Chapt2數列與極限

嚴格的證明是數學的標志,這是數學對于文化修養所提供的不可缺少的營養,一個學生若對數學證明從未留下印象,那他就缺少了一種基本的思維經歷.---波利亞(Polya,G.)

數學的主要目標是大眾的利益和對自然現象的解釋.---傅里葉(Fourier,J.B.J.)Chapt2.極限與連續''''2023/6/71

本章主要內容

§1.數列極限和無窮大§2.函數的極限§3.連續函數§4.無窮小量和無窮大量的階Chapt2.極限與連續''''2023/6/72Chapt2.極限與連續

教學目的:

本章討論的極限與連續概念和性質,是貫穿數學分析課程的基本方法與工具.后面全部內容的研究都要用到.所以這部分內容既是重點同時也是難點.

教學要求:

務必深刻理解和熟練掌握極限與連續的概念和性質及其運算方法,這是學好本課程的基礎與關鍵.''''2023/6/73本節內容

一、數列極限的定義二、數列極限的性質三、數列極限的運算四、單調有界數列五、無窮大量的定義六、無窮大量的性質和運算七、小結思考題''''2023/6/74“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽1、割圓求周播放

極限思想：三國時期，數學家劉徽應用極限方法訂正、計算圓周率圓周長割圓術！''''2023/6/75討論圓內接正多邊形與該圓周的關系已知圓內接正多邊形的周長未知的圓周長（1）在任何有限的過程中，即對任何確定的n，皆為的近似值；（2）在無限的過程中，即當n無限增大時，無限接近于常數的精確值。是當n無限增大時的極限''''2023/6/76圓面積亦如此。啟示：已知與未知有限與無限近似與精確直線與曲線''''2023/6/772、截丈問題“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”''''2023/6/78一、數列極限的定義1.數列:是按一定次序排列的一列無窮多個數

LL,,,,21nxxx

數列是定義在自然數集N上的函數。即以N為定義域并且由小到大取值所對應的一列函數值(集合)。對，設，則函數值：自變量：}{nx，表示為數列為第n項或通項。''''2023/6/79例如：01擺動！無限增大!考慮數列(以下例定性\定量分析)''''2023/6/710播放定性分析：當n無限增大時，無限趨近于1，數1即所謂的“極限”。''''2023/6/711定量分析：無限趨近于1是指：當n充分大時,能任意小，并保持任意小。例如：即自然數10，當n>10時，有……''''2023/6/712由不等式有，故只須即可。以上還不能說明任意小，并保持任意小，畢竟它們都還是確定的數。自然數，當時，便有定量定義：則稱數1是的極限。''''2023/6/713若數列不存在極限,則稱數列是發散的.如是發散數列.''''2023/6/714３、數列極限的幾何解釋:''''2023/6/715鄰域法定義可見：數列是否有極限，只與它從某一項以后有關，而與它前面的有限個項無關。因此，在討論數列極限時，可添加、去掉或改變其有限個項的數值，對數列收斂性和極限都無影響。？''''2023/6/716（2）N的存在性與非唯一性，且N僅與有關而與n無關。（1）正數絕對的任意性和相對固定性。4、關于數列極限定義的幾點理解（3）當時，即以零為極限的數列稱為無窮小量。無窮小量不是很小的量。''''2023/6/717''''2023/6/718例1證:方法1：直接解不等式數列極限的定義未給出求極限的方法.注意：(不妨設)''''2023/6/719例2證：放大''''2023/6/720小結:用定義證數列極限存在時,關鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.方法2：若不易求解，可設法先把適當地放大，再由求解N.''''2023/6/721證明：分三種情況證明.(方法一)或(這里即不是最小的N)''''2023/6/722（方法二）由二項式定理，有''''2023/6/723''''2023/6/724''''2023/6/725縮小分母，適當放大''''2023/6/726''''2023/6/727''''2023/6/728※''''2023/6/729()bax()二、數列極限的性質定理1所指出的實質問題是兩個收斂數列的極限大小與這兩個數列的充分遠片段中項的大小的關系問題。''''2023/6/730推論1所指出的實質問題是兩個收斂數列的充分遠片段中項的大小與這兩個數列的極限大小的關系問題。''''2023/6/731推論2特殊情況所指出的實質問題是一個收斂數列的極限符號與這個數列的充分遠片段中項的符號的關系問題。''''2023/6/732Th2.（唯一性）收斂數列的極限是唯一的。''''2023/6/733稱“兩邊夾”法則證畢Th3所指出的問題的實質是三個收斂數列的極限之間的關系。''''2023/6/734''''2023/6/735由兩面夾法則，得證。由兩面夾法則，得證。放大''''2023/6/736分析：觀察函數結構，構造出定理給出的結構形式，然后應用定理。*由兩面夾法則，得證。''''2023/6/737Def:''''2023/6/738''''2023/6/739

Th4.

有極限（收斂）的數列是有界的。舉出反例即可。''''2023/6/740三、數列極限的運算（常數）''''2023/6/741''''2023/6/742''''2023/6/743注1.兩數列收斂僅是極限運算成立的充分條件，而非必要條件。例如：''''2023/6/744注2.

極限運算可推廣到有限多個數列的情形，但對無窮多個卻不成立。''''2023/6/745''''2023/6/746''''2023/6/747''''2023/6/748''''2023/6/749四.單調有界數列Def:若等號都不成立，則稱它是嚴格單調增加（或減少）的。Th（實數連續性）

單調有界數列必有極限。''''2023/6/750※放大''''2023/6/751※''''2023/6/752

五、無窮大量的定義

Def:''''2023/6/753極限含義的差別。(記號統一)注)).O-GGx''''2023/6/754''''2023/6/755''''2023/6/756''''2023/6/757六、無窮大量的性質和運算Th.''''2023/6/758''''2023/6/759''''2023/6/7