§3.1生活中的平移

一、新知要點

(1)平移的概念(2)平移的特點(3)平移的基本性質

火車沿筆直的軌道行駛、纜車沿筆直的索道滑行、火箭升空等物體都是沿

著一條直線運動的，那么在運動的過程中這些物體的形狀、大小、位置等因素

中，哪些沒有發生改變？哪些發生了變化？這種運動就叫做什么？

1.圖形的平移

例1：下圖中的圖形A向右平移了6格得到圖形A'

(1)平移的概念:在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離,這樣

的圖形運動稱為平移,平移不改變圖形的形狀和大小。

(2)平移的特點：

①平移是指整個圖形平行移動,涉及圖形的每一條線段,每一個點。通過平

移，圖形上的每一個點都沿同一個方向移動相同的距離。

②平移不改變圖形的形狀、大小，方向，只改變圖形的位置。

例2、觀測下圖aABE沿射線XY的方向平移一定距離后成為aCDF。

找出圖中存在的平行且相等的三條線段和一組全等三角形。

7Y

一C

X聲

AD

'F

1

BE

（3）平移的基本性質：

通過平移，相應點所連的線段平行且相等，相應線段平行且相等，相應角

相等。

二、新知鞏固（練習）

1.平移改變的是圖形的（）

A位置B大小C形狀D位置、大小和形狀

2.通過平移，相應點所連的線段（）

A平行B相等C平行且相等D既不平行,又不相等

3.通過平移，圖形上每個點都沿同一個方向移動了一段距離，下面說法對的的是

()

A不同的點移動的距離不同B既也許相同也也許不同

C不同的點移動的距離相同D無法擬定

4.如圖，四邊形ABCD平移后得到四邊形EFGH,

填空(1)CD=(2)ZF=—

(3)IIE=,(4)ZD=_____,

(5)DH=?

5.如圖,若線段CD是由線段AB平移而得到的,

則線段CD、AB關系是.

6.試著做一做:

(1)把圖形向右平移7格后得到(2)把圖形向左平移5格后到的

圖形涂上顏色。的圖形涂上顏色。

三、歸納小結

?通過本節課的學習，我們明白了什么叫平移。(在平面內，將一個圖形沿某

個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移。)

?總結出了平移的性質。(平移不改變圖形的形狀和大小。通過平移,相應點

所連的線段平行且相等;相應線段平行且相等，相應角相等。）

四、課外作業:

1.將長度為3cm的線段向上平移20cm,所得線段的長度是（）

A3cmB23cmC20cmD17cm

2.關于平移的說法，下列對的的是（）

A通過平移相應線段相等;B通過平移相應角也許會改變

C通過平移相應點所連的線段不相等;D通過平移圖形會改變、

3.把可以平移到黑色Ui位置的白涂上顏色。

uaa

口?

4.把圖中的三角形ABC（可記為△ABC）向右平移6個格子,畫出所得的△ABC.

二、新知要點

1.平移圖形的規律,作圖的順序；

2.平行線的作法及相應點的連結;

3.平移三要素:原圖形位置，平移方向，平移距離。

例1:觀測理解平移后的圖形。

J1

1f/f/

f

口辛修i格

i)

