《計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)》研究生課程媒體教學(xué)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)授課教師：

李志-Mail：jzhli@QQ:4602542187現(xiàn)代控制技術(shù)

在經(jīng)典控制理論中，用傳遞函數(shù)模型來(lái)設(shè)計(jì)和分析單輸入單輸出系統(tǒng)，但傳遞函數(shù)模型只能反映出系統(tǒng)的輸出變量與輸入變量之間的關(guān)系，而不能了解系統(tǒng)內(nèi)部的變化情況。在現(xiàn)代控制理論中，用狀態(tài)空間模型來(lái)設(shè)計(jì)和分析多輸入多輸出系統(tǒng)，便于計(jì)算機(jī)求解，同時(shí)也為多變量系統(tǒng)的分析研究提供了有力的工具。7.1狀態(tài)空間的輸出反饋設(shè)計(jì)法7.2狀態(tài)空間的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)法7.3離散狀態(tài)空間的最優(yōu)化設(shè)計(jì)法線性定常系統(tǒng)被控對(duì)象的連續(xù)狀態(tài)方程為：

式中，x(t)是n維狀態(tài)向量；u(t)是r維控制向量；y(t)是n維輸出向量；A是nxn維狀態(tài)矩陣；B是r維控制矩陣；C是mxn維輸出矩陣。采用狀態(tài)空間的輸出反饋設(shè)計(jì)法的目的是：利用狀態(tài)空間表達(dá)式，設(shè)計(jì)出數(shù)字控制器D(z)，使多變量計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)滿足所需要的性能指標(biāo)。7.1采用狀態(tài)空間的輸出反饋設(shè)計(jì)法

在控制器D(z)的作用下，系統(tǒng)輸出y(t)經(jīng)過(guò)N次采樣(N拍)后，跟蹤參考輸入函數(shù)r(t)的瞬變響應(yīng)時(shí)間為最小，這就是系統(tǒng)的性能指標(biāo)。設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)結(jié)構(gòu)形式如圖7-1所示。假設(shè)參考輸入函數(shù)r(t)是m維階躍函數(shù)向量，即

先找出在D(z)的作用下，輸出是最少N拍跟蹤輸入的條件。設(shè)計(jì)是，應(yīng)首先把被控對(duì)象離散化，用離散狀態(tài)空間方程表示被控對(duì)象。7.1采用狀態(tài)空間的輸出反饋設(shè)計(jì)法7.1采用狀態(tài)空間的輸出反饋設(shè)計(jì)法7.1.1連續(xù)狀態(tài)方程的離散化7.1.2最少拍無(wú)紋波系統(tǒng)的跟蹤條件7.1.3輸出反饋設(shè)計(jì)法的設(shè)計(jì)步驟

在u(t)的作用下，式(7.1.1)的解為

是被控對(duì)象的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，x(t0)是初始狀態(tài)向量。若已知被控對(duì)象的前面有一零階保持器，即

u(t)=u(k),kT≤t<(k+1)T(7.1.4)其中，T為采樣周期，現(xiàn)在要求將連續(xù)被控對(duì)象模型連同零階保持器一起進(jìn)行離散化。7.1.1連續(xù)狀態(tài)方程的離散化

在式(7.1.3)中，令t0=kT,t=(k+1)T,同時(shí)考慮到零階保持器的作用，則式(7.1.3)變?yōu)?/p>

若令t=kT+T-z,則上式化為

式(7.1.6)即為(7.1.1)的離散狀態(tài)方程，由此可見(jiàn)離散化的關(guān)鍵是求式(7.1.7)中的F和G

。7.1.1連續(xù)狀態(tài)方程的離散化關(guān)于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的求法：2.Cayley-Hamilton法3.拉普拉斯法1.直接法4.變換A為對(duì)角矩陣5.變換A為約當(dāng)型矩陣6.變換A為模式矩陣7.1.1連續(xù)狀態(tài)方程的離散化

