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文檔簡介
2023年全國碩士研究生招生考試考研《數(shù)學一》真題及詳解
一、選擇題:1~10小題,每小題5分,共50分。下列每題給出的四個選項中,只有一個選項是符合
題目要求的,請將所選選項前的字母填在答題卡指定位置。
1.曲線y=xln(e+_L]的漸近線方程為()。
A.y=x+e
B.y=x+1/e
C.y=x
D.y=x—1/e
【答案】B
【解析】由已知y=xln,則可得:
k=lim2.=limlimln
XfQO
b=lim\y-kx)=limlimx
limxInlim——=—
X->00
所以斜漸近線方程為y=x+1/eo
2.若微分方程y〃+ay,+by=O的解在(一8,十8)上有界,貝ij()。
A.a<0,b>0
B.a>0,b>0
C.a=0,b>0
D.a=0,b<0
【答案】c
【解析】由題意,微分方程的特征方程為Q+a入+b=0。
當A=a2—4b>0時,特征方程有兩個不同的實根%,%,則%,%至少有一個不等于零。
若C,都不為零,則微分方程的解為y=+因此,此時不能有解在(一8,十8)
12I2
上有界。
當A=a2-4b=0時,特征方程有兩個相同的實根\2=-a/2o
若C,#0,則微分方程的解為y=Ce-N+CeT。因此,此時不能有解在(-8,+o=)上有界。
2I2
、a,J4b-a2.
當A=a2—4bV0時,特征方程的根為入=一.±c
1,222
a(」4b—a2一〃2
則通解為),=6-2,Ccos-------x+Csin-------X
~1222
/
要使微分方程的解在(-8,+8)有界,則a=0,結(jié)合A=a2—4b<0,可得b>0。
x=2r+|r|
3.設(shè)函數(shù)y=f(x)由確定,則()。
y=|/|sin/
A.f(x)連續(xù),f(0)不存在
B.f(0)存在,f(x)在x=0處不連續(xù)
c.f(x)連續(xù),r(o)不存在
D.r(o)存在,r(x)在x=o處不連續(xù)
【答案】C
..、皿,x=3tdysin/+1cosr
【解析】(1)當t>0時,{,—=----------
y=tsintdx3
x-tdy_一sinfTeos/
當tvo時,
y=-tsintdx1
當t=0時,因為/'(0)=lim/(')'(o'=lim八汨).0。
x->0+*nO+3’
r/(工)-/(。)r-tsint
fk07=hm-----------=lim------=0。
*_>0-X/->0-t
所以?(0)=0。
,八r,,/、i-sinr+rcosz(\-sinr-rcosz
(2)因為hmf=lim----------=0;hmf=lim------------=0n。
XTO+/->0+3x->0--()■3
所以lim/'(x)=/'(0)=0,即f(x)在x=0連續(xù)。
x->()
,……心-"(0)「sinz+rcost2
(3)當t=0時,因為/\0/=lim-----------=lim-----------=—;
x~>0+xr~>0+3,3,9
i-/'(X)-/'(0)r-sinr-rcosr
f\07=lim=hm------------=-2o
x70-XITO-t
故〃(0)。/"(0)。
4--
所以V(0)不存在。
4.已知緣<,(n=L2,???),若級數(shù)與£b均收斂,則”級數(shù)絕對收斂”是“Eb
n=ln=ln=ln=l
絕對收斂”的()。
A.充分必要條件
B.充分不必要條件
C.必要不充分條件
D.既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】由級數(shù)與Eb均收斂,可得-a)為收斂的正項級數(shù),進而絕對收斂。
nnnn
n=\n=ln=l
若Za“絕對收斂,則由心|=|\一an+aJW1bli—aj+同與比較判別法,可得£乙絕對收斂。
M=1n=l
若“絕對收斂,則由輯尸兒一\+\閆口』11|+切與比較判別法,可得“絕對收斂。
