2022-2023學年九年級數學上冊期末真題重組培優卷

【人教版】

參考答案與試題解析

選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）

1.（3分）（2022?廣東廣州?中考真題）直線y=x+a不經過第二象限，則關于x的方程a/+2%+1=0實

數解的個數是（）.

A.0個B.1個C.2個D.1個或2個

【答案】D

【分析】根據直線丫=刀+a不經過第二象限，得到aS0,再分兩種情況判斷方程的解的情況.

【詳解】自直線y=%+a不經過第二象限，

0a<0,

團方程ax?+2x+1=0,

當a=0時，方程為一元一次方程，故有一個解，

當a<0時，方程為一元二次方程，

0A=b2-4ac=4—4a,

04-4a>O,

包方程有兩個不相等的實數根，

故選：D.

【點睛】此題考查一次函數的性質：利用函數圖象經過的象限判斷字母的符號，方程的解的情況，注意易

錯點是a的取值范圍，再分類討論.

2.（3分）（2022?河南?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的正六邊形ABCOE尸的中心與

原點。重合，4B||x軸，交），軸于點P.將回OAP繞點O順時針旋轉，每次旋轉90。，則第2022次旋轉結束

時.，點A的坐標為（）

A.(V3,-1)B.(-1,-73)C.(-V3.-1)D.(1,V3)

【答案】B

【分析】首先確定點A的坐標，再根據4次一個循環，推出經過第2022次旋轉后，點A的坐標即可.

【詳解】解：正六邊形A2CDEF邊長為2,中心與原點O重合，4B||x軸，

B4尸=1,AO=2,0O%=90°,

&OP=>JAO2-AP2=>/3,

EL4（1,V3）,

第1次旋轉結束時，點4的坐標為（目，-1）；

第2次旋轉結束時，點4的坐標為（-1,-V3）；

第3次旋轉結束時，點A的坐標為（一8，1）:

第4次旋轉結束時，點A的坐標為（1,V3）；

回將回OAP繞點O順時針旋轉，每次旋轉90°,

04次一個循環，

團2022+4=505......2,

田經過第2022次旋轉后，點4的坐標為（-1,-V3）,

故選：B

【點睛】本題考查正多邊形與圓，規律型問題，坐標與圖形變化-旋轉等知識，解題的關鍵是學會探究規

律的方法，屬于中考常考題型.

3.（3分）（2022?廣西梧州?中考真題）如圖，?0是△ABC的外接圓,且4B=4C,NB4C=36。，在弧AB

上取點。（不與點A,B重合），連接BD,4D,則NBAC+乙4BD的度數是（）

A.60°B.62°C.72°D.73°

【答案】C

【分析】連接8,根據等腰三角形的性質可求財C8的度數，然后根據圓周定理求出SBAD/BCD,

^ABD=SACD,從而可求出ZB/W+乙4BD的度數.

【詳解】解：連接CD，

A

則團8A。=團SCO,^ABD=^ACDf

l?L4B=AC,

^ABC^ACB,

又團B4C=36°,

的4C8=i80°-36。=72。，

2

WBAD+5iABD=^BCD+SACD=^CB=72°.

故選：C.

【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質等知識，根據圓周角定理得出回區4。=團8C￡>,^ABD^ACD

是解題的關鍵.

4.（3分）（2022?全國?九年級課時練習）如圖，點0是等邊三角形4BC內一點，04=2,OB=1,0C=陋,

貝以4。8與ABOC的面積之和為（）

A.—B.—C.—D.V3

424

【答案】c

【分析】將A40B繞點8順時針旋轉60。得ABC。，連接。。，得到△B0D是等邊三角形，再利用勾股定理的

逆定理可得乙C。。=90。，從而求解.

【詳解】解：將AAOB繞點B順時針旋轉60。得ABCD,連接。D,

o

D

：?0B=0D,Z.BOD=60°,CD=OA=2,

**?A8。。是等邊三角形，

:.OD=OB=1?

,：OD2+OC2=12+(V3)2=4,CD2=22=4,

：.OD2+OC2=CD2,

Z.DOC=90°,

AAOB與ABOC的面積之和為

S&BOC+SABCD=SRBOD+SACO。=/xl2+gxlxV5=乎.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質，勾股定理的逆定理，旋轉的性質等知識，利用旋轉將

A40B與A80C的面積之和轉化為SABOC+SASCD,是解題的關鍵.

