量三、質點系的角動量定理theoremofangularmomentumofparticalsystem質點系的角動量質點系的角動量各質點對給定參考點的角動量的矢量和慣性系中某給定參考點第12頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三質點系角動量定理質點系的角動量定理將對時間求導內力矩在求矢量和時成對相消內內外外某給定參考點內外外內外得外質點系的角動量的時間變化率質點受外力矩的矢量和質點系的角動量定理稱為微分形式第13頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三微、積分形式質點系的角動量定理將對時間求導內力矩在求矢量和時成對相消內內外外某給定參考點內外外內外得外質點系的角動量的時間變化率質點受外力矩的矢量和質點系的角動量定理稱為微分形式外質點系的角動量的時間變化率質點受外力矩的矢量和質點系的角動量定理的微分形式質點系所受的質點系的沖量矩角動量增量質點系的角動量定理的積分形式

若各質點的速度或所受外力與參考點共面，則其角動量或力矩只含正反兩種方向，可設順時針為正向，用代數和代替矢量和。第14頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三質點系角動量守恒質點系的角動量守恒定律外由若則或恒矢量當質點系所受的合外力矩為零時，其角動量守恒。第15頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三隨堂小議結束選擇（1）（2）（3）（4）兩人同時到達；用力上爬者先到；握繩不動者先到；以上結果都不對。（請點擊你要選擇的項目）兩人質量相等一人握繩不動一人用力上爬隨堂小議可能出現的情況是終點線終點線滑輪質量既忽略輪繩摩擦又忽略第16頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三小議鏈接1（請點擊你要選擇的項目）兩人質量相等一人握繩不動一人用力上爬隨堂小議可能出現的情況是終點線終點線滑輪質量既忽略輪繩摩擦又忽略結束選擇（1）（2）（3）（4）兩人同時到達；用力上爬者先到；握繩不動者先到；以上結果都不對。第17頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三小議鏈接2（請點擊你要選擇的項目）兩人質量相等一人握繩不動一人用力上爬隨堂小議可能出現的情況是終點線終點線滑輪質量既忽略輪繩摩擦又忽略結束選擇（1）（2）（3）（4）兩人同時到達；用力上爬者先到；握繩不動者先到；以上結果都不對。第18頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三小議鏈接3（請點擊你要選擇的項目）兩人質量相等一人握繩不動一人用力上爬隨堂小議可能出現的情況是終點線終點線滑輪質量既忽略輪繩摩擦又忽略結束選擇（1）（2）（3）（4）兩人同時到達；用力上爬者先到；握繩不動者先到；以上結果都不對。第19頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三小議鏈接4（請點擊你要選擇的項目）兩人質量相等一人握繩不動一人用力上爬隨堂小議可能出現的情況是終點線終點線滑輪質量既忽略輪繩摩擦又忽略結束選擇（1）（2）（3）（4）兩人同時到達；用力上爬者先到；握繩不動者先到；以上結果都不對。第20頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三小議分析同高從靜態開始往上爬忽略輪、繩質量及軸摩擦質點系若系統受合外力矩為零，角動量守恒。系統的初態角動量系統的末態角動量得不論體力強弱，兩人等速上升。若系統受合外力矩不為零，角動量不守恒?？蓱觅|點系角動量定理進行具體分析討論。第21頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三第二節剛體運動的分類rotationofrigid-bodywithafixedaxis剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動4-2

剛體：形狀固定的質點系（含無數質點、不形變、理想固體。）平動剛體任意兩點的連線保持方向不變。各點的相同，可當作質點處理。定軸轉動剛體每點繞同一軸線作圓周運動，且轉軸空間位置及方向不變。平面運動

剛體質心限制在一平面內，轉軸可平動，但始終垂直于該平面且通過質心定點運動

剛體上各質點都以某一定點為球心的各個球面上運動。一般運動

復雜的運動與平動的混合。rotationofrigidbodywithafixedaxis剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動第22頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三定軸轉動參量剛體轉軸1.角位置轉動平面（包含p并與轉軸垂直）(t)(t+△t)參考方向剛體中任一點剛體定軸轉動的運動方程2.角位移3.角速度常量靜止勻角速變角速4.角加速度變角加速常量勻角加速勻角速用矢量表示或時，它們與剛體的轉動方向采用右螺旋定則描述剛體定軸轉動的物理量描述剛體定軸轉動的物理量第23頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三轉動方程求導例題單位：rad-1rads-2rads已知rad

50p

51p

52p

53p1radstsrad100p150pst

50pp2radstsp解法提要-1rads-2rads勻變角速定軸轉動第24頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三積分求轉動方程已知任意時刻的恒量且

t

=0時得解法提要得或勻變角速定軸轉動的角位移方程勻變角速定軸轉動的運動方程第25頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三線量與角量的關系定軸轉動剛體在某時刻t

的瞬時角速度為，瞬時角加速度為，已知剛體中一質點P至轉軸的距離為r質點P

的大小瞬時線速度瞬時切向加速度瞬時法向加速度這是定軸轉動中線量與角量的基本關系解法提要第26頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三公式對比質點直線運動或剛體平動剛體的定軸轉動速度角速度加速度角加速度位移角位移勻速直線運動勻角速定軸轉動勻變速直線運動勻變角速定軸轉動第27頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三剛體轉動定律引言剛體的轉動定律剛體的轉動定律質點的運動定律或剛體平動F

