高數例題課件第七章微分方程第一頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二二、微分方程的階微分方程中所出現的未知函數的最高階導數的階數，叫做微分方程的階。三、階微分方程的一般形式

，其中個變量的函數，并且必須出現，而等變量則可以不出現。第二頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二

例1．列車在平直路上以20m/s的速

度行駛，當制動時列車獲得加速度，問開始制動后多少時間列車才能停住，以及列車在這段時間里行駛了多少路程？第三頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二四、微分方程的解、通解、初始條件、特解

1、微分方程的解：設有微分方程,且函數在區間上有階連續導數,如果在區間上，

,那么函數就叫做微分方程在區間上的解。第四頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二2、微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常數，且任意常數的個數與微分方程的的階數相同（這里所說的任意常數是相互獨立的，就是說，它們不能合并而使得任意常數的個數減少），這樣的解叫做微分方程的通解。第五頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二3、微分方程的初始條件用來確定微分方程通解中任意常數的條件叫做微分方程的初始條件。4、微分方程的特解確定了通解中任意常數以后得到的解叫做微分方程的特解（滿足初始條件的解）第六頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例2．驗證函數是微分方程的通解,并求滿足初始條件

的特解。第七頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二五、微分方程的積分曲線

微分方程的解的圖形是一條曲線，叫做微分方程的積分曲線，通解代表一族曲線。第八頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二§7-2可分離變量的微分方程一、定義：如果一個一階微分方程能寫成的形式,就是說,能把微分方程寫成一端只含的函數和,另一端只含的函數和

,那么原方程就稱為可分離變量的微分方程。

第九頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例1．求微分方程

的通解。第十頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二三、注意的問題(1)在求形如類積分時,按照積分基本公式應有,但如果整理后的正負號可含于任意常數C中,在求積分時,為了簡化運算,常寫成。第十一頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例2．求微分方程第十二頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二2、通解不是微分方程的全部解。第十三頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例3．解微分方程

第十四頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二3、有些方程需經變量替換或變形后，再進行變量分離。第十五頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例4．解微分方程第十六頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例5．解微分方程

第十七頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例6．解微分方程第十八頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例7．放射性元素鈾由于不斷地有原子放射出微粒子而變成其它元素,鈾的含量就不斷減少，這種現象叫衰變，由原子物理學知道，鈾的衰變速度與當時未衰變的原子的含量M成正比，已知t=0時鈾的含量為，求在衰變過程中鈾含量隨時間

t變化的規律。第十九頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例8．設降落傘從跳傘塔下落后，所受空氣阻力與速度成正比，并設降落傘離開跳傘塔時（t=0）速度為零，求降落傘下落速度與時間的函數關系。第二十頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例9．解方程第二十一頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二§7-3齊次方程一、定義：如果一階微分方程可化成的形式，那么就稱這方程為齊次方程。

第二十二頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例1．解方程第二十三頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例2．探照燈的聚光鏡的鏡面是一張旋轉曲面,它的形狀由坐標面上的一條曲線繞軸旋轉而成,按聚光鏡性能的要求,在其旋轉軸(軸)上一點發出的一切光線,經它反射后都與旋轉軸平行,求曲線的方程。第二十四頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例2．有旋轉曲面形狀的凹鏡，假設由旋轉軸上一點發出的一切光線經此凹鏡反射后都與旋轉軸平行，求這旋轉曲面的方程。第二十五頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二§7-4一階線性微分方程一、線性方程（一）定義：方程叫做一階線性微分方程(都是一次的)當時,稱為齊次的一階線性微分方程。第二十六頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二

當時,稱方程為非齊次的一階線性微分方程,并把稱為與非齊次線性微分方程

對應的齊次線性微分方程。第二十七頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二(二)解法1、常數變易法（求的解）(1)求與方程對應的齊次方程的通解。(2)將對應的齊次方程的通解中的常數C換成的未知函數，

,并把它們作為的解，求出.第二十八頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二從而得通解

因此得出結論:一階非奇次線性微分方程的通解等于對應的齊次方程的通解與非齊次方程的一個特解之和.第二十九頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二

例1．求方程

的通解。第三十頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例2．解方程第三十一頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二2、公式法：第三十二頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例3．設有微分方程

,

其中,試求在

內的連續函數,使之在

和內都滿足所給方程,且滿足條

件。

第三十三頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例4．設是微分方程

的一個解，求此微分方程滿足條件的特解。第三十四頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二(三)注意的問題1、有時微分方程不能化成的形式，但可化成的形式，此時可把看作函數（因變量），按公式法求解。第三十五頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例5．解方程第三十六頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二2、有些微分方程不是一階微分方程,可以通過變量替換將其化成一階微分方程。第三十七頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例6．解第三十八頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二二、伯努利方程（一）定義：方程叫做伯努利方程。第三十九頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二(二)解法:通過變量代換,把它化成一階線性微分方程1、兩邊同乘以2、令第四十頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例6．求方程的通解。第四十一頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例7．解微分方程

第四十二頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二一、定義：形如的方程，如果它的左端恰好是某一函數的全微分那么該方程就叫做全微分方程。§7-5全微分方程第四十三頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二二、全微分方程的判別設有方程