n=ln=l
5.已知n階矩陣A,B,C滿足ABC=O,E為n階單位矩陣,記矩陣,
[BCE)l。E)
AB}
3°J的秩分別為為,丫2,力,貝1J()。
A?產(chǎn)丫2q3
B
-YI^Y3^Y2
C.Y3^Y,^Y2
D?狀行丫3
【答案】B
【解析】因初等變換不改變矩陣的秩。由矩陣的初等變換可得:
OA、(-ABCO\(O
->->,因此%=:n
[BCE)(8CE)[BCE)1o
(ABC\(AB0}
f,因此y,=r(AB)+r(E)=n+r(AB)o
[0E)[0E)
(EAB\(E0\(E0、
―>—>,因此Y3=r(ABAB)+n〈r(AB)+n。
(A30)-ABAB)(O-ABAB)
故選擇B項。
6.下列矩陣中不能相似于對角矩陣的是()。
(14、
A.022
、003,
'114、
B.120
、a03,
」1a、
C.020
、002,
’11a
D.022
、002,
【答案】D
【解析】A項,矩陣的特征值為1,2,3,互不相同,可相似對角化。
B項,矩陣為實對稱矩陣,可相似對角化。
C項,矩陣特征值為1,2,2,二重特征值的重數(shù)2=3—r(C—2E),可相似對角化。
D項,矩陣特征值為1,2,2,二重特征值的重數(shù)2#3-r(D—2E),不可相似對角化。
故選擇D項。
既可由a,a線性表示,也可由斯,
’3、
B.k5,keR
JO,
'-1、
C.k1,k&R
、2,
【答案】D
xaxa
【解析】設(shè)=xIa+x2a=y/i+y2P2,則i+2―丫他一丫2打=°。又
’12-2-r’1003、
(a,a,-P,-P)=21-50010-1
1212
(31—9-L<001
故可得:
R
所以可得:
eR
8.設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為1的泊松分布,則E(IX-EXI)=()o
A.1/e
B.1/2
C.2/e
D.1
【答案】C
,,[1,x=o
【解析】方法1:由題意可知EX=1,所以X—EX={。故可得:
E|X—EX|=l.p{x=0}+£Q—1)尸{X=6
k=\
=1+£(左一1)尸{x=左}—(o-l)p{x=o}
e
k=0
=1+E(X-1)-(O-1)1
ee
=1+EX-1-(O-1)1
ee
_2
=7
因此選c項。
方法2:隨機變量X服從參數(shù)為1泊松分布,即P(X=A)=1eTa=0,l,2,...),期望E(X)=1。
故可得:
(|X-£(X)|)=E(|X-1|)=1?._1le-i+O-le-i+l-_Le-i+...+
E(k-1),—+...
1!2!k\
=e-i+SG-I)_L-I
k\
k=2
=e-i+E££-i-X_L-i
k\kl
k=2k=2
—?-1+-6-1
U-1)!k\
k=2A=2
=e-i+(e-l)e-i-(e-l-l)e-i
=2e-i
因此選C項。
9.設(shè)X『X,…,X。為來自總體N(內(nèi),a)的簡單隨機樣本,Y1,Y,
22Ym為來自總體N(H2,
S2=_LZ(X-X),
202)的簡單隨機樣本,且兩樣本相互獨立,記》=_LEx,F=lXy,
n?m1>n-1i
/=1/=ii=\
S2=__LE(r-y),則()。
2m-\i
1=1
A.F(幾/n)
2
B.
2
C.等~5)
2
尸()7—1,機一1)
D.?
2
【答案】D
由題意,X,,x2)-,\的樣本方差為5;=工工&,一》)
【解析】
…,Y的樣本方差為S:,:ZG.y).
Y「丫2,
n2m-1i
i=\
G-1)S2
則由抽樣分布定理,可得___________L~%2(〃-1),(3二"工~%2(加一1),且兩個樣本相互獨立。
02202
所以可得:
("OS;/—)
/_______521G2252
%一昵/(加_])S212GzS2
22
2。2
故選擇D項。
10.設(shè)X1,X2為來自總體N(巾02)的簡單隨機樣本,其中◎(◎>())是未知參數(shù),若O=a|X|—X
為◎的無偏估計,則2=()。
A.昱
戶
B.
2
C.