5.(3分)(2022?山東棗莊?中考真題)如圖，將AABC先向右平移1個單位，再繞點尸按順時針方向旋轉

90。，得到△ABC,則點B的對應點方的坐標是()

A.(4,0)B.(2,-2)C.(4,-1)D.(2,-3)

【答案】C

【分析】根據平移和旋轉的性質，將財BC先向右平移1個單位，再繞P點順時針方向旋轉90。，得到姐5C,

即可得點B的對應點)的坐標.

【詳解】作出旋轉后的圖形如下:

如T點的坐標為（4,-1）,

故選：C.

【點睛】本題考查了坐標與圖形變換-旋轉、平移，解決本題的關鍵是掌握旋轉的性質.

6.（3分）（2022?山東煙臺?中考真題）如圖所示的電路圖，同時閉合兩個開關能形成閉合電路的概率是（）

【答案】B

【分析】畫樹狀圖，共有6種等可能的結果，其中同時閉合兩個開關能形成閉合電路的結果有4種，再山

概率公式求解即可.

【詳解】解：把Si、S2、S3分別記為A、B、C,

畫樹狀圖如下：

開始

共有6種等可能的結果，其中同時閉合兩個開關能形成閉合電路的結果有4種，即48、AC、BA.CA,

團同時閉合兩個開關能形成閉合電路的概率為:=|.

63

故選:B.

【點睛】本題考查的是用樹狀圖法求概率.樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步

或兩步以上完成的事件.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比，列出樹狀圖是解題的關鍵.

7.（3分）（2022?山東荷澤?中考真題）如圖，等腰RtAABC與矩形￡>EkG在同一水平線上,AB=DE=2,DG

3,現將等腰沿箭頭所指方向水平平移，平移距離x是自點C到達。E之時開始計算，至AB離開

GF為止.等腰Rt△2BC與矩形DEFG的重合部分面積記為y,則能大致反映y與x的函數關系的圖象為（）

【答案】B

【分析】根據平移過程，可分三種情況，當0Sx<l時，當lSx<3時，當3WXS4時，利用直角三角形

的性質及面積公式分別寫出各種情況下y與x的函數關系式，再結合函數圖象即可求解.

【詳解】過點C作CM^AB于-N,DG=3,

在等腰Rt△力BC中，AB=2,

：.CN=1,

①當0SXC1時，如圖，CM=x,

???PQ=2x,

11O

y=--PQ-CM=-x2x-x=x2,

EIOWXCI,)，隨x的增大而增大；

②當1Wx<3時，如圖，

y=S&A8C=]X2xi=i，

團當1W%<3時，y是一個定值為1；

③當3WXW4時，如圖，CM=x-3,

PQ=2(x-3),

...y=l^.CW_lP(?.CM=lX2x1-1x2x(x-3)2

當x=3,y=l,當3cx<4,y隨x的增大而減小，當x=4,產0,

結合ABCD選項的圖象,

故選：B.

【點睛】本題考查了動點函數問題，涉及二次函數的圖象及性質，能夠準確理解題意并分情況討論是解題

的關鍵.

8.（3分）（2022?山東濰坊?中考真題）已知關于x的一元二次方程m/一（7n+2次+5=0有兩個不相等

的實數根X2.若工+工=4巾，則根的值是（）

XiX2

A.2B.-1C.2或-1D.不存在

【答案】A

【分析】先由二次項系數非零及根的判別式A>0,得出關于布的不等式組，解之得出，〃的取值范圍，再根

據根與系數的關系可得出%+X2=巴上，萬62=；，結合2■+^=4m,即可求出加的值.

【詳解】解：回關于x的一元二次方程謁-（加+2）戶：=0有兩個不相等的實數根打、如

（mH0

=（m+2/—4m-^>0,

解得：m>-l且〃津0,

舐/、田是方程^/-（〃^^卜+十二。的兩個實數根，

4

_,m+21

+%2=~—，%1%2="

0i+—=4m,

XlX2

m+2

0-f-=4m,

4

0/77=2或T,

曲〃>T,

0/n=2.

