3.3卡諾圖化簡邏輯函數(shù)化簡方法代數(shù)法圖形法（卡諾（人）圖法）

卡諾圖法－形象直觀，只要熟悉一些簡單的規(guī)則，便可十分迅速地將函數(shù)化簡為最簡式。卡諾圖法是邏輯設計中一種十分有用的工具，應用十分廣泛，希望大家熟練掌握。卡諾圖化簡3.3.1卡諾圖化簡的基本原理在應用吸收律1(AB+AB=A)化簡時已指出：凡是兩邏輯相鄰項，可合并成一頃，其合并結果保留相同變量，消去不同變量。

邏輯相鄰的概念：兩個相同變量的邏輯項，只有一個變量取值不同，我們稱它為邏輯相鄰項。

因此，如果一個邏輯函數(shù)我們能找到它的相鄰關系，只要反復應用吸收律1就可化簡。例卡諾圖化簡例20解上述化簡過程十分簡單，容易掌握。但是,有時邏輯函數(shù)的邏輯相鄰關系不是十分直觀，比如:

各項變量就不相同，難于尋找相鄰關系。為了尋找相鄰關系，我們提出邏輯函數(shù)的標準式,從標準式我們可以很快找出函數(shù)各項之間的相鄰關系。在介紹邏輯函數(shù)標準式之前，先說明一下最小項的基本概念。

最小項：對于一個給定變量數(shù)目的邏輯函數(shù)，所有變量參加相“與”的項叫做最小項。在一個最小項中，每個變量只能以原變量或反變量出現(xiàn)一次。例如：3.3.2邏輯函數(shù)的標準式——最小項一個變量A有二個最小項：二個變量AB有四個最小項：三個變量ABC有八個最小項：最小項

以此類推，四個變量ABCD共有24=16個最小項，n變量共有2n個最小項。1.最小項標準式定義

最小項標準式：全部是由最小項組成的“與或”式。

(當然不一定由全部最小項組成)。例如最小項標準式最小項標準式，它的相鄰關系一目了然，而

不屬于最小項標準式，而是屬于一般式。最小項標準式具有唯一性。任何邏輯函數(shù)的最小項標準式只有一個，它和邏輯函數(shù)的真值表有著嚴格的對應關系，而函數(shù)的一般式具有多樣性，如顯然，上面兩等式形式不同，但它們均表示同一邏輯關系，功能是相同的。因此，為了找出邏輯函數(shù)的邏輯相鄰關系，首先就要解決如何由函數(shù)的一般式得到最小項標準式。最小項標準式2.由一般式獲得最小項標準式(1)代數(shù)法由上式可看出，第二項缺少變量A，第三項缺少變量B，我們可以分別用和乘第二項和第三項，其邏輯功能不變。對邏輯函數(shù)的一般式采用添項法，例如：這樣我們就獲得了具有同一邏輯功能的最小項標準式由一般式獲得最小項標準式的方法

將原邏輯函數(shù)A、B、C取不同值組合起來，得其真值表，而該邏輯函數(shù)是將F=1那些輸入變量相或而成的，如表3-4所示。

表3–4某邏輯函數(shù)的真值表(2)真值表法由一般式獲得最小項標準式的方法從真值表上找得到表3–5三變量最小項的編號為了方便，可對全部最小項進行編號。其編號與變量的取值組合對應，以便從它的編號聯(lián)想到它的名稱。當變量取值為“0”時，它以反變量形式出現(xiàn)在最小項中，當變量取值為“1”時，則以原變量的形式出現(xiàn)在最小項中。這樣，變量取值組合所表示的十進制數(shù)，就是最小項編號的下標。上式可用m1,m5,m6,m7

表示，可寫為F(A,B,C)=m0+m3+m4+m6+m7F(A,B,C)=∑m(0,3，4，6,7)F(A,B,C)=∑(0,3，4，6,7)對于任意一種取值，全體最小項的和為1即(2)兩個不同最小項之積為0，即(3)n變量有2n個最小項。3.最小項的性質