t/

ff

1ill評稀黑

例2：把圖中的三角形ABC（可記為AABC）向右平移8個格子，畫出所得的△

解：（1）、通過平移的圖形與本來的圖形的相應線段，相應

角,圖形的形狀和大小都。

（2）、平移的相應點所連線段o

（3）、其中BC與B'C'的關系是（位置關系和數量關

系）。

線段AB與A'B'的關系是（位置關系和數量關系）。

若AC=5,則A'C'=，若/BAC=60°，則NB'A'C=。

若△ABC周長為30,則AA，Q'C周長為。

若aABC面積為S,則4A'B'C'面積為。

例3:畫出平移后的圖形。

通過操作我們發現：

1.在方格紙上平移圖形時，把一個圖形向某個方向平移幾格，不是指原圖形和平移后

得到的新圖形兩個圖形之間的空格有幾格，而是指原圖形的每個頂點都向這一方向平移了

幾格。

2.在方格紙上平移圖形時,可以把這個圖形的各個頂點按指定的方向平移到新位置,先

分別描出各點，再把各點按本來的順序連接起來,成為按規定平移后得到的新圖形。

3.用平移的方式畫一排或一列圖形時」可以在第一個圖形的底部或左右畫一條橫線或豎

線，以這條橫線或豎線為基準，畫出的圖形就是平移得到的。

4.平移圖形或物體時，可以一次平移，也可以兩次平移，物體的方向都不會改變。

例4：如圖，通過平移，aABC的頂點A移到了點D,請作出平移后的三角形。A分析：

由于A與D是相應點,而平移的相應點的連線段平行且相等所以平移方向一一射線AD,平移

距離一一線段AD的長，

作法：￡1.分別過點B、C沿AD方向作線段BE、CF,使它們與AD平行且相等A

2.順次連結D、EF

參考圖

三、新知鞏固

1.分別畫出將口向下平移4格，向左平移8格后得到的圖形。

f

分析：5其分別畫出將口向下平7侈4格、向左平，移8格后得到的圖］員先要分別描出口zg

個頂點向下平移4格、向左平移8格后的新位置上的四個頂點,再把四個頂點順次連接起

來，就得到符合題意規定的圖形。

2.畫出花瓶向上平移4格后的圖形，再3.畫出三角形向右平移6格后的圖形,

畫出它繼續向左平移7格后的圖形。再畫出梯形向下平移5格后的圖形

四、歸納小結

?通過本節課的學習我們學會了平移作圖。

?擬定一個圖形平移后的位置所需條件為：①圖形本來的位置；②平移的方向；③平移

的距離。

五、課外作業

1.下列說法對的的是()

A由平移得到的兩個圖形的相應點連線長度不一定相等

B我們可以把“火車在一段筆直的鐵軌上行駛了一段距離”看作“火車沿著鐵軌方

向的平移”

C小明第一次乘觀光電梯，隨著電梯向上升,他快樂地對同伴說：“太棒了，我現在比

大樓還高呢，我長高了！”

D在圖形平移過程中，圖形上也許會有不動點

2.畫畫做做想想

V涂上顏色。

(1)移6格后得到的

平移2格后的圖形

3.如圖，已知△ABC,畫出△ABC沿PQ方向平移

2cm后的△△'B'C

4.二年級同學表演節目，11個男同學排成一排，每兩個男生之間安排一個女生，表演節

目的男女生一共有多少人？

§3.3生活中的旋轉

一、知識回顧

下列現象哪些是平移？

H_Ij

平移的特點有哪些？

①平移是指整個圖形平行移動，涉及圖形的每一條線段，每一個點.通過平

移，圖形上的每一個點都沿同一個方向移動相同的距離。

②平移不改變圖形的形狀、大小，方向，只改變圖形的位置。

平常生活中，我們經常見到（鐘表、風扇、汽車方向盤，摩天輪，旋轉木

馬……）鐘表指針的轉動、風扇扇葉的轉動、汽車方向盤的轉動等情景。（1）

上面情景中的轉動現象，有什么共同特性？（2）鐘表的指針、鐘擺在轉動過程

中，其形狀、大小、位置是否發生改變?風扇扇葉的轉動、汽車方向盤的轉動

呢？

二、新知要點

1.旋轉

在平面內，將一個圖形繞著一個定點沿某個方向轉動一個角度,這樣的圖形

運動稱為旋轉。這個定點稱為旋轉中心，轉動的角稱為旋轉角。旋轉不改變圖

形的大小和形狀。

注意：”將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度”意味著圖形上的

每個點同時都按相同的方式轉動相同的角度。在物體繞著一個定點轉動時，它

的形狀和大小不變。因此,旋轉具有不改變圖形的大小和形狀的特性。

例1.如圖，假如把鐘表的指針看做三角形OAB,它繞0點按順時芝型

旋轉得到AOEF,在這個旋轉過程中：B

A

O

(1)旋轉中心是什么？旋轉角是什么？

(2)通過旋轉，點A、B分別移動到什么位置?