故選：A.

【點睛】本題考查了根與系數的關系、一元二次方程的定義以及根的判別式，解題的關鍵是：（1）根據二次

項系數非零及根的判別式△>（），找出關于〃7的不等式組；（2）牢記與+》2=-1%廠久2=%

9.（3分）（2022?四川資陽?中考真題）如圖是二次函數、=?2+"+。的圖象，其對稱軸為直線％=-1,

且過點（0,1）.有以下四個結論：①abc>0,（2）a-b+c>1,③3a+c<0,④若頂點坐標為（一1,2）,

當mWxW1時，y有最大值為2、最小值為-2,此時，"的取值范圍是-3Wm4-1.其中正確結論的個數

是()

【答案】A

【分析】①：根據二次函數的對稱軸—/=—1,c=l,即可判斷出abc>0；

②：結合圖象發現，當x=-l時，函數值大于1,代入即可判斷：

③：結合圖象發現，當x=l時，函數值小于0,代入即可判斷；

④：運用待定系數法求出二次函數解析式，再利用二次函數的對稱性即可判斷.

【詳解】解：國二次函數丁=。/+8”+(:的圖象，其對稱軸為直線x=—1,且過點(0,1),

S——2a=-1.c=1,

0afe>O,以加>0,故①正確；

從圖中可以看出，當x=T時，函數值大于1,因此將x=-1代入得，(-4)2.a+(-1)-b+c>l,即a-b+

c>1,故②正確；

團一；=—1,0b=2a,從圖中可以看出，當％=1時，函數值小于0,

2a

團a+b+cVO,03a4-c<0,故③正確：

團二次函數y=ax2+b%+c的頂點坐標為(一1,2),

團設二次函數的解析式為y=a(x+l)2+2,將(0,1)代入得，1=Q+2,

解得Q=-1,

團二次函數的解析式為y=一(％+1)2+2,

團當％=1時，y=-2：

回根據二次函數的對稱性，得到一3三小工一1,故④正確；

綜上所述，①②③④均正確，故有4個正確結論，

故選A.

【點睛】本題考查「二次函數的圖象和性質，待定系數法求二次函數解析式等，熟練掌握二次函數的圖象

和性質是本題的關鍵.

10.（3分）（2022?四川?九年級專題練習）如圖，己知。4=6,OB=8,BC=2,。。與。8、4B均相切,

點P是線段AC與拋物線丫=a/的交點，則a的值為（）

【答案】D

【分析】在Rt財。8中，由勾股定理求得48=10；再求得直線AC的解析式為y=-工+6；設OP的半徑

為〃?，可得P（m,-zn+6）；連接尸8、P0、PC,根據S.OB=SAAOP+S—PB+S^BOP求得加=1,即可得點

P的坐標為（1,5）:再由拋物線y=a/過點p,由此即可求得a=5.

【詳解】在RtEIAOB中，。4=6,OB=8,

EL4S=s/OA2+OB2=V62+82=10；

回。8=8.BC=2,

回OC=6,

0C（0,6）；

B1OA=6,

EL4（6,0）；

設直線AC的解析式為y=kx+b,

成6k甘

Ib=6

解得仁

回直線AC的解析式為y=-x+6；

設OP的半徑為，”,

囪OP與。8相切,

13點尸的橫坐標為

0點P在直線AC上,

0PCm,-m+6)；

EB08/，邊。8上的高為mEL4O8邊A8上的高為

EIP(m,-m+6)；

回西0。邊。A上的高為加+6,

圈4A0B=SbAOP+SMPB+S^BOP'

E)|x6x8=1x6x(-m+6)+1x10m+|x8m,

解得?n=L

0P(1,5)；

團拋物線y=a/過點p,

0a=5.

故選D.

【點睛】本題考查了切線的性質定理、勾股定理、待定系數法求解析式，正確求出OP的半徑是解決問題的

關鍵.

二.填空題（共6小題，滿分30分，每小題5分）

11.（3分）（2022?全國?九年級單元測試）若點P（m,n）在二次函數y=/+2x+2的圖象上，且點P到y軸

的距離小于2,則n的取值范圍是.

