第六章圓周運動

6.1圓周運動................................................................-1-

6.2向心力..................................................................-9-

6.3向心加速度.............................................................-16-

6.4生活中的圓周運動......................................................-21-

專題課向心力的應用和計算................................................-32-

專題課生活中的圓周運動...................................................-36-

6.1圓周運動

一、圓周運動及線速度

1.圓周運動的概念

運動軌跡為圓周或一段圓弧的機械運動,稱為圓周運動。圓周運動為曲線運

動，故一定是變速運動。

2.線速度

(1)定義：做圓周運動的物體，通過的盹氐與所用時間的比值叫作線速度的大

小。用o表示。

(2)表達式：v==,單位為米/秒，符號是業

(3)方向：線速度是矢量，物體經過圓周上某點時的線速度方向就是圓周上該

點的切線方向。

(4)物理意義：線速度是描述物體做圓周運動快慢的物理量，當加很小時，其

物理意義與瞬時速度相同。

(5)勻速圓周運動：如果物體沿著圓周運動，并且線速度的大小處處相等,這

種運動叫作勻速圓周運動。

［注意］勻速圓周運動是線速度大小不變的曲線運動，它的線速度方向時刻在

變化，因而勻速圓周運動不是勻速運動，嚴格地說，應該將其稱為勻速率圓周運

動。

—、角速度

1.定義：如圖所示，物體在加時間內由A運動到瓦半徑在這段時間內

轉過的角配與所用時間加之比叫作角速度，用符號。表示。

二p

*As

2.表達式：3=不。

3.國際單位：弧度每秒，符號rad/s。

An

在國際單位制中角的度量單位為“弧度”，在利用公式0=詈計算角速度時,

△。的單位是“弧度”。360。=2?；《?。

4.物理意義：角速度是描述物體繞圓心轉動快慢的物理量。

5.勻速圓周運動是角速度不變的圓周運動。

三'周期

1.周期：做勻速圓周運動的物體，運動一周所用的時間叫作周期,用工表示,

單位為秒⑸。

2.轉速：物體轉動的圈數與所用時間之比，叫作轉速。通常用符號比表示，

單位為轉每秒(r/s)或轉每分(r/min)。

3.物理意義：描述物體做圓周運動的快慢。

四'線速度與角速度的關系

1.兩者關系：在圓周運動中，線速度大小等于角速度的大小與半徑的乘積。

2.表達式：V—MTo

7點1描述圓周運動的物理量

如圖所示是一個玩具陀螺，4、氏C是陀螺上的三個點；當陀螺繞垂直于地面

的軸線以角速度/穩定旋轉時：

(1)陀螺繞垂直于地面的軸線穩定旋轉時，。、仄C三點角速度和周期各有什么

關系？

(2)4、仄C三點做圓周運動的線速度有什么關系?

===

提示：(l)co(,=(y/)(wc>TaTbTco

(2)va=vc>vho

1.描述圓周運動的各物理量之間的關系

圓

周

運

動

各

物

理

量

間

的

關

系

2.描述圓周運動的各物理量之間關系的分析技巧

(1)角速度、周期、轉速之間關系的分析：物體做勻速圓周運動時，由。=爺=

2無〃知，角速度、周期、轉速三個物理量，只要其中一個物理量確定了，其余兩個

物理量也唯一確定了。

(2)線速度與角速度之間關系的分析：由知，r一定時，o一定

時，①8：；①一定時，

［特別提示］在討論。、①、r三者的關系時，應采用控制變量法，先保持其中

一個量不變，再討論另外兩個量之間的關系。T和〃三個物理量可相互換算，

只要其中一個量確定，其余兩個量也就確定了。

【例1】某品牌電動自行車的銘牌如下:

車型：20寸(車輪直徑：508mm)電池規格：36V,12A-h(蓄電量)

整車質量：40kg額定轉速：210r/min

外形尺寸：L1800mmX充電時間：2?8h

W650mmXHl100mm

電機：后輪驅動、直流永磁式電機額定工作電壓/電流：36V/5A

根據此銘牌中的有關數據，可知該車的額定時速約為（）

A.15km/hB.18km/h

C.20km/hD.25km/h

［思路點撥］車的速度與車輪邊緣的線速度大小相等，再根據“=需和。=。尸

可求得車速。

C［由題目所給信息可知額定轉速〃=210r/min,則車輪轉動的角速度s=

由于車輪直徑d=508mm,則車輪半徑〃=g=0.254m,則車輪轉動的線速

,2兀〃271X210X0.254

度v=(or=Wr=60m/s=5.6m/s=20km/ho]

