2023年廣州市青年教師初中數(shù)學(xué)解題比賽

決賽試卷

2005-3-20

本試卷共8頁，第1-2頁為選擇題和填空題，第3-8頁為解答題及答卷。請(qǐng)將選擇題和填空

題的答案做在第3頁的答卷上。全卷共三大題25小題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

題號(hào)1234567891011

答案DCDAABBDCcA

第I卷（選擇題，共44分）

一、選擇題（本大題共11小題，每小題4分，滿分44分，請(qǐng)將唯一正確的答案代號(hào)填在第3頁的答題卷上）

1、。是任意實(shí)數(shù)，下列判斷一定正確的是（）.

(A)a>-a(B)-<a(C)a3>a2(D)a2>0

2

2、已知集合<4},N={x|/—2x-3<0},則集合McN=().

（A）{%|%<-2}（B）{%|x>3}（C）{x|-l<%<2}（D）{x[2<x<3}

3、若二次函數(shù)y=+8x+c的圖象如圖所示，則點(diǎn)（a+b,ac）在（D）.、1.

（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限\/

4、同圓的內(nèi)接正十邊形和外切正十邊形的周長之比等于（A）.I

（A）cosl8°（B）sinl8°（C）cos36°（D）sin36°

5、用黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下所示的規(guī)律，拼成若干個(gè)圖案：

第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)

則第8個(gè)圖案中有白色地面磚（A）塊.（A）34（B）36（C）38（D）40

6、將正方形的四邊四等分，包括頂點(diǎn)共有16個(gè)點(diǎn)，這16個(gè)點(diǎn)可得到的直線條數(shù)是（B）.

(A)120(B)84(C)82(D)80

7、如圖，。0中，弦AD〃BC,DA=DC,ZAOC=160°,則NBCO等于(B).

(A)20°(B)30°(C)40°(D)50°

8、如果為實(shí)數(shù)，且，—x+（y—i）2=o,則x的取值范圍是（D）.

（A）任意實(shí)數(shù)（B）負(fù)實(shí)數(shù)（C）0<xW!（D）0<x<l

2

9、方程V+N-1=0所有實(shí)數(shù)根的和等于(c).(A)-l(B)l(C)0(D)V5

10、將四個(gè)完全相同的矩形（長是寬的3倍），用不同的方式拼成一個(gè)大矩形，設(shè)拼得的大矩形面積

是四個(gè)小矩形的面積和，則大矩形周長的值只可能是（C）.

（A）l種（B）2種（C）3種（D）4種

11、一次函數(shù)/（x）=ox+b（a為整數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（98,19）,它與x軸的交點(diǎn)為（p,0），它與y

軸的交點(diǎn)為（0,q），若p是質(zhì)數(shù)，q為正整數(shù)，則滿足條件的所有一次函數(shù)的個(gè)數(shù)為（A）.

（A）O（B）l（C）2（D）大于2的整數(shù)

第n卷（非選擇題，共106分）

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分，將答案直接填在第三頁的答題卷上）

12、函數(shù)y=lg|x|在定義域上是函數(shù)（填奇或偶）；在區(qū)間0—）上是增加的.

13、如圖，有兩個(gè)同心圓，大圓的弦AB與小圓相切于點(diǎn)P,

大圓的弦CD經(jīng)過點(diǎn)P,且CD=13,PD=4,兩圓組成的圓n

環(huán)的面積是36Pl

O

13S

14、已知厘=*那么直線〃x）=〃+/一定通過第2、3象限.T=2,-1

cab

分析：利用和分比公式得a+b+c=0,t=-l,a+b+cw0,t-2

15、已知NMQV=4O°,P為NMQV內(nèi)一定點(diǎn)，A為OM上的點(diǎn)，8為ON上的點(diǎn)，則當(dāng)AP45的'

周長取最小值時(shí)，乙4P屈勺度數(shù)為100°-3<r<--

3

16、已知實(shí)數(shù)a,Z?滿足/+。6+人2=1,且""一/一",那么t的取值范圍是

17、若為實(shí)數(shù)，且。+。+。=0,4兒=2,那么向+|母+|4的最小值可達(dá)到^.