【答案】14n<10

【分析】先判斷—2<m<2,再根據二次函數的性質可得：n=7712+2^+2=On+1）2+1,再利用二次

函數的性質求解”的范圍即可.

【詳解】解：???點P到y軸的距離小于2,

-2<m<2,

??,點P（m,九）在二次函數y=%24-2%+2的圖象上，

???n=m24-2m+2=（m+1尸+1,

???當m=-1時,n有最小值為1.

當m=2時，n=（2+I）2+1=10,

??.幾的取值范圍為1<n<10.

故答案為：1V10

【點睛】本題考查的是二次函數的性質，掌握〃二次函數的增減性〃是解本題的關鍵.

12.（3分）（2022?四川涼山?中考真題）已知實數以b滿足。一〃=4,則代數式々2—3〃+。一14的最小

值是.

【答案】6

【分析】根據〃一〃=4得出非=。一4,代入代數式/—3乂+〃一山中，通過計算即可得到答案.

【詳解】團a=4

062=a-4

將〃=a-4代入a2—3h2+a—14中

得：a2—3b2+a—14=a2—3（a-4）+a—14=a2—2a—2

a2—2a—2=a2—2a4-1—3=（a—l）2—3

鼬2=a-4>0

0a>4

當a=4時,（a-1）2-3取得最小值為6

0a2-2a-2的最小值為6

0a2—3b2+a_14=a2—2a—2

Ela2-3/>2+a—14的最小值6

故答案為：6.

【點睛】本題考查了代數式的知識，解題的關鍵是熟練掌握代數式的性質，從而完成求解.

13.（3分）（2022?貴州遵義?中考真題）如圖拋物線y=x2+2x-3與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,

點P是拋物線對稱軸上任意一點，若點D、E、F分別是BC、BP、PC的中點，連接DE,DF,則DE+DF的最

【分析】連接AC,與對稱軸交于點P,此時DE+DF最小，求解即可.

【詳解】連接AC,與對稱軸交于點P,

此時DE+DF最小，

?.?點D、E、F分別是BC、BP、PC的中點,

DE=^PC,DF=^PB,

在二次函數y=x?+2x-3中，當x=0時，y=-3,

當y=0時，x=-3或x=1.

即4(-3,0),B(1,O),C(0,-3).

OA=OC=3,

AC=V32+32=3V2,

點P是拋物線對稱軸上任意一點，

則PA=PB,

PA+PC=AC,

PB+PC=3V2,

DE+DF的最小值為：|(PB+PC)=2^.

故答案為言.

【點睛】考查二次函數圖象上點的坐標特征，三角形的中位線，勾股定理等知識點，找出點P的位置是解

題的關鍵.

14.(3分)(2022?遼寧遼寧?中考真題)如圖，在正方形A8C。中，對角線AC,8。相交于點。，點E是

0。的中點，連接CE并延長交4。于點G,將線段CE繞點C逆時針旋轉90。得到CF,連接E凡點〃為

EF的中點.連接OH,則笠的值為

【分析】以。為原點，平行于AB的直線為x軸，建立直角坐標系，過E作EM3CD于“，過F作FA0DC,

交力C延長線于M設正方形A8co的邊長為2,從而求出E的坐標，然后根據待定系數法求出直線CE的

解析式，即可求出G的坐標，從而可求出GE,根據旋轉的性質可求出F的坐標，進而求出”的坐標，則

可求O”，最后代入計算即可得出答案.

【詳解】解：以。為原點，平行于48的直線為x軸，建立直角坐標系，過E作EM0CZ)于M,過尸作FNSDC,

交QC延長線于M如圖：

M(-i,i),

設直線CE解析式為產區+6,把C(1,1),E(-|,1)代入得:

(k+b=1

k=-

解得1I,

\3

回直線CE解析式為y=1+g,

在y="+|中，令x=-l得y=g,

團G(T，9,

BGE=J(-1+1)2+(|-1)2=V'

團將線段C￡繞點。逆時針旋轉90。得到CF,

團CE=CF,團EC尸=90°,

WMCE=90°-?NCFFNFC,

WEMC=^CNF=90°f

^EMC^CNF(AAS),

國ME=CN,CM=NF,

0E(一：，i),C(1,1),

22

囪MECNCMNF

==L22==-,

團F(一,—)

團”是￡了中點,

團”(-,0),

00//=-,

故答案為：~y--

【點睛】本題考查了正方形的性質，旋轉的性質，兩點間距離公式等知識，以。為原點，平行于A8的直線

為x軸，建立直角坐標系是解題的關鍵.