求解圓周運動中各物理量間的關系問題時，首先必須明確線速度、角速度、

周期、頻率（即轉速）等，都是從不同角度描述圓周運動的物理量，通過分析題給條

件，弄清問題中哪些物理量不變，然后根據。=必，8號,T=半等關系式求解。

冷點2三種傳動方式

蹺蹺板的支點位于板的中點，兩個小朋友坐在兩端。

討論：（1）在撬動蹺蹺板的某一時刻，兩個小朋友的線速度的大小關系及角速

度的大小關系如何？

（2）如果蹺蹺板的支點不在板的中點，線速度和角速度的關系如何？

提示：（1）線速度和角速度都相同。

（2）角速度相同，線速度不同。

1.三種傳動裝置

同軸傳動皮帶傳動齒輪傳動

兩個齒輪輪齒嚙合，A、

兩個輪子用皮帶連B

A、8兩點在同軸的兩點分別是兩個齒輪邊

接，A、B兩點分別

一個圓盤上緣上的點(兩齒輪的齒數

是兩個輪子邊緣的

裝置@B

分別為〃1、〃2)

點

AB

特點角速度、周期相同線速度大小相同線速度大小相同

轉動

相同相同相反

方向

角速度與半徑成反角速度與半徑成反比：

比：

COAr2

線速度與半徑成正co~r\~n

3=工B2

規律COBR

比:崇=:周期與半徑成正比：~=

DRK周期與半徑成正比：

n

TA_R

T1Tr丫2

2.求解傳動問題的思路

(1)分清傳動特點：若屬于皮帶傳動或齒輪傳動，則輪子邊緣各點線速度大小

相等；若屬于同軸傳動，則輪上各點的角速度相等。

(2)確定半徑關系：根據裝置中各點位置確定半徑關系，或根據題意確定半徑

關系。

(3)擇式分析：若線速度大小相等，則根據。J：分析，若角速度大小相等，則

根據00c「分析。

【例2】如圖所示的傳動裝置中，B、C兩輪固定在一起同軸轉動，A、B兩

輪用皮帶傳動，三個輪的半徑關系是以=rc=2-B。若皮帶不打滑，求A、B、。三

輪邊緣上4、從c三點的角速度之比和線速度之比。

a

［解析］A、3兩輪通過皮帶傳動，皮帶不打滑，則A、B兩輪邊緣的線速度大

小相等，即為=辦或%：內=1：1①

由v=cor得coa:6yb=78：以=1:2②

8、C兩輪固定在一起同軸轉動，則8、C兩輪的角速度相等，即?=g或0匕：coc

=1：1③

由v—cor得V］,:Vc==B：t~c~1'2④

由②③得coa：(Ob'.(oc=1：2：2

由①④得va:Vb:0c=1：1：2。

［答案］1：2：21：1：2

［一題多變］

上例中，若C輪的轉速為〃r/s,其他條件不變，則A輪邊緣的線速度和角速

度各為多大？

提?。河蒀O=271/?,Vb=COKB

得。"=。b=2?！?

傳動裝置的特點

在處理傳動裝置中各物理量間的關系時，關鍵是確定其相同的量。

(1)同軸傳動的物體上各點的角速度、轉速和周期相等，但在同一輪上半徑不

同的各點線速度不同。

(2)皮帶傳動(皮帶不打滑)中與皮帶接觸的兩輪邊緣上各點(或咬合的齒輪邊緣

的各點)的線速度大小相同，角速度與半徑有關。

*點3

圓周運動的周期性和多解問題

如圖所示，夜晚電風扇在閃光燈下運轉，閃光燈每秒閃45次，風扇轉軸。上

裝有3個扇葉，它們互成120。角。當風扇轉動時，觀察者感覺扇葉不動。

討論：(1)扇葉上的每一點都在做什么運動？

(2)觀察者感覺扇葉不動，為什么？此時扇葉的轉速為多少？

提示：(1)扇葉上每一點都在繞風扇轉軸做圓周運動。

(2)每經過特定的時間扇葉上每一點就會回到初始位置，所以觀察者感覺扇葉

不動。

T=￡S,在一個周期T內，扇葉轉動的角度應為120。的整數倍，則轉動的角

速度

Q

a>=y=30/171rad/s(?=1,2,3…)，

轉速〃=/=為腎X60r/min=900〃(r/min)(〃=l,2,3…)

1.問題特點

(1)研究對象：勻速圓周運動的多解問題含有兩個做不同運動的物體。

(2)運動特點：一個物體做勻速圓周運動，另一個物體做其他形式的運動(如平

拋運動，勻速直線運動等)。

(3)運動的關系：由于兩物體運動的時間相等，根據等時性建立等式求解待求

物理量。

2.分析技巧

(1)抓住聯系點：明確題中兩個物體的運動性質，抓住兩運動的聯系點。

(2)先特殊后一般：先考慮第一個周期的情況，再根據運動的周期性，考慮多

個周期時的規律。

【例3】如圖所示，一位同學做飛鏢游戲，已知圓盤的直徑為"，飛鏢距圓

盤3且對準圓盤上邊緣的A點水平拋出，初速度為加，飛鏢拋出的同時，圓盤

繞垂直圓盤過盤心。的水平軸勻速轉動，角速度為口。若飛鏢恰好擊中A點，則

下列關系式正確的是()

