2021-2022學年廣西梧州市藤縣高二上學期期末熱身考試數學（理）

試題

一、單選題

1.已知集合M={x|-3<x45},N={x[x<-5或x>4},則=（）

A.{x[x<-5或x>-3}B.{x|-5<x<4}

C.{x|-3<x<4}D.{x|x<-3或x>5}

【答案】A

【分析】利用數軸和集合間的并運算即可求解.

【詳解】在數軸上分別表示集合M和N,如圖所示，

可I?\~\N

...-o—o-------—6—?--------?

-5-345*

則A/<JN={X[X<-5或x>-3}.

故選：A.

2.函數y=1nx的圖象可能是

【答案】C

【詳解】函數>=/依即y=bg?x為對數函數，圖象類似”>1的圖象,

位于y軸的右側，恒過a,。），

故選：C.

3.己知直線4:以+(a+2)y+2=0與Z2：x+ay+l=0平行，則實數a的值為

A.-1或2B.0或2C.2D.-1

【答案】D

【分析】根據兩直線平行，列方程，求的a的值.

【詳解】己知兩直線平行，可得a?a-(a+2)=0,即a2-a-2=0,解得a=2或-1.

經過驗證可得：a=2時兩條直線重合，舍去.

a=-l.

故選D

【點睛】對于直線/1：AX+BJ+G=0，z2：4*+82>+。2=0，

若直線44o4與-=o且AC?-&。產0(或-82GHo)；

4.執行如下圖所示的程序框圖，則輸出的s的值為()

A.9B.10C.11D.12

【答案】D

【分析】對i逐個帶入，直到滿足，:ll時輸出$的值即可.

【詳解】解：s=-----=LI<11,5=lxl=l,k=3,z=2；s=------=2,2<11>.v=4,k=5,/=3；

12

4+5

s=------=3,3<11,5=9,k=7,z=4；

3

7+9

s=-----=4,4<1L5=16?k=9,i=5；

4

s=3;2=5,5<1Ls=25?2=11,i=6；

S=25+"=6,6<1LS=36,Z=13,Z=7；

6

s=36+13=7,7<i],s_49,k=15,/=8；

7

49+15

s=--------=8?8<11,s=64,k=17,z=9；

8

64+17

^=--------=9,9<11,5=81,JI=19,Z=10；

9

y=81+19==101()<lbs=]00,攵=2],i=\[

10

^=-———-=1141=11,5=121,2=23,z=12；

11

121+23

s=]2'=12/2>11此時滿足i>ll,輸出s；

可得s=12.

故選：D

5.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）

正視圖

M視圖

A.24B.12

C.8D.4

【答案】B

【分析】由三視圖還原幾何體可得直四棱柱，根據棱柱體枳公式可求得結果.

【詳解】由三視圖可知幾何體如圖所示的直四棱柱

?.?該幾何體的體積V==x2x4=12

2

故選：B

【點睛】本題考查棱柱體積的求解問題，關鍵是能夠通過三視圖準確還原幾何體，屬于基礎題.

6.已知平面向量。=（2,-1）,6=（1,1）,c=（-5,l）,若（“+妨）//c,,則實數人的值為

【答案】B

【分析】首先應用向量的數乘及坐標加法運算求得a+他的坐標，然后直接利用向量共線時坐標所

滿足的條件，列出等量關系式，求解k的值.

【詳解】因為4=（2,T）出=（1,1）,

所以4+姐=（2+4,一1+女）,

又=,由（a+附）-C

得（2+^）xl=-5x（A-1）,解得&=；,故選B.

【點睛】本題考查向量平行坐標表示，考查基本求解能力.

7.ABC中，三邊之比a:A:c=2:3:4,則任4二20等于（）

sin2C

A.yB.—C.2D.—2

【答案】C

【分析】首先由〃:b:c=2:3:4結合余弦定理得出cosC=-[,然后根據二倍角公式和正弦定理即可

4

得出結果.

