千里之行，始于足下讓知識(shí)帶有溫度。第第2頁(yè)/共2頁(yè)精品文檔推薦考研數(shù)學(xué)高數(shù)真題分類(lèi)—微分方程

一份好的考研復(fù)習(xí)資料，會(huì)讓你的復(fù)習(xí)力上加力。中公考研輔導(dǎo)教師為考生預(yù)備了【高等數(shù)學(xué)-微分方程學(xué)問(wèn)點(diǎn)講解和習(xí)題】，同時(shí)中公考研網(wǎng)首發(fā)2022考研信息，2022考研時(shí)光及各科目復(fù)習(xí)備考指導(dǎo)、復(fù)習(xí)閱歷，為2022考研學(xué)子提供一站式考研輔導(dǎo)服務(wù)。

微分方程

綜述：微分方程可以看做一元函數(shù)微積分學(xué)的應(yīng)用與推廣，主要考查考生的計(jì)算能力。這一部分在考試中以大題與小題的形式交替浮現(xiàn)，平均每年所占分值在8分左右.

本章的主要學(xué)問(wèn)點(diǎn)有：微分方程的階、通解和特解等基本概念，可分別變量方程的求解，齊次方程的求解，一階線(xiàn)性微分方程的求解，伯努利方程的求解，全微分方程的求解，可降階的高階微分方程的求解，高階線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)，高階線(xiàn)性微分方程的求解，歐拉方程的求解.學(xué)習(xí)本章時(shí)，首先要認(rèn)識(shí)各類(lèi)方程的形式，記住它們的求解步驟，通過(guò)足量的練習(xí)以求嫻熟把握.在此基礎(chǔ)上，還需要具備結(jié)合微積分其它章節(jié)的學(xué)問(wèn)或者按照問(wèn)題的幾何及物理背景抽象出數(shù)學(xué)模型，并建立微分方程的能力.普通來(lái)說(shuō)，考生只要具備扎實(shí)的一元函數(shù)微積分的相關(guān)學(xué)問(wèn)，學(xué)習(xí)本章的時(shí)候不會(huì)有太大的困難.

本章常考的題型有：1.各種類(lèi)型微分方程的求解，2.線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)，3.綜合應(yīng)用.常考題型一：一階方程的求解

1．可分別變量方程

1.【2022-14分】微分方程(1)yxyx

-'=的通解是2.【2022-14分】微分方程0xyy'+=滿(mǎn)足條件(1)1y=的解是y=

3.【1998-23分】已知函數(shù)()yyx=在隨意點(diǎn)x處的增量21yxyx

α??=++，且當(dāng)0x?→時(shí)，α是x?的高階無(wú)窮小，(0)yπ=，則(1)y等于

4.【1994-23分】微分方程2(4)0ydxxxdy+-=的通解為

5.【2022-23分】微分方程11arcsin2=-+'xy

xy滿(mǎn)足12y?????=0的特解為（）．

6.【2022-34分】微分方程0=+'yyx滿(mǎn)足初始條件2)1(=y的特解為.

7.【2022-210分】設(shè)函數(shù)()yyx=由參數(shù)方程2

0()ln(1)txxtyudu=???=+??

?確定，其中()xt是初值問(wèn)題0

20|0xtdxtedtx-=?-=???=?的解.求22dydx.

【小結(jié)】：假如一個(gè)一階微分方程可以寫(xiě)成()()gydyfxdx=的形式，我們就稱(chēng)該微分方程為可分別變量的微分方程.對(duì)該方程的兩端求不定積分()()gydyfxdx=??就得到微分方程的通解.

2.齊次方程

8.【2022-34分】微分方程3d1d2yyyxxx??=-???滿(mǎn)足11xy==的特解為y=________.

9.【1996-36分】

求微分方程dydx=的通解.10.【1993-15分】求微分方程22xyxyy'+=滿(mǎn)足初始條件11y

x==的特解11.【1997-25分】求微分方程0)2()23(222=-+-+dyxyxdxyxyx的通解.

12.【1999-27分】

求初始問(wèn)題1(0,(0)0

xydxxdyxy=?-=>??=??的解.