由最小項標準式可以較方便地找出相鄰關系。但仍不直觀，且有時容易漏掉一些相鄰關系，并難于確定相鄰項如何合并，使化簡結果最簡。為此提出了卡諾圖化簡法。卡諾圖就是用圖形將全部最小項巧妙地排列而構成的正方形或矩形的方格圖，使邏輯相鄰項在幾何位置上相鄰，圖中分成若干個小方格，每個小方格填入一個最小項，按一定的規(guī)則把小方格中所有的最小項進行合并處理，就可得到最簡的邏輯函數(shù)表達式。3.3.3最小項的卡諾圖

一變量卡諾圖：有21=2個最小項，因此有兩個方格。外標的“0”表示取A的反變量，“1”表示取A的原變量。其圖如圖3-5(a)所示。

最小項卡諾圖又稱為最小項方格圖。對于有n個變量的邏輯函數(shù)，其最小項有2n個，因此該邏輯函數(shù)的卡諾圖由2n個小方格構成。（1）一變量的卡諾圖一變量的卡諾圖二變量的卡諾圖有2２=4個最小項，因此有四個方格。外標的“0”、“1”的含義與前一樣。其圖如圖所示。（2）二變量的卡諾圖二變量的卡諾圖三變量卡諾圖有23=8個最小項，其卡諾圖如圖所示。（3）三變量的卡諾圖三變量的卡諾圖四變量卡諾圖有24=16個最小項，其卡諾圖如圖所示。（4）四變量的卡諾圖四變量的卡諾圖五變量卡諾圖有25=32個最小項，其卡諾圖如圖所示。（5）五變量的卡諾圖隨著輸入邏輯變量個數(shù)的增加，圖形變得十分復雜，所以卡諾圖一般多用于六變量以內。從卡諾圖上可以十分容易地找出邏輯相鄰關系。凡是幾何位置相鄰，其對應的最小項均是邏輯相鄰項。由于卡諾圖是平面結構，因此在反映邏輯相鄰項時，除了幾何位置相鄰外，還應考慮對折原理---即上下左右的最小項都具有相鄰關系。例：3.3.4用卡諾圖表示邏輯函數(shù)對表達式中出現(xiàn)的最小項，在其對應的小方格內填上“1”；對表達式中不出現(xiàn)的最小項，在其對應的小方格內填上“0”或者什么都不填。例：具體做法（1）若邏輯函數(shù)式是最小項表達式圖3–6邏輯函數(shù)用卡諾圖表示展開成最小項標準式，在其對應的方格內填上“1”或“0”或者什么都不填。也可以直接填卡諾圖。（2）若邏輯函數(shù)式是一般式例：將用卡諾圖表示。解：①展開成最小項標準式很麻煩，可以直接填卡諾圖解：我們逐項用卡諾圖表示，然后再合起來即可。

：在B=1,C=0對應的方格(不管A，D取值)，得m4、m5、m12、m13，在對應位置填1；：在C=1,D=0所對應的方格中填1，即m2、m6、m10、m14；②直接填卡諾圖圖3–7邏輯函數(shù)直接用卡諾圖表示：在A=C=0,D=1對應方格中填1，即m1、m5；

即m15。：在B=0，C=D=1對應方格中填1，即m3、m11；ABCD：學會了用卡諾圖表示邏輯函數(shù)，就可以用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)了用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)，其原理是利用卡諾圖各項的相鄰性，對相鄰最小項進行合并，消去互反量，以達到化簡的目的。

2個相鄰最小項合并，可以消去一個變量，4個相鄰最小項合并，可以消去2個變量，2n個相鄰最小項合并，可以消去n個變量，

(1)兩相鄰項可合并為一項，消去一個取值不同的變量，保留取值相同的變量；

(2)四相鄰項可合并為一項，消去兩個取值不同的變量，保留取值相同的變量。標注為“1”表示原變量，“0”表示反變量；

(3)八相鄰項可合并為一項，消去三個取值不同的變量，保留取值相同的變量。

(4)16個相鄰項可合并為一項，消去四個取值不同的變量，保留取值相同的變量。······3.3.5相鄰最小項合并規(guī)律注意：2n個最小項的相鄰項才可合并，不滿足2n關系的最小項不可合并。