=

m

a慣性質量合外力合加速度若剛體作定軸轉動，服從怎樣的運動定律？主要概念使剛體產生轉動效果的合外力矩剛體的轉動定律剛體的轉動慣量第28頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三合外力矩外力在轉動平面上對轉軸的力矩使剛體發生轉動M

=

r

×

F111力矩切向1FtFrM叉乘右螺旋1M2MM

=

r

×

F222M

=

r

F

sinj222大小2r2=2Ftd2=2F1M2M合外力矩=M+d22F大小M=d11F=r22Ftr11Ftr1=1FtM

=

r

F

sinj111大小1d1=1Fj1d1r1F1P1OF2r22FtP2j2d2切向一、外力矩與合外力矩方向第29頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三轉動定律某質元fi受內力受外力FiFi+f=aii其法向n分量均通過轉軸，不產生轉動力矩。t其切向投影式為ijFisin+ifsinqit=ai=ribtnFiOrifiijqi瞬時角速度角加速度瞬時等式兩邊乘以ri并對所有質元及其所受力矩求和=內力矩成對抵消=0+riifsinqi∑iFijsin∑ri合外力矩Mbri∑得Mbri∑=二、剛體的轉動定律第30頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三轉動慣量某質元fi受內力受外力FiFi+f=aii其法向n分量均通過轉軸，不產生轉動力矩。t其切向投影式為ijFisin+ifsinqit=ai=ribtnFiOrifiijqi瞬時角速度角加速度瞬時等式兩邊乘以ri并對所有質元及其所受力矩求和=內力矩成對抵消=0+riifsinqi∑iFijsin∑ri合外力矩Mbri∑得Mbri∑=二、剛體的轉動定律Mbri∑=與剛體性質及質量分布有關的物理量，用表示稱為轉動慣量I剛體的轉動定律即剛體所獲得的角加速度

的大小與剛體受到的

合外力矩的大小成正比，與剛體的轉動慣量成反比。第31頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三轉動慣量的計算二、轉動慣量及其計算Mb=I將剛體轉動定律與質點運動定律F=am對比轉動慣量是剛體轉動慣性的量度II∑

與剛體的質量、形狀、大小及質量對轉軸的分布情況有關質量連續分布的剛體用積分求I為體積元

處的密度II的單位為第32頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三分立質點的算例轉動慣量的計算舉例可視為分立質點結構的剛體轉軸

若連接兩小球（視為質點）的輕細硬桿的質量可以忽略，則∑轉軸∑sinsin0.75第33頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三直棒算例質量連續分布的剛體勻直細桿對中垂軸的勻直細桿對端垂軸的質心新軸質心軸平行移軸定理對新軸的轉動慣量對質心軸的轉動慣量新軸對心軸的平移量例如：時代入可得端第34頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三圓盤算例勻質薄圓盤對心垂軸的取半徑為微寬為的窄環帶的質量為質元第35頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三球體算例勻質實心球對心軸的可看成是許多半徑不同的共軸薄圓盤的轉動慣量的迭加距為、半徑為、微厚為的薄圓盤的轉動慣量為其中第36頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三常用結果LRmm勻質薄圓盤勻質細直棒轉軸通過中心垂直盤面22I=m

R123I=m

L1轉軸通過端點與棒垂直第37頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三其它典型勻質矩形薄板轉軸通過中心垂直板面I

=(a

+

b)22m12勻質細圓環轉軸通過中心垂直環面I

=

m

R

2勻質細圓環轉軸沿著環的直徑2I

=2m

R勻質厚圓筒轉軸沿幾何軸I

=(R1

+

R2

)22m2勻質圓柱體轉軸通過中心垂直于幾何軸mI

=

R

+

22m124L勻質薄球殼轉軸通過球心2I

=2m

R3第38頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三轉動定律例題一三、轉動定律應用選例合外力矩應由各分力矩進行合成。合外力矩與合角加速度方向一致。在定軸轉動中，可先設一個正軸向（或繞向），若分力矩與此向相同則為正，反之為復。與時刻對應，何時何時則何時，則何時恒定恒定。

勻直細桿一端為軸水平靜止釋放coscos第39頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三轉動定律例題二已知T1T2a（以后各例同）Rm1m2m輪軸無摩擦輕繩不伸長輪繩不打滑解法提要T2T1G1G2T2T1aabT1–m1

g=

m1am2

g–

T2=

m2a(

T2

–

T1)

R=Iba=RbI=mR22轉動平動線-角聯立解得a=m1m1+m2+

gm2m21gT1=m1(g+a)T2=m2(g–a)m1gm2g如果考慮有轉動摩擦力矩

Mr,則轉動式為(

T2

–

T1)

