2023年高考數學第一次模擬考試卷數學（天津A卷）

數學.全解全析

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回

第I卷

一、選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分）

1.（2022?全國?模擬預測）已知U=R,集合4=卜|2<x<4},5={x|（x-5）（x-3）>0},則=

（）

A.{x[2<x<5}B.{x|2<x<3}

C.{x|xN5或x<4}D.{x[3<x<4}

【答案】D

【詳解】由（x-5）（x-3”0得x25或x43,則8={x|x25或x?3},

故電8={x|3<x<5},

故/n&8）={x[3<x<4}.

故選:D.

2.（2022?北京?北二外附屬中學高一期中）下列函數中，既是偶函數又在（0,+8）上單調遞增的是（）

A.y=log2xB.y=|x|+l

C.y=-x?+lD.

【答案】B

【詳解】y=log2X的定義域是（0，+8），是非奇非偶函數，A選項錯誤.

y=kl+i是偶函數，且在（0,+8）上一單調遞增，B選項正確.

y=-/+l是偶函數，在（0,+8）上單調遞減，C選項錯誤.

是偶函數，在（0,+8）上單調遞減，C選項錯誤.

故選：B

3.（2022,海南■嘉積中學高二階段練習）已知命題xj—x0+1<0,則。的否定為（）

A.VxeR,x2-x+l>0B.VxeR,x2-%+1<0

C.3x0eR,x：-x（）+l>0D.3x0eR,x1-x0+1<0

【答案】A

【詳解】命題m/eR,x；—x。+1<0的否定是：VxeR.x2—x+1>0.

故選：A.

4.（2022?貴州?貴陽一中高三階段練習（文））在2022年北京冬奧會開幕式上，二十四節氣倒計

時驚艷亮相，與節氣相配的14句古詩詞，將中國人獨有的浪漫傳達給了全世界.我國古代天文學和

數學著作《周髀算經》中記載：一年有二十四個節氣，每個節氣的號長損益相同（號是按照日影測

定時刻的儀器，唇長即為所測量影子的長度），二十四節氣及號長變化如圖所示，相鄰兩個節氣導

長減少或增加的量相同，周而復始.已知立夏的科長為4.5尺，處暑的劈長為5.5尺，則夏至所對的

曷長為（）

鼻長逐漸受小

舁長逐漸變大

A.1.5尺B.2.5尺C.3.5尺D.4.5尺

【答案】A

【詳解】設相鄰兩個節氣孱長減少或增加的量為1（">0）,

則夏至到處暑增加4d,立夏到夏至減少3d,夏至的辱長為x,

x+4d-5.5d=\

則，解得

4.5-3d=xx=1.5

故選:A.

5.（2022?上海市洋涇中學高三階段練習）隨著移動互聯網的發展，與餐飲美食相關的手機/尸尸軟

件層出不窮，為調查某兩家訂餐軟件的商家服務情況，統計了它們的送餐時間（單位：分鐘），得

到莖葉圖如圖所示.已知甲、乙兩款ZPP的平均送餐時間相同，甲款/PP送餐時間的眾數為39,

則下列說法正確的為（）.

甲乙

80

9518

99722457

99x6443312345y78

998652041125567

A.甲款力PP送餐時間更穩定，中位數為35

B.甲款4Pp送餐時間更穩定，中位數為36

C.乙款力PP送餐時間更穩定，中位數為35

D.乙款4尸尸送餐時間更穩定，中位數為36

【答案】D

【詳解】因為甲款4Pp送餐時間的眾數為39,則x=9,

8+15+19+27+29x2+33+34x2+36+39x3+40+42+45+46+48+49x2”

平均數為/=------------------------------------------------------------------------=35,

20

729+400+256+64+36x2+4+1x2+1+16x3+25+49+100+121+169+196x2

方差為端=4:21.6,

20

中位數為望=37.5；

乙款/2產送餐時間的平均數為

—18+22+24+25+27+31+32+33+34+35+00+y)i-37+38+41x2+42+45x2+46+47

x/=35,

乙20

解得V=7,

方差為

.289+169+121+100+64+16+9+4+1+0+4,2+9+36,2+49+100><2+出+144

68.8,

~20

?八35+37

中位數為——二36,

則品〉s；,故乙款力尸尸送餐時間更穩定，中位數為36.