函數在單連通城內具有一階連續偏導數，則在G內方程（1）是全微分方程的充要條件是。第四十四頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例1．求解第四十五頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二四、可化為全微分方程的微分方程的解法（一）積分因子：若，則方程不是全微分方程，但若存在函數使，即為全微分方程，則稱為微分方程的積分因子。第四十六頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二(三)積分因子的尋找必須熟記一些微分公式：第四十七頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二第四十八頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二第四十九頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二第五十頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例2．求微分方程的解。第五十一頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例3．解微分方程第五十二頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例4．設函數在上連

續，且滿足方程求。第五十三頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例5．設于半空間內任意的光滑有向封閉曲面S，都有

其中函數在內具有連續的一階導數，且，求。第五十四頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二§7-5可降階的高階微分方程一、定義：二階及二階以上的微分方程稱為高階微分方程。二、幾種易降階的高階微分方程的解法(一)型的微分方程特點：方程的左端是函數的階導,右端是僅含有自變量的函數。第五十五頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二

解法：兩邊積分,每積分一次,微分方程的階就降一階,直到求出為止。

積分次，即得微分方程的通解。第五十六頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例1．求微分方程

的通解。第五十七頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例2．質量為m的質點受力F的作用沿軸作直線運動,設力在開始時刻t=0時隨著時間t的增大,此力F均勻地減小,直到t=T時，如果開始時質點位于原點，且初速度為零，求這質點的運動規律。第五十八頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二(二)型的微分方程特點：方程的右端不顯含

未知函數。第五十九頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例3．求微分方程

滿足初始條件的特解。第六十頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二(三)

型的微分方程特點：右端不顯含自變量第六十一頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例4．求微分方程

的通解。第六十二頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例5．求微分方程，的解。第六十三頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例6．求微分方程滿

足初始條件

的特解。第六十四頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二一、定義：形如這樣的微分方程叫做高階線性微分方程。我們把方程叫做與方程（1）對應的齊次方程。§7-6高階線性微分方程第六十五頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二二、線性微分方程的解的結構（一）定理1：如果函數是方程的兩個解，那么也是該方程的解，其中是任意常數。第六十六頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二（二）線性相關與線性無關1、定義：設為定義在區間個函數，如果存在個不全為零的常數，使得當時，有恒等式成立，那么稱這個函數在區間上線性相關，否則稱線性無關。第六十七頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例1．判別下列函數組在給定區間上的線性相關性：（1）三個函數在區間上。（2）三個函數在區間上。第六十八頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二2、注意：(1)對于兩個函數，若其中一個函數為常數0，則這兩個函數必線性相關。(2)對于兩個非零函數來說，線性相關的充要條件是它們的比值為常數。第六十九頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二(三)定理2：1、定理：如果是方程的兩個線性無關的特解，那么(是任意常數)就是該方程的通解.第七十頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例2．驗證（是任意常數）是方程

的通解。第七十一頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二2、推論：如果是階齊次線性方程

的個線性無關的解，那么此方程的通解為其中為任意常數。第七十二頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二（四）定理3：設是二階非齊次線性方程的一個特解，是與（1）對應的齊次方程的通解，那么是二階非齊次線性微分方程（1）的通解。第七十三頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例3.設有一特

解，對應齊次方程有一特解，試求：

(1)的表達式。

(2)此方程的通解。第七十四頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二(五)定理4：設非齊次線性方程的右端是兩個函數之和，即而分別是方程與的特解那么就是原方程的特解第七十五頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二一、二階常系數齊次線性階微分方程（—）定義：形如（其中是常數）的方程叫做二階常系數齊次線性微分方程，如果不全為常數，則該方程叫做二階變系數齊次線性微分方程。§7-7常系數齊次線性階微分方程第七十六頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二(二)微分方程的特征方程及特征根：

把代數方程

叫做微分方程

的特征方程,而把特征方程的根叫做微分方程的特征根。第七十七頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二(三)二階常系數齊次線性微分方程通解的求法1、是微分方程的解的充要條件是是微分方程的特征方程

的特征根2、通解的求法(1)若特征方程有兩個不相同的實根，則微分方程的通解為。第七十八頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例1．求微分方程

的通解。第七十九頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二（2）若特征方程有兩個相同的實根，則微分方程的通解為第八十頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例2．求方程滿足初始條件的特解。第八十一頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二（3）若特征方程有一對共軛復根，則微分方程的通解為第八十二頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例3．求微分方程

的通解。第八十三頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二二、階常系數齊次線性微分方程（一）一般形式：其中都是常數。（二）特征方程，特征根把叫做微分方程（1）的特征方程，微分方程的特征方程的根叫特征根。第八十四頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二（三）微分方程的通解和特征方程的根的關系1、若特征方程有單實根，則通解中含有對應項2、若特征方程有一對單復根則通解中含有對應兩項3、若特征方程有k重實根，則通解中含有對應k項第八十五頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二4、若特征方程有一對k重復根，則通解中含有對應2k項把所有可能的對應項加到一起，即為微分方程的通解。第八十六頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例4．求方程

的通解。第八十七頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例5．求方程的通解（其中）。第八十八頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例6．具有特解的3階常系數齊次線性微分方程是（）（A）（B）（C）（D）第八十九頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例7．已知

是某二階常系數非齊次線性微分方程的三個解，求此微分方程。第九十頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二例8．設函數具有二階連續導數，而滿足方程，求第九十一頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二§7-8常系數非齊次線性階微分方程一、二階常系數非齊次線性微分方程(一)通解的結構：的通解等于它所對應的齊次方程的通解和的一個特解之和,即.第九十二頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期二(二)兩種常見形式特解的求法（待定系數法）1、,其中