R

–

Mr=Ib再聯立求解。第40頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三轉動定律例題三Rm1m細繩纏繞輪緣Rm（A）（B）恒力F滑輪角加速度b細繩線加速度a解法提要（A）（B）第41頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三轉動定律例題四Rm1m2m已知m=5kgm2=1kgm1=3kgR=0.1mT2T1T1T2G1G2baa解法提要對m1m2m分別應用和質點運動和剛體轉動定律m1

g–T1=

m1aT2–

m2

g=

m2a(

T1

–

T2)

R=Ib及a=RbI=mR221得b

=(m1-m2)gR(m1+m2+m2)常量(m1-m2)gR(m1+m2+m2)故由(m1-m2)gR(m1+m2+m2)2

(rad)gt物體從靜止開始運動時，滑輪的轉動方程第42頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三轉動定律例題五已知qq從等傾角處靜止釋放兩勻直細桿地面兩者瞬時角加速度之比解法提要213sinq1sinq1321根據短桿的角加速度大且與勻質直桿的質量無關第43頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三第三節剛體定軸轉動的功能關系剛體定軸轉動的功能關系4-3relationofworkwithenergyinrotationofrigid-body∑剛體中任一質元的速率該質元的動能對所有質元的動能求和∑轉動慣量

II得剛體轉動動能公式一、轉動動能剛體定軸轉動的功能關系剛體定軸轉動的功能關系Relationofworkwithenergyinrotationofrigid-body第44頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三力矩的功二、力矩的功和功率力

的元功cossinsin力對轉動剛體所作的功用力矩的功來計算若在某變力矩的作用下，剛體由轉到，作的總功為力矩的瞬時功率第45頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三力矩的功算例撥動圓盤轉一周，摩擦阻力矩的功的大小解法提要總摩擦力矩是各微環帶摩擦元力矩的積分環帶面積環帶質量環帶受摩擦力環帶受摩擦力矩圓盤受總摩擦力矩轉一周摩擦力矩的總功得已知粗糙水平面轉軸平放一圓盤第46頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三剛體的動能定理三、剛體轉動的動能定理回憶質點的動能定理剛體轉動的動能定理由

力矩的元功轉動定律則合外力矩的功轉動動能的增量剛體轉動的動能定理稱為第47頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三動能定理例題一勻質圓盤盤緣另固連一質點水平靜止釋放通過盤心垂直盤面的水平軸圓盤下擺時質點的角速度、切向、法向加速度的大小解法提要對系統外力矩的功系統轉動動能增量其中sin得由轉動定律得cos則第48頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三動能定理例題二解法提要外力矩作的總功cos從水平擺至垂直由得代入得本題利用的關系還可算出此時桿上各點的線速度已知水平位置靜止釋放擺至垂直位置時桿的勻直細桿一端為軸第49頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三動能定理例題三解法提要段，外力矩作正功cos段，外力矩作負功cos∑合外力矩的功從水平擺至垂直由得轉軸對質心軸的位移

代入得已知擺至垂直位置時桿的水平位置靜止釋放第50頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三含平動的轉動問題四、含的功能原理質點平動剛體定軸轉動機械外力非保守內力矩力力矩動勢動勢平動轉動平動轉動系統（輪、繩、重物、地球）左例忽略摩擦外力力矩非保守內力矩力平動轉動勢平動轉動勢可求或此外勢第51頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三第四節剛體的角動量守恒定律4-4lawofconservationofangularmomentumofrigid-body剛體的角動量剛體的角動量定軸轉動剛體的角動量定軸轉動剛體的角動量是無數質點對公共轉軸的角動量的疊加

所有質點都以其垂軸距離為半徑作圓周運動任一質元（視為質點）的質量其角動量大小全部質元的總角動量∑∑對質量連續分布的剛體∑定軸轉動剛體的角動量大小方向與同繞向或與沿軸同指向角動量第52頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三剛體的角動量定理1.剛體的角動量定理合外力矩角動量的時間變化率（微分形式）（積分形式）沖量矩角動量的增量剛體的角動量定理剛體的角動量定理回憶質點的角動量定理（微分形式）（積分形式）第53頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三剛體系統的角動量定理2.剛體系統的角動量定理若一個系統包含多個共軸剛體或平動物體系統的總合外力矩∑∑系統的總角動量的變化率系統的總沖量矩系統的總角動量增量∑系統：輕繩（忽略質量）總合外力矩對O的角動量對O的角動量∑∑∑由得同向而解得例如靜止釋放求角加速度第54頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三主要公式歸納剛體（微分形式）（積分形式）剛體系統角動量定理∑∑∑剛體的歸納：角動量關鍵式：是矢量式與質點平動對比第55頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三剛體的角動量守恒定律剛體的角動量守恒定律剛體的角動量守恒定律剛體的角動量定理由剛體所受合外力矩若則即常矢量

當剛體所受的合外力矩等于零時，

剛體的角動量保持不變。剛體的角動量守恒定律第56頁，講稿共65頁，2023年5月2日，星期三回轉儀定向原理萬向支架受合外力矩為零回轉體質量呈軸對稱分布；軸摩擦及空氣阻力很小。角動量守恒恒矢量回轉儀定向原理其中轉動慣量為常量若將回轉體轉軸指向任一方向使其以角速度高速旋轉則轉軸將保持該方向不變而不會