【詳解】因為a:>:c=2:3:4,不妨設。=2攵力=3攵,c=44（攵>0）,

則2佇■4fe2+9fe2-16fc2

12k24

sinA-2sinBsinA-2sinBa-2b4。一2〃V2k-4kc

----------=2

所以sin2C2sinCeosC4k

故選：C.

8.已知x>0,y>0,且x+2y=l,則'+上的最小值是（）

xy

A.V2+1B.3+2&C.丘-[D.3-2&

【答案】B

【分析】將代數式x+2y與,相乘，展開后利用基本不等式可求得1+’的最小值.

xyxy

【詳解】已知x>0,7>0,且x+2y=l,則

岸=（9）口+口衛+二+322第+3=3+2立

xyyXyjxy\xy

當且僅當x=3y時，等號成立，因此，；的最小值是3+2a.

故選：B.

【點睛】本題考查利用基本不等式求代數式的最值，考查1的妙用，考查計算能力，屬于基礎題.

9.“％=1”是“直線x-y+A=0與圓V+y2=l相交”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

窈=.，㈤

【詳解】圓廠+'■一1的圓心為原點，半徑;-1,原點到直線U好〔?陽磁的距離”而:通您,

當卜-1時，?工媼"所以，直線如如戊與圓s/.d*」相交；反之，若直線，“：如山

與圓廣,.U相交，則有八」，即佻VHk“，解得：通心電嚏，因此，根據充分、

必要條件的概念,H-加是“直線步上乂山?虎與圓，一「7相交”的充分不必要條件，故選A.

主要考查充要條件的概念及充要條件的判定方法.

10.在數列｛%｝中，4=1,an+l-an=2,則，的值為

A.99B.98C.97D.96

【答案】A

【分析】利用等差數列的通項公式即可求出結果

【詳解】。“+|-4=2,q=l

數列｛4｝是等差數列，首項為1,公差為2

則％0=1+2x(507)=99

故選A

【點睛】本題主要考查了等差數列的通項公式，涉及等差數列的判定，屬于基礎題.

11.己知函數/(x)=sin(x+?).給出下列結論：

①/(x)的最小正周期為2萬；

②是/*)的最大值；

③把函數〉=5皿》的圖象上所有點向左平移?個單位長度，可得到函數y=/(x)的圖象.

其中所有正確結論的序號是()

A.①B.①③C.②③D.①②③

【答案】B

【分析】對所給選項結合正弦型函數的性質逐一判斷即可.

【詳解】因為/(x)=sin(x+g),所以周期7=至=2］，故①正確；

/(g)=sin(g+g)=sin￥=《wl,故②不正確；

22362

將函數y=sinx的圖象上所有點向左平移gn個單位長度，得到y=sin(x+T2T)的圖象，

故③正確.

故選：B.

【點晴】本題主要考查正弦型函數的性質及圖象的平移，考查學生的數學運算能力，邏輯分析那能

力，是一道容易題.

?>-)

12.【陜西省西安市長安區上學期期末考】己知雙曲線，-々=1(a>0乃>0)的左焦點為尸，點A在雙

a：b~

曲線的漸近線上，△Q4F是邊長為2的等邊三角形(。為原點)，則雙曲線的方程為()

【答案】D

【詳解】由題意結合雙曲線的漸近線方程可得:

c=2

<c2=a2+b2,解得：a2=1,/?2=3,

—=tan60二6

雙曲線方程為：x2-^=l.

本題選擇D選項.