1L01

A.dvv°=L-g

B.CDL=TI［\+2n)v()(n=0,1,2,3…)

-d

C.Vo=a)2

D.癡2=8兀2(］+2汾2(〃=o,1,2,3,…)

［思路點撥］圓周運動是一種周期性運動，每經過一個周期物體都會回到原來

的位置，本題中飛鏢恰好擊中A點說明在飛鏢做平拋運動的這段時間內圓盤應轉

過的弧度為(2"+1)兀(〃=0,1,2,3,…)。飛鏢的水平位移為L,豎直位移為d,

根據圓周運動和平拋運動的相關知識求解。

B［依題意，飛鏢做平拋運動的同時，圓盤上A點做勻速圓周運動，恰好擊

中A點，說明A正好在最低點被擊中，則A點轉動的時間平拋的時

間則有%*1，2,3,…)，B正確,C錯誤；平拋的豎直位

移為乩則聯立有流/=%兀2(2〃+1尸(〃=0,1,2,3,…)，dwi=^l}g,

A、D錯誤。］

解決圓周運動多解問題的方法

(1)明確兩個物體參與運動的性質和求解的問題；兩個物體參與的兩個運動雖

然獨立進行，但一定有聯系點，其聯系點一般是時間或位移等，抓住兩運動的聯

系點是解題關鍵。

(2)注意圓周運動的周期性造成的多解。分析問題時可暫時不考慮周期性，表

示出一個周期的情況，再根據運動的周期性，在轉過的角度。上再加上2〃兀，具體

n的取值應視情況而定。

6.2向心力

一、向心力

1.定義

做勻速圓周運動的物體所受的合力總指向圓心，這個指向圓心的力叫作向心

力。

2.方向

向心力的方向始終沿半徑指向圓心。

(1)向心力的方向時刻在變，向心力是變力。

(2)向心力只改變線速度的方向，不改變線速度的大小。

V1

3.公式：Fn=ma>2r或者

4.效果力

向心力是根據力的作用效果來命名的,凡是由某個力或者幾個力的合力提供

的物體做勻速圓周運動的力，不管屬于哪種性質，都是向心力。

二、變速圓周運動和一般曲線運動的受力特點

1.變速圓周運動的合力

變速圓周運動所受合外力并不嚴格指向運動軌跡的圓心。合外力一般產生兩

個方面的效果：

(1)合外力/跟圓周相切的分力Ft,此分力與物體運動的速度在一條直線上，

改變線速度的大小。

(2)合外力/指向圓心的分力Fn,此分力提供物體做圓周運動所需的向心力,

改變物體速度的方向。

2.一般曲線運動

(1)曲線運動：運動軌跡既不是直線也不是圓周的曲線運動,稱為一般的曲線

運動，如圖所示。

(2)處理方法：將曲線分割成為許多很短的小段，這樣，質點在每一小段的運

動都可以看作圓周運動的一部分。

一般的曲線運動通過以上方法進行處理后，就可以采用圓周運動的分析方法

進行處理了。

冷點1

對勻速圓周運動向心力的理解

飛機在空中水平面內做勻速圓周運動；在光滑漏斗內壁上，小球做勻速圓周

運動。

(1)飛機和小球在運動過程中受到哪些力的作用？

(2)這些力的合力方向及作用效果是什么？

提示：(1)重力和支持力。

(2)這些力的合力指向圓心，充當向心力，改變速度的方向。

1.勻速圓周運動中向心力的方向：

方向時刻在變化，始終指向圓心，與線速度的方向垂直。

2.向心力的特點：由于向心力的方向與物體運動方向始終垂直，故向心力是

變力。其作用不改變線速度的大小，只改變線速度的方向。

3.向心力的來源：勻速圓周運動中，向心力等于物體的合外力，常等效為三

種情況：合力充當向心力，某一個力充當向心力，某個力的分力充當向心力。

向心力來源的實例分析

向心力來源實例分析

如圖所示，用細繩拴住小球，使小球在豎L

重力提供向直面內轉動，當它經過最高點時，若細繩(

的拉力恰好為零，則此時向心力由小球所[°

心力

受的重力提供J5

如圖所不，繩子的一端系在光滑水平桌面//

彈力提供向上的0點，另一端系一小球，使小球在桌/[弋J/

心力面上做勻速圓周運動，則小球做勻速圓周L一/

運動的向心力由繩子的拉力（彈力）提供

如圖所示，木塊隨圓盤一起做勻速圓周運

動，其所需的向心力由靜摩擦力提供。木

塊相對圓盤的運動趨勢的方向沿半徑背

離圓心，靜摩擦力的方向與相對運動趨勢C

摩擦力提供的方向相反。但是，當圓盤光滑（無摩擦力）晨

向心力

時，木塊將沿切線方向飛出，說明木塊相7bJ

對于地面的運動趨勢的方向沿切線方向，7

而相對于圓盤的運動趨勢的方向沿半徑

向外

如圖所示，細線拉住小球在豎直面內做勻f

合力提供向速圓周運動，當小球經過最低點時，向心1°

心力

力由細線的拉力和小球重力的合力提供

////////////

彳

如圖所示，小球在細線作用下，在水平面外］

分力提供向內做圓周運動時，向心力由細線的拉力在%

心力水平方向的分力提供「

【例1】如圖所示，一只老鷹在水平面內盤旋做勻速圓周運動，則關于老鷹

受力的說法正確的是（）

A.老鷹受重力、空氣對它的作用力和向心力的作用

B.老鷹受重力和空氣對它的作用力

C.老鷹受重力和向心力的作用

D.老鷹受空氣對它的作用力和向心力的作用

［思路點撥】①分析受哪些力，②分析向心力是什么。

B［老鷹在空中做勻速圓周運動，受重力和空氣對它的作用力兩個力的作用,

兩個力的合力充當它做圓周運動的向心力，不能說老鷹受重力、空氣對它的作用

力和向心力三個力的作用。選項B正確。］

分析向心力來源的思路

(1)明確研究對象。

(2)確定圓周運動所在平面，明確圓周運動的軌跡、半徑及圓心位置。

(3)進行受力分析，指向圓心方向的合力即為向心力。

___實___驗__：__探__究__向__心__力__大___小__的__表__達__式__

1.實驗裝置：向心力演示儀(介紹向心力演示儀的構造和使用方法)