13．【2022-14分】微分方程0)ln(ln'=-+yxyxy滿(mǎn)足3

)1(ey=的解為．

【小結(jié)】：假如一階微分方程

(,)dyfxydx

=中的函數(shù)(,)fxy可以寫(xiě)成()yx?的形式，則稱(chēng)該方程為齊次方程.對(duì)于齊次方程，我們引入新函數(shù)yux=，則yux=.由一元函數(shù)微分學(xué)的學(xué)問(wèn)，可知dyxduudx=+.代入原方程可得()duxuudx

?+=，收拾得()dudxuux?=-.則原方程就被化為了可分別變量的方程，求解該方程得到未知函數(shù)u，再由yux=就可以得到

未知函數(shù)y的表達(dá)式.齊次方程是通過(guò)變量代換化為可分別變量方程的。對(duì)方程作變量代換將其化作更為已經(jīng)求解過(guò)的類(lèi)型是解微分方程的一個(gè)十分重要的思想。這一點(diǎn)在考試大綱上雖沒(méi)有明確要求，但也需要引起考生的注重，略微了解一些其它將對(duì)微分方程作變量代換的辦法。

3.一階線(xiàn)性微分方程

14.【2022-24分】微分方程2(3)0ydxxydy+-=滿(mǎn)足初始條件|1xy=1=的解為_(kāi)_______。

15.【2022-23分】微分方程3()20yxdxxdy+-=滿(mǎn)足165xy==

的特解為.16.【2022-24分】微分方程xxyyxln2=+'滿(mǎn)足9

1)1(-=y的解為_(kāi)_____.17.【2022-24分】微分方程2()0xyxedxxdy-+-=的通解是____y=.

18.【1992-13分】微分方程tancosyyxx'+=的通解為

19.【2022-14分】微分方程xeyyxcos-=+'滿(mǎn)足條件()00y=的解

=y__________.

20.【1992-25分】求微分方程3()20yxdxxdy--=的解

21.【1993-25分】求微分方程2(1)(2cos)0xdyxyxdx-+-=滿(mǎn)足初始條件1

0y

x==的特解.

22.【1995-28分】設(shè)xye=是微分方程()'xypxyx+=的一個(gè)解，求此微分方程滿(mǎn)足條件ln20xy==的特解.

23.【1996-28分】設(shè)()fx為延續(xù)函數(shù),

(1)求初值問(wèn)題0

(),0xyayfxy='+=???=??的解()yx,其中a為正的常數(shù)；(2)若|()|fxk≤(k為常數(shù)),證實(shí)：當(dāng)0x≥時(shí),有|()|(1)axkyxea-≤

-.24.【1999-36分】設(shè)有微分方程()'2yyx?-=，其中()2,1,0,1.xxx??試求，在(),-∞+∞

內(nèi)的延續(xù)函數(shù)()yyx=，使之在(),1-∞和()1,+∞內(nèi)都滿(mǎn)足所給方程，且滿(mǎn)足條件()00y=.

25.【2022-2，310分】已知函數(shù))(xf滿(mǎn)足方程0)(2)()('

''=-+xfxfxf及xexfxf2)()('=+.

1）求表達(dá)式)(xf

2）求曲線(xiàn)的拐點(diǎn)dttfxfyx

?-=022)()(

【小結(jié)】：方程

()()dyPxyQxdx+=稱(chēng)為一階線(xiàn)性微分方程.我們常用常數(shù)變易法來(lái)求解，詳細(xì)步驟如下：

●先令()0Qx=得到相應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程

()0dyPxydx+=，這是一個(gè)可分別變量方程：()dyPxdxy

=-，兩邊積分可得1ln()yPxdxC=-+?，也即()1(),PxdxCyCeCe-?==±

●將()PxdxyCe-?=中的常數(shù)換為未知函數(shù)()Cx，得到()()PxdxyCxe-?=，再將

()()PxdxyCxe-?=代入原微分方程.則有：

()()()'()()()()()()PxdxPxdxPxdxCxePxCxePxCxeQx???-+=

收拾得()'()()PxdxCxQxe?=.

兩端積分得()()()PxdxCxQxedxC?=+?.

●再將()()()PxdxCxQxedxC?=+?代回()()PxdxyCxe-?=就得到

()()()PxdxPxdxyQxedxCe-????=+????

?2、考試在微分方程這一處對(duì)考生的要求可以分為“識(shí)別”和“求解”兩方面：因?yàn)榭荚嚱o的方程往往不是我們所熟知的標(biāo)準(zhǔn)形式，因此考生在拿到一個(gè)方程之后所需要做的第一件事就是給它歸類(lèi)，識(shí)別出它的類(lèi)型，這要求我們對(duì)各種微分方程的詳細(xì)形式及其變形比較認(rèn)識(shí)；鎖定了方程的類(lèi)型之后，就可以根據(jù)相應(yīng)的求解步驟求解了，求解過(guò)程中主要需要用到不定積分的計(jì)算.