D.市
【答案】A
【解析】由題意可知X1一X2?N(0,202)。令Y=X1—X2,則Y的概率密度為:
/(y)=1
____e2?2CT2
iv22f_V22o
麗)=1dy-________J討ye%?dy=___
-x)o'/
G|X-X\)=aE(^Y\)=a-
因此,EQ
1/
I為◎的無偏估計,即E(◎)=6,因此4=*,。故選擇A項。
由o=a|X「X,
二、填空題:11?16小題,每小題5分,共30分。
11.當X-0時,函數(shù)f(x)=ax+bx2+ln(l+x)與g(x)=eN-cosx是等價無窮小,則ab=
【答案】-2
【解析】
「/G),,++ln(l+x)「ax+bx2+x——x2+o
lim/\=hm=hm2
zogUJioe^2-cosxx—o
a+1=
則有Li
故ab=—2o
h--==2
22
12.曲面z=x+2y+ln(l+x2+y2)在點(0,0,0)處的切平面方程為。
【答案】x+2y—z=0
【解析】記F(x,y,z)=x+2y+ln(l+x2+y2)—z,則法向量為:
n=(F;F',F')=[1+2*,2+,-l
xyzI1+工2+y2l+x2+y2,
因此在點(0,0,0)處的法向量為(1,2,—1),即切平面方程為x+2y—z=0。
13.設(shè)f(x)為周期為2的周期函數(shù),且f(x)=1—x,xe[0,1],若/(x)=3+Xacosmix,
2〃
n=l
則£〃=
2n
n=l
【答案】0
【解析】由f(X)展開為余弦級數(shù)知,f(x)為偶函數(shù)。由傅里葉系數(shù)計算公式有:
=2c(1-x)cosnnxdx
a
n(ff)
=2j'cosnTTxdx-J'xcosn7rx(lxz
00
,Lf'xdsinnTtx
=2___sinmix
〃兀〃兀o
V0
=-Af'xdsinnKx
〃兀
2xsin/iKxl1——sin〃兀xdxJ
miI。o
Aj'sinnTtxdbc
河o
----cos〃兀葉
〃2兀2h
〃2兀2
故=£--i—(cosInn-1)=0。
2〃2〃2兀2
/:=!n=\
14.設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(x+2)—f(x)=x,J2/Q)ir=O,則J"(x)ir=
oi
【答案】1/2
【解析】
卜/GL=J2/GL+J"GL
=J2"xL+J"G+2)dt
x=Z+2J2/G)lx+J,/(x+2)lx
=J?/(x)jx+G)+x.
=f2/G)ir+f"(xMr+/xdx
=f2/G)1Y+fxdx
「°
=J1AXk
0
1
2
T'-八<0>T、
0-111
15.已知向量a=,(X=,a=>P=,=k]Q+勺<1+01,若Ta=pia
11203-11
3
(i=l,2,3),則1<[2+1<22+1<32=o
【答案】11/9
【解析】Ta=0TQ=l=k](xTa+k?aTa+k3aT?=l=>k1?3+k2?0+k3?0=l=k]=l/3。
ra=pia=-3=>kjaT?+k2aTa+k3aTa=-3=>k2=-1o
Ta=pTa=-l=k](iTa+k2aTa+k3aTa=-l=>k2=-l/3o
所以,k^+k^+k^^ll/Qo
16.設(shè)隨機變量X與Y相互獨立,且X?B(1,1/3),Y?B(2,1/2)則P{X=Y}=
【答案】1/3
【解析】
p{x=y}=p{x=o,y=O}+P{X=i,y=i}
=p{x=o}尸{y=O}+P{X=i}尸{y=1}
三、解答題:17?22小題,共70分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(本題滿分10分)設(shè)曲線y=y(x)(x>0)經(jīng)過點(1,2),該曲線上任一點P(x,y)至Uy軸
的距離等于該點處的切線在y軸上的截距。
(1)求y(x);
(2)求函數(shù)/(x)=在(0,4-00)上的最大值。
1
解:(1)設(shè)曲線在點(x,y)處的切線方程為Y—y=y,(x—x)。
故切線在y軸上的截距為y—y'x,由題意可知x=y-y\o
由一階線性微分方程通解公式可得:
y=C+J—J小=x(c-lnx)
\/
其中C為任意常數(shù)。將(1,2)代入可得C=2,即y(x)=x(2-lnx)o
(2)由(1)知/G)=J?(2—,故F(x)=x(2—Inx)令P(x)=0,則駐點為x=e2。
i
當0〈x〈e2時,f(x)>0;當x>e2時,f(x)<0,故f(x)在x=e2處取得極大值,同時也取得
最大值,且最大值為:/。2)=>x(2—lnxhx=:e4—:。
144
18.(本題滿分12分)求函數(shù)f(x,y)=(y—X2)(y—x3)的極值。
解:根據(jù)
解得駐點為(0,0),(1,1),(2/3,10/27)o
又?'=—(2y+3xy—5x3)—x(3y—15x2),=—x(2+3x),F=2。
xxxyyy
A=r=o
XX
在(0,0)處,‘8=/9=°,則AC-B2=0,故充分條件失效,當Xf0時,取y=x2+kx3(k>0),
C=f=2
Iyy