15.(3分)(2022,山東濟南?中考真題)規定：在平面直角坐標系中，一個點作"0"變換表示將它向右平移

一個單位，一個點作"1"變換表示將它繞原點順時針旋轉90。，由數字0和1組成的序列表示一個點按照上

面描述依次連續變換.例如：如圖，點0(0,0)按序列"011，作變換，表示點。先向右平移一個單位得到

。式1,0),再將3(1,0)繞原點順時針旋轉90。得到。2(0,-1),再將。2(0,-1)繞原點順時針旋轉90。得到

。3(-1,0)...依次類推.點(0,1)經過“011011011"變換后得到點的坐標為.

OJTO11TX

~~nl~

【答案】(一1,一1)

【分析】根據題意得出點(0,1)坐標變化規律，進而得出變換后的坐標位置，進而得出答案.

【詳解】解：點(0,1)按序歹『911011011"作變換，表示點(0,1)先向右平移一個單位得到(1,1),再將(1,1)繞

原點順時針旋轉90。得到(1,-1),再將(1,-1)繞原點順時針旋轉90。得到(-1,-1),然后右平移一個單位得

到(0,-1)，再將(0,—1)繞原點順時針旋轉90。得至U(-1,0)，再將(一1,0)繞原點順時針旋轉90。得到(0,1),然

后右平移一個單位得到(L1)，再將(1,1)繞原點順時針旋轉90。得到再將(1,-1)繞原點順時針旋轉

90。得到(一1,一1).

故答案為：(一1,一1)

【點睛】此題主要考查了點的坐標變化規律，得出點坐標變化規律是解題關鍵.

16.(3分)(2022?貴州貴陽?中考真題)如圖，ZL4BC是。。的內接正三角形，點0是圓心，點D,E分別在

邊AC,4B上，若D4=EB,則WOE的度數是度.

【分析】本題可通過構造輔助線，利用垂徑定理證明角等，繼而利用SAS定理證明三角形全等，最后根據

角的互換結合同弧所對的圓周角等于圓心角的一半求解本題.

【詳解】連接OA,OB,作OHEIAC,OM0AB,如下圖所示：

因為等邊三角形ABC,OH回AC,OMI3AB,

由垂徑定理得：AH=AM,

又因為OA=OA,故回。AHWI30AM(HL).

00OAH=0OAM.

X0OA=OB,AD=EB,

S0OAB=E)OBA=E)OAD,

0EODA=0OEB(SAS),

EBDOA=I3EOB,

(?10DOE=0DOA+0AOE=[?lAOE+aEOB=iaAOB.

又EEC=60°以及同弧人8,

00AOB=I3DOE=12O°.

故本題答案為：120.

c

【點睛】本題考查圓與等邊三角形的綜合，本題目需要根據等角的互換將所求問題進行轉化，構造輔助線

是本題難點，全等以及垂徑定理的應用在圓綜合題目極為常見，圓心角、弧、圓周角的關系需熟練掌握.

三.解答題（共7小題，滿分70分）

17.（8分）（2022?四川攀枝花?中考真題）如圖，。0的直徑48垂直于弦。C于點F,點P在AB的延長線

上，CP與。。相切于點C.

（1）求證：4PCB=4PAD；

（2）若。。的直徑為4,弦DC平分半徑OB,求：圖中陰影部分的面積.

【答案】（1）見解析

【分析】（1）首先可證得NOBC=由圓周角定理得：乙ADF=aBC,可得4OCB=乙4。尸，再根據切

線的性質，可得4PCB+NOCB=90。，根據垂直的定義可得ZP4D+4ADF=9O。，據此即可證得；

（2）首先由弦DC平分半徑OB,OB=OC,可得OF=|0D.ZODF=30°,乙DOF=60°,再根據丁1DC,

可得。F=FC,即可證得SACFB=SACFO=SADFO，最后由S陰影部分=S扇形B。。即可求得.

