立體幾何的向量方法

——綜合應用樹蘭學校：曹洪霞成功來自堅持，執著創造奇跡天才是1%的靈感加上99%的汗水

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F.(1)求證：PA//平面EDB(2)求證：PB⊥平面EFD(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEFH例題剖析小結1小結2小結3ABCDPEFY(2)（解法一）：如圖所示建立空間直角坐標系D-XYZ,設DC=1，則P(0,0,1),B(1,1,0),E(0,1/2,1/2)XZ

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F.(2)求證：PB⊥平面EFDY

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F.(2)求證：PB⊥平面EFD(2)解法二：如圖所示建立空間直角坐標系D-XYZ,

設DC=1，則P(0,0,1),B(1,1,0),E(0,1/2,1/2)ABCDPEFZXYDEFPXZYBC又E(0,1/2,1/2)F（1/3,1/3,2/3）ABCDPEFXZBCY(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEFXYZ(3)求二面角C-PB-D的大小。BCY（其中由(2)知PB⊥平面EFD）小試牛刀小結4方法一：XYZXYZ方法二：azxyF1F2F3ACBO500kg

如圖,一塊均勻的正三角形面的鋼板的質量為，在它的頂點處分別受力、、，每個力與同它相鄰的三角形的兩邊之間的夾角都是，且.這塊鋼板在這些力的作用下將會怎樣運動？這三個力最小為多大時，才能提起這塊鋼板？

合力答案合作探究F1F3F2F1F2F3ACBO500kgF1F3F2坐標系F1F2F3ACBO500kg1、立體幾何中的向量方法的“三部曲”：

用空間向量表示立體圖形中的點、直線、平面等元素

進行空間向量的運算，研究點、直線、平面之間的關系以及它們之間的距離和夾角。

把運算結果“翻譯”成相應的幾何意義。2、解決立體幾何問題常用方法：綜合法向量法坐標法這節課你學到了什么總結l求平面法向量的方法和步驟：（4）解方程組，另其中一個變量等于一個特殊值，再代入方程求出其它變量，即得一個法向量。例1lCDAB例1①方向向量法將二面角轉化為二面角的兩個面的方向向量（在二面角的面內且垂直于二面角的棱）的夾角。如圖（2），設二面角的大小為其中AB三、二面角的平面角

將二面角轉化為二面角的兩個面的法向量的夾角。如圖，向量，則二面角的大?。健础?/p>

若二面角的大小為,

則②法向量法注意法向量的方向：同進同出，二面角等于法向量夾角的補角；一進一出，二面角等于法向量夾角.即“同進同出互補，一進一出相等”或三、二面角的平面角“同進同出互補”例1四、異面直線成角lmlm(1)定義:設a,b是兩條異面直線,過空間任一點O作直線a′∥a,b′∥b,則a′,b′所夾的銳角或直角叫a與b所成的角.練習一、用向量解決如下問題：1、平行和垂直2、角度二、向量的“數”和“形”運算三、向量解決立體幾何的“三部曲”

用空間向量表示立體圖形中的點、直線、平面等