1.轉動手柄

2.3變速塔輪

54.長槽

35.短梢

6.橫臂

7.彈簧測力套筒

向心力演示儀8.標尺

~~［特別提示］向心力演示器原理及實驗操作簡介

(1)如圖所示，轉動手柄，可使變速塔輪、長槽和短槽隨之勻速轉動，槽內的

小球就做勻速圓周運動。

(2)小球做圓周運動的向心力由橫臂擋板對小球的壓力提供，球對擋板的反作

用力通過橫臂的杠桿使彈簧測力簡下降，露出的標尺上的紅白相間的等分格可顯

示出兩個球所受向心力的比值。

(3)傳動皮帶分別套在塔輪上的不同圓盤上，可改變兩個塔輪的轉速比，即改

變角速度；球放在長槽上的不同位置，可改變半徑；使用不同質量的球可改變質

量。

2.實驗方法：控制變量法

3.實驗過程

(1)保持兩個小球質量m和角速度/相同，使兩球運動半徑r不同進行實驗，

比較向心力吊與運動半徑r之間的關系。

(2)保持兩個小球質量m和運動半徑「相同，使兩球的角速度“不同進行實驗,

比較向心力吊與角速度0J之間的關系。

(3)保持運動半徑「和角速度"相同，用質量機不同的鋼球和鋁球進行實驗，

比較向心力居與質量相的關系。

4.實驗結論

兩球相同的物理量不同的物理量實驗結論

1m、corr越大，居越大，F產r

2m、rco①越大，入越大，耳①2

3r>com加越大，K越大，Fn8m

精確的實驗表明向心力的大小可以表示為

2_。__27r2

Fn=mco〃或工或Fn=m(^r)ro

【例2】用如圖所示的裝置可以探究做勻速圓周運動的物體需要的向心力的

大小與哪些因素有關。

鋁球鋼球

(1)本實驗采用的科學方法是O

A.控制變量法B.累積法

C.微元法D.放大法

(2)圖示情景正在探究的是o

A.向心力的大小與半徑的關系

B.向心力的大小與線速度大小的關系

C.向心力的大小與角速度大小的關系

D.向心力的大小與物體質量的關系

⑶通過本實驗可以得到的結果是O

A.在質量和半徑一定的情況下，向心力的大小與角速度成正比

B.在質量和半徑一定的情況下，向心力的大小與線速度的大小成正比

C.在半徑和角速度一定的情況下，向心力的大小與質量成正比

D.在質量和角速度一定的情況下，向心力的大小與半徑成正比

［解析］⑴這個裝置中，控制半徑、角速度不變，只改變質量，來研究向心力

與質量之間的關系，故采用控制變量法，A正確。

(2)控制半徑、角速度不變，只改變質量，來研究向心力與質量之間的關系，

所以選項D正確。

(3)通過控制變量法，得到的結果為在半徑和角速度一定的情況下，向心力的

大小與質量成正比，所以選項C正確。

［答案］(1)A(2)D(3)C

?點3變速圓周運動與一般曲線運動

教材第29頁“思考與討論”答案提示：

線速度減小時，物體所受合力的方向與速度方向的夾角大于90%

蕩秋千是小朋友很喜歡的游戲，如圖所示是蕩秋千的情景。

(1)當秋千向下蕩時，小朋友做的是勻速圓周運動還是變速圓周運動？

2

(2)繩子拉力與重力的合力指向懸掛點嗎？運動過程中，公式Fn=m—=mcor