【詳解】（1）證明：如圖，連接OC,

???OB=OC,

:.乙OBC=Z.OCB,

由圓周角定理得：^ADF=^OBC,

:.Z.OCB=Z.ADF,

?；CP與。。相切，

???OC1PC,

???Z.PCB+乙OCB=90°,

vAB1DC,

???Z.PAD+LADF=90°,

???乙PCB=Z-PAD；

(2)解：如圖：連接OD,

???弦DC平分半徑08,OB=OC,

：.BF=OF,在RtZiODF中，OF=|O￡),

/.ODF=30°,

4DOF=60°,

vAB1DC,

???DF=FC,

???BF=OF,AB1DC,

S^CFB=S&CFO=S^DFO,

C_c_607rx2?_2

"3陰影部分=?扇形BOD=360=3n-

【點睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，直角三角形的性質，扇形的面積公式，作出輔助線是解決本

題的關鍵.

18.（8分）（2022?寧夏?中考真題）如圖，是邊長為1的小正方形組成的8x8方格，線段4B的端點在格點

上.建立平面直角坐標系，使點A、B的坐標分別為（2,1）和

⑴畫出該平面直角坐標系xOy；

⑵畫出線段4B關于原點。成中心對稱的線段&Bi；

⑶畫出以點A、8、。為其中三個頂點的平行四邊形.（畫出一個即可）

【答案】⑴見解析

⑵見解析

⑶見解析

【分析】（1）根據其中一個點的坐標，即可確定原點位置;

（2）根據中心對稱的性質，即可畫出線段44八

（3）根據平行四邊形的判定即可畫出圖形.

（3）解：如圖，平行四邊形40BD即為所求（答案不唯一）.

【點睛】本題主要考查了平面直角坐標系中點的坐標的特征，平行四邊形的判定，中心對稱的作圖，熟練

掌握作圖方法是解題的關鍵.

19.（8分）（2022?山東臨沂?中考真題）己知△4BC是等邊三角形，點8,。關于直線AC對稱，連接AD,

CD.

DC

⑴求證：四邊形ABC/）是菱形；

⑵在線段AC上任取一點P（端點除外），連接PD將線段繞點P逆時針旋轉，使點。落在BA延長

線上的點。處.請探究：當點尸在線段AC上的位置發生變化時，NDPQ的大小是否發生變化？說明理由.

⑶在滿足（2）的條件下，探究線段AQ與CP之間的數量關系，并加以證明.

【答案】⑴見解析

（2ZDPQ大小不變，理由見解析

（3）CP=AQ,證明見解析

【分析】（1）連接80,由等邊三角形的性質可得AC垂直平分8。，繼而得出4B=BC=CD=4D,便可

證明；

（2）連接尸8,過點P作PEIIC8交A8于點E,P地48于點凡可證明△力PE是等邊三角形，由等腰三角形

三線合一證明乙4PF=4EPF,"PF=LBPF,即可求解；

（3）由等腰三角形三線合一的性質可得AF=FE,QF=BF,即可證明.

（1）

連接8。，

???△ABC是等邊三角形，

???AB-BC=AC,

???點B,。關于直線AC對稱,

MC垂直平分

DC=BCtAD=ABf

:.AB=BC=CD=AD,

???四邊形ABC。是菱形；

(2)

當點P在線段AC上的位置發生變化時，4DPQ的大小不發生變化，始終等于60。，理由如下:

???將線段PD繞點尸逆時針旋轉，使點D落在BA延長線上的點。處，

???PQ=PD,

???△ABC是等邊三角形，

???AB=BC=AC.Z.BAC=/.ABC=Z.ACB=60°,

連接P5,過點P作PEIICB交A3于點E,于點立

貝IJN4PE=Z.ACB=60°,^LAEP=4ABC=60°,

???Z.APE=LBAC=60°=44￡P,

???△4PE是等邊三角形，

:.AP=EP=AE,

vPF1AB,

???Z,APF=乙EPF,

???點8,。關于直線AC對稱，點P在線段AC上,

:?PB=PD,^DPA=^BPA,

：.PQ=PD,

vPF1AB9

???"PF=乙BPF,

：^QPF-4L4PF二國BPF-aEPF,

BP00B4=團8PE,

???因。PQ=^\DPA-^QPA^\BPA-^BPE=^APE=60°；

(3)

