2023年全國碩士研究生招生考試考研《數學一》真題及詳解

一、選擇題：1~10小題，每小題5分，共50分。下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合

題目要求的，請將所選選項前的字母填在答題卡指定位置。

1.曲線y=xln（e+_L］的漸近線方程為（）。

A.y=x+e

B.y=x+1/e

C.y=x

D.y=x—1/e

【答案】B

【解析】由已知y=xln，則可得:

k=lim2.=limlimln

XfQO

b=lim\y-kx)=limlimx

limxInlim——=—

X->00

所以斜漸近線方程為y=x+1/eo

2.若微分方程y〃+ay，+by=O的解在（一8,十8）上有界，貝ij（）。

A.a<0,b>0

B.a>0,b>0

C.a=0,b>0

D.a=0,b<0

【答案】c

【解析】由題意，微分方程的特征方程為Q+a入+b=0。

當A=a2—4b>0時，特征方程有兩個不同的實根%,%，則%,%至少有一個不等于零。

若C,都不為零，則微分方程的解為y=+因此，此時不能有解在（一8,十8）

12I2

上有界。

當A=a2-4b=0時，特征方程有兩個相同的實根\2=-a/2o

若C,#0,則微分方程的解為y=Ce-N+CeT。因此，此時不能有解在（-8,+o=）上有界。

2I2

、a,J4b-a2.

當A=a2—4bV0時，特征方程的根為入=一.±c

1,222

a（」4b—a2一〃2

則通解為），=6-2，Ccos-------x+Csin-------X

~1222

/

要使微分方程的解在(-8,+8)有界，則a=0,結合A=a2—4b<0,可得b>0。

x=2r+|r|

3.設函數y=f(x)由確定，則()。

y=|/|sin/

A.f(x)連續，f(0)不存在

B.f(0)存在，f(x)在x=0處不連續

c.f(x)連續，r(o)不存在

D.r(o)存在，r(x)在x=o處不連續

【答案】C

..、皿,x=3tdysin/+1cosr

【解析】（1）當t>0時，｛，—=----------

y=tsintdx3

x-tdy_一sinfTeos/

當tvo時,

y=-tsintdx1

當t=0時，因為/'（0）=lim/（'）'（o'=lim八汨）.0。

x->0+*nO+3’

r/（工）-/（。）r-tsint

fk07=hm-----------=lim------=0。

*_>0-X/->0-t

所以？（0）=0。

,八r，，/、i-sinr+rcosz（\-sinr-rcosz

（2）因為hmf=lim----------=0；hmf=lim------------=0n。

XTO+/->0+3x->0--（）■3

所以lim/'（x）=/'（0）=0,即f（x）在x=0連續。

x->（）

，……心-"（0）「sinz+rcost2

（3）當t=0時，因為/\0/=lim-----------=lim-----------=—；

x~>0+xr~>0+3,3，9

i-/'（X）-/'（0）r-sinr-rcosr

f\07=lim=hm------------=-2o

x70-XITO-t

故〃（0）。/"（0）。

4--

所以V（0）不存在。

4.已知緣<，(n=L2,???),若級數與￡b均收斂，則”級數絕對收斂”是“Eb

n=ln=ln=ln=l

絕對收斂”的()。

A.充分必要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】由級數與Eb均收斂，可得-a)為收斂的正項級數，進而絕對收斂。

nnnn

n=\n=ln=l

若Za“絕對收斂，則由心|=|\一an+aJW1bli—aj+同與比較判別法，可得￡乙絕對收斂。

M=1n=l

若“絕對收斂，則由輯尸兒一\+\閆口』11|+切與比較判別法，可得“絕對收斂。

n=ln=l

5.已知n階矩陣A,B,C滿足ABC=O,E為n階單位矩陣，記矩陣，

[BCE)l。E)

AB}

3°J的秩分別為為，丫2,力，貝1J()。

A?產丫2q3

B

-YI^Y3^Y2

C.Y3^Y,^Y2

D?狀行丫3

【答案】B

【解析】因初等變換不改變矩陣的秩。由矩陣的初等變換可得：

OA、(-ABCO\(O

->->，因此％=:n

[BCE)(8CE)[BCE)1o

(ABC\(AB0}

f,因此y,=r(AB)+r(E)=n+r(AB)o

[0E)[0E)

(EAB\(E0\(E0、

―>—>，因此Y3=r(ABAB)+n〈r(AB)+n。

(A30)-ABAB)(O-ABAB)