由(7.1.1)的輸出方程可知，y(t)以最少N拍跟蹤參考輸入r(t)，必須滿足條件

但按此條件設(shè)計(jì)的系統(tǒng)是有紋波系統(tǒng)，為設(shè)計(jì)無(wú)紋波系統(tǒng)，還必須滿足條件

這是因?yàn)樵贜T≤t≤(N+1)T的間隔內(nèi)，控制信號(hào)u(t)=u(N)為常向量，由(7.1.1)知,當(dāng)時(shí)，則在NT≤t≤(N+1)T的間隔內(nèi)x(t)=x(N),而且不改變即若使t≥NT時(shí)的控制信號(hào)滿足7.1.2最少拍無(wú)紋波系統(tǒng)的跟蹤條件此時(shí)，x(t)=x(N)且保持不變，使條件(7.1.8)對(duì)t≥NT時(shí)始終滿足下式

式(7.1.8)確定的跟蹤條件為m個(gè)，式(7.1.9)確定的附加條件為n個(gè)，為滿足式(7.1.8)和(7.1.9)組成的(m+n)個(gè)跟蹤條件，(N+1)個(gè)r維的控制向量{u(0),u(1),…,u(N)}必須至少提供(m+n)個(gè)控制參數(shù)，即最少拍數(shù)N應(yīng)取滿足式(7.1.12)的最小整數(shù)。7.1.2最少拍無(wú)紋波系統(tǒng)的跟蹤條件1.將連續(xù)狀態(tài)方程進(jìn)行離散化2.求滿足跟蹤和附加條件的控制序列的z變換U(z)

被控對(duì)象的離散狀態(tài)方程式(7.1.6)的解為

對(duì)于由(7.1.1)給出的被控對(duì)象的連續(xù)狀態(tài)方程，用采樣周期T對(duì)其進(jìn)行離散化，通過(guò)計(jì)算式(7.1.7),可求得離散狀態(tài)方程式(7.1.6).

被控對(duì)象在N步控制信號(hào){u(0)u(1)…u(N-1)}作用下的狀態(tài)為7.1.3輸出反饋設(shè)計(jì)法的設(shè)計(jì)步驟

假定系統(tǒng)的初始條件x(0)=0,則有用分塊矩陣形式來(lái)表示，得到根據(jù)條件式(7.1.8)有7.1.3輸出反饋設(shè)計(jì)法的設(shè)計(jì)步驟再由條件(7.1.9)和(7.1.1)知或?qū)⑹?7.1.14)代入上式，得7.1.3輸出反饋設(shè)計(jì)法的設(shè)計(jì)步驟由式(7.1.15)和(7.1.16)可以組成確定(N+1)個(gè)控制序列{u(0)u(1)…u(N)}的統(tǒng)一方程組為當(dāng)k=N時(shí)，控制信號(hào)應(yīng)滿足u(k)=u(N)=P(N)r0(k≥N)這樣就求得了控制序列{u(k)},其Z變換為設(shè)方程(7.1.17)有解，并設(shè)解為7.1.3輸出反饋設(shè)計(jì)法的設(shè)計(jì)步驟3.求誤差序列{e(k)}的Z變換E(z)設(shè)x(0)=0,將(7.1.13)代入上式得誤差向量為則{e(k)}的Z變換為再將(7.1.18)代入上式，則7.1.3輸出反饋設(shè)計(jì)法的設(shè)計(jì)步驟

式中，因?yàn)闈M足跟蹤條件式(7.1.8)和附加條件式7.1.9)，即當(dāng)k≥N時(shí)，誤差信號(hào)應(yīng)消失，因此4.求控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)根據(jù)式(7.1.19)和(7.1.20)可求得D(z)為7.1.3輸出反饋設(shè)計(jì)法的設(shè)計(jì)步驟[例7.1]設(shè)二階單輸入單輸出系統(tǒng)，其狀態(tài)方程為采樣周期T=1秒，試設(shè)計(jì)最少拍無(wú)紋波控制器D(Z).求解過(guò)程7.1.3輸出反饋設(shè)計(jì)法的設(shè)計(jì)步驟