解：(1)旋轉中心是0,NA0E、ZBOF等都是旋轉

角.

(2)通過旋轉,點A和點B分別移動到點E和點F的置。

2.旋轉的性質

(1)相應點到旋轉中心的距離相等；

(2)相應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；

(3)旋轉前、后的圖形全等；

(4)圖形的旋轉由旋轉中心和旋轉角度決定。

三、新知鞏固

1.如圖所示,假如把鐘表的指針看作四邊形AOBC,它繞0點按順時針方向旋

轉得到四邊形DOEF。在這個旋轉過程中

(1)旋轉中心是什么？旋轉角是什么？

(2)通過旋轉，點A、B分別移到什么位置？

⑶AO與DO的長有什么關系？B0與E0呢？

(4)ZAOD與NBOE有什么大小關系？

2.在正方形ABCD中，Z1=Z2=30°,

試把AADE繞點A順時針旋轉90°,

觀測整個圖形中角與角之間,線段

與線段之間,存在哪些相等的關系？

探索DE,BF,AF之間的關系

四、歸納小結

?結識了旋轉的圖形；

?旋轉圖形的三要素：旋轉中心、旋轉角、旋轉方向;

?旋轉圖形的性質。

五、課外作業

1.平移不改變圖形的_______只改變圖形的位置。故此若將線段AB向右平移3cm,

得到線段CD,假如AB=5cm,則CD=

2.下列關于旋轉和平移的說法對的的是()

A旋轉使圖形的形狀發生改變

B由旋轉得到的圖形一定可以通過平移得到

C平移與旋轉的共同之處是改變圖形的位置和大小

D相應點到旋轉中心距離相等

3.如圖,正方形ABCD可以當作由三角形______旋轉而成的，其旋轉

中心為點，旋轉角度依次為,，—

4.下列現象哪些是平移,哪些是旋轉。

左圖中的頭像，是一個頑皮的小孩,正在嬉皮笑臉地開玩笑。

倒過頭來仔細看看，再說一說這是個什么人?他是什么樣的表情?

§3.4簡樸的旋轉作圖

一、知識回顧

1.旋轉的概念

2.旋轉的三要素

3.旋轉的性質

如圖，在方格上作出“小旗子”繞0點按順時針方向旋轉90度后的圖案,

并簡述理由。

二、新知要點

簡樸圖形的旋轉作圖

兩種情況：①給出繞著旋轉的定點，旋轉方向和旋轉角的大小;

②給出定點和圖形的一個特殊點旋轉后的相應點。

作圖環節：①作出圖形的幾個關鍵點旋轉后的相應點；

②順次連接各點得到旋轉后的圖形。

例1.如圖,△ABC繞C點旋轉后，頂點A的相應點為點

D*

D,試擬定頂點B相應點的位置，以及旋轉后的三角形.人

分析：繞C點旋轉,A點的相應點是D點，那么旋轉角就

B

是/ACD,根據相應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉

角，即NBCB'=NACD,又由相應點到旋轉中心的距離相等，即CB=CB',就

可擬定B'的位置，如圖所示.

解：(1)連結CD

(2)以CB為一邊作NBCE,使得NBCE=NACDE。

(3)在射線CE上截取CB'=CB/\/

則夕即為所求的B的相應點.1At

(4)連結DB'

則ADB'C就是AABC繞C點旋轉后的圖形。

例2.如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形,且DE=；,4-P

△ABF是aADE的旋轉圖形./

(1)旋轉中心是哪一點？FBc

(2)旋轉了多少度？

(3)AF的長度是多少？

(4)假如連結EF,那么AAEF是如何的三角形?

