第2講直線與圓錐曲線的位置關系高考定位

直線與圓錐曲線的位置關系一直是命題的熱點，尤其是有關弦的問題以及存在性問題，計算量偏大，屬于難點，要加強這方面的專題訓練.(1)求直線y＝kx＋1被橢圓截得的線段長(用a，k表示)；(2)若任意以點A(0，1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍.真

題

感

悟(2)假設圓與橢圓的公共點有4個，由對稱性可設y軸左側的橢圓上有兩個不同的點P，Q，滿足|AP|＝|AQ|.記直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2，且k1，k2＞0，k1≠k2.1.直線與圓錐曲線的位置關系(1)直線與橢圓的位置關系的判定方法：將直線方程與橢圓方程聯立，消去一個未知數，得到一個一元二次方程.若Δ＞0，則直線與橢圓相交；若Δ＝0，則直線與橢圓相切；若Δ＜0，則直線與橢圓相離.(2)直線與雙曲線的位置關系的判定方法：將直線方程與雙曲線方程聯立，消去y(或x)，得到一個一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).①若a≠0，則當Δ＞0時，直線與雙曲線相交；當Δ＝0時，直線與雙曲線相切；當Δ＜0時，直線與雙曲線相離.②若a＝0，則直線與漸近線平行，與雙曲線有一個交點.考

點

整

合(3)直線與拋物線的位置關系的判定方法：將直線方程與拋物線的方程聯立，消去y(或x)，得到一個一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).①當a≠0時，用Δ判定，方法同上.②當a＝0時，直線與拋物線的對稱軸平行，只有一個交點.3.弦的中點問題有關弦的中點問題，應靈活運用“點差法”，“設而不求法”來簡化運算.熱點一直線與圓錐曲線的相交弦問題角度1有關圓錐曲線的弦長問題【例1－1】

(2019·紹興調研)如圖，直線l：x－ty＋1＝0和拋物線C：y2＝4x相交于不同兩點A，B.解得t<－1或t>1，即t∈(－∞，－1)∪(1，＋∞).設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，由(1)得y1＋y2＝4t，x1＋x2＝4t2－2，

又直線FN：y＝－tx＋t，與x－ty＋1＝0聯立，探究提高

解決直線與圓錐曲線問題的通法是聯立方程，利用根與系數的關系、設而不求思想、弦長公式等簡化計算；涉及垂直關系時也往往利用根與系數關系、設而不求法簡化運算；涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解.角度2有關圓錐曲線的中點弦問題【例1－2】

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：x－y－2＝0，拋物線C：y2＝2px(p＞0). (1)若直線l過拋物線C的焦點，求拋物線C的方程； (2)已知拋物線C上存在關于直線l對稱的相異兩點P和Q. ①求證：線段PQ的中點坐標為(2－p，－p)； ②求p的取值范圍.(1)解

∵l：x－y－2＝0，∴l與x軸的交點坐標為(2，0)，又∵P，Q關于l對稱，∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2p，探究提高

對于弦中點問題常用“根與系數的關系”或“點差法”求解，在使用根與系數的關系時，要注意使用條件Δ≥0，在用“點差法”時，要檢驗直線與圓錐曲線是否相交.(2)假設存在過點N(1，0)的直線l.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知l的斜率一定不為0，故不妨設l：x＝my＋1，代入橢圓方程并整理得(2m2＋3)y2＋4my－4＝0，

將x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1代入②得(2m2＋3)y1y2＋2m(y1＋y2)＋5＝0，③探究提高

(1)直線方程設為y＝kx＋b(斜截式)時，要注意考慮斜率是否存在；直線方程設為x＝my＋a(可稱為x軸上的斜截式)，這種設法不需考慮斜率是否存在.(2)若圖形關系可轉化為向量關系，則寫出其向量關系，再將向量關系轉化為坐標關系，關鍵是得出坐標關系.(2)因為點B與點A關于x軸對稱，所以B(m，－n).探究提高

(1)探索性問題通常用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為假設滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數)存在，用待定系數法設出，列出關于待定系數的方程組，若方程組有實數解，則元素(點、直線、曲線或參數)存在；否則，元素(點、直線、曲線或參數)不存在.(2)反證法與驗證法也是求解探索性問題常用的方法.1.直線與拋物線位置關系的提醒(1)若點P在拋物線內，則過點P且和拋物線只有一個交點的直線只有一條，此直線與拋物線的對稱軸平行；(2)若點P在拋物線上，則過點P且和拋物線只有一個交點的直線有兩條，一條是拋物線的切線，另一條直線與拋物線的對稱軸平行；(3)若點P在拋物線外，則過點P且和拋物線只有一個交點的直線有三條，兩條是拋物線的切線，另一條直線