4.全微分方程*（數(shù)一）

26.【1994-19分】設(shè)()fx具有二階延續(xù)導(dǎo)數(shù)，(0)0,(0)1ff'==，且

[()()]xyxyfxydx+-

2[()]0fxxydy'++=為一全微分方程，求()fx及此全微分方程的通解

【小結(jié)】：全微分方程的求解與多元函數(shù)積分學(xué)中求二元函數(shù)全微分的原函數(shù)實(shí)質(zhì)上是一樣的，其求解辦法主要有三種：

ⅰ）特別路徑積分法：000(,)(,)(,)xyxyuxyPxydxPxydy=

+??；ⅱ）不定積分法：由(,)uPxyx

?=?得(,)(,)()uxyPxydxCy=+?，再對(duì)y求導(dǎo)得()'(,)()(,)uPxydxCyQxyxx??=+=???，由該方程可解得()Cy。

ⅲ）湊微分法：(,)(,)...PxydxQxydydu+==

常考題型二：可降階的高階方程的求解*（數(shù)一、數(shù)二）

27.【2000-13分】微分方程30xyy'''+=的通解為.

28.【2022-13分】微分方程20yyy'''+=滿(mǎn)足初始條件(0)1y=，'1(0)2

y=的特解為.

29.【2022-210分】求微分方程2()yxyy''''+=滿(mǎn)足初始條件(1)(1)1yy'==的特解.

【小結(jié)】：可降階的高階微分方程主要有兩種，其形式和求解過(guò)程如下

1）'''(,)yfxy=型的方程

作變量代換'py=，則有''dpydx=.代入原方程有(,)dpfxpdx

=，這是一個(gè)關(guān)于未知函數(shù)p的一階微分方程.求解它，我們可以求出'y，設(shè)'(,)yxC?=，則積分可以得到y(tǒng).

2）'''(,)yfyy=型的方程

作變量代換'py=，則有''dpdpdydpypdxdydxdy

===.代入原方程有(,)dppfypdy=，這是一個(gè)關(guān)于未知函數(shù)p的一階微分方程.求解它，我們可以求出'y，設(shè)'(,)yyC?=，則積分

可以得到y(tǒng).

常考題型三：二階線(xiàn)性微分方程

1.線(xiàn)性微分方程的解的性質(zhì)

30.【2022-24分】設(shè)12,yy是一階線(xiàn)性非齊次微分方程()()ypxyqx'+=的兩個(gè)特解.若

常數(shù),λμ使12yyλμ+是該方程的解，12yyλμ-是對(duì)應(yīng)的齊次方程的解,則

()A21,21==μλ.()B2

1,21-=-=μλ.()C3

1,32==μλ.()D32,32==μλ.31.【2022-34分】設(shè)非齊次線(xiàn)性微分方程()()yPxyQx'+=有兩個(gè)不同的解12(),(),yxyxC為隨意常數(shù)，則該方程的通解是

()A[]12()()Cyxyx-.()B[]112()()()yxCyxyx+-.

()C[]12()()Cyxyx+.()D[]112()()()yxCyxyx++

32.【2022-24分】微分方程2(0)xxyyeeλλλλ-''-=+>的特解形式為()

()A()xxaeeλλ-+．()B()xxaxeeλλ-+．

()C()xxxaebeλλ-+．()D2()xxxaebeλλ-+．

33.【2022-14分】設(shè)211()23

=+-xxyexe是二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程'''++=xyaybyce的一個(gè)特解，則()

()A3,2,1=-==-abc()B3,2,1===-abc

()C3,2,1=-==abc()D3,2,1===abc

34.【1997-25分】已知22123,,xxxxxxxyxeeyxeeyxeee--=+=+=+-是某二階線(xiàn)

性非齊次微分方程的三個(gè)解，求此微分方程.

35.【2022-14分】已知321xxyexe=-，22xxyexe=-，23xyxe=-是某二階常系數(shù)

非齊次線(xiàn)性微分方程的3個(gè)解，該方程的通解為y=．

36.【2022-24分】已知321xxyexe=-，22xxyexe=-，23xyxe=-是某二階常系數(shù)

非齊次線(xiàn)性微分方程的3個(gè)解，該方程滿(mǎn)足條件00xy==01xy='=的解為y=．

37.【2022-34分】設(shè)函數(shù)()yyx=是微分方程'''20yyy+-=的解，且在0x=處()yx取得極值3，則()yx=

2.二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程的求解

38.【2022-14分】若函數(shù))(xf滿(mǎn)足方程0)(2)()('

''=-+xfxfxf及xexfxf2)()('=+，

則)(xf=________

39.【2022-24分】微分方程21sinyyxx''+=++的特解形式可設(shè)為

()A2(sincos)yaxbxcxAxBx*=++++.