在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中，除了使用輸出反饋控制外，還較多地使用狀態(tài)反饋控制，因?yàn)橛蔂顟B(tài)輸入就可以完全地確定系統(tǒng)的未來(lái)行為。圖7-2給出了計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)。在7.1.1節(jié)中，討論了連續(xù)被控對(duì)象同零階保持器一起進(jìn)行離散化的問(wèn)題，同時(shí)忽略數(shù)字控制器的量化效應(yīng)，則圖7-2可以簡(jiǎn)化為圖7-3所示的離散系統(tǒng)。7.2采用狀態(tài)空間的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)法

下面按離散系統(tǒng)的情況來(lái)討論控制器的設(shè)計(jì)。本節(jié)討論利用狀態(tài)反饋的極點(diǎn)配置方法來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)控制規(guī)律，首先討論調(diào)節(jié)系統(tǒng)(r(k)=0)的情況，然后討論跟蹤系統(tǒng)，即如何引入外界參考輸入r(k)。按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)的控制器通常有兩部分組成。一部分是狀態(tài)觀測(cè)器，它根據(jù)所量測(cè)到的輸出量y(k)重構(gòu)出全部狀態(tài),另一部分是控制規(guī)律，它直接反饋重構(gòu)的全部狀態(tài)。圖7-4給出了調(diào)節(jié)系統(tǒng)的情況（即r(k)=0)。7.2采用狀態(tài)空間的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)法7.2采用狀態(tài)空間的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)法7.2.1按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制規(guī)律7.2.2按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器7.2.3按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制器7.2.4跟蹤系統(tǒng)設(shè)計(jì)態(tài)空間的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)法

為了按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制規(guī)律，暫設(shè)控制規(guī)律反饋的是實(shí)際對(duì)象的全部狀態(tài)，而不是重構(gòu)的狀態(tài)，如圖7-5所示。設(shè)連續(xù)被控對(duì)象的狀態(tài)方程為

由7.1.1節(jié)知，相應(yīng)的離散狀態(tài)方程為7.2.1按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制規(guī)律

若圖7-5中的控制規(guī)律為線性狀態(tài)反饋，即則要設(shè)計(jì)出反饋控制規(guī)律L，以使閉環(huán)系統(tǒng)具有所需要的極點(diǎn)配置。將式(7.2.4)代入式(7.2.2)得到閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為顯然，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為設(shè)給定所需要的閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為zi(i=1,2,…n),則很容易求得所要求的閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為7.2.1按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制規(guī)律由式(7.2.6)和式(7.2.7)可知，反饋控制規(guī)律應(yīng)滿足如下的方程

將上式的行列式展開(kāi)，并比較兩邊z的同次冪的系數(shù)，則一共可得到n個(gè)代數(shù)方程。對(duì)于單輸入的情況，L中未知元素的個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)相等，因此一般情況下可獲得L的唯一解。而對(duì)于多輸入的情況，僅根據(jù)式(7.2.8)并不能完全確定L，設(shè)計(jì)計(jì)算比較復(fù)雜，這時(shí)需同時(shí)附加其他的限制條件才能完全確定L。本節(jié)只討論單輸入的情況?？梢宰C明，對(duì)于任意的極點(diǎn)配置，L具有唯一解的充分必要條件是被控對(duì)象完全能控，即7.2.1按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制規(guī)律