故選擇B項。

6.下列矩陣中不能相似于對角矩陣的是()。

(14、

A.022

、003,

'114、

B.120

、a03,

」1a、

C.020

、002,

’11a

D.022

、002,

【答案】D

【解析】A項，矩陣的特征值為1,2,3,互不相同，可相似對角化。

B項，矩陣為實對稱矩陣，可相似對角化。

C項，矩陣特征值為1,2,2,二重特征值的重數2=3—r(C—2E),可相似對角化。

D項，矩陣特征值為1,2,2,二重特征值的重數2#3-r(D—2E),不可相似對角化。

故選擇D項。

既可由a,a線性表示，也可由斯,

’3、

B.k5,keR

JO,

'-1、

C.k1,k&R

、2,

【答案】D

xaxa

【解析】設=xIa+x2a=y/i+y2P2,則i+2―丫他一丫2打=°。又

’12-2-r’1003、

(a,a,-P,-P)=21-50010-1

1212

(31—9-L<001

故可得:

R

所以可得:

eR

8.設隨機變量X服從參數為1的泊松分布，則E（IX-EXI）=（）o

A.1/e

B.1/2

C.2/e

D.1

【答案】C

,,[1,x=o

【解析】方法1：由題意可知EX=1,所以X—EX={。故可得：

E|X—EX|=l.p{x=0}+￡Q—1）尸{X=6

k=\

=1+￡（左一1）尸{x=左}—（o-l）p{x=o}

e

k=0

=1+E（X-1）-（O-1）1

ee

=1+EX-1-（O-1）1

ee

_2

=7

因此選c項。

方法2：隨機變量X服從參數為1泊松分布，即P（X=A）=1eTa=0,l,2,...）,期望E（X）=1。

故可得:

(|X-￡(X)|)=E(|X-1|)=1?._1le-i+O-le-i+l-_Le-i+...+

E(k-1)，—+...

1!2!k\

=e-i+SG-I)_L-I

k\

k=2

=e-i+E￡￡-i-X_L-i

k\kl

k=2k=2

—?-1+-6-1

U-1)!k\

k=2A=2

=e-i+(e-l)e-i-(e-l-l)e-i

=2e-i

因此選C項。

9.設X『X,…，X。為來自總體N（內，a）的簡單隨機樣本，Y1,Y,

22Ym為來自總體N(H2,

S2=_LZ(X-X),

202）的簡單隨機樣本，且兩樣本相互獨立，記》=_LEx,F=lXy,

n?m1>n-1i

/=1/=ii=\

S2=__LE(r-y)，則()。

2m-\i

1=1

A.F(幾/n)

2

B.

2

C.等~5)

2

尸()7—1，機一1)

D.?

2

【答案】D

由題意，X,,x2）-,\的樣本方差為5；=工工&,一》）

【解析】

…，Y的樣本方差為S：，:ZG.y).

Y「丫2,

n2m-1i

i=\

G-1)S2

則由抽樣分布定理，可得___________L~%2(〃-1),(3二"工~%2(加一1),且兩個樣本相互獨立。

02202

所以可得:

（"OS；/—）

/_______521G2252

%一昵/（加_］）S212GzS2

22

2。2

故選擇D項。

10.設X1,X2為來自總體N(巾02)的簡單隨機樣本，其中◎(◎>())是未知參數，若O=a|X|—X

為◎的無偏估計，則2=()。

A.昱

戶

B.

2

C.

D.市

【答案】A

【解析】由題意可知X1一X2?N(0,202)。令Y=X1—X2，則Y的概率密度為:

/(y)=1

____e2?2CT2

iv22f_V22o

麗）=1dy-________J討ye%?dy=___

-x）o'/

G|X-X\）=aE（^Y\）=a-

因此，EQ

1/

I為◎的無偏估計，即E(◎)=6,因此4=*,。故選擇A項。

由o=a|X「X,

二、填空題：11?16小題，每小題5分，共30分。

11.當X-0時，函數f(x)=ax+bx2+ln(l+x)與g(x)=eN-cosx是等價無窮小，則ab=

【答案】-2

【解析】

「/G),,++ln(l+x)「ax+bx2+x——x2+o

lim/\=hm=hm2

zogUJioe^2-cosxx—o

a+1=

則有Li

故ab=—2o

h--==2

22

12.曲面z=x+2y+ln(l+x2+y2)在點(0,0,0)處的切平面方程為。

【答案】x+2y—z=0

【解析】記F(x,y,z)=x+2y+ln(l+x2+y2)—z,則法向量為：

n=(F；F',F')=[1+2*,2+,-l

xyzI1+工2+y2l+x2+y2,

因此在點(0,0,0)處的法向量為(1,2,—1),即切平面方程為x+2y—z=0。

13.設f(x)為周期為2的周期函數，且f(x)=1—x,xe[0,1],若/(x)=3+Xacosmix,

2〃

n=l

則￡〃=

2n

n=l

【答案】0

【解析】由f(X)展開為余弦級數知，f(x)為偶函數。由傅里葉系數計算公式有:

=2c(1-x)cosnnxdx

a

n(ff)

=2j'cosnTTxdx-J'xcosn7rx(lxz

00

,Lf'xdsinnTtx

=2___sinmix

〃兀〃兀o

V0

=-Af'xdsinnKx

〃兀

2xsin/iKxl1——sin〃兀xdxJ

miI。o

Aj'sinnTtxdbc

河o

----cos〃兀葉

〃2兀2h

〃2兀2

故=￡--i—(cosInn-1)=0。

2〃2〃2兀2

/:=!n=\

14.設連續函數f(x)滿足f(x+2)—f(x)=x,J2/Q)ir=O,則J"(x)ir=

oi

【答案】1/2

【解析】

卜/GL=J2/GL+J"GL

=J2"xL+J"G+2)dt

x=Z+2J2/G)lx+J,/(x+2)lx

=J?/(x)jx+G)+x.

=f2/G)ir+f"(xMr+/xdx

=f2/G)1Y+fxdx

「°

=J1AXk

0

1

2

T'-八<0>T、

0-111

15.已知向量a=，(X=，a=>P=，=k]Q+勺<1+01,若Ta=pia

11203-11

3

(i=l,2,3),則1<[2+1<22+1<32=o

【答案】11/9

【解析】Ta=0TQ=l=k](xTa+k?aTa+k3aT?=l=>k1?3+k2?0+k3?0=l=k]=l/3。

ra=pia=-3=>kjaT?+k2aTa+k3aTa=-3=>k2=-1o

Ta=pTa=-l=k](iTa+k2aTa+k3aTa=-l=>k2=-l/3o

所以，k^+k^+k^^ll/Qo

16.設隨機變量X與Y相互獨立，且X?B(1,1/3),Y?B(2,1/2)則P{X=Y}=

【答案】1/3

【解析】

p{x=y}=p{x=o,y=O}+P{X=i,y=i}

=p{x=o}尸{y=O}+P{X=i}尸{y=1}

三、解答題：17?22小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(本題滿分10分)設曲線y=y(x)(x>0)經過點(1,2),該曲線上任一點P(x,y)至Uy軸

的距離等于該點處的切線在y軸上的截距。

(1)求y(x)；

(2)求函數/(x)=在(0,4-00)上的最大值。

1

解：(1)設曲線在點(x,y)處的切線方程為Y—y=y，(x—x)。

故切線在y軸上的截距為y—y'x,由題意可知x=y-y\o

由一階線性微分方程通解公式可得：

y=C+J—J小=x(c-lnx)

\/

其中C為任意常數。將(1,2)代入可得C=2,即y(x)=x(2-lnx)o

(2)由(1)知/G)=J?(2—,故F(x)=x(2—Inx)令P(x)=0,則駐點為x=e2。

i

當0〈x〈e2時，f(x)>0；當x>e2時，f(x)<0,故f(x)在x=e2處取得極大值，同時也取得

最大值，且最大值為：/。2)=>x(2—lnxhx=：e4—：。

144

18.(本題滿分12分)求函數f(x,y)=(y—X2)(y—x3)的極值。

解：根據

解得駐點為(0,0),(1,1),(2/3,10/27)o

又？'=—(2y+3xy—5x3)—x(3y—15x2),=—x(2+3x),F=2。

xxxyyy

A=r=o

XX

在(0,0)處，‘8=/9=°,則AC-B2=0,故充分條件失效，當Xf0時，取y=x2+kx3(k>0),

C=f=2

Iyy

f(x,y)=(y—X2)(y—x3)=kx3[x2+(k—1)x3]=kxs+o(X5)o

/G,y)+oCxs)