()B2(sincos)yxaxbxcAxBx*=++++.

()C2sinyaxbxcAx*=+++.

()D2cosyaxbxcAx*=+++

40.【2022-24分】函數(shù)212xxxycecexe-=++滿(mǎn)足的一個(gè)微分方程是()

()A23xyyyxe'''--=

()B23xyyye'''--=()C23xyyyxe'''+-=

()D23xyyye'''+-=41.【1995-23分】微分方程''2yyx+=-的通解為_(kāi)_______.

42.【1996-23分】微分方程'''250yyy++=的通解為_(kāi)__________.

43.【1996-13分】微分方程'''22xyyye-+=的通解為_(kāi)____________.

44.【1999-13分】24xyye''-=的通解為

45.【2022-14分】二階常系數(shù)非齊次微分方程2432exyyy'''-+=的通解為

y=________.

46.【2022-14分】若二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程0yayby''++=的通解為()12xyCCxe=+，則非齊次方程yaybyx'''++=滿(mǎn)足條件()()02,00yy'==的解為y=

47.【2022-13分】設(shè)12(sincos)xyeCxCx=+（12,CC為隨意常數(shù)）為某二階常系

數(shù)

線(xiàn)性齊次微分方程的通解，則該方程為.

48.【1992-16分】求微分方程323xyyye-'''+-=的通解

49.【2022-110分】求微分方程322x

yyyxe'''-+=的通解.50.【1992-29分】求微分方程32xyyyxe'''-+=的解

51.【1993-29分】設(shè)二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程xyyyeαβγ'''++=的一個(gè)特解為2(1)xxyexe=++，試確定常數(shù),,αβγ，并求該方程的通解

52.【1994-29分】求微分方程2sinyayx''+=的通解，其中常數(shù)0a>

53.【1996-25分】求微分方程'''2yyx+=的通解.

54.【2000-36分】求微分方程220xyye

'''--=滿(mǎn)足條件(0)0,(0)1yy'==的解.55.【1998-25分】利用代換cosuyx

=

將方程cos2sin3cosxyxyxyxe'''-+=化簡(jiǎn)，并求出原方程的通解.56.【2022-212分】設(shè)函數(shù)()yyx=在),(+∞-∞內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且)(,0yxxy=≠'是()yyx=的反函數(shù).

(1)試將()xxy=所滿(mǎn)足的微分方程0))(sin(322=++dy

dxxydyxd變換為()yyx=滿(mǎn)足的微分方程；

(2)求變換后的微分方程滿(mǎn)足初始條件23

)0(,0)0(='=yy的解.

57.【2022-210分】設(shè)函數(shù)()yfx=由參數(shù)方程22,(1)()

xtttytψ?=+>-?=?所確定,其中()tψ

具有2階導(dǎo)數(shù),且5(1)(1)6.2

ψψ'==,已知223,4(1)dydxt=+求函數(shù)()tψ.58.【2022-212分】用變量代換)0(cosπ=++xydxdyxdxydx的通解為.__________

【小結(jié)】：形如()1(1)2(2)'121...0nnnnnnnnxyaxy

axyaxyay+++++=稱(chēng)為歐拉方程.令txe=則有，tdydydtdyedxdtdxdt

-==，22222222tttttttdyddyddydtdydydydyeeeeeeedxdxdtdtdtdxdtdtdtdt??????===-=-????????????

.以此類(lèi)推，將這些關(guān)系代回就可以將原方程化為常系數(shù)線(xiàn)性微分方程.

常考題型六：差分方程*（數(shù)三）

69.【2022-33分】某公司每年的工資總額比上一年增強(qiáng)20%的基礎(chǔ)上再追加2百萬(wàn)。若以tW表示第t年的工資總額（單位：百萬(wàn)元），則tW滿(mǎn)足的差分方程是

70.【1998-33分】差分方程121050ttyyt++-=的通解為_(kāi)_______.

71.【1997-33分】差分方程12tttyyt+-=的通解為_(kāi)________.