【解析】雙曲線的標準方程

【名師點睛】利用待定系數法求圓錐曲線方程是高考常見題型，求雙曲線方程最基礎的方法就是依

據題目的條件列出關于a*，c的方程，解方程組求出4,6,另外求雙曲線方程要注意巧設雙曲線(1)

22

雙曲線過兩點可設為32-町，2=1(〃7〃>0),(2)與毛-《=1共漸近線的雙曲線可設為

a

22

^-4=2(2^0),(3)等軸雙曲線可設為/〃71Ho)等，均為待定系數法求標準方程.

a'b'

二、概念填空

13.若圓/+產+2犬-4嚴相=0的直徑為3,則，〃的值為

【答案】T

【詳解】該圓的標準方程為(x+lY+(y-2)2=5-機

所以由題可知：2x/^=3n〃?=V

故答案為：H

三、填空題

14.將一顆質地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數，則點數和為5的概率是.

【答案】f

【分析】分別求出基本事件總數，點數和為5的種數，再根據概率公式解答即可.

【詳解】根據題意可得基本事件數總為6x6=36個.

點數和為5的基本事件有(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)共4個.

41

，出現向上的點數和為5的概率為P=同=g.

故答案為：

【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

15.已知aJ生,紅］,且川+2sinacosa+川-2sinacosa=4則sina-cos"=_______

(44)cosa2sina+cosa

【答案】g

【分析】根據同角三角函數基本關系，先得到?陽？+8s?+J型產一°回=4，結合題中條件，進而

cosa

得到sina=2cosa,代入所求式子，即可得出結果.

【詳解】I+2sinacosa=(sina+cosa)*2,l-2sinacosa=(sina-cosa)2,

/.Jl+2sinacosa=\sina+cosa|,Jl-2sinacosa=\sina-cosa|.

由題意，得(sina+cosa)+(sin"cosa)=4,

cosa

sina=2cosa.

sina-cosa_2cosa-cosa_1

2sina+cosa4cosa+cosa5

故答案為1

【點睛】本題主要考查三角函數求值的問題，熟記同角三角函數基本關系，即可求解，屬于常考題

型.

22

16.橢圓工+匯=1內，過點”(2,1)且被該點平分的弦所在的直線方程為___________.

164

【答案】x+2y-4=0

【分析】設出AB坐標，根據點在橢圓上利用點差法求解出砥"的值，再利用直線的點斜式方程可求

解出直線方程.

【詳解】設直線與橢圓的兩個交點為4（4乂）,研電,必），因為48在橢圓上,

,

Iv

lX=1

4

所以16,所以圣一冬二

立2

I+五=116164

164

所以段所以這崇4

16

1x741

所以原廉分=一￡，所以3B=—［，

2x2162

所以A8的方程為：y-l=-g（x-2）,即x+2y_4=0,

故答案為：x+2y—4=0.

四、解答題

17.設AABC的內角4氏C所對邊的長分別是a,"c,且8=3,c=l,A=2B.

（1）求。的值;（2）求sin（A+?）的值.

【答案】⑴a=2V3⑵蟲衛

6

【詳解】試題分析：（1）在三角形中處理邊角關系時，一般全部轉化為角的關系，或全部轉化為邊

的關系.題中若出現邊的一次式一般采用正弦定理，出現邊的二次式一般采用余弦定理，應用正弦、

余弦定理時，注意公式變形的應用，解決三角形問題時，注意角的限制范圍；（2）在三角形中，注

意隱含條件H+B+C=1（3）解決三角形問題時，根據邊角關系靈活的選用定理和公式.

試題解析：因為A=23,所以sinA=sin2B=2sinBcos5,

由余弦定理得C°SB=￡^_sinA

~2sinB

所以由正弦定理可得

因為。=3,c=l9所以〃2=12,即〃=2百.

-〃29+1—121

（2）解：由余弦定理得cosA="'"=j_=

2bc63

因為OvAv4,所以sinA=Vl-cos2A

故sinA+—=sinAcos--I-cosAsin—

I4j44

2叵O（1、叵4-V2

32\3）26

【解析】正弦定理和余弦定理的應用.

18.在桂林市某中學高中數學聯賽前的模擬測試中，得到甲、乙兩名學生的6次模擬測試成績（百

分制）的莖葉圖.分數在85分或85分以上的記為優秀.