如21、22＝4、23＝8、24＝16項······相鄰項可合并，3、5、6、7、9項······均不能合并。而且相鄰關系應是封閉的，如m0、m1、m3、m2四個最小項，m0與m1，m1與m3，m3與m2均相鄰，且m2和m0還相鄰。這樣的2n個相鄰的最小項可合并。圖3–8相鄰最小項合并規(guī)律相同變量留下，不同變量消掉3.3.6與或邏輯化簡

運用最小項標準式，在卡諾圖上進行邏輯函數(shù)化簡，得到的基本形式是與或邏輯。其步驟如下：

(1)將原始函數(shù)用卡諾圖表示；

(2)畫卡諾圈，圈住全部“１”方格

卡諾圈有多種圈法，根據(jù)最小項合并規(guī)律，要注意如何使卡諾圈數(shù)目最少，同時又要盡可能地使卡諾圈大，因為它少一個卡諾圈，邏輯表達式就少一項，組成電路就少用一個與門。

(3)將上述全部卡諾圈的結果，“或”起來即得化簡后的新函數(shù)；

(4)由邏輯門電路，組成邏輯電路圖。例22化簡解:第一步：用卡諾圖表示該邏輯函數(shù)。

：對應m3、m11對應m1、m5對應m10、m11對應m4、m5、m12、m13圖3-9例22函數(shù)的卡諾圖表示

第二步：畫卡諾圈，圈住全部“１”方格。具體化簡過程見圖：相同變量留下，不同變量消掉圖3—10例22的化簡過程第三步：組成新函數(shù)。每一個卡諾圈對應一個與項，然后再將各與項“或”起來得新函數(shù)。故化簡結果為圖3—11例22化簡后的邏輯圖第四步：根據(jù)新函數(shù)，畫出的邏輯電路。

例23化簡①用卡諾圖表示該邏輯函數(shù)。②畫卡諾圈，圈住全部“１”方格③寫出化簡后的邏輯函數(shù)表達式比較圖(a)、(b)兩種圈法，顯然圖(b)圈法優(yōu)于圖(a)圈法，因為它少一個卡諾圈，組成電路就少用一個與門。故化簡結果應為圖(b)，其化簡函數(shù)為圖3–12例23化簡過程解：圖3–13例23邏輯圖④畫的邏輯圖例24

化簡化簡方法如圖(b)、(c)所示。圖(b)是初學者常圈成的結果，圖(c)是正確結果，即①用卡諾圖表示該邏輯函數(shù)。②畫卡諾圈，圈住全部“１”方格解：③寫出化簡后的邏輯函數(shù)表達式這二者的差別在于圖(b)將m6和m14圈為二單元圈。圖(c)將m4、m6、m12、m14圈成四單元圈。前者化簡結果為BCD，而后者為BD，少了一個變量。例25化簡

解:①用卡諾圖表示該邏輯函數(shù)②畫卡諾圈，圈住全部“１”方格③寫出化簡后的邏輯函數(shù)表達式此例在圈的過程中注意四個角m0、m2、m8、m10可以圈成四單元圈圖3–15例25化簡過程圖3–15例25邏輯圖④畫邏輯圖例26化簡①用卡諾圖表示該邏輯函數(shù)②畫卡諾圈，圈住全部“１”方格(a)中出現(xiàn)了多余圈。m5、m7、m13、m15雖然可圈成四單元圈，但它的每一個最小項均被別的卡諾圈圈過，是多余圈，此時最佳結果應如圖(b)所示。③寫出化簡后的邏輯函數(shù)表達式