故選：D.

6.（2022?四川?樹德中學高二期中（理））設”，入是雙曲線C：「—￡=l（a>0,b>0）的左、右焦

點，過耳作C的一條漸近線的垂線/,垂足為“，且/與雙曲線右支相交于點P,若2而=而，且

歸鳥|=5,則下列說法正確的是（）

B.雙曲線的離心率為巫

A.用到直線/的距離為a

2

C△世名的外接圓半徑為手

D.△尸巨鳥的面積為9

【答案】B

【詳解】由題意，耳（fO）到準線區+到=0的距離內M==又忸。卜c,.?.阿=再

7b~+ac

如圖過鳥向耳尸作垂線，垂足為。,

由。H//。，。為G8中點，則CW為△。耳石的中位線，所以±H=HQ,即"是6。的中點，因為

2麗=而，|瑪0|=2。，|"0|=6,|尸0|=b,|P幣=36,因此g到直線/的距離為2a,故A錯誤;

在△。尸鳥中，〃+4/=|做『=25,乂|PfJH陰|=2a,得到"-5=2a,

解得6=3,a=2,c=屈,所以雙曲線的離心率e=￡=巫，故B正確；

a2

sin4PF\F?=sinNHFQ=且，設^PFtF2的外接圓半徑R,

c

2R_I-I_5_5屈f-

因此sinZ"；鳥-2-2,所以R=6"，故C錯誤；

一而4

△的面積S=：WP||6K|sinNPGg=!x3bx2cxN=3ab=l8.故D錯誤.

22c

故選：B.

7.（2022?江西?臨川一中高三階段練習（文））如圖，在體積為6的三棱錐尸-Z8。中，PA、PB、

尸。兩兩互相垂直，PA=\,若點”是底面ACBP內一動點，且滿足/M/LBC,則點M的軌跡長度

的最大值為（）

A

A.6B.3c.3V2D.6五

【答案】c

【詳解】解：如圖所示，過戶作P。，8c于。，連接加）

???PA,PB,PC兩兩垂直，所以4PJ,平面P8C,又8Cu平面PBC

即有/P_L8C,而ZPc/M=4NP,4"u平面"!必

所以8c工平面APM，又PMu平面APM

即BC1PM,故點M的軌跡為RtAPBC斜邊上的高線PD,

因為三棱錐P-ABC的體積為6,所以=；S“3c.尸/=；x；PBxPCx1=6,即尸8xPC=36,

又七=-5?-PA=-x-PBxPCxl=-x-BCxPDx\可得

r-/jisDLr3Arp￡>(r.3232,

PBxPC3636

PD==3啦.

yJPB2+PC24PB2+PC2"{ZPBxPC

當且僅當PB=PC=6時取等號.

點M的軌跡長度的最大值為3正.

故選：C.

/、[Iln2x|,0<x<1

8.(2022?全國?模擬預測)已知函數〃x=.若存在0<Q<6<C<2使得

ln(2-x)+ln2,1<x<2

/⑷=/（b）=/（c）,則々+3+-L的取值范圍是（）

abbeca

20

A.B.T,+co

【答案】A

【詳解】?.?ln(2-x)+ln2=ln[2(2-x)],.?.y=ln2x與y=ln(2-x)+ln2的圖象關于直線x=l對稱,

作出〃x)的大致圖象如圖所示，

—<b<1—<—<1,得

2f24。42

1+1+1_a+b+c_a+2_4(a+2)_16a(a+2)

*?,abbecaabc￡?__1_8a-l?

4~4a

設f=8a-l,則》e(I,3),++=+y+18^.

t+y->2y/17,當且僅當/=J萬取到等號，

故當fe(l,3)時，令如)=/+:+18,%(f)單減,A(l)=36,/?(3)=y,

故如+：+可噌,4

故選：A

9.(2022?四川?成都金蘋果錦城第一中學高三期中(文))如圖，在平行四邊形/5CD中，點E是

CO的中點，點F為線段8。上的一動點，若不荏+了反，且x>m>0,V>0,貝

的最大值為()

DEC

F

AB

8434

AB.---c.D.