這個(gè)結(jié)論的物理意義也是很明顯的，只有當(dāng)系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，才能通過(guò)適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)反饋控制，使得閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在任意指定的位置。由于人們對(duì)于S平面中的極點(diǎn)分布與系統(tǒng)性能的關(guān)系比較熟悉，因此可首先根據(jù)相應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求來(lái)給定S平面中的極點(diǎn)，然后再根據(jù)的關(guān)系求得Z平面中的極點(diǎn)分布，其中T為采樣周期。[例7.2]被控對(duì)象,采樣周期T為0.1s，采用零階保持器。要求閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)相當(dāng)于阻尼系數(shù)為0.5，無(wú)阻尼自然振蕩頻率3.6的二階連續(xù)系統(tǒng)，用極點(diǎn)配置方法設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制規(guī)律L，并求u(k).求解過(guò)程7.2.1按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制規(guī)律[例7.3]被控對(duì)象設(shè)計(jì)反饋控制器u=-Lx，使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)為u12=-2±j2√3，u3=10。求解過(guò)程7.2.2按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器常用的狀態(tài)觀測(cè)器有三種：預(yù)報(bào)觀測(cè)器、現(xiàn)時(shí)觀測(cè)器和降階觀測(cè)器。1、預(yù)報(bào)觀測(cè)器常用的觀測(cè)器方程為7.2.2按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器

其結(jié)構(gòu)如圖7-6所示。設(shè)計(jì)觀測(cè)器的關(guān)鍵在于如何合理地選擇觀測(cè)器的增益矩陣K，定義狀態(tài)重構(gòu)誤差為

因此，如果選擇K使系統(tǒng)(7.2.14)漸進(jìn)穩(wěn)定，那么重構(gòu)誤差必定回收斂到零，即使系統(tǒng)式(7.2.2)是不穩(wěn)定的，在重構(gòu)中引入觀測(cè)量反饋，也能使誤差趨于零。式(7.2.14)稱(chēng)為觀測(cè)器的誤差動(dòng)態(tài)方程，該式表明，可以通過(guò)選擇K，使?fàn)顟B(tài)重構(gòu)誤差動(dòng)態(tài)方程的極點(diǎn)配置在期望的位置上。如果出現(xiàn)觀測(cè)器期望的極點(diǎn)zi(I=1,2,…,n),那么求得觀測(cè)器期望的特征方程為

由式(7.2.14)可得觀測(cè)器的特征方程為7.2.2按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器為了獲得期望的狀態(tài)重構(gòu)性能，由式(7.2.15)和式(7.2.16)可得

對(duì)于單輸入單輸出系統(tǒng)，通過(guò)比較式(7.2.17)兩邊z的同冪次系數(shù)，可求得K中n個(gè)未知數(shù)。對(duì)于任意的極點(diǎn)配置，K具有唯一解的充分必要條件是系統(tǒng)完全能觀，即7.2.2按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器2、現(xiàn)時(shí)觀測(cè)器

當(dāng)(k+1)T時(shí)刻的狀態(tài)重構(gòu)x’(k+1)用到了現(xiàn)時(shí)刻的量測(cè)量y(k+1)，因此式(7.2.19)稱(chēng)為現(xiàn)時(shí)觀測(cè)器。7.2.2按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器由式(7.2.2)和(7.2.19)可得狀態(tài)重構(gòu)誤差為從而求得現(xiàn)時(shí)觀測(cè)器狀態(tài)重構(gòu)誤差的特征方程為同樣，為了獲得期望的狀態(tài)重構(gòu)性能，可由下式確定K的值系統(tǒng)必須完全能觀時(shí)才能求得唯一的K。7.2.2按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器預(yù)報(bào)和現(xiàn)時(shí)觀測(cè)器都是根據(jù)輸出量重構(gòu)全部狀態(tài)，即觀測(cè)器的階數(shù)等于狀態(tài)的個(gè)數(shù)，因此稱(chēng)為全階觀測(cè)器。3、降階觀測(cè)器實(shí)際系統(tǒng)中，所能量測(cè)到的y(k)中，已直接給出了一部分狀態(tài)變量這部分狀態(tài)變量不必通過(guò)估計(jì)獲得。因此只要估計(jì)其余的狀態(tài)變量就可以了，這種階數(shù)低于全階的觀測(cè)器稱(chēng)為降階觀測(cè)器。將原狀態(tài)變量分成兩部分，即

