插值法插值牛頓插值第一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六第二章插值法2.1引言2.2拉格朗日插值2.3差商與牛頓插值公式2.4差分與等距節(jié)點(diǎn)插值2.5埃爾米特插值2.6分段低次插值2.7三次樣條插值2023/5/302第二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六本章要點(diǎn)用簡單的函數(shù)(如多項(xiàng)式函數(shù))作為一個(gè)復(fù)雜函數(shù)的近似,最簡單實(shí)用的方法就是插值.本章主要介紹有關(guān)插值法的一些基本概念，及多項(xiàng)式插值的基礎(chǔ)理論和幾個(gè)常用的插值方法：拉格朗日插值、分段線性插值、牛頓插值、埃爾米特插值和三次樣條插值.2023/5/303第三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六2.1引言能否存在一個(gè)性能優(yōu)良、便于計(jì)算的函數(shù)一、插值問題2023/5/304第四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六這就是插值問題，上式為插值條件其插值函數(shù)的圖象如下圖2023/5/305第五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六2023/5/306第六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六二、代數(shù)插值多項(xiàng)式的存在唯一性整體誤差的大小反映了插值函數(shù)的好壞為了使插值函數(shù)更方便在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算,一般插值函數(shù)都使用代數(shù)多項(xiàng)式和有理函數(shù)本章討論的就是代數(shù)插值多項(xiàng)式且滿足--------(2)--------(3)72023/5/30第七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六--------(4)上述方程組的系數(shù)行列式為n+1階Vandermond行列式82023/5/30第八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六定理1.由Cramer法則,線性方程組(4)有唯一解--------(2)--------(3)則滿足插值條件的插值多項(xiàng)式存在且唯一.雖然線性方程組(4)推出的插值多項(xiàng)式存在且唯一但通過解線性方程組(4)求插值多項(xiàng)式卻不是好方法92023/5/30第九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六三、插值法的類型且滿足其中為實(shí)數(shù)，就稱P(x)為插值多項(xiàng)式，相應(yīng)的插值法稱為多項(xiàng)式插值；若P(x)為分段的多項(xiàng)式，就稱為分段插值；若P(x)為三角多項(xiàng)式，就稱為三角插值。本章只討論多項(xiàng)式插值與分段插值2023/5/3010第十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六2.2拉格朗日插值此插值問題可表述為如下：問題求作次數(shù)多項(xiàng)式，使?jié)M足條件這就是所謂的拉格朗日（Lagrange）插值。

拉格朗日（Lagrange）插值公式(以下統(tǒng)稱為Lagrange插值公式)的基本思想是，把pn(x)的構(gòu)造問題轉(zhuǎn)化為n+1個(gè)插值基函數(shù)li(x)(i=0,1,…,n)的構(gòu)造。2023/5/3011第十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六2023/5/3012第十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六問題已知函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0,x1上的值為y0,y1，求作一次式，使?jié)M足條件其幾何意義，就是通過兩點(diǎn)的一條直線。

2.2.1線性插值與拋物插值一、線性插值—點(diǎn)斜式2023/5/3013第十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六L12023/5/3014第十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六由直線兩點(diǎn)式可知，通過A，B的直線方程為稱為線性插值(n=1的情況)，分為內(nèi)插與外推。適用情況：很小時(shí)2023/5/3015第十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六也可表示為如下對(duì)稱形式：其中，顯然，2023/5/3016第十六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六線性插值舉例例1:

已知，，求代入點(diǎn)斜式插值多項(xiàng)式得y=10.71428精確值為10.723805，故這個(gè)結(jié)果有3位有效數(shù)字。2023/5/3017第十七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六

問題求作二次式，使?jié)M足條件二次插值的幾何解釋是用通過三個(gè)點(diǎn)

的拋物線來近似考察曲線，故稱為拋物插值。類似于線性插值，構(gòu)造基函數(shù)，要求滿足下式：二、拋物插值2023/5/3018第十八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六2023/5/3019第十九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六x0=100,x1=121,x2=144f(x0)=10,f(x1)=11,f(x2)=12(121–100)(121–144)L2(115)=(100–121)(100–144)(115–121)(115–144)*