分析：由4ABF是4ADE的旋轉圖形，可直接得出旋轉中心和旋轉角，規

定AF的長度,根據旋轉前后的相應線段相等,只規定AE的長度，由勾股定理很

容易得到。4ABF與AADE是完全重合的，所以它是直角三角形.

解：(1)旋轉中心是A點

(2):△ABF是由AADE旋轉而成的

，B是D的相應點

.,.ZDAB=90°就是旋轉角

(3)VAD=1,DE=1

4

?.?相應點到旋轉中心的距離相等且F是E的相應點

?A口后

..AF=---

4

(4)VZEAF=90°(與旋轉角相等)且AF=AE

.?.△EAF是等腰直角三角形.

三、新知鞏固

1.平面圖形的旋轉一般情況下改變圖形的()

A位置oB大小C形狀“D性質

2.9點鐘時，鐘表的時針和分針之間的夾角是()

A30°oB45°C60°oD90°

3.將平行四邊形ABCD旋轉到平行四邊形A'B'C'D'的位置，下列結論錯誤的是

()

A.AB=A'B'B.AB〃A'B'C.ZA=ZAZ。D.△ABC^AA,

B'C

4.做一做

在圖1中，將大寫字母A繞著它右下側的頂點按順時針方向旋轉90度,請作出旋轉后

的圖案.

圖1

四、歸納小結

?圖形的旋轉

?圖形旋轉的性質

?簡樸圖形的旋轉作圖環節

五、課外作業

1.鐘表上的指針隨時間的變化而移動,這可以看作是數學上的_____。

2.菱形ABCD繞點。沿逆時針方向旋轉到四邊形AB'C'D,則四邊形A'6'C'。'是

3.△ABC繞一點旋轉到AA'B'C,則aABC和AA'B'C的關系是。

4.鐘表的時針通過20分鐘,旋轉了度。

5.圖形的旋轉只改變圖形的,而不改變圖形的。

6.在圖中,將大寫字母H繞它右上側的頂點按逆時針方向旋轉90。，請作出旋轉后的

圖案。

7.將一個等腰直角三角形/8C（如圖2ZA是直角）繞著它的一個頂點B逆時針方向

旋轉，分別作出旋轉下列角度后的圖形。

(1)45°(2)90°(3)135°(4)180°

8.將下面的圖案繞點。順時針方向旋轉90度,作出旋轉后的圖形。

圖3

對比平移、軸對稱兩種圖形變換,旋轉變換與它們有哪些共性和區別？

§3.5他們是如何變過來的

一、知識回顧

i.平移的概念：

在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，

這樣的圖形運動稱為平移

2.平移的性質：

1.平移不改變圖形的大小和形狀。

2.相應點所連的線平行且相等。

相應線段平行且相等。

相應角相等。

3.旋轉的概念:

4.旋轉的性質

5.軸對稱的概念

6.軸對稱的性質

觀測下列圖形是怎么變過來的?

二、新知要點

例1：下圖由四部分組成,每部分都涉及兩個小“十”字，其中一部分能通過適當的旋轉

得到其他三部分嗎？能通過平移嗎?能通過軸對稱嗎？尚有其它方式嗎？

?iJLA.yiJDKLA.>IJL/V

XTXT

解析：(1)整個圖形可以看做是由十”字組成部分通過連續七次平移前后的圖形

共同組成;

(2)整個圖形也可以看做是由左邊的兩個“十”字組成的部分通過三次放置形成的；

(3)整個圖形不定期可以看做把左邊的兩個“十”字組成的部分先通過平移一次形成

左右四個“十”字組成的圖形，然后繞圖形中心旋轉90度前后的圖形共同組成；

(4)整個圖形還可以看做把左邊的兩個“十”字組成的部分通過二次軸對稱形成

的。

通過上述問題的討論，我們看到圖形的平移、旋轉，軸對稱變換是圖形變換中最基本

的三種變換方式,它們是此后設計圖案的重要手段。

例2:“想一想”你能將下面的左圖，通過平移或旋轉得到右圖嗎？

三、新知鞏固

1.如何將下圖中的甲圖變成乙圖案?