（1）根據莖葉圖讀取出乙學生6次成績的眾數，并求出乙學生的平均成績以及成績的中位數;

（2）若在甲學生的6次模擬測試成績中去掉成績最低的一次，在剩下5次中隨機選擇2次成績作為

研究對象，求在選出的成績中至少有一次成績記為優秀的概率.

甲乙

46

98713

83824

5944

【答案】（1）眾數為94.中位數為83.平均成績為83.

7

⑵尸（A）=>?

【詳解】分析：（1）根據莖葉圖，列出各個值，即可求得眾數、平均數和中位數.

（2）根據獨立事件概率運算，依次寫出各種組合情況，把符合要求的與總數比值即可.

詳解：（1）由莖葉圖可以得出：乙六次成績中的眾數為94.

平均成績為力+73+82+84+94+94=83.

6

（2）將甲六次中最低分64去掉，得五次成績分別為78,79,83,88,95.

從五次成績中隨機選擇兩次有以下10種情形：（78,79）,（78,83）,（78,88）,（78,95）,（79,83）,（79,88）,

（79,95）,（83,88）,（83,95）,（88,95）,

其中滿足選出的成績中至少有一次成績記為優秀的有7種.

設選出的成績中至少有一次成績記為優秀為事件A,則網4）=V.

點睛：本題考查了莖葉圖的簡單應用，獨立事件概率的求解，屬于基礎題.

19.已知數列｛4｝是公比為2的等比數列，且%用+1，%成等差數列.

(1)求數列｛《,｝的通項公式;

(2)記年=4+1%-，求數列｛〃｝的前〃項和刀,.

【答案】(1)??=2"-'；(2)如。+2"-1

2

【詳解】(1)由題意可得2(%+1)=%+“4，

即2(2a,+1)=a2+4a2,

解得：生=2,q=g=l,

數列｛4｝的通項公式為a“=2"T.

,l

(2)^=a?+log2an+l=2"+n,

l2-1

7；=/>l+fe2+/?3+...+Z??=(l+2+3+...+n)+(20+2+2+...+2")

—M〃+1)J-2"_〃("+1)?2“]

21-22

20.如圖，已知多面體ABC-A4G，AA，4B，GC均垂直于平面

ABC,ZABC=120°,AA=4,￡C=1,A8=BC=片3=2.

(I)求證：平面AB。；

(H)求直線A&與平面ABB,所成角的正弦值.

【答案】(I)證明見解析；(II)叵.

13

【分析】(I)方法一：通過計算，根據勾股定理得A4,4片,再根據線面垂直的判定定

理得結論；

（II）方法一：找出直線AG與平面A8B,所成的角，再在直角三角形中求解即可.

【詳解】（I）［方法一］：幾何法

由48=2,A4,=4,84=2,A4,J._LAB得做=2亞，

所以AB：+AB：=44：,即有AB—A4.

由3c=2,BB,=2,CC>=1,BB,±BC,CC,，BC得4G=6,

由A3=8C=2,ZABC=120。得AC=,

由CCJAC,得人￡=屈，所以AB：+BC：=AC；,即有AgLBG，又A4B￡=B,,因此A8J

平面ABC.

［方法二］:向量法

如圖，以AC的中點。為原點，分別以射線OB,OC為x,y軸的正半軸，建立空間直角坐標系O-xyz.

由題意知各點坐標如下：

A（0,-73,0）,B（l,0,0），4（0,-x/3,4）,B,（1,0,2）,C,（0,73,1）,

因此世=（1,6,2）,A42），AG=（0,2G,—3）,

由A4A片=0得A與_LA瓦；由做.qc；=0得ABtlA^,

所以平面A8￡.

（II）［方法-1：定義法

如圖，過點G作交直線A用于點。，連結AD

由AB,±平面AqG得平面44G，平面ABB,,

由CQ_LAM得G。，平面ABB、，

所以NGAO是AC1與平面ABB,所成的角.