其中，xa(k)是能夠量測(cè)到的部分狀態(tài)，xb(k)是需要重構(gòu)的部分狀態(tài)。由此，原被控對(duì)象的狀態(tài)方程(7.2.2)可以分塊寫(xiě)成7.2.2按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器將上式展開(kāi)并寫(xiě)成比較式(7.2.25)與式(7.2.2)，可得如下的關(guān)系7.2.2按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器

參考預(yù)報(bào)觀測(cè)器方程式(7.2.12),可以寫(xiě)出相應(yīng)于式(7.2.25)的觀測(cè)器方程為上式便是根據(jù)已量測(cè)到的狀態(tài)xa(k),重構(gòu)其余狀態(tài)xb(k)的觀測(cè)器方程。由于xb(k)的階數(shù)低于x(k)的階數(shù)，所以稱(chēng)為降階觀測(cè)器。由式(7.2.25)和式(7.2.26)可的狀態(tài)重構(gòu)誤差為7.2.2按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器從而求得降階觀測(cè)器狀態(tài)重構(gòu)誤差的特征方程為同理，為了獲得期望的狀態(tài)重構(gòu)性能，由式(7.2.15)和式(7.2.28)可得

觀測(cè)器的增益矩陣K可由上式求得。若給定降階觀測(cè)器的極點(diǎn)，也即(z)為已知，如果仍只考慮單輸出(即xa(k)的維數(shù)為1)的情況，根據(jù)式(7.2.29)即可解得增益矩陣K。這里對(duì)于任意給定的極點(diǎn)，K具有唯一解的充分必要條件也是系統(tǒng)完全能觀，即式(7.2.18)成立。7.2.2按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器[例7.4]設(shè)被控對(duì)象的連續(xù)狀態(tài)方程為其中采樣周期T=0.1s，要求確定K。1)設(shè)計(jì)預(yù)報(bào)觀測(cè)器，并將觀測(cè)器特征方程的兩個(gè)極點(diǎn)配置在z1,2=0.2處。2)設(shè)計(jì)現(xiàn)時(shí)觀測(cè)器，并將觀測(cè)器特征方程的兩個(gè)極點(diǎn)配置在z1,2=0.2處。3)假定x1是能夠量測(cè)的狀態(tài)，x2是需要估計(jì)的狀態(tài)，設(shè)計(jì)降階觀測(cè)器，并將觀測(cè)器特征方程的極點(diǎn)配置在z1,2=0.2處。求解過(guò)程7.2.2按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器

前面分別討論了按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)的控制規(guī)律和狀態(tài)觀測(cè)器，這兩部分組成了狀態(tài)反饋控制器，如圖7-4所示的調(diào)節(jié)系統(tǒng)(r(k)=0的情況)。1、控制器的組成

設(shè)被控對(duì)象的離散狀態(tài)方程為

設(shè)控制器由預(yù)報(bào)觀測(cè)器和狀態(tài)反饋控制規(guī)律組合而成，即7.2.3按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制器2、分離性原理由式(7.2.39)和(7.2.40)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)(圖7-4)的狀態(tài)方程可寫(xiě)成將上式改寫(xiě)成7.2.3按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制器

由此可見(jiàn)，式(7.2.42)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)的2n個(gè)極點(diǎn)由兩部分組成：一部分是按狀態(tài)反饋控制規(guī)律設(shè)計(jì)所給定的n個(gè)控制極點(diǎn)；另一部分是按狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)的n個(gè)觀測(cè)器極點(diǎn)，這就是“分離性原理”。由上式構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