解:圖3–16例26化簡過程圖3–16例26邏輯圖④畫的邏輯圖3.3.7其它邏輯形式的化簡

將與或式兩次求反即得與非式。其化簡步驟如下：第一步：在卡諾圖上圈“１”方格，求得最簡與或式；第二步：將最簡與或式兩次求反，用求反律展開一次，得到與非表示式；第三步：根據(jù)與非式，用與非門組成邏輯電路。

1.與非邏輯形式

例27將例22~26用與非門實現(xiàn)。解:例22與或結果為圖3–17例22用與非門實現(xiàn)例23的與非式為圖3–18例23的與非邏輯圖例24的與非式為圖3–18例24的與非邏輯圖例25的與非式為圖3–18例25的與非邏輯圖例26的與非式為圖3–18例26的與非邏輯圖方法：首先從卡諾圖上求其反函數(shù)，其方法是圈“０”方格，然后再用摩根定律取反即得或與式。2.或與邏輯形式求反函數(shù)和或與式。例28解：圖3–19求例28的反函數(shù)①用卡諾圖表示該邏輯函數(shù)②畫卡諾圈，圈住全部“0”方格③寫出化簡后的邏輯函數(shù)表達式④再由反函數(shù)求得原函數(shù)，利用摩根定律就得或與式。

總結如下：

在卡諾圖上圈“0”方格，其化簡結果：變量為“0”作為原變量；變量為“1”作為反變量，然后變量再相“或”起來，就得每一或項，最后再將每一或項“與”起來而得或與式。故此例可不通過求反函數(shù)，直接由上述過程得到或與式(如圖3-20所示)：圖3–20從卡諾圖上直接圈得或與式⑤邏輯圖圖3–21例28的或與邏輯圖將或與邏輯兩次求反即得或非表示式：3.或非邏輯形式按邏輯表達式即可畫出或非邏輯電路圖，如圖3-22所示。圖3–22例28的或與邏輯圖一般前一種途徑所得電路要多用一個反相器，所以常用后一種方法得最簡與或非式。

4.與或非邏輯形式與或非式可從兩種途徑得到①與或式兩次求反，即得與或非式。②求得反函數(shù)后，再求一次反，可得與或非式。例28例22圖3–23例22、例28的與或非邏輯圖例28例223.3.8無關項及應用邏輯問題分為兩種完全描述：非完全描述：對應于變量的每一組取值，函數(shù)都有定義，即在每一組變量取值下，函數(shù)“F”都有確定的值，不是“１”就是“０”，即邏輯函數(shù)與每個最小項均有關在實際的邏輯問題中，變量的某些取值組合不允許出現(xiàn)，或具有一定的制約關系。這類問題稱為非完全描述，即該函數(shù)只與部分最小項有關，而與另一些最小項無關，我們用×或者用φ表示。

表3–6完全描述ABCF00001111001100110101010100010010ABCF000011110011001101010101010X1XXX表3–7非完全描述完全描述和非完全描述真值表也可表示為即不允許AB或AC或BC同為1。ABCF000011110011001101010101010X1XXX對于含有無關項邏輯函數(shù)可表示為無關項用d表示圖3–24不考慮無關項的化簡不考慮無關項的邏輯函數(shù)化簡圖3–25考慮無關項函數(shù)化利用無關項的邏輯函數(shù)化簡

可見，利用無關項常常可以進一步化簡邏輯函數(shù)。利用無關項化簡邏輯函數(shù)時，只將對化簡有利的無關項圈進卡諾圈，對化簡無用的項可以不圈。例29化簡解：圖3–26例29化簡①用卡諾圖表示該邏輯函數(shù)②畫卡諾圈，圈住全部“1”方格為了使圈盡量大，可以利用無關項③寫出化簡后的邏輯函數(shù)表達式圖3–26例29邏輯圖④畫的邏輯圖例30化簡圖3–27例30化簡①用卡諾圖表示該邏輯函數(shù)(無關項用X表示)②畫卡諾圈，圈住全部“1”方格由于m11和m15對化簡無用，因此就沒圈。③寫出化簡后的邏輯函數(shù)表達式解：圖3–27例30邏輯圖④畫的邏輯圖例31化簡