則lim---=lirn-----------=k>Q9由極限的局部保號性：存在3>0,當x￡(—3,0)時,

XT。X5XTO

3>0,02>o,

(x,y)<0=f(0,0),當xe(0,8)時,(x,y)>0=f(0,0),

X5X5

故（0,0）不是極值點。

A=fn=n

XX

在(1,1)處，18=/：=—5,則AC-B2=-1V0,故(1,1)不是極值點。

c=f"=2

iyy

_100

XV一而

8

在(2/3,10/27)處,B=f"--則AC-B2=8/27>0且A>0,故(2/3,10/27)是極小值點。

xy3

c=f"=2

yy

故f(2/3,10/27)=-4/729為極小值。

19.（本題滿分12分）設空間有界區域。中，柱面x2+y2=l與平面z=0和x+z=l圍成，￡為。邊

界的外側，計算曲面積分

sinxckdy

解：由高斯公式可得:

/=W(2z

-xzsiny+3ysinx)dV

c

。關于xOz面對稱，一zsiny+ysinx是關于y的奇函數，因此可得:

/J02zdV=jjckdji2zdz=JJ（1-尤>dxdy（D：X2+y2<1）

0xy

QDD

xyxy

=ffG-2x+X2）cbdy二冗+3Q+尹）ckdy

D

xy%

7i+1J2"dof'ndr=7i+71571

2oo4=H

20.(本題滿分12分)設函數f(x)在［—a,a］上具有2階連續導數，證明：

(1)若f(x)=0,則存在［C(-a,a),使得

⑵若f(x)在(-a,a)內取得極值，則存在r)e(—a,a),使得，。2彳6J(a)-/(-a)|。

解：(i)/(x)=/(o)+((o)x+，］)x2=r(o)x+，%)x2,n介于0與x之間。則可得：

/(a)=尸(0)Q)+'；；)a2,0<r|］<a①

/(一a)=/<0)(-a)+'般12,一“<為<0(2)

由①+②得：f(?)+f(-?)=y［/ff(n,)+f"(n,)］③

又F(x)在［叫，上連續，則必有最大值M與最小值m,即mWF(%)WM；mWf"(7)WM。

從而tn<----w------<M。

r'G)+/"(n)匕、

由介值定理得，存在［可34］u(-a,a),有：^_T__-=/”也)，代入③得：

r?(^\/G)+/(-a)

f(a)+f(-a)=a2『(&),即/電)=-------------。

Q2

(2)設f(x)在x=Xo6(—a,a)處取得極值，且f(x)在x=x0可導，則F(xQ)=0。

所以/(x)=/(x)+/'(x)G-X)+/g)G—x>=/(x)+：'W(x-x》,丫介于0與*之

間，代入x=a,x=-a,可得：

/(-〃)=/(x)+'.”［(-a-x一,一avy<0

o2!oi

/(a)=/(x)+‘(，2)(a-x),0<Y<a

o2!o2

從而可得：

|/G)-/(-a)|=1G-x))2/"("-gQ+x。)27"("

又『(x)I連續，貝U：

|/(?)-/(-?^<\-M(a+x^)2+LM-x=MC72+尤2)

|

其中M=max｛『(Y|)|,|f(y2)|)?

又XQW(-a,a),故|f(a)—f(-a)|WM(a2+x02)<2Ma2,則M2J/Q)一/(一a),即存

在T|=Y1或11=丫26(—a,a),使得/。

21.（本題滿分12分）已知二次型f（x「x,,X3）=X12+2X22+2X32+2X1X2—2X]X3，g（y/y2，y3）

=y12+y22+y32+2y2y3?

（1）求可施變換x=Py,將f（xjx2，X3）化為g（y1（y2，y3）；

（2）是否存在正交變換x=Qy,將f（xjx2，X3）化為g（y/y2，y3）＜）

解：（1）由配方法得：

f(Xj,X2，X3)=xi2+2x22+x32+2xjx2-2XJX3

XXX

=(x[+x2—x3)2+22+32+22X3

=(Xj+x2-X3)2+(x2+x3)2

z=x+x-X

1123

令《Z=X+X,則f(X,,X.,X.)=Z.2+z02o

22312312

z=x

I33

f11-lYx>

1

即z=011,使得f(X.,X),X.)=Z2+Z2O

2X2123129

1人V

U3J100

再將g（X，丫2,y3）化為規范形。

g（y/丫2，y3）=yI2+y22+y32+2y2y3=y12+（y2+y3）2

z=y

11

令<21=)；+?3，則g(yry2，y3)

z=y

i33

使得g(y/y2-y3)=z『+z22。

xq00、

i(y1}

xo11匕

2

X05

3L

x\y、1-1A-iU00、1-1i、

i

故可得x=Py,其中P=01101101o為所求矩陣。

22

X5,001、001,00

3

可將f(X1,X2，X3)化為g(yry2,y3)o

(11-1\

(2)二次型f(X1,x2，x3)為人=120