還適用嗎？

提示：(1)小朋友做的是變速圓周運動。

(2)小朋友蕩到最低點時，繩子拉力與重力的合力指向懸掛點，在其他位置，

:2

合力不指向懸掛點。公式Fn=nr^=mcor仍然適用。

1.變速圓周運動合力的作用效果

O

(1)跟圓周相切的分力E：產生切向加速度，此加速度改變線速度的大小。

(2)指向圓心的分力K：產生向心加速度，此加速度改變線速度的方向。

2.勻速圓周運動與變速圓周運動的比較

勻速圓周運動變速圓周運動

線速度線速度的方向不斷改變、大小不

線速度的大小、方向都不斷改變

特點變

合力可分解為與圓周相切的分力和

受力合力方向一定指向圓心，充當向

指向圓心的分力，指向圓心的分力

特點心力

充當向心力

周期性有不一定有

性質均是非勻變速曲線運動

廿V2,

公式2

Fn=nr^=m(or,an=7=0>都適用

3.一般曲線運動

(1)運動軌跡既不是直線也不是圓周的曲線運動。

(2)處理方法：一般的曲線運動中，可以把曲線分割成許多很短的小段，質點

在每小段的運動都可以看作圓周運動的一部分。

［特別提示］(1)變速圓周運動中，某一點的向心力均可用￡!="?：、居=加廠。2

公式求解，這些公式雖然是從勻速圓周運動中得出的，但在變速圓周運動中它們

仍然適用，只不過應用時要注意工、。、。必須是同一時刻的瞬時值。

(2)曲線運動中，質點在某一點的速度方向是曲線上這一點的切線方向，此點

的曲率半徑表示曲線在此處的彎曲程度。

【例3】一般的曲線運動可以分成很多小段，每小段都可以看成圓周運動的

一部分，即把整條曲線用一系列不同半徑的小圓弧來代替。如圖甲所示，曲線上

的A點的曲率圓定義：通過A點和曲線上緊鄰A點兩側的兩點作一圓，在極限情

況下，這個圓就叫作A點的曲率圓，其半徑〃叫作A點的曲率半徑?，F將一物體

沿與水平面成a角的方向以速度內拋出，如圖乙所示。則在其軌跡最高點尸處的

曲率半徑是()

A,血B.褚sin2a

gg

［思路點撥］物體在軌跡最高點以某一曲率半徑做圓周運動的向心力由重力

提供，列出重力等于向心力的表達式進行求解。

C［斜拋出去的物體同時參與兩個方向的運動：水平方向以速度0x=M)cosa

做勻速直線運動，豎直方向以初速度4=M)sina做勻減速直線運動。到最高點時,

豎直方向速度為零，其速度為%=o()cosa,且為水平方向。這時重力提供其做圓

周運動的向心力,由〃吆=〃產℃°：幻得d="℃°s.,所以C正確，A、B、D錯誤。］

pg

6.3向心加速度

勻速圓周運動的加速度方向和大小

1.向心加速度定義：物體做勻速圓周運動時的加速度總指向圓心，我們把它

叫作向心加速度。

2.向心加速度方向：總沿半徑指向圓心,并且與線速度方向垂直。

3.向心加速度的物理意義：描述線速度方向改變快慢的物理量。

4.向心加速度的大?。?/p>

2

v

2

(1)基本公式an=—=coro

4川

:

(2)拓展公式an=~^--r=CDVo

勻速圓周運動的向心加速度方向

M點_________________________________

甲乙

問題1:圖甲中的小球與圖乙中的運動員正在做勻速圓周運動，是否具有加速

度？

問題2：做勻速圓周運動的物體的加速度方向如何確定？你的依據是什么？

問題3：除了用牛頓第二定律確定向心加速度的方向外，你還有什么方法可確

定向心加速度的方向？

提示：(1)具有加速度。

(2)從動力學角度，由牛頓第二定律確定；加速度的方向與合外力方向一致。

(3)從運動學角度，利用加速度的方向與速度變化量的方向一致確定加速度方

向。

對向心加速度的理解

向心加速度的方向總是沿著半徑指向圓心與該點的線速度方向垂直。向

方向

心加速度的方向時刻在改變。

作用只改變速度的方向，不改變速度的大小。

向心加速度是描述線速度方向改變快慢的物理量，線速度方向變化的快

意義

慢體現了向心加速度的大小。

［特別提醒］向心加速度方向的推導

如圖甲所示，一物體沿著圓周運動，在A、8兩點的速度分別為以、VB，可以

分四步確定物體運動的加速度方向。

第一步，根據曲線運動的速度方向沿著切線方向，畫出物體經過A、3兩點時

的速度方向，分別用2、0B表示，如圖甲所示。

第二步，平移辦至B點，如圖乙所示。

第三步，根據矢量運算法則，作出物體由A點到8點的速度變化量其方

向由小的箭頭位置指向。B的箭頭位置，如圖丙所示。由于物體做勻速圓周運動,

辦、的大小相等，所以與辦、物構成等腰三角形。

第四步，假設由A點到8點的時間極短，在勻速圓周運動的速度大小一定的

情況下，A點到8點的距離將非常小，作出此時的如圖丁所示。

仔細觀察圖丁，可以發現，此時，與內、獨都幾乎垂直，因此的方向

幾乎沿著圓周的半徑，指向圓心。由于加速度。與△。的方向是一致的，所以從運

動學角度分析也可以發現：物體做勻速圓周運動時的加速度指向圓心。

【例1】下列關于勻速圓周運動中向心加速度的說法正確的是（）

A.向心加速度表示做圓周運動的物體速率改變的快慢

B.向心加速度表示角速度變化的快慢

C.向心加速度描述線速度方向變化的快慢

D.勻速圓周運動的向心加速度不變

C［勻速圓周運動中速率不變，向心加速度只改變速度的方向，顯然A項錯

誤；勻速圓周運動的角速度是不變的，所以B項錯誤；勻速圓周運動中速度的變

化只表現為速度方向的變化，加速度作為反映速度變化快慢的物理量，向心加速

度只描述速度方向變化的快慢，所以C項正確；向心加速度的方向是變化的，所

以D項錯誤。］

___勻___速__圓__周__運__動__的__向___心__加__速__度__大__小__

教材第32頁“思考與討論”答案提示：8、C兩點的向心加速度與半徑成正

比，因為3、。兩點同軸轉動，角速度口相同，由為=/「知，（2n與r成正比；A、

B兩點的向心加速度與半徑成反比，因為A、B兩點線速度。大小一樣，由念=7

知，4與r成反比。

如圖所示，兩個嚙合的齒輪，其中A點為小齒輪邊緣上的點，8點為大齒輪

邊緣上的點，C點為大齒輪中間的點。

討論：A和8、8和C兩個點的向心加速度與半徑有什么關系？

心

提示：(1)4、8兩個點的線速度相同，由小=7知向心加速度與半徑成反比。

(2)3、C兩個點的角速度相同，由42r知向心加速度與半徑成正比。

1.向心加速度的大小

根據牛頓第二定律F=ma和向心力表達式無=，行，可得向心加速度的大小

/2

或an=co"rG

-2-

71

［特別提示］1.表達式%=7、出=/2「中各物理量是同一時刻的量，即它們是

瞬時對應關系。

廿

2.表達式出=:、小=啰2r不僅適用于勻速圓周運動，也適用于變速圓周運

動。

2.對向心加速度表達式的理解

(1)向心加速度的幾種表達式

(2)向心加速度的大小與半徑的關系

①當半徑一定時，向心加速度的大小與角速度的平方成正比，也與線速度的

平方成正比。隨頻率的增大或周期的減小而增大。

②當角速度一定時，向心加速度與運動半徑成正比。

③當線速度一定時，向心加速度與運動半徑成反比。

④知與「的關系圖像：如圖所示，由小寸圖像可以看出，出與「成正比還是反

比，要看co恒定還是v恒定。

【例2】如圖所示，一個大輪通過皮帶拉著小輪轉動，皮帶和兩輪之間無相

對滑動，大輪的半徑是小輪半徑的2倍，大輪上的一點S離轉動軸的距離是大輪

半徑的;。當大輪邊緣上的P點的向心加速度是12mH時，大輪上的S點和小輪

邊緣上的。點的向心加速度各為多少？

［思路點撥］①P和S在同一輪上，角速度相同，選用卬=。2r計算向心加速

度。

②P和。為皮帶傳動的兩個輪邊緣上的點，線速度相等，選用%計算向

心加速度。