f(x,y)=(y—X2)(y—x3)=kx3[x2+(k—1)x3]=kxs+o(X5)o
/G,y)+oCxs)
則lim---=lirn-----------=k>Q9由極限的局部保號性:存在3>0,當x£(—3,0)時,
XT。X5XTO
3>0,02>o,
(x,y)<0=f(0,0),當xe(0,8)時,(x,y)>0=f(0,0),
X5X5
故(0,0)不是極值點。
A=fn=n
XX
在(1,1)處,18=/:=—5,則AC-B2=-1V0,故(1,1)不是極值點。
c=f"=2
iyy
_100
XV一而
8
在(2/3,10/27)處,B=f"--則AC-B2=8/27>0且A>0,故(2/3,10/27)是極小值點。
xy3
c=f"=2
yy
故f(2/3,10/27)=-4/729為極小值。
19.(本題滿分12分)設(shè)空間有界區(qū)域。中,柱面x2+y2=l與平面z=0和x+z=l圍成,£為。邊
界的外側(cè),計算曲面積分
sinxckdy
解:由高斯公式可得:
/=W(2z
-xzsiny+3ysinx)dV
c
。關(guān)于xOz面對稱,一zsiny+ysinx是關(guān)于y的奇函數(shù),因此可得:
/J02zdV=jjckdji2zdz=JJ(1-尤>dxdy(D:X2+y2<1)
0xy
QDD
xyxy
=ffG-2x+X2)cbdy二冗+3Q+尹)ckdy
D
xy%
7i+1J2"dof'ndr=7i+71571
2oo4=H
20.(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)在[—a,a]上具有2階連續(xù)導數(shù),證明:
(1)若f(x)=0,則存在[C(-a,a),使得
⑵若f(x)在(-a,a)內(nèi)取得極值,則存在r)e(—a,a),使得,。2彳6J(a)-/(-a)|。
解:(i)/(x)=/(o)+((o)x+,])x2=r(o)x+,%)x2,n介于0與x之間。則可得:
/(a)=尸(0)Q)+';;)a2,0<r|]<a①
/(一a)=/<0)(-a)+'般12,一“<為<0(2)
由①+②得:f(?)+f(-?)=y[/ff(n,)+f"(n,)]③
又F(x)在[叫,上連續(xù),則必有最大值M與最小值m,即mWF(%)WM;mWf"(7)WM。
從而tn<----w------<M。
r'G)+/"(n)匕、
由介值定理得,存在[可34]u(-a,a),有:^_T__-=/”也),代入③得:
r?(^\/G)+/(-a)
f(a)+f(-a)=a2『(&),即/電)=-------------。
Q2
(2)設(shè)f(x)在x=Xo6(—a,a)處取得極值,且f(x)在x=x0可導,則F(xQ)=0。
所以/(x)=/(x)+/'(x)G-X)+/g)G—x>=/(x)+:'W(x-x》,丫介于0與*之
間,代入x=a,x=-a,可得:
/(-〃)=/(x)+'.”[(-a-x一,一avy<0
o2!oi
/(a)=/(x)+‘(,2)(a-x),0<Y<a
o2!o2
從而可得:
|/G)-/(-a)|=1G-x))2/"("-gQ+x。)27"("
又『(x)I連續(xù),貝U:
|/(?)-/(-?^<\-M(a+x^)2+LM-x=MC72+尤2)
|
其中M=max{『(Y|)|,|f(y2)|)?
又XQW(-a,a),故|f(a)—f(-a)|WM(a2+x02)<2Ma2,則M2J/Q)一/(一a),即存
在T|=Y1或11=丫26(—a,a),使得/。
21.(本題滿分12分)已知二次型f(x「x,,X3)=X12+2X22+2X32+2X1X2—2X]X3,g(y/y2,y3)
=y12+y22+y32+2y2y3?
(1)求可施變換x=Py,將f(xjx2,X3)化為g(y1(y2,y3);
(2)是否存在正交變換x=Qy,將f(xjx2,X3)化為g(y/y2,y3)<)
解:(1)由配方法得:
f(Xj,X2,X3)=xi2+2x22+x32+2xjx2-2XJX3
XXX
=(x[+x2—x3)2+22+32+22X3
=(Xj+x2-X3)2+(x2+x3)2
z=x+x-X
1123
令《Z=X+X,則f(X,,X.,X.)=Z.2+z02o
22312312
z=x
I33
f11-lYx>
1
即z=011,使得f(X.,X),X.)=Z2+Z2O
2X2123129
1人V
U3J100
再將g(X,丫2,y3)化為規(guī)范形。
g(y/丫2,y3)=yI2+y22+y32+2y2y3=y12+(y2+y3)2
z=y
11
令<21=);+?3,則g(yry2,y3)
z=y
i33
使得g(y/y2-y3)=z『+z22。
xq00、
i(y1}
xo11匕
2
X05
3L
x\y、1-1A-iU00、1-1i、
i
故可得x=Py,其中P=01101101o為所求矩陣。
22
X5,001、001,00
3
可將f(X1,X2,X3)化為g(yry2,y3)o
(11-1\
(2)二次型f(X1,x2,x3)為人=120
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