-詔2438181

【答案】B

【詳解】由題意可得衣=7萬+瓦=，方+而，

2

-AB+A^+VABJ,-

所以，AF=xAE-￥yDC=x\x+yAD,

2)-(2

因為尸為線段8。上的點，所以，存在4e（O,l）,使得而=力而，

所以，AF-1D=A（AB-Aby則簫=彳彳豆+（1-；1）而,

—x+y=2,3

所以，2，則不x+y=1,

x=l-22

x>0

,2

因為3，則°<xv；,

y=1——x>03

2

所以，

2

x-m+—

83

344

322

陽+

8-3-9-,其中

2-+

則/"(加)=加

133

7

當時，此時函數/（加）單調遞增，

當］＜加＜|?時，/'（加）＜0,此時函數/（加）單調遞減,

2

所以，/(^Lx=/

當且僅當機=（,x=2時，，即（x-m）取最大值白.

故選：B.

第n卷

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.請將正確的答案填寫在答題紙上.13

題和15題第一空2分，第二空3分，全部答對得5分.

10.（2022?上海市曹楊中學高一期末）i是虛數單位，若復數z滿足（2+i）z=l-i,則同=.

【詳解】因為(/2+i、)z=l-i,所以[:1西-i北+心土丁l-3i

13

即z『i,|z|=Vio

故答案為：叵

11.(2022?上海市嘉定區第一中學高二期末)已知圓C:/+_/=4,直線/:夕=丘+加，若當人的

值發生變化時，直線被圓。所截的弦長的最小值為2,則機值為.

【答案】土6

【詳解】由圓C：/+y2=4的圓心(0,0)到直線/:夕=b+m的距離為

,10x-0+/??||m\

d=—,[----

J/+(-Vt2+1

則弦長為:2ylr2-d2=2/備

若要弦長最小，則4=0

所以2"-加2=2,解得加=土

故答案為：±百.

12.(2022?上海市延安中學高三期中)隨機變量X服從正態分布N(2,b),若尸(2<X43)=0.33,

則P(x>3)=.

【答案】0.17

【詳解】因為隨機變量X服從正態分布N(2,a?),

所以尸(x>2)=0.5,所以尸(x>3)=尸(x>2)-P(2<x43)=0.17.

故答案為：0.17.

，7兀5兀、

13.(2022?四川?川大附中高三期中(理))已知函數/(幻=4](8+9)(@>0,*￡1^)在區間[五,不)

上單調，且滿足/(總=-/(引.⑴若/傳-x]=/(x),則函數/(X)的最小正周期為;(2)

若函數/(x)在區間，等)上恰有5個零點，則。的取值范圍為.

Q

【答案】兀1<^<3

【詳解】解:由題知???/圖=-/用.

\/（X）對稱中心為（年,o）,

T、5兀

,—>-----7i=——n

,2_623

RIIT、2兀Uri2〃、27t

即72丁,即——>—,

3co3

O<a）<3

\/（X）關于X=1對稱,

S7TTT

代人可得五/+8=5+k不屈6Z，②

Z'、口加°冗，，r

①?②可得+k7T,keZ,

即0=—2+4Z,A：￡Z,

*:Q<CD<3:.CD=2

丁2%

.*.r=—=7i；

???/（x）相鄰兩個零點之間的距離為g,

五個零點之間即2T，六個零點之間即,

???只需,+2T〈等W（T即可，

?/0<<3,

8八

<69<3.

3

Q

故答案為:兀；—<co<3

14.(2022?福建省永春第二中學高一階段練習)若函數=(a>0,awl)的圖象經過

定點P(m,n),則函數g(x)=log?(x2-wx-8)的單調增區間為.

【答案】(-8,-2)

【詳解】令x-2=0,得x=2,此時y=a。—：=；,故定點

則加=2,〃=L

2

g(x)=log,(X2-2X-8),

2

4-/=X2-2A--8=(X-1)2-9,x<l時，心)為減函數，

又V=log"為減函數，

2

由/>0得(x-4)(x+2)>0,

故/(x)定義域為：(-8,-2)U(4,+a)),

故所求增區間為(v,-2).

故答案為：(-8,-2).