解

:圖3–28例31化簡過程①用卡諾圖表示該邏輯函數(shù)。AB=0即表示A與B不能同時為1，則AB=11所對應的最小項，應視為無關項。②畫卡諾圈，圈住全部“1”方格m7對化簡無用，因此就不圈。③寫出化簡后的邏輯函數(shù)表達式*3.3.9輸入只有原變量沒有反變量的邏輯函數(shù)化簡

例32用最少的門電路實現(xiàn)函數(shù)解：實現(xiàn)該邏輯的電路如圖3-29所示，為了獲得反變量多用了三個非門。阻塞法主要就是解決在保證功能的前提下盡可能地少用非門。圖3–29例32邏輯圖代數(shù)法又稱為綜合反變量法。我們可以證明1.代數(shù)法同理我們也能證明這樣原式變?yōu)榫C合反變量圖3–30例32采用綜合反變量的邏輯圖的邏輯圖

稱為綜合反變量，它的作用與一樣。我們稱綜合反變量雖然在一定程度上解決了少用“非門”的問題，但當某一項中有兩個或更多的非號時就有一定的困難。為此我們總結出用卡諾圖進行化簡的方法，稱為阻塞法。中不帶非號的部分為頭部因子，如AB、AC、CB等，而帶非號部分稱為尾部因子。由前面的等式證明可得出，頭部因子可以隨意放入尾部因子，也可以從尾部因子中取走，而功能不變。我們觀察在卡諾圖中圈卡諾圈時，有一個特殊的現(xiàn)象。當卡諾圈含有全“1”方格(三變量的111即ABC方格，四變量1111即ABCD方格)，其化簡結果均為原變量。為清楚起見，我們畫卡諾圖時將全“1”方格用黑三角標示出來，如圖3－31所示。2.阻塞法圖3–31卡諾圖上表示全1方格如以四變量為例：二單元圈：m13與m15→ABDm7與m15→BCDm11與m15→ACDm14與m15→ABCm5，m7，m13，m15→BDm6，m7，m14，m15→BCm9，m11，m13，m15→ADm10，m11，m14，m15→ACm3，m7，m11，m15→CDm12，m3，m14，m15→AB四單元圈：八單元圈：m1，m3，m5，m7m9，m11，m13，m15m2，m3，m6，m7m10，m11，m14，m15m4，m5，m6，m7m12，m13，m14，m15m8，m9，m10，m11m12，m13，m14，m15→D→C→B→A

所以，如果在化簡時每次圈卡諾圈時均含全“１”方格，則就不出現(xiàn)反變量，因此也就節(jié)省了非門。但在實際的邏輯問題中，邏輯函數(shù)不一定包含全“１”方格，按常規(guī)圈法必然出現(xiàn)反變量。例如按常規(guī)化簡得其電路如圖3-32所示。圖3–32化簡過程及邏輯圖

為了獲得化簡結果為原變量，我們將m7圈進，得C。這結果顯然與原功能不一致，因為它將m7也看成是“１”，而實際是“０”。為此，將m7作用除掉，怎樣除掉呢?用與圈得的結果相與即可。證明如下：

m7項稱為阻塞項。為了保證不出反變量，阻塞項也應圍繞全“１”方格圈。為了保證化簡結果最佳，阻塞項應盡可能圈大。C原式圖3–33阻塞法化簡結果仍以上式為例，將阻塞項圈為m6

、m7，阻塞項為其正確性證明如下：例33輸入是單軌輸入，用與非門實現(xiàn)圖中A多圈了m7，應將其扣除，故為AABC。BC多圈了m7應將其扣除，故應為BCABC，得化簡函數(shù)為解：圖3–34例33阻塞法化簡過程及邏輯圖例34輸入只有原變量，用與非門實現(xiàn)①用卡諾圖表示該邏輯函數(shù)。②畫卡諾圈，圈住全部