即7.2.3按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制器3、狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)步驟綜上可歸納出采用狀態(tài)反饋的極點(diǎn)配置的步驟如下：1)按閉環(huán)系統(tǒng)的性能要求給定幾個(gè)控制極點(diǎn)；2)按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制規(guī)律，計(jì)算L；3)合理地給定觀測(cè)器的極點(diǎn)，并選擇觀測(cè)器的類(lèi)型，計(jì)算觀測(cè)器增益矩陣K；4)最后根據(jù)所設(shè)計(jì)的控制規(guī)律和觀測(cè)器，由計(jì)算機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)。7.2.3按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制器4、觀測(cè)器及觀測(cè)器類(lèi)型選擇

采用狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)，控制極點(diǎn)是按閉環(huán)系統(tǒng)的性能要求來(lái)設(shè)置的，因而控制極點(diǎn)成為整個(gè)系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)。觀測(cè)器極點(diǎn)的設(shè)置應(yīng)使?fàn)顟B(tài)重構(gòu)具有較快的跟蹤速度。如果量測(cè)輸出中無(wú)大的誤差或噪聲，則可考慮觀測(cè)器極點(diǎn)都設(shè)置在Z平面的原點(diǎn)。如果量測(cè)輸出中含有較大的誤差或噪聲，則可考慮按觀測(cè)器極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的衰減速度比控制極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的衰減速度快約4或5倍的要求來(lái)設(shè)置。7.2.3按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制器7.2.3按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制器觀測(cè)器的類(lèi)型選擇應(yīng)考慮以下兩點(diǎn)：1)如果控制器的計(jì)算延時(shí)與采樣周期處于同一數(shù)量級(jí)，則可考慮選用預(yù)報(bào)觀測(cè)器，否則可選用現(xiàn)時(shí)觀測(cè)器。2)如果量測(cè)輸出比較準(zhǔn)確，而且它是系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)，則可考慮選用降階觀測(cè)器，否則可選用全階觀測(cè)器。[例7.5]

在[例7.2]中的系統(tǒng)的離散狀態(tài)方程為并知系統(tǒng)是能控的。系統(tǒng)的輸出方程為

系統(tǒng)的采樣周期為0.1s，試設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器，以使控制極點(diǎn)配置在z1=0.6,z2=0.8，使觀測(cè)器(預(yù)報(bào)觀測(cè)器)的極點(diǎn)配置在z1=0.9+j0.1,z2=0.9-j0.1處。求解過(guò)程7.2.3按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制器

前面討論了調(diào)節(jié)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，即在圖7-4中r(k)=0的情況。在調(diào)節(jié)系統(tǒng)中，控制的目的在于有效地克服干擾的影響，使系統(tǒng)維持在平衡狀態(tài)。不失一般性，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)可取為零狀態(tài)，假設(shè)干擾為隨機(jī)干擾，且相鄰脈沖干擾之間的間隔大于系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間。當(dāng)出現(xiàn)脈沖干擾時(shí)，它將引起系統(tǒng)偏離零狀態(tài)。當(dāng)脈沖干擾撤除后，系統(tǒng)將從偏離的狀態(tài)逐漸回到零狀態(tài)。

然而,對(duì)于階躍型或常值干擾,前面所設(shè)計(jì)的控制器不一定使系統(tǒng)具有滿意的性能.按照前面的設(shè)計(jì),其控制規(guī)律為狀態(tài)的比例反饋，因此若在干擾加入點(diǎn)的前面不存在積分作用,則對(duì)于常值干擾,系統(tǒng)的輸出將存在穩(wěn)態(tài)誤差?？朔€(wěn)態(tài)誤差的一個(gè)有效方法是加入積分控制。下面研究如何按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)PI(比例積分)控制器，以克服常值干擾所引起的穩(wěn)態(tài)誤差。7.2.3按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制器