15.(2022?山東荷澤?高二期末)類比排列數公式A；=〃(〃-1)(〃-2)…(〃-r+1),定義

B：=x(x-l)(x-2)-(x-n+l)(其中“eN*,xeR),將右邊展開并用符號5(〃㈤表示x*

(1<A<?,/eN*)的系數，得8：=5(〃,〃)/+5(〃,〃一1b”1+-一+4”,)樂則：

(1)S(〃,l)=；

(2)若S("/)=a,S(",r+1)=6(/-eN*,r+l<n),則S(〃+l,r+I)=.

【答案】(-1廣(“_1)!a-nb

【詳解】(1)依題意，5(〃』)是(x-l)(x-2)…(x-〃+1)展開式的常數項，

B|

所以S(",l)=(-l)x(-2)x(-3)x...x(-?+l)=(-l)-xlx2x3x---x(w-l)=(-l)""(M-I)!；

(2)依題意，B"+l=(x-n)B"=(x-n)[S(n,n)x"+5(w,〃-)x"-+???+&〃,)x,

則B,展開式中S(〃+1,r+l)Z+,項是B：展開式中的項S(〃,r)/與x相乘加上S(〃,r+1)“川與一〃相乘

積的和，

即S(〃+l/+l)xZ=S(〃/)x"x+S(",r+l)x"L(f),而S(〃,r)=a,S(凡r+l)=b,

所以S(〃+l,r+l)=S(〃/)-〃S(〃,r+l)=a-〃6.

故答案為：(―1)"'1)!；a—nb

三、解答題(本題共5小題，共75分)

16.(2022?四川?宜賓市敘州區第二中學校模擬預測(文))設“5C內角4B,C所對邊分別為

7.csinC6sin8.,

b,c,已知=~---a,b=2.

sinAsinA

(1)若〃=￡1,求的周長；

3

3

(2)若ZC邊的中點為。，且BO：］,求的面積.

【答案】(1)2+2石;

⑵更

8

了、￥々"＞/1\??csinC_，sinB.cb~?22,2

sinAsinAaa

因為a=^^,6=2,故*+c?-2°c=4，I'P3c2—2A/3C-8=0?

333

解得c=-^VJ(舍)或40；則a+b+c=2+2百，故△彳8c的周長為2+2行.

33

17r

(2)由(I)知/+。2-改=62,..855=5,又3￡(0,乃)，故3=5，

又b=2,則/+/一a。=4；

因為4c邊的中點為。，故反1+而=2而，故前2+而2+2前\瓦)=4而2，

BPa?+c?+2acxcos3=9,艮口a?+/+ac=9;

聯立a2+c2-ac=4與〃？+/+=9可得,

故aABC的面積5=—acsinB=—x—x^-=三叵.

22228

17.(2022?江蘇蘇州?高三階段練習)雙曲線。:二-4=1(。＞0力＞0)的一條漸近線為y=且一

a2b-

個焦點到漸近線的距離為由.

(1)求雙曲線方程；

(2)過點(0,1)的直線/與雙曲線交于異支兩點P,0,西=OP+OQ,求點M的軌跡方程.

【答案】⑴--仁=1

3

（2）/-2"3f=0（乂..2）

【詳解】（1）由漸近線為y=6x知,2=6①,又焦點到漸近線的距離為V3，即（c,0）到直線y=怎

a

22

的距離_1^[=叵=百，所以c=2,a+b=4@,聯立①②，解得/=1，〃=3,則雙曲線方

V3+12

程為“2一片=1.

3

（2）因為直線/與雙曲線交于異支兩點尸,。，所以直線/的斜率必存在，且經過（0,1）點，可設直線

I:y=kx+l,與雙曲線聯立得：（3-《卜之—2fcr-4=0,

A>0

2k

設必）,0（和%），則有，x\X2=解得-VJ<k<y/3?

-4

X.-x=----7<0

1273-V

2k

X=X,+X.=---------7

uuuiumuum1?3-k2

由OM=OP+OQ知,

、=%+%=可玉+%)+2=三不

Yk3x6

兩式相除得｝=5,即A=丁代入y=曾記得/-2y-3x2=0,

又-6＜人＜百，所以外2,

所以點M的軌跡方程為/-2y-3x2=0（y..2）.

18.（2022?黑龍江,哈爾濱三中模擬預測）如圖，在三棱柱Z5C-48G中，VZ3c為等邊三角形,

四邊形//蜴8為菱形，AC1BC,AC=4,BC=3.