常考題型七：微分方程的應(yīng)用

1.利用微分學(xué)的學(xué)問(wèn)列方程

72.【1997-17分】設(shè)函數(shù)()fu具有二階延續(xù)導(dǎo)數(shù)，而(sin)x

zfey=滿(mǎn)足22222xzzezxy

??+=??，求()fu.73．【2022-1、2、310分】設(shè)函數(shù))(uf具有二階延續(xù)導(dǎo)數(shù)，)cos(yefzx

=滿(mǎn)足xxeyezy

zxz22222)cos4(+=??+??．若0)0(',0)0(==ff，求)(uf的表達(dá)式．

74.【2022-212分】設(shè)函數(shù)()fu在()0,+∞內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且zf=滿(mǎn)足等式22220zzxy

??+=??(I)驗(yàn)證()()0fufuu

'''+=.(II)若()()10,11,ff'==求函數(shù)()fu的表達(dá)式.

75.【1995-17分】設(shè)曲線(xiàn)L位于xoy平面的第一象限內(nèi)，L上任一點(diǎn)M處的切線(xiàn)與y軸總相交，交點(diǎn)記為A.已知MAOA=，且L過(guò)點(diǎn)33,22?????，求L的方程.

76.【1996-17分】設(shè)對(duì)隨意0x>，曲線(xiàn)()yfx=上點(diǎn)()(),xfx處切線(xiàn)在y軸上的截距等于()01xftdtx

?，求()fx的普通表達(dá)式.77.【1998-28分】設(shè)()yyx=是一向上凸的延續(xù)曲線(xiàn),其上隨意一點(diǎn)(,)xy處的曲率為

,且此曲線(xiàn)上點(diǎn)(0,1)處的切線(xiàn)方程為1yx=+,求該曲線(xiàn)的方程,并求函數(shù)

()yyx=的極值.

78.【2000-27分】某湖泊的水量為V，每年排入湖泊內(nèi)污染物A的污水量為

6V，流入湖泊內(nèi)不含A的水量為6

V，流出湖泊的水量為3V.已知1999年年底湖中A的含量為05m，超過(guò)國(guó)家規(guī)定指標(biāo)，為了治理污染，從2000年初起，限定排入湖泊中含A污水的濃度不超過(guò)0mV

.問(wèn)至少需經(jīng)過(guò)多少年，湖泊中污染物A的含量可降至0m以?xún)?nèi)？（注：設(shè)湖水中A的濃度是勻稱(chēng)的）.

79.【2022-27分】設(shè)函數(shù)(),()fxgx滿(mǎn)足()(),()2()x

fx

gxgxefx''==-，且(0)0,(0)2fg==，求20()()1(1)gxfxdxxxπ

??-??++???.80.【2022-29分】設(shè)L是一條平面曲線(xiàn)，其上隨意一點(diǎn)(,)Pxy(0)x>到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，恒等于該點(diǎn)處的切線(xiàn)在y軸上的截距，且L經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,0.2??

???

(1)試求曲線(xiàn)L的方程

(2)求L位于第一象限部分的一條切線(xiàn)，使該切線(xiàn)與L以及兩坐標(biāo)軸所圍圖形面積最小.81.【2022-212分】設(shè)()yyx=是區(qū)間-ππ（，）內(nèi)過(guò)

（的光潔曲線(xiàn)，當(dāng)-0xπ0a）.

(1)求L的方程；

(2)當(dāng)L與直線(xiàn)yax=所圍成平面圖形的面積為83

時(shí)，確定a的值.83.【2022-28分】求微分方程(2)0xdyxydx+-=的一個(gè)解()yyx=,使得由曲線(xiàn)()yyx=，與直線(xiàn)1,2xx==以及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積最小.

84.【2022-19分】設(shè))()()(xgxfxF=,其中函數(shù))(),(xgxf在),(+∞-∞內(nèi)滿(mǎn)足以下條

件：

)()(xgxf='，)()(xfxg='，且)00(=f,.2)()(xexgxf=+

（1）求)(xF所滿(mǎn)足的一階微分方程；

（2）求出)(xF的表達(dá)式.

85.【2022-212分】設(shè)位于第一象限的曲線(xiàn)()yfx=過(guò)點(diǎn))21,22(

，其上任一點(diǎn)(,)Pxy處的法線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為Q，且線(xiàn)段PQ被x軸平分.

（1）求曲線(xiàn)()yfx=的方程；

（2）已知曲線(xiàn)sinyx=在],0[π上的弧長(zhǎng)為l，試用l表示曲線(xiàn)()yfx=的弧長(zhǎng)s.

86.【2022-210分】設(shè)函數(shù)()yx具有二階導(dǎo)數(shù)，且曲線(xiàn):()lyyx=與直線(xiàn)yx=相切于原點(diǎn)，記α為曲線(xiàn)l在點(diǎn)(,)xy處切線(xiàn)的傾角，若

,ddydxdxα=求()yx的表達(dá)式．87.【2022-110分】已知曲線(xiàn)????