10+(115–100)(115–144)*11+(144–100)(144–121)(115–100)(115–121)*12=10.7228拋物插值舉例2(x0–x1)(x0–x2)(x–x1)(x–x2)f(x0)+(x1–x0)(x1–x2)(x–x0)(x–x2)f(x1)+(x2–x0)(x2–x1)(x–x0)(x–x1)f(x2)L2(x)=和用線性插值相比，有效數(shù)字增加一位2023/5/3020第二十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六為了構(gòu)造，我們先定義n次插值基函數(shù)。2.2.2拉格朗日n次插值多項(xiàng)式定義：若n次多項(xiàng)式在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)上滿足條件2023/5/3021第二十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六n+1次多項(xiàng)式對(duì)n=1及n=2時(shí)的情況前面已經(jīng)討論，用類似的推導(dǎo)方法，可得到n次插值基函數(shù)為：2023/5/3022第二十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六且從而2023/5/3023第二十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六總結(jié)稱為y=f(x)的拉格朗日插值多項(xiàng)式稱為n次拉格朗日插值基函數(shù)2023/5/3024第二十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六例3：求過點(diǎn)(2，0)(4，3)(6，5)(8，4)(10，1)的拉格朗日插值多項(xiàng)式。2023/5/3025第二十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六2023/5/3026第二十六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六2023/5/3027第二十七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六2023/5/3028第二十八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六2.2.3插值余項(xiàng)與誤差估計(jì)一、插值余項(xiàng)滿足不會(huì)完全成立因此，插值多項(xiàng)式存在著截?cái)嗾`差,那么我們?cè)鯓庸烙?jì)這個(gè)截?cái)嗾`差呢？2023/5/3029第二十九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六2023/5/3030第三十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六令設(shè)其中證明：假設(shè)在區(qū)間[a,b]上f(x)的插值多項(xiàng)式為2023/5/3031第三十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六若引入輔助函數(shù)2023/5/3032第三十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六根據(jù)Rolle定理,再由Rolle定理,依此類推由于2023/5/3033第三十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六所以因此2023/5/3034第三十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六則注意:（1）余項(xiàng)表達(dá)式只有在f(x)的高階導(dǎo)數(shù)存在時(shí)才能應(yīng)用。（2）在內(nèi)的具體位置通常不可能給出，所以，設(shè)2023/5/3035第三十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六例1:已測得某地大氣壓強(qiáng)隨高度變化的一組數(shù)據(jù)高度(m)0100300100015002000.壓強(qiáng)(kgf/m2)0.96890.93220.89690.85150.79840.7485

試用二次插值法求1200米處的壓強(qiáng)值.解：設(shè)x為高度，y為大氣壓強(qiáng)的值，選取(1000,0.8515),(1500,0.7984),(2000,0.7485)三點(diǎn)構(gòu)造二次插值多項(xiàng)式(x-x1)(x-x2)(x-x0)(x-x2)(x-x0)(x-x1)

p2(x)=--

--------------

y0+---------------

y1+---------------

y2(x0-x1)(x0-x2)(x1-x0)(x1-x2)(x2-x0)(x2-x1)362023/5/30第三十六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六所以y(1200)p2(1200)=0.82980(kgf/m2)372023/5/30第三十七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六例2:解:2023/5/3038第三十八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六2023/5/3039第三十九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六不同次數(shù)的Lagrange插值多項(xiàng)式的比較圖Runge現(xiàn)象402023/5/30第四十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六P441、2本章作業(yè)拉格朗日插值多項(xiàng)式的缺點(diǎn)：（1）插值基函數(shù)計(jì)算復(fù)雜（2）函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)不易求（3）高次插值的精度不一定高2023/5/3041第四十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六1、給定正弦函數(shù)表如下，試用拉格朗日二次插值，求sin0.57891的近似值并估計(jì)誤差。0.50.60.70.479340.564640.644222、已知函數(shù)表x1.131.151.171.20y=f(x)1.1911.3951.5931.790應(yīng)用拉格朗日插值公式計(jì)算f(1.16)422023/5/30第四十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六開始輸入（xi,yi)及xi=0,1,2,...,nP=0,k=0T=1T=t(x-xi)/(xk-xi)i=0,1,2,...,k-1,k+1,...,nP=p+yktK=nK=k+1輸出p結(jié)束FT編程思想432023/5/30第四十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六