由BG=石，44=20,4G=萬得8$/。小用=空,sinNGA4--j=,

所以GD=/，故sin/GAO=g=尊.

因此，直線AG與平面488,所成的角的正弦值是普.

［方法二］:向量法

設直線AG與平面A8A所成的角為夕

由⑴可知AG=(O,2G,1),AB=(1,6,O),B4=(0,0,2),

設平面A84的法向量〃=(x,y,z).

n-AB=0即卜+后=。

可取w=(-石,1,0),

nBBt=0'[2z=0

所以㈤卜舄=嚕

因此，直線必與平面A期所成的角的正弦值是黨

［方法三］:【最優解】定義法+等積法

設直線AG與平面ABB1所成角為凡點G到平面A84距離為d（下同）.因為GC〃平面ABB,,所以

點C到平面ABB,的距離等于點G到平面A3區的距離.由條件易得，點C到平面AB"的距離等于點

C到直線48的距離，而點C到直線A8的距離為6,所以d=故sin9=3=卑=零

，1313

［方法四］:定義法+等積法

設直線AC|與平面4網所成的角為0,由條件易得4g=2夜,A￡=6，AG=>/^，所以

A.B；+B.C^-A.C-Viom?而

COS/AAG=''''=——，因此sinNA/C=-?

244?DyC^|〉5

于是得5卯￡=；A舟BC?sinZAB.C,=瓜,易得Sw=4.

由?…用=匕-AB1G得；獷d=gS"&G?A8[,解得d=y[i.

玦.Cd73V39

故sin。=---=—；==------.

AC}V1313

[方法五]:三正弦定理的應用

JT

設直線AG與平面ABB,所成的角為，，易知二面角G-AA-B的平面角為NBAC=",易得

6

.26

sm/CjAA,=-y=,

所以由三正弦定理得sin，=sinZCjAA,■sinABAC=、g=

［方法六］：三余弦定理的應用

設直線AG與平面A8及所成的角為6,如圖2,過點C作CGLA3,垂足為G,易得CGL平面AB8,,

所以CG可看作平面A84的一個法向量.

圖2

結合三余弦定理得sin0=|cos<AC,,CG〉卜|cosNgAC?cosNGC4|=第x條=普.

［方法七］：轉化法+定義法

如圖3,延長線段4A至區使得AE=C0.

圖3

聯結CE,易得EC〃AC，所以AG與平面A84所成角等于直線EC與平面A88,所成角.過點C作

CG1AB,垂足為G,聯結GE,易得CGJ■平面A網，因此EG為EC在平面A網上的射影，所以

NCEG為直線EC與平面A84所成的角.易得CE=岳,CG=6，因此

S&CEG=T=^=^

CEV1313

［方法八］：定義法+等積法

如圖4,延長交于點E,易知BE=2,又AB=8C=2,所以/IC±CE,故CEJ?面AA,GC.設

點G到平面A8用的距離為心由腺FC,=%一隊￡得gx；的?AE?〃=；xg例?AC?CE,解得力=6.

又AC\=A，設直線4G與平面ABB,所成角為。，所以sin6=4=^

VI313

【整體點評】（I）方法一：通過線面垂直的判定定理證出，是該題的通性通法;

方法二：通過建系，根據數量積為零，證出；

(II)方法一：根據線面角的定義以及幾何法求線面角的步驟，“一作二證三計算”解出;

方法二：根據線面角的向量公式求出；

方法三：根據線面角的定義以及計算公式，由等積法求出點面距，即可求出，該法是本題的最優解;

方法四：基本解題思想同方法三，只是求點面距的方式不同；

方法五：直接利用三正弦定理求出：

方法六：直接利用三余弦定理求出；

方法七：通過直線平移，利用等價轉化思想和線面角的定義解出；

方