?200)(πttf.若曲線(xiàn)L的切線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)到切點(diǎn)的距離恒為1，求函數(shù))(tf的表達(dá)式，并求此曲線(xiàn)L與x軸與y軸無(wú)邊界的區(qū)域的面積.

88.【2022-34分】設(shè)某商品的收益函數(shù)為()Rp,收益彈性為3

1p+,其中p為價(jià)格,且(1)1R=,則()Rp=.

89.【2022-310分】設(shè)函數(shù)()fx在定義域I上的導(dǎo)數(shù)大于0，若對(duì)隨意的0xI?，曲線(xiàn)()yfx=在()()

00,xfx處切線(xiàn)與0xx=，x軸圍城的面積恒為4，()02f=，求()fx.2.利用定積分的幾何應(yīng)用列方程

90.【1997-26分】設(shè)曲線(xiàn)L的極坐標(biāo)方程為()rrθ=,(,)Mrθ為L(zhǎng)上任一點(diǎn),0(2,0)M為L(zhǎng)上一定點(diǎn),若極徑0OMOM、與曲線(xiàn)L所圍成的曲邊扇形面積值等于L上0,MM兩點(diǎn)

間弧長(zhǎng)值的一半,求曲線(xiàn)L的方程.

91.【1999-16分】設(shè)函數(shù)()(0)yxx≥二階可導(dǎo)且()0,(0)1yxy'>=，過(guò)曲線(xiàn)()yyx=上隨意一點(diǎn)(,)Pxy作該曲線(xiàn)的切線(xiàn)及x軸的垂線(xiàn)，上述兩直線(xiàn)與x軸所圍成的三角形的面積記為1S，區(qū)間[0,]x上以()yyx=為曲邊的曲邊梯形面積記為2S，并設(shè)122SS-恒為1，求此曲線(xiàn)()yyx=的方程.

92.【2022-211分】如圖，1C和2C分離是)1(21xey+=

x的圖象，過(guò)點(diǎn)(0,1)的曲線(xiàn)3C是一單調(diào)增函數(shù)的圖象.過(guò)2C上任一點(diǎn)(,)Mxy分離作垂直于x軸和y軸的直線(xiàn)xl和yl.記21,CC與xl所圍圖形的面積為)(1xS；32,CC與yl所圍圖形的面積為).(2yS如果總有)()(21ySxS=，求曲線(xiàn)3C的方程).(yx?=

93.【2022-211分】設(shè)()fx是區(qū)間[0,)+∞上具有延續(xù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)增強(qiáng)函數(shù)，且(0)1f=.對(duì)于隨意的[0,)t∈+∞，直線(xiàn)0,xxt==，曲線(xiàn)()yfx=以及x軸所圍成曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周生成一旋轉(zhuǎn)體.若該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面面積在數(shù)值上等于其體積的2倍，求函數(shù)()fx的表達(dá)式.

94.【2022-310分】設(shè)曲線(xiàn)()yfx=，其中()yfx=是可導(dǎo)函數(shù)，且()0fx>.已知曲線(xiàn)()yfx=與直線(xiàn)0,1yx==及(1)xtt=>所圍成的曲邊梯形，繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的立體體積值是繞曲邊梯形面積值的tπ倍，求該曲線(xiàn)方程。

95.【2022-210分】設(shè)非負(fù)函數(shù)()yyx=()0x≥滿(mǎn)足微分方程20xyy'''-+=.當(dāng)曲線(xiàn)()yyx=過(guò)原點(diǎn)時(shí),其與直線(xiàn)1x=及0y=圍成的平面區(qū)域D的面積為2,求D繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積.

96.【1998—37分】設(shè)函數(shù)()fx在[)1,+∞上延續(xù)，若由曲線(xiàn)()yfx=，直線(xiàn)1,x=

)

()1xtt=>與x軸所圍成的平面圖形繞x旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為()()()213Vttftfπ??=

-??.試求()yfx=所滿(mǎn)足的微分方程，并求該微分方程滿(mǎn)足條件229

xy==的解.3.利用物理邏輯列方程*（數(shù)一、數(shù)二）

97.【1993-26分】設(shè)物體A從點(diǎn)(0,1)動(dòng)身，以速度大小為常數(shù)v沿y軸正向運(yùn)動(dòng)，物體B從點(diǎn)(1,0)-與A同時(shí)動(dòng)身，其速度為2v，方向始終指向A，試建立物體B的運(yùn)動(dòng)軌跡所滿(mǎn)足的微分方程，并定出初始條件