AQ=CP,證明如下：

■■■AC=AB,AP=AE,

：.AC-AP=AB-AE,即CP=BE,

?:AP=EP,PF^AB,

：.AF=FE,

■■■PQ=PD,PF^AB,

?■QF=BF,

■■■QF-AF=BF-EF,AQ=BE,

：.AQ=CP.

【點睛】本題考查了圖形的旋轉，等邊三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，菱形的判定等，熟練學

握知識點是解題的關鍵.

20.（10分）（2022?貴州銅仁?中考真題）某校開展主題為“防疫常識知多少”的調查活動，抽取了部分學生

進行調查，調查問卷設置了4非常了解、B：比較了解、C：基本了解、D-.不太了解四個等級，要求每個

學生填且只能填其中的一個等級，采取隨機抽樣的方式，并根據調查結果繪制成如圖所示不完整的頻數分

布表和頻率直方圖，根據以上信息回答下列問題：

（1）頻數分布表中a=，b=,將頻數分布直方圖補充完整；

（2）若該校有學生1000人，請根據抽樣調查結果估算該校"非常了解"和"比較了解"防疫常識的學生共有多

少人？

（3）在“非常了解"防疫常識的學生中，某班有5個學生，其中3男2女，計劃在這5個學生中隨機抽選兩

個加入防疫志愿者團隊，請用列表或畫樹狀圖的方法求所選兩個學生中至少有一個女生的概率.

【答案】（1）5,0.3；（2）700；（3）0.7.

【分析】（1）根據頻率分布表計算出被調查的總人數，即可算出a,b；

（2）利用樣本估計總體的統計思想，先求出調查結果中"非常了解"和"比較了解”的頻率之和，再乘上該校

總人數即可得到；

（3）利用樹狀圖列出所有的情況，選出滿足條件的情況數，利用概率公式求解即可.

【詳解】解：（1）???被調查的總人數為：20+0.4=50（人），

a=50-（20+15+10）=5（人），

.."=$03,

故答案是：a=5,b=0.3,

（2）根據頻數分布表知，"非常了解"和"比較了解"的頻率之和為：0.4+0.3=0.7,

利用樣本估計總體的思想，若該校有學生1000人，校"非常了解"和"比較了解"防疫常識的學生共有：1000x

0.7=700（人）；

（3）設3男生對應大寫字母4B,。，兩女生對應大寫字母D,E,在這5個學生中隨機抽選兩個加入防疫志

愿者團隊的所有結果，利用樹狀圖呈現如下：

ABCDE

八八八八八

BCDEACDEABDEABCEABCD

共有20種等可能結果，滿足所選兩個學生中至少有一個女生有：14種，

由概率公式得所選兩個學生中至少有一個女生的概率為：P=即=0.7.

【點睛】本題考查了頻率分布表、頻率分布直方圖、樣本估計總體的統計思想、利用樹狀圖或列表法求概

率問題，解題的關鍵是：能從圖表中獲取信息，會畫樹狀圖列出所有的情況，利用概率公式求概率.

21.（10分）（2022?全國?九年級專題練習）隨著農業技術的現代化，節水型灌溉得到逐步推廣.噴灌和滴

灌是比漫灌更節水的灌溉方式，噴灌和滴灌時每畝用水量分別是漫灌時的30%和20%.去年，新豐收公司

用各100畝的三塊試驗田分別采用噴灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000噸.

(1)請問用漫灌方式每畝用水多少噸？去年每塊試驗田各用水多少噸？

(2)今年該公司加大對農業灌溉的投入，噴灌和滴灌試驗田的面積都增加了加％,漫灌試驗田的面積減少

了2m%.同時，該公司通過維修灌溉輸水管道，使得三種灌溉方式下的每畝用水量都進一步減少了m%.經

測算，今年的灌溉用水量比去年減少^m%,求m的值.