［解析］同一輪子上的s點和p點的角速度相同，

即C0s=8p

由向心加速度公式「品，嘴V

故as=~ap=^X12m/s2=4m/s2

。J

又因為皮帶不打滑，所以皮帶傳動的兩輪邊緣上各點的線速度大小相等，即

VP=VQ

由向心加速度公式a=

nrCIQrp

22

故義12m/s=24m/so

［答案］4m/s224m/s2

向心加速度公式的應用技巧

一看|力|看圖片，分清是皮帶傳動模型還是同軸轉動模型

二找找聯系，找線速度、角速度、半徑之間的關系

g

三選|引選公式，根據題目特點選4=32r或呼或3V

6.4生活中的圓周運動

一、火車轉彎

1.火車在彎道上的運動特點

火車在彎道上運動時實際上在做圓周運動,因而具有向心加速度,由于其質

量巨大，需要很大的向心力。

2.火車轉彎時向心力的來源分析

(1)若轉彎時內外軌一樣高，火車轉彎時，外側車輪的輪緣擠壓外軌，火車的

向心力由外軌對車輪輪緣的強力提供(如圖所示)，由于火車的質量很大，轉彎所需

的向心力很大，鐵軌和車輪極易受損。

(2)若轉彎時外軌略高于內軌，根據轉彎處軌道的半徑和規定的行駛速度，適

當調整內外軌的高度差，使轉彎時所需的向心力，由重力加2和支持力小的合力

提供，從而減輕外軌與輪緣的擠壓，如圖所示。

二'汽車過拱形橋

汽車過拱形橋汽車過凹形橋

FN

尸N

受力分析—

'mgmg

v2V2

向心力父一外=m：Fn=氐一團女—呷

對橋的壓v2V2

F^=mg+nv^

力

汽車對橋的壓力小于汽車的重汽車對橋的壓力大于汽車的重

結論力，而且汽車速度越大，對橋的力，而且汽車速度越大，對橋的

壓力越小壓力越大

三'航天器中的失重現象

1.向心力分析：宇航員受到的地球引力與飛船座艙對他的支持力的合力為他

V

提供向心力。儂一屈="不。

2.失重狀態：當。=病時,座艙對宇航員的支持力為零，宇航員處于完全

失重狀態。

四'離心運動

I.定義：物體沿切線方向飛出或做逐漸遠離圓心的運動。

2.原因：向心力突然消失或合力不足以提供所需向心力。

火車轉彎

教材第36頁“思考與討論”答案提示：

利用支持力樂與重力G的合力提供向心力，減輕輪胎與地面的徑向摩擦力以

防止側滑。

火車在鐵軌上轉彎可以看成是勻速圓周運動，如圖所示，請思考下列問題:

重力G與支持力入的合力尸是使火車轉彎的向心力

(1)火車轉彎處的鐵軌有什么特點？火車受力如何？運動特點如何？

(2)火車以規定的速度轉彎時，什么力提供向心力？

(3)火車轉彎時速度過大或過小，會對哪側軌道有側壓力？

提示：(1)火車轉彎處，外軌高于內軌；由于外軌高于內軌，火車所受支持力

的方向斜向上，火車所受支持力與重力的合力可以提供向心力；火車轉彎處雖然

外軌高于內軌，但火車在行駛的過程中，中心的高度不變，即在同一水平面內做

勻速圓周運動，即火車的向心加速度和向心力均沿水平面指向圓心。

(2)火車以規定的速度轉彎時，重力和支持力的合力提供向心力。

(3)火車轉彎時速度過大會對軌道外側有壓力，速度過小會對軌道內側有壓力o

1.轉彎軌道特點

(1)火車轉彎時重心高度不變，軌道是圓弧，軌道圓面在水平面內。

(2)轉彎軌道外高內低，這樣設計是使火車受到的支持力向內側發生傾斜，以

提供做圓周運動的向心力。

2.轉彎軌道受力與火車速度的關系

(1)若火車轉彎時，火車所受支持力與重力的合力充當向心力，則〃吆tan3=

端,如圖所示，則劭=4麗》,其中R為彎道半徑，。為軌道平面與水平面的

h

夾角(tanJ^z),。0為轉彎處的規定速度。

此時，內外軌道對火車均無側向擠壓作用。

(2)若火車行駛速度ooXgRtan仇外軌對輪緣有側壓力。

(3)若火車行駛速度v0<yjgRtan0,內軌對輪緣有側壓力。

［特別提醒］

1.轉彎軌道受力與火車速度的關系

2.其他彎道特點

高速公路、賽車的彎道處設計成外高內低，使重力和支持力的合力能提供車

輛轉彎時的向心力，減少由于轉彎產生的摩擦力對行駛車輛的影響，目的是在安

全許可的范圍內提高車輛的運行速度。

【例1】有一列重為100t的火車，以72km/h的速率勻速通過一個內外軌

一樣高的彎道，軌道半徑為400m。(g取10m/s2)

(1)試計算鐵軌受到的側壓力大?。?/p>

(2)若要使火車以此速率通過彎道，且使鐵軌受到的側壓力為零，我們可以適

當傾斜路基，試計算路基傾斜角度。的正切值。

［思路點撥］:①(1)問中，外軌對輪緣的側壓力提供火車轉彎所需要的向心力。

②(2)問中，重力和鐵軌對火車的支持力的合力提供火車轉彎的向心力。

［解析］(l)v=72km/h=20m/s,外軌對輪緣的側壓力提供火車轉彎所需要的

向心力，所以有:

v2105X202

FN=my=400N=1X105N

由牛頓第三定律可知鐵軌受到的側壓力大小等于IXIO^N。

(2)火車過彎道，重力和鐵軌對火車的支持力的合力正好提供向心力，如圖所

2

_V

示，貝【JmgtanO=in~

由此可得tan。=一=0.1。

rg

［答案］⑴IX1()5N(2)0.1

［一題多變］

上例中，要提高火車的速度為108km/h,則火車要想安全通過彎道需要如何

改進鐵軌？

3./

提不：速率變為原來的/倍，則由“zgtan。=加N，可知：

若只改變軌道半徑，則變為900m,

若只改變路基傾角，則tan夕=0.225。

火車轉彎問題的兩點注意

(1)合外力的方向：火車轉彎時，火車所受合外力沿水平方向指向圓心，而不

是沿軌道斜面向下。因為火車轉彎的圓周平面是水平面，不是斜面，所以火車的

向心力即合外力應沿水平面指向圓心。

(2)規定速度的唯一性：火車軌道轉彎處的規定速率一旦確定則是唯一的，火

車只有按規定的速率轉彎，內外軌才不受火車的擠壓作用。速率過大時，由重力、

支持力及外軌對輪緣的擠壓力的合力提供向心力；速率過小時，由重力、支持力

及內軌對輪緣的擠壓力的合力提供向心力。

考點2汽車過拱形橋

教材第37頁“思考與討論”答案提示：

地球可看作一個巨大的拱形橋，由重力與支持力的合力提供向心力，即K=

mg-F^nr^,當速度。增大時，汽車對地面的壓力減小，當速度增大到。=癇

時，地面對車的支持力等于0,駕駛員與座椅間的壓力為0,駕駛員軀體的各部分

之間的壓力也為0,他有失重的感覺。

如圖甲、乙為汽車在拱形橋、凹形路面上行駛的示意圖，汽車行駛時可以看

作圓周運動。

甲乙

問題1:當你坐汽車經過如圖甲所示的橋面時，你有什么感覺？汽車在最高點

時對橋的壓力會有什么特點？

問題2：若質量為機的汽車在拱形橋上以速度。行駛，橋面的圓弧半徑為R。

則汽車對橋的壓力多大？如果汽車速度不斷變大，會出現什么情況？

問題3：當你坐汽車經過如圖乙所示因下陷形成的凹形路面時，你有什么感

覺？汽車在最低點時對路面的壓力會有什么特點？

問題4：若質量為m的汽車在凹形路面上以速度。行駛,路面的圓弧半徑為七

則汽車對凹形路面最低點的壓力多大？

問題5：汽車對拱形橋的壓力小于汽車的重力與汽車對凹形路面的壓力大于汽

車的重力的原因是什么？與電梯中的超、失重現象背后的原因是否相同？

提示：(1)失重的感覺，壓力小于重力。

⑵由牛頓第二定律知：mg—

F^—mg—nT^

當o增大時，入減小。

(3)超重感覺，壓力大于重力。

v

(4)由牛頓第二定律知：F^—mg=nr^

FN

mg

v2

FNfngItnRo

(5)汽車在拱形橋的最高點，在凹形路面的最低點，壓力大于重力與壓力小于

重力的原因由加速度的方向決定，這種情況與電梯中超、失重現象的原因相同。

1.汽車過拱形橋：汽車在橋上運動，經過最高點時，汽車的重力與橋對汽車

支持力的合力提供向心力。如圖甲所示。

v2/

由牛頓第二定律得：G—八=加7，則FN=G一行。

汽車對橋的壓力與橋對汽車的支持力是一對相互作用力，即FN=FN=G-

行，因此，汽車對橋的壓力小于重力，而且車速越大，壓力越小。

(1)當0W火麗?時，0<FN<GO

(2)當。=或?時，FN=0.

(3)當7時，汽車做平拋運動飛離橋面，發生危險。

甲乙

2.汽車過凹形橋

如圖乙所示，汽車經過凹形橋面最低點時，受豎直向下的重力和豎直向上的

v2v2

支持力，兩個力的合力提供向心力，則FN-G=/?7，故FN=G+〃I：。由牛頓第

三定律得：汽車對凹形橋面的壓力尸N=G+〃rp大于汽車的重力。

【例2】如圖所示，質量〃z=2.0Xl()4kg的汽車以不變的速率先后駛過凹形

橋面和凸形橋面，兩橋面的圓弧半徑均為60mo如果橋面承受的壓力不得超過

3.0X105N(^^10m/s2),則:

(1)汽車允許的最大速率是多少？

(2)若以所求速率行駛，汽車對橋面的最小壓力是多少？

［解析］(1)汽車在凹形橋面的底部時，由牛頓第三定律可知，橋面對汽車的最

大支持力FNI=3.OX1O5N,根據牛頓第二定律得鳳1一〃吆="/7

3.0X1Q5

即V—2.0XIO’10X60m/s=

l(h/3m/s<y[gr=l(h/6m/s

故汽車在凸形橋最高點上不會脫離橋面，所以最大速率為1即m/so

(2)汽車在凸形橋面的最高點時，由牛頓第二定律得

v2

mg—Fm=mr^

則尺2=加.一日=2.0*104*(10—黑N=1.0X105N

由牛頓第三定律得，在凸形橋面最高點汽車對橋面的壓力為1.0X1()5N