三'解答題（共8小題，滿分76分.解答應(yīng)寫出必要文字說明、演算步驟和證明過程）

18>（本題8分）若直線x-y+a=0與圓—+,2=］相交，求實(shí)數(shù)“的取值范圍.

19、（本題8分）菱形ABCD的邊AB=5,對(duì)角線BD=6,月.AC與BD相

交于點(diǎn)O,沿BD折疊得四面體ABCD,已知該四面體的體積等于8,「

求二面角A-BD-C的大小.A

20、（本題8分）設(shè)――=a,a#0,求丁二丁的值./!I

“2,一1r44.r24-1/Dl\

21、（本題8分）某商場(chǎng)計(jì)劃銷售一批運(yùn)動(dòng)衣后可獲總利潤12000元.在進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)查后，

為了促銷降低了定價(jià)，使得每套運(yùn)動(dòng)衣少獲利潤10元，結(jié)果實(shí)際銷售比計(jì)劃增加了400

套，總利潤比計(jì)劃多了4000元，問實(shí)際銷售運(yùn)動(dòng)衣多少套？每套運(yùn)動(dòng)衣實(shí)際利潤多少元?

22、（本題10分）已知任意三角形ABC,其面積為S.作BC的平行線與

AB、AC分別交于D、E.設(shè)三角形BDE的面積為M,求證：MW—S

4

23、（本題11分）已知：如圖，在Rt^ABC中，斜邊AB=5厘米，BC=a厘米，AC=b厘米，a>b,

且a、b是方.程X?-（根-l）x+m+4=0的兩根，

⑴求a和b的值；

⑵△ABC'與aABC開始時(shí)完全重合，然后讓aABC固定不動(dòng)，將

△A'8'C'以1厘米/秒的速度沿BC所在的直線向左移動(dòng).

i）設(shè)x秒后△AZ'C'與4ABC的重疊部分的面積為y平方厘米，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,

并寫出x的取值范圍；

ii）幾秒后重疊部分的面積等于三平方厘米？

8

24、（本題11分）已知：如圖，。。與G）P相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在。0上，。0的弦AC切。P于

點(diǎn)A,CP及其延長線交。P于D、E,經(jīng)過E作EF_LCE交CB的延長線于F.

（1）求證：BC是。P的切線；

（2）若CD=2,CB=2V2,求EF的長；

（3）若設(shè)k=PE:CE,是否存在實(shí)數(shù)k,使aPED恰好是等邊三角形?若存在，求出k的值；若不

存在，請(qǐng)說明理由.

25、（本題12分）如圖，EFGH是正方形ABCD的內(nèi)接四

邊形，兩條對(duì)角線EG和FH相交于點(diǎn)0,且它們所夾的

銳角為9,NBEG與NC/H都是銳角，已知EG=左,=/,四邊形EFGH的面積為S,

(1)求證：sin6=——

kl

(2)試用葭/、S來表示正方形ABCD的面積.

25、

(1)證明：

S=S4EFG+SREHG

=S\EOF+S^GOF+S\EOH+S\GOH

=—EOOFsin^+―GOOF-sin^

22

+-EOOHsm0+-GOOHsmO

22

=-EG-OFsinO+-EG-OHsin0

22

=-EG-FHsm0=-klsine

22

所以sin，='

(2)解：過E、F、G、H分別作AB、BC、CD、ZM的垂線，得矩形PQRT.