(3)節水不僅為了環保，也與經濟收益有關系.今年，該公司全部試驗田在灌溉輸水管道維修方面每畝投

入30元，在新增的噴灌、滴灌試驗田添加設備所投入經費為每畝100元.在(2)的情況下，若每噸水費

為2.5元，請判斷，相比去年因用水量減少所節省的水費是否大于今年的以上兩項投入之和？

【答案】(1)漫灌方式每畝用水100噸，漫灌、噴灌、滴灌試驗田分別用水10000、3000>2000噸；(2)

20；(3)節省水費大于兩項投入之和

【分析】(1)根據題意，設漫灌方式每畝用水x噸，列出方程求解即可；

(2)由(1)結果，結合題意列出方程，求解方程；

(3)分別求出節省的水費，維修費，添加設備費，比較大小即可.

【詳解】(1)解：設漫灌方式每畝用水x噸，則

XX100+100x30%x+100x20%x=15000,

x=100,

漫灌用水：100x100=10000,

噴灌用水：30%X10000=3000,

滴灌用水：20%x10000=2000,

答：漫灌方式每畝用水100噸，漫灌、噴灌、滴灌試驗田分別用水10000、3000、2000噸.

(2)由題意得，

100x(1-2m%)x100x(1-m%)+100x(1+m%)x30x(1-m%)+100x(1+m%)x20x(1-

m%)=15000x(1-g771%),

解得mi=0(舍去)，m2=20,所以m=20.

(3)節省水費：15000Xgm%x2.5=13500元，

維修投入：300X30=9000元，

新增設備：100x2m%x100=4000元，

13500>9000+4000,

答：節省水費大于兩項投入之和.

【點睛】本題考查一元一次方程，一元二次方程實際應用，解一元二次方程，掌握題中等量關系正確列式

計算是解題關鍵.

22.(12分)(2022,四川攀枝花?中考真題)如圖，二次函數y=a/+bx+c的圖象與x軸交于0(。為

坐標原點)，A兩點，且二次函數的最小值為-1,點是其對稱軸上一點，y軸上一點8(0,1).

(1)求二次函數的表達式；

⑵二次函數在第四象限的圖象上有一點尸，連結24,PB,設點P的橫坐標為z,APAB的面積為S,求S與

f的函數關系式；

⑶在二次函數圖象上是否存在點M使得以A、8、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫

出所有符合條件的點N的坐標，若不存在，請說明理由.

【答案】⑴y=x2-2x

(2)S=-t2+|t+l

(3)存在,N(l,-1)或(3,3)或(一1,3)

【分析】(1)由二次函數的最小值為一1,點是其對稱軸上一點，得二次函數頂點為設頂

點式y=a(x—1)2—1,將點0(0,0)代入即可求出函數解析式；

(2)連接OP,根據S=SAAOB+SAOAP-SAOBP求出S與f的函數關系式；

(3)設N(n,n2-2n),分三種情況：當4B為對角線時，當4M為對角線時，當4N為對角線時，由中點坐標

公式求出〃即可.

【詳解】(1)解：???二次函數的最小值為一1,點是其對稱軸上一點，

二二次函數頂點為(1,一1),

設二次函數解析式為y=a(x-I)2-1,

將點0(0,0)代入得，a-1=0,

???a=1,

:.y=(x—I)2—1=x2—2%；

(2)如圖，連接。P,

當y=0時，x2—2x=0,

???x=0或2,4(2,0),

:點尸在拋物線y=x2-2x上，

???點P的縱坐標為t2-2t,

S=S^AOB+S^OAP-S^OBP

11,1

=2X2X1+2X2(-t+2t)-2f

=~t2+lt+l；

(3)設N(n,n2—2n),

當AB為對角線時，由中點坐標公式得，2+0=l+n,二n=l,

當力M為對角線時，由中點坐標公式得，2+l=n+0,n=3,二N(3,3),

當4V為對角線時，由中點坐標公式得，2+兀=0+1,.?.?!=-1,3),

綜上：N(l,-1)或(3,3)或(-1,3).

【點睛】此題考查了待定系數法求拋物線的解析式，拋物線與圖形面積，平行四邊形的性質，熟練掌握待

定系