第一部分矢量分析基礎演示文稿當前第1頁\共有49頁\編于星期六\14點優選第一部分矢量分析基礎當前第2頁\共有49頁\編于星期六\14點本章重點介紹與矢量場分析有關的數學基礎內容。

矢量代數常用正交坐標系標量場的梯度矢量場的散度矢量場的旋度拉普拉斯運算亥姆霍茲定理本章內容本章重點當前第3頁\共有49頁\編于星期六\14點

矢量的幾何表示：用一條有方向的線段來表示

矢量的幾何表示矢量可表示為：其中為模值，表征矢量的大小；為單位矢量，表征矢量的方向；

說明：矢量書寫時，印刷體為場量符號加粗，如。教材上的矢量符號即采用印刷體。1.1矢量代數1.1.1標量和矢量標量與矢量標量：只有大小，沒有方向的物理量(電壓U、電荷量Q、能量W等）矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，電、磁場強度）矢量的代數表示當前第4頁\共有49頁\編于星期六\14點矢量用坐標分量表示zxy當前第5頁\共有49頁\編于星期六\14點1.1.2矢量代數運算矢量的加法和減法說明：1、矢量的加法符合交換律和結合律：

2、矢量相加和相減可用平行四邊形法則求解：當前第6頁\共有49頁\編于星期六\14點矢量的乘法矢量與標量相乘標量與矢量相乘只改變矢量大小，不改變方向。矢量的標積（點積）說明：1、矢量的點積符合交換律和分配律：

2、兩個矢量的點積為標量3、當前第7頁\共有49頁\編于星期六\14點矢量的矢積（叉積）說明：1、矢量的叉積不符合交換律，但符合分配律：

2、兩個矢量的叉積為矢量3、矢量運算恒等式qsinABq當前第8頁\共有49頁\編于星期六\14點三維空間任意一點的位置可通過三條相互正交線的交點來確定。在電磁場與波理論中，三種常用的正交坐標系為：直角坐標系、圓柱坐標系和球坐標系。三條正交線組成的確定三維空間任意點位置的體系，稱為正交坐標系；三條正交線稱為坐標軸；描述坐標軸的量稱為坐標變量。1.2三種常用的正交坐標系當前第9頁\共有49頁\編于星期六\14點1.2.1直角坐標系位置矢量面元矢量線元矢量體積元坐標變量坐標單位矢量點P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標系

x

yz直角坐標系的長度元、面積元、體積元

odzdydx當前第10頁\共有49頁\編于星期六\14點1.2.2圓柱坐標系坐標變量坐標單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量圓柱坐標系中的線元、面元和體積元圓柱坐標系當前第11頁\共有49頁\編于星期六\14點說明：圓柱坐標系下矢量運算方法：加減：標積：矢積：當前第12頁\共有49頁\編于星期六\14點1.2.3球面坐標系球坐標系球坐標系中的線元、面元和體積元坐標變量坐標單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量當前第13頁\共有49頁\編于星期六\14點說明：球面坐標系下矢量運算：

加減：標積：矢積：當前第14頁\共有49頁\編于星期六\14點1.2.4坐標單位矢量之間的關系

直角坐標與圓柱坐標系圓柱坐標與球坐標系直角坐標與球坐標系oφxy單位圓

直角坐標系與柱坐標系之間坐標單位矢量的關系φoθrz單位圓

柱坐標系與球坐標系之間坐標單位矢量的關系θθ當前第15頁\共有49頁\編于星期六\14點三種坐標系有不同適用范圍：1、直角坐標系適用于場呈面對稱分布的問題求解，如無限大面電荷分布產生電場分布。2、柱面坐標系適用于場呈軸對稱分布的問題求解，如無限長線電流產生磁場分布。3、球面坐標系適用于場呈點對稱分布的問題求解，如點電荷產生電場分布。當前第16頁\共有49頁\編于星期六\14點課外學習實訓