設(shè)正方形ABCD的邊長為a,PQ=b,QR=c,貝必=^k2-a2,c=7/2-a2,

由SMEH~^ATEH，S^EF=S"EF'S&GFC~S^QFG，&DGH=^RGH

得SABCD+SPQRT=2S,

AHD

:.cr+bc=25,即"+J%2-J/_/_25,

(k2+12-4S)a2=1/2一4s2,

ovG

由(1)矢=->2S,所以公+『N2Z/>4S,

C

sin6?BF

物c2k2l2-4S2

AMDk2+l2-4S

2023年廣州市青年教師初中數(shù)學(xué)解題比賽決賽參考答案

2005-3-20

一、選擇題答案（每小題4分，共44分）

二、填空題答案（每小題5分，共30分）

三、解答題（共8小題，滿分76分.解答應(yīng)寫出必要文字說明、演算步驟和證明過程）

18、解：（代數(shù)方法）

x2+y2=\

由題意，《

x-y+a-0

2%"+2ax+ci~—1—0

?.?直線與圓相交，.,.△>()

□JP

即△=22一

敝4?-8(a-1)=4(/-2)>0

則。2一2<0,即一&<a<J，時(shí)，有△>()直線與圓相交

(此題可有幾何方法，相應(yīng)評(píng)分)

19、解：A0=0C=VAB2-BO2=752-32=4,

易得AO，BD,OC，BD,NAOC=0為二面角A-BD-C的平面角。

z

SAAOC=；AO-OCsinZAOC

1

=—-4,9'sin0=8sin0,

2

VABCD=|SAAOC,BD

Q

=-sin0-6=16sin0.

3

依題意16sin6=8,得sin。=,，又0<6<萬，

2

加

所以6=三或包，故所求二面角的大小為工或包

兇6666

20、解：分析已知式和要求值的式子都是分母比分子復(fù)雜，不妨考查它們的倒數(shù)。

因?yàn)橐籕-----=a,。。0,故

X+X+1

x?+x+1Law0,即x+—=——1,

Xaxa

x4+x2+1Y+與+

又1

X2X

所以

X，+X"+1\-2a

21、解：設(shè)實(shí)際銷售運(yùn)動(dòng)衣x套，每套運(yùn)動(dòng)衣實(shí)際利潤為y元.

川J(x-400)(y+l0)=12000

人J[xy=16000

解得板:舞及位:第(舍去)

答:實(shí)際銷售運(yùn)動(dòng)衣800套，每套運(yùn)動(dòng)衣實(shí)際利潤20元

22、

證明：

由于AADE與ABDE是等高的三角形，故

MBDAB-ADAB16

SAADE=AD=AD=AD-

又AADE與AABE也是等高三角形，故

SAADE=也⑵

SAABEAB

同理,紅皿=任(3)

又DE||BC,故處=任，設(shè)此比值為：

ABAC

將(1),(2),(3)式相乘,得

MjAB[ADAE_.AD]AD

y-tAD'/ABAC-ABJAB

即—=(1-x)x,

s

法一：展開得S——Sx+M=0有實(shí)根，故A=S2—4SMN0

解之得M<-S

4

M1111

法二：由一=(1—x)x=——(x——)o2<-<-S

S4244

23、解：⑴:△ABC是Rt△且BC=a,AC=b,AB=5(a>b)

又a、b是方程的兩根

A二(加一-4(〃z+4)>0

a+b=in-\>0

/.(a+b)2-2ab=25

ab=m+4>0

a2+b2=25

(m-l)2-2(m+4)=25推出(m-8)(m+4)=0.......

得nh=8叱=-4經(jīng)檢驗(yàn)m=-4不合舍去

m=8.......

2

/.x-7x+12=0Xi=3X2=4

/.a=4,b=3

(2)???△AZ'。'以1厘米/秒的速度沿BC所在直線向左移動(dòng)。

；.x秒后BB，=x則B，C'=4-x

?：CM〃AC??.△BC'MsMCA

?BCMC

‘MC'=-(4-x)

BCAC4

i3a

SMUM=y=-(4-^)-(4-X)即y=G(4—x)2

Z4o

?

??y—3x2—Q3x+6z-(0<x<4)

8

當(dāng)y=3時(shí)-(4-X)2=-

888

X