(1)求證:±AtC；

(2)線段CC,上是否存在一點E,使得平面AB.E與平面ABC的夾角的余弦值為;?若存在，求出點E

的位置；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)證明見解析

2

(2)點E存在，CE=-CCt.

【詳解】(I)連接48與/月相交于點尸，連接如圖所示：

四邊形/4耳8為菱形，.?.尸為月耳的中點，有BFLAB-

V/8C為等邊三角形，有C尸_L/q,

8尸,CFu平面8FC,BFcCF=F,二/4_L平面BFC,

8Cu平面8FC,AB}1BC,

四邊形為菱形，4BJB4,

84,8Cu平面4BC,BAQBC=B,

Aqj■平面48C,4Cu平面4BC,/.AB,1\C

(2)0,G分別為的中點，連接B0,OG,

由(1)可知"A_L8C,又ACLBC,

X81,4Cu平面/qc,AB^AC^A,8c上平面4BC，

OGIIBC,00_1_平面物C,

V/BC為等邊三角形，ByOLAC,

以。為原點，OG，0C，函的方向分別為x軸、V軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐

標系，

則N(0,-2,0),C(0,2,0),8(3,2,0),4(0,0,2百)，

由方=麗，BC=^Ct,4(-3,工26)，C,(-3,0,273),

設近=2戀（04241）,則近-反=4而，有

OE=ACCt+OC=A{^3,-2,(0,2,0>卜32,2-2夜),

A￡(-32,2-22,273/1),荏=(-344-242折)，狷=(0,2,2石)，

AEn=-3Ax+(4-2A)y+2=0

設平面的一個法向量H=（x,y,z）,則有，

ABX-n=2y+2-^3z=0

令=上,則,即42-4_

zy=_3,x=42.44=--------?-3.

A,2

平面48c的一個法向量為函的方向上的單位向量碗=（0,0,1）,

\n-in\V3_1

IIcos=

若平面典E與平面48c的夾角的余弦值為“則有?l?l-H竽2+9+3%

42-442-47

=36,由—■—=—6,解得丸=1.

45

2

所以，點E存在，CE=-CCt.

19.（2022?天津市濱海新區塘沽第一中學三模）已知數列｛。"｝,｛2｝,已知對于任意〃eN*,都有

="訓,數列也｝是等差數列，4=1,且8+5,4+1,4-3成等比數列.

⑴求數列｛%｝和也｝的通項公式;

=2k-l

(2)記cn=<bll9n=2k/￡N)

.2

（i）求f_______2

i=llog?Czz/og-i

2n

(ii)求Zc&.

A=1

［答案］⑴4=3"；氏=2〃-1

(ii)—+40w-25-9^1

⑵(i)1—

2n+\1648

【詳解】(1)設數列也｝的公差為"，

?也+5,仇+1,4-3成等比數列,且。=1,

.?.(&+1)2=(&+5)(區-3),即(2+3d)2=(6+d)(-2+5d),解得d=2,

則"=1+2(〃-1)=2〃-1,

即氏=/”=百"=3"，

⑵(i)由⑴可知，c,=F，內三"*),

\n-\,n=2k

hillX1-------------------=---------------1-------；---------1----1---------------------

lo352n+1

'白log3%.log3A+】§33?log333log33-log3310g3321.log33

222

---++…+

1x33x5-----(2〃-1)(2〃+1)

(ii)由題意,對V〃￡N.,

c"2"+%—=q,(c2?_,+.)=(2〃叫(3=+3?川)=10(2〃-1)二一

=y(2?-l)-9"

設｛（2〃-1）-9"｝的前〃項為｛與｝,

所以R“=9+3x9?+...+(2"-l)x9",則9R“=92+3X93+.-+(2〃-1)X9"S,

Q2_QM+1

則-8R,,=9+2(^+夕+…+9)-(2〃-)x9"i=9+22~^—42n-)x9"

1—9

一45+-5-—-8-〃

44

458〃一5

所以4=-----1---------

3232

2〃107540/7-25

即嗎+|=—/??=----1------------

k=\31648

20.（2022?天津南開?二模）已知函數/（月=[2+（"