假如一個圖形沿一條直線折疊后,

直線兩旁的部分可以重合,

那么這個圖形叫做軸對稱圖形

對稱軸

例：如何將下圖中的甲圖變成乙圖案?

2、下圖是由三個正三角形拼成的，它可以看作由其中一個三角形通過如何的變化而得

到的？

看一看:

下列三幅圖案分別是由什么“基本圖形”通過平移或旋轉而得到的?

1.

2.

試一試:

如何將下圖中的甲圖變成乙圖?

做一做：

如圖①，在正方形力中,E是/1〃的中點,F是8A延長線上的一點,

2

(1)求證：/VIBE絲△/￡>尸.

(2)閱讀下列材料:如圖②，把△ABC沿直線平移線段8c的長度，可以變到△EC。的

位置；如圖③，以3c為軸把aABC翻折180°,可以變到△OBC的位置；如圖④，以點

A為中心，把△ABC旋轉180。，可以變到△4比>的位置，像這樣其中一個三角形是由另一個

三角形按平行移動、翻折、旋轉等方法變成的，這種只改變位置，不改變形狀大小的圖形變

換，叫做三角形的全等變換.

(1)在圖①中，可以通過平移、翻折、旋轉中的哪一種方法，使△ABE變到△AO尸的位

置？

(2)指出圖①中線段8E與。尸之間的關系.

1.旋轉的三要素

(1)旋轉中心;

(2)旋轉方向；

(3)旋轉角度。

三、解答題

9.下圖中的兩個正方形的邊長相等，請你指出可以通過繞點。旋轉而互相得到的圖形

并說明旋轉的角度.

11.如圖，菱形A'B'C'D'是菱形ABCD繞點0順時針旋轉90。后得到的，你能

作出旋轉前的圖形嗎？

12.Rtz^ABC,繞它的銳角頂點A分別逆時針旋轉90°,180°和順時針旋轉

90°,

A

(1)試作出Rt^ABC旋轉后的三角形;

(2)將所得的所有三角形當作一個圖形，你將得到如何的圖形？

13.如圖,將右面的扇形繞點0按順時針方向旋轉，分別作出旋轉下列角度后的圖形:

(1)90°；(2)180°

你能發現將扇形旋轉多少度后能與原圖形重合嗎？

14.如圖，分析圖中的旋轉現象，并仿照此圖案設計一個圖案.

§3.6簡樸的圖案設計

圖案設計：圖案的設計是由基本圖形通過適當的平移、旋轉、軸對稱等圖形的變換而得到

的。其中中心對稱是旋轉變換的一種特例。

2.中心對稱

把一個圖形繞著某一點旋轉180。,假如它能與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形

關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形的相應點叫做關于中心

的對稱點。

3.中心對稱圖形

假如把一個圖形繞著某一點旋轉180°后能與自身重合,那么我們就說，這個圖形

是中心對稱圖形。

4.中心對稱的性質

（1）關于中心對稱的兩個圖形是全等形。

（2）關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都通過對稱中心，并且被對稱中心平分。

（3）關于中心對稱的兩個圖形，相應線段平行（或者在同一直線上）且相等。

5.在“黨”“在”“我”“心”“中”五個漢字中，旋轉180°后不變的字是

在字母“X”、"V”、"Z”、"H”中繞某點旋轉（旋轉度數不超過180）后不

能與原圖形重合的是

3.如圖⑴,兩塊完全重合的正方形紙片,假如上面的一塊統正方形的中心。作0°?90°

的旋轉，那么旋轉時露出的4ABC的面積（S）隨著旋轉角度（n）的變化而變化，下面

表達S與n的關系的圖象大體是圖⑵中的（）

5.如圖是蹺蹺板示意圖，模板AB通過點O,且可以繞點O上下轉動，假如