一、學習報告

將位于球坐標系下的P點（1，30°，90°）處的矢量

，先在直角坐標系下表示出其表達式，然后再將所得到的表達式，重新表達成球坐標系下表出。

則將得到如下悖論：

推導此悖論并分析產生此悖論的原因。在此基礎上，撰寫一篇關于對三個常用坐標系單位坐標矢量認識的學習報告，并另外設計一個類似的悖論。

當前第17頁\共有49頁\編于星期六\14點1.3標量場的梯度如果物理量是標量，稱該場為標量場。

例如：溫度場、電位場、高度場等。如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。

例如：流速場、重力場、電場、磁場等。如果場與時間無關，稱為靜態場，反之為時變場。時變標量場和矢量場可分別表示為：

確定空間區域上的每一點都有確定物理量與之對應，稱在該區域上定義了一個場。從數學上看，場是定義在空間區域上的函數：標量場和矢量場靜態標量場和矢量場可分別表示為：當前第18頁\共有49頁\編于星期六\14點1.3.1標量場的等值面標量場的等值線(面)等值面:標量場取得同一數值的點在空間形成的曲面。等值面方程：常數C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標量場的等值面充滿場所在的整個空間；標量場的等值面互不相交。

等值面的特點：意義:形象直觀地描述了物理量在空間的分布狀態。當前第19頁\共有49頁\編于星期六\14點1.3.2方向導數表征空間某點處標量場場值沿特定方向變化率。方向導數定義：——

的方向余弦。

方向導數物理意義：，標量場在處沿方向增加率；，標量場在處沿方向減小率；，標量場在處沿方向為等值面方向（無改變）當前第20頁\共有49頁\編于星期六\14點方向導數既與點M0有關，也與方向有關。問題：在什么方向上變化率最大?

最大的變化率為多少？梯度當前第21頁\共有49頁\編于星期六\14點梯度的定義式中：為場量最大變化率的方向上的單位矢量。梯度的性質標量場的梯度為矢量，且是坐標位置的函數標量場梯度的幅度表示標量場的最大變化率標量場梯度的方向垂直于等值面，為標量場增加最快的方向標量場在給定點沿任意方向的方向導數等于梯度在該方向投影1.3.3標量場的梯度當前第22頁\共有49頁\編于星期六\14點梯度的運算直角坐標系：哈密頓算符球面坐標系：柱面坐標系：當前第23頁\共有49頁\編于星期六\14點梯度運算相關公式式中：為常數；為坐標變量函數；當前第24頁\共有49頁\編于星期六\14點1.4矢量場的通量與散度

1.矢量線意義：形象直觀地描述了矢量場的空間分布狀態。矢量線方程：概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一點的切線方向代表了該點矢量場的方向。矢量線OM

當前第25頁\共有49頁\編于星期六\14點矢量場的通量

若矢量場分布于空間中，在空間中存在任意曲面S，則定義：為矢量沿有向曲面S的通量。1.4.2矢量場的通量問題：如何定量描述矢量場的大小？

引入通量的概念。

若S為閉合曲面

物理意義：表示穿入和穿出閉合面S的通量的代數和。

當前第26頁\共有49頁\編于星期六\14點3)

1)面元矢量定義：面積很小的有向曲面。：面元面積，為微分量，無限小：面元法線方向，垂直于面元平面。說明：2)面元法向的確定方法：對非閉合曲面：由曲面邊線繞向按右手螺旋法則確定；對閉合曲面：閉合面外法線方向關于矢量場通量的說明當前第27頁\共有49頁\編于星期六\14點若，通過閉合曲面有凈的矢量線穿出，閉合面內有發出矢量線的正源；若，有凈的矢量線進入，閉合面內有匯集矢量線的負源；若，進入與穿出閉合曲面的矢量線相等，閉合面內無源，或正源負源代數和為0。通過閉合面S的通量的物理意義：當前第28頁\共有49頁\編于星期六\14點、矢量場的散度散度的定義在場空間中任意點M處作一個閉合曲面，所圍的體積為，則定義場矢量在M點處的散度為：即流出單位體積元封閉面的通量，體現了點M處的通量源密度。當前第29頁\共有49頁\編于星期六\14點散度的物理意義矢量場的散度表征了矢量場的通量源的分布特性(體密度)；矢量場的散度是標量；矢量場的散度是空間坐標的函數；矢量場的散度值表征空間中某點處通量源的密度。(正源)