2.3差商與牛頓插值公式我們知道,拉格朗日插值多項(xiàng)式的插值基函數(shù)為形式上太復(fù)雜,計(jì)算量很大,并且重復(fù)計(jì)算也很多，且由于插值基函數(shù)L(x)依賴于全部基點(diǎn)，若算出所有L(x)后如需要增加插值節(jié)點(diǎn)，則必須重新計(jì)算,為了克服這個(gè)缺點(diǎn)，我們引進(jìn)牛頓插值多項(xiàng)式。2023/5/3044第四十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六由線性代數(shù)的知識(shí)可知,任何一個(gè)n次多項(xiàng)式都可以表示成共n+1個(gè)多項(xiàng)式的線性組合那么，是否可以將這n+1個(gè)多項(xiàng)式作為插值基函數(shù)呢？2023/5/3045第四十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六顯然，多項(xiàng)式組線性無關(guān)，因此，可以作為插值基函數(shù)462023/5/30第四十六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六2023/5/3047第四十七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六有為寫出系數(shù)

的一般表達(dá)式，現(xiàn)引入差商概念再繼續(xù)下去待定系數(shù)的形式將更復(fù)雜2023/5/3048第四十八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六定義:稱

2.3.1差商及其性質(zhì)一、差商的定義2023/5/3049第四十九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六二、差商具有如下性質(zhì)（請(qǐng)同學(xué)們自證）：2023/5/3050第五十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六性質(zhì)2：差商與節(jié)點(diǎn)的排列順序無關(guān)，即任意調(diào)換節(jié)點(diǎn)的次序,差商的值不變(差商的對(duì)稱性)2023/5/3051第五十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六用余項(xiàng)的相等證明2023/5/3052第五十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六規(guī)定函數(shù)值為零階差商差商表三、差商的計(jì)算方法(表格法):532023/5/30第五十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六2.3.2牛頓插值公式2023/5/3054第五十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六把后一項(xiàng)依次帶入前一項(xiàng)，可得（2.3.7）我們稱

為牛頓(Newton)差商插值多項(xiàng)式。稱

為牛頓差商插值多項(xiàng)式的截?cái)嗾`差。2023/5/3055第五十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六因此，每增加一個(gè)結(jié)點(diǎn)，Newton插值多項(xiàng)式只增加一項(xiàng)，克服了Lagrange插值的缺點(diǎn)。562023/5/30第五十六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六根據(jù)滿足給定插值條件的插值多項(xiàng)式存在的唯一性，可得因此Newton插值估計(jì)誤差的重要公式即為n+1次多項(xiàng)式2023/5/3057第五十七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六例1：2023/5/3058第五十八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六解：2023/5/3059第五十九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六2023/5/3060第六十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六例2:給定數(shù)據(jù)表f(x)=lnx數(shù)據(jù)表

xi2.202.402.602.803.00f(xi)0.788460.875470.955511.029621.098611.構(gòu)造差商表2.用二次Newton差商插值多項(xiàng)式，近似計(jì)算f(2.65)的值3.寫出四次Newton差商插值多項(xiàng)式N4(x)

解:差商表612023/5/30第六十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六N2(x)=0.87547+0.40010(x-2.40)-0.073875(x-2.40)(x-2.60)f(2.65)N2(2.65)N4(x)=0.78846+0.43505(x-2.20）-0.087375(x-2.20)(x-2.40)+0.0225(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)-0.00755(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)(x-2.80)622023/5/30第六十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六拉格朗日插值與牛頓插值的比較(1)和均為n次多項(xiàng)式，且均滿足插值條件：由插值多項(xiàng)式的唯一性，，因而，兩個(gè)公式的余項(xiàng)是相等的，即2023/5/3063第六十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六P443、4本章作業(yè)(2)Newton插值法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算較簡單,尤其是增加節(jié)點(diǎn)時(shí),計(jì)算只要增加一項(xiàng),這點(diǎn)是Lagrange插值無法比的(3)Newton插值余項(xiàng)公式對(duì)f(x)是由離散點(diǎn)給出或f(x)導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)均適用(4)但是Newton插值仍然沒有改變Lagrange插值的插值曲線在節(jié)點(diǎn)處有尖點(diǎn)，不光滑，插值多項(xiàng)式在節(jié)點(diǎn)處不可導(dǎo)等缺點(diǎn)2023/5/3064第六十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期六3、已知在離散點(diǎn)有，試用牛頓插值法計(jì)算的近似值，并由誤差公式給出誤差界，同時(shí)與實(shí)際誤差作比較。作出差商表，寫出牛頓插值公式，計(jì)算的近似值。4、給出函數(shù)表x-1123y=f(x)3.55.47.25.5第六十五頁