98.【1997-25分】在某一人群中推廣新技術(shù)是通過(guò)其中已把握技術(shù)的人舉行的.設(shè)該人群的總?cè)藬?shù)為N,在0t=時(shí)刻已把握技術(shù)的人數(shù)為0x，在隨意時(shí)刻t已把握新技術(shù)的人數(shù)為()xt(將()xt視為延續(xù)可微變量)，其變化率與已把握新技術(shù)人數(shù)和未把握新技術(shù)人數(shù)之積成正比，比例常數(shù)0k>，求()xt.

99.【2022-211分】一個(gè)半球體狀的雪堆，其體積溶化的速率與半球面面積S成正比，比例常數(shù)0K>.假設(shè)在溶化過(guò)程中雪堆始終保持半球體狀，已知半徑為0r的雪堆在開(kāi)頭溶化的3小時(shí)內(nèi)，溶化了其體積的78

，問(wèn)雪堆所有溶化需要多少小時(shí)？100.【2022-210分】

)0)((≥=yyx?繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面

(如圖)，容器的底面圓的半徑為2m.按照設(shè)

計(jì)要求，當(dāng)以min/33m的速率向容器內(nèi)注入液體時(shí)，液面的面積將以2/minmπ的速率均

勻擴(kuò)大(假設(shè)注入液體前，容器內(nèi)無(wú)液體).（1）按照t時(shí)刻液面的面積，寫(xiě)出t與)(y?之間的關(guān)系式；

（2）求曲線(xiàn))(yx?=的方程.

(注：m表示長(zhǎng)度單位米，min表示時(shí)光單位分.)

101.【2022-311分】某種飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)降臨時(shí)，為了削減滑行距離，在觸地的眨眼，飛機(jī)尾部張開(kāi)減速傘，以增大阻力，使飛機(jī)快速減速并停下.現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機(jī)，

著陸時(shí)的水平速度為700/kmh.經(jīng)測(cè)試，減速傘打開(kāi)后，飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度

成正比（比例系數(shù)為).100.66?=k問(wèn)從著陸點(diǎn)算起，飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離是多少？

注kg表示千克，km/h表示千米/小時(shí).

102.【1998-36分】從船上向海中沉放某種探測(cè)儀器，按探測(cè)要求，需確定儀器的下沉深度y(從海平面算起)與下沉速度v之間的關(guān)系.設(shè)儀器在重力作用下，從海平面由靜止開(kāi)頭鉛直下沉，在下沉過(guò)程中還受到阻力和浮力的作用.設(shè)儀器的質(zhì)量為m，體積為B，海水比重為ρ，儀器所受的阻力與下沉速度成正比，比例系數(shù)為(0)kk>.試建立y與v所滿(mǎn)足的微分方程，并求出函數(shù)關(guān)系式()yyv=.

103.【2022-210分】已知高溫物體置于低溫介質(zhì)中，任一時(shí)刻物體溫度對(duì)時(shí)光的變化率與該時(shí)刻物體和介質(zhì)的溫差成正比，現(xiàn)將一初始溫度為120℃的物體在20℃恒溫介質(zhì)中冷卻，30min后該物體溫度降至30℃，若要將物體的溫度繼續(xù)降至21℃，還需要冷卻多長(zhǎng)時(shí)光？

【小結(jié)】：對(duì)微分方程的考查的很大一部分是以應(yīng)用題的形式浮現(xiàn)的，它要求考生不但要具備求解各種基本類(lèi)型的方程的能力，還要求考生能夠按照問(wèn)題的實(shí)際背景抽象出數(shù)學(xué)模型，建立起微分方程，對(duì)考生的綜合能力有了更高的要求。建立微分方程沒(méi)有固定的模式，惟獨(dú)通過(guò)練習(xí)不斷體味、不斷總結(jié)，這方面的內(nèi)容需要引起考生足夠的重視。詳細(xì)需要注重以下幾點(diǎn)：

●在處理微分方程的綜合題時(shí)，注重常微分方程與變上、下限積分，反函數(shù)與隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)的求法，極值問(wèn)題和級(jí)數(shù)理論的聯(lián)系；

●在處理微分方程在幾何上的應(yīng)用題型時(shí)，經(jīng)常要按照定積分的幾何意義（面積、體積）和導(dǎo)數(shù)的幾何意義（斜率、曲率）列出相應(yīng)的方程。