負源)(無源）若處處成立，則該矢量場稱為無散場若，則該矢量場稱為有散場，為源密度討論：在矢量場中，當前第30頁\共有49頁\編于星期六\14點在直角坐標系下：在圓柱坐標系下：在球面坐標系下：散度的計算當前第31頁\共有49頁\編于星期六\14點散度運算相關公式1.4.4散度定理（矢量場的高斯定理）該公式表明了矢量場的散度在體積V內的積分等于矢量場穿過包圍該體積的邊界面S的通量。當前第32頁\共有49頁\編于星期六\14點1.5矢量場的環流旋度磁感應線要么穿過曲面磁感應線要么同時穿入和穿出曲面磁感應線磁場的環流：當前第33頁\共有49頁\編于星期六\14點1.5.1矢量的環流在場矢量空間中，取一有向閉合路徑，則稱沿積分的結果稱為矢量沿的環流。即：線元矢量：長度趨近于0，方向沿路徑切線方向。環流意義：若矢量場環流不為零，則矢量場中存在產生矢量場的漩渦源。反映矢量場漩渦源分布情況討論：環量的定義當前第34頁\共有49頁\編于星期六\14點1.5.2矢量的旋度環流面密度稱為矢量場在M點處沿方向的漩渦源密度。定義：空間某點M處單位面元邊界閉合曲線的環流：1)環流面密度大小與所選取的單位面元方向有關。2)任意取向面元的環流面密度與最大環流面密度的關系：當前第35頁\共有49頁\編于星期六\14點矢量場的旋度矢量場在M點的旋度為該點處環流面密度最大時對應的矢量，模值等于M點處最大環流面密度，方向為環流密度最大的方向，表示為，即：式中：表示矢量場旋度的方向；

旋度的物理意義矢量的旋度為矢量，是空間坐標的函數

矢量在空間某點處的旋度表征矢量場在該點處的漩渦源密度當前第36頁\共有49頁\編于星期六\14點

旋度的計算直角坐標系：當前第37頁\共有49頁\編于星期六\14點柱面坐標系：球面坐標系：矢量場的旋度的散度恒為零標量場的梯度的旋度恒為零旋度計算相關公式：證明證明當前第38頁\共有49頁\編于星期六\14點討論：散度和旋度比較當前第39頁\共有49頁\編于星期六\14點1.5.3斯托克斯定理由旋度的定義對于有限大面積s，可將其按如圖方式進行分割，對每一小面積元有斯托克斯定理的證明：＝得證！意義：矢量場的旋度在曲面上的積分等于該矢量場在限定該曲面的閉合曲線上的環流。曲面的剖分方向相反大小相等抵消當前第40頁\共有49頁\編于星期六\14點若矢量場在某區域V內，處處，但在某些位置或整個空間內，有，則稱在該區域V內，場為無旋場。1.6無旋場與無散場1.6.1無旋場結論：無旋場場矢量沿任何閉合路徑的環流等于零(無漩渦源)。重要性質：無旋場的旋度始終為0，可引入標量輔助函數表征矢量場，即例如：靜電場當前第41頁\共有49頁\編于星期六\14點1.6.2無散場若矢量場在某區域V內，處處，但在某些位置或整個空間內，有，則稱在該區域V內，場為無源有旋場。結論：無散場通過任意閉合曲面的通量等于零（無散度源）。重要性質：無散場的散度始終為0，可引入矢量函數的旋度表示無散場例如，恒定磁場當前第42頁\共有49頁\編于星期六\14點（3）無旋、無散場（源在所討論的區域之外）（4）有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分無旋場部分無散場部分當前第43頁\共有49頁\編