●在處理微分方程的物理上的應(yīng)用題型時(shí)，經(jīng)常要利用導(dǎo)數(shù)的物理意義（變化率、速度、加速度）、牛頓其次定律及能量守恒律（積分的物理意義）列出相應(yīng)的方程。

4.利用冪級(jí)數(shù)的學(xué)問(wèn)列方程

104.【2022-17分】（1）驗(yàn)證函數(shù)

3693()1()3!6!9!(3)!

n

xxxxyxxn=++++++-∞10.【1993-15分】【答案】221xyx=

+11.【1997-25分】【答案】122-=--Cxxxyy

12.【1999-27分】【答案】21(1)2

yx=-13.【2022-14分】【答案】12+=xxe

y14.【2022-24分】【答案】2xy=

15.【2022-23分】

【答案】315

yx=

16.【2022-24分】【答案】.91ln31xxxy-=17.【2022-24分】【答案】()xxeC--+

18.【1992-13分】【答案】cos()xxC?+

19.【2022-14分】【答案】sinxex-

20.【1992-25分】【答案】22xycx??=-+???

21.【1993-25分】【答案】2sin1

1xyx-=-

22.【1995-28分】【答案】1

*2xxexyee-+-=-

23.【1996-28分】【答案】（1）[]0()()(0)()xaxaxat

yxeFxFeeftdt--=-=?

24.【1999-36分】【答案】()()2221,1,1,1.xxexyxeex-?-≤?=?->??

25.【2022-310分】【答案】（1）()=xfxe；(2)拐點(diǎn)為()0,0

26.【1994-19分】【答案】2()2cossin2fxxxx=++-，

22

2sincos22xyyxyxxyC-+++=

27.【2000-13分】【答案】2

12

CyCx=+

28.【2022-13分】【答案】21yx=+

或y=

29.【2022-210分】【答案】3

2

23yx=

30.【2022-24分】【答案】()A

31.【2022-34分】【答案】()B

32.【2022-24分】【答案】2123cossinx

yCeCxCx=++

33.【2022-14分】【答案】()A

34.【1997-25分】【答案】22.xxyyyexe'''--=-

35.【2022-14分】【答案】3212x

x

xyCeCexe=+-

36.【2022-24分】【答案】32xxxyeexe=--

37.【2022-34分】【答案】22xxee-+

38.【2022-14分】【答案】xe

39.【2022-24分】【答案】()A

40.【2022-24分】【答案】(C)

41.【1995-23分】【答案】122cossinyxCxCx=-++

42.【1996-23分】【答案】()12cos2sin2xyeCxCx-=+

43.【1996-13分】【答案】12cossinxxxyCexCexe=++44.【1999-13分】【答案】22121()4xxyCeCxe-=++

，其中12,CC為隨意常數(shù)45.【2022-14分】【答案】3212ee2exxxyCC=+-

46.【2022-14分】【答案】2x

yxex=-++47.【2022-13分】【答案】''2'20yyy-+=

48.【1992-16分】【答案】331214

xxxyCeCexe--=+-49.【2022-110分】【答案】*212(2)xxxyyyCeCexxe=+=+-+

50.【1992-29分】【答案】22121()2xxxyCeCexxe=+-+

51.【1993-29分】【答案】3,2,1αβγ=-==-，212xxxyCeCexe=++

52.【1994-29分】【答案】當(dāng)1a≠時(shí)，通解為1221cossinsin1yCaxCaxxa=++

-；當(dāng)1a=時(shí)，通解為121cossincos2yCaxCaxxx=+-

53.【1996-25分】【答案】3212123

xyxxxCCe-=-+++54.【2000-36分】【答案】2311()442

xyxe=++55.【1998-25分】【答案】x

exCxxCyx

cos5sincos2cos21++=56.【2022-212分】【答案】.sinxyy=-''.sin21xeeyxx-

-=-57.【2022-210分】【答案】()233,(1)2

ttttψ=+>-58.【2022-212分】【答案】.122xxy-+=

59.【1994-15分】【答案】1

60.【2022-34分】【答案】()2121CxCex+

61.【2022-124分】【答案】()D

62.【2000-23分】【答案】()B

63.【2022-24分】【答案】2123cossinxyCe

CxCx=++64.【1995-36分】【答案】3232xxee-

65.【1997-136分】【答案】()22441tteππ+

66.【2000-28分】【答案】()1

-'=-+x

efxx67.【2022-210分】【答案】()ln|sincos|fxxx=+

68.【2022-14分】【答案】221x

cxcy+=69.【2022-33分】【答案】11.22