設(shè)被控對(duì)象的離散狀態(tài)方程為

其中v(k)為階躍干擾，當(dāng)k≥1時(shí)，△v(k)=0,則將上式改寫(xiě)成令7.2.3按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制器

則有

仍然利用按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制規(guī)律的算法，針對(duì)式(7.2.48)設(shè)計(jì)如下的狀態(tài)反饋控制規(guī)律

對(duì)式(7.2.49)兩邊作求和運(yùn)算得

顯然，上式u(k)由兩部分組成：前項(xiàng)代表積分控制，由于假設(shè)r(k)=0，平衡狀態(tài)又取為零狀態(tài)，所以上式是輸出量的積分控制；后項(xiàng)代表狀態(tài)的比例控制，并要求全部狀態(tài)直接反饋。式(7.2.51)稱(chēng)為按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)的PI控制規(guī)律。圖7-7所示為采用PI控制規(guī)律的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。7.2.3按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制器

下面說(shuō)明為什么這樣的控制規(guī)律能夠抑制階躍型干擾而無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差。將式(7.2.49)代入式(7.2.48)得

矩陣(F-GL)的特征值即為給定的閉環(huán)極點(diǎn)，顯然它們都應(yīng)在單位元內(nèi)，也即式(7.2.52)所示的閉環(huán)系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的。從而對(duì)于任何初始條件均有

由于y(k)是m(k)的一個(gè)狀態(tài)，顯然也應(yīng)有

上式表明，盡管存在常值干擾v(k)，輸出的穩(wěn)態(tài)值終將回到零，也即不存在穩(wěn)態(tài)誤差。圖7-7,PI控制規(guī)律要求全部狀態(tài)直接反饋，實(shí)際上是不現(xiàn)實(shí)的。因此可通過(guò)觀測(cè)器重構(gòu)狀態(tài)，然后再線性反饋，如圖7-8所示。7.2.3按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制器

為了消除常值干擾所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差，我們討論了調(diào)節(jié)系統(tǒng)(r(k)=0)的PI控制規(guī)律設(shè)計(jì)(如圖7-7,這里暫時(shí)不考慮觀測(cè)器)。在圖7-7的基礎(chǔ)上，我們可以很容易地畫(huà)出引入?yún)⒖驾斎霑r(shí)相應(yīng)的跟蹤系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖7-9所示。根據(jù)圖7-9可得控制規(guī)律為

其中L1和L2仍按極點(diǎn)配置方法進(jìn)行設(shè)計(jì)，如式(7.2.49).對(duì)于這樣的控制規(guī)律，在常值參考輸入以及在常值干擾作用下均不存在穩(wěn)態(tài)誤差，下面來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn)。7.2.4跟蹤系統(tǒng)設(shè)計(jì)根據(jù)迭加原理，可分別考慮以下兩種情況：①r(k)=0,v(k)=常數(shù)；②r(k)=常數(shù),v(k)=0。對(duì)于①圖7-9即化簡(jiǎn)為圖7-7，前面已說(shuō)明圖7-7的控制規(guī)律對(duì)常值干擾不存在穩(wěn)態(tài)誤差。對(duì)于②即只考慮常值參考輸入的情況，系統(tǒng)可描述為7.2.4跟蹤系統(tǒng)設(shè)計(jì)將式(7.2.58)代入(7.2.56)可得由式(7.2.57)得

按極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)的閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，所以當(dāng)r(k)=常數(shù)時(shí)一定有y(∞)=常數(shù)。ue(∞)是誤差e(k)=r(k)-y(k)的積分，所以一定有e(∞)=0即y(∞)=r(∞)，也就是說(shuō)，對(duì)于常值參考輸入，系統(tǒng)2的穩(wěn)態(tài)誤差等于零。7.2.4跟蹤系統(tǒng)設(shè)計(jì)

為了進(jìn)一步提高系統(tǒng)的無(wú)靜差度，還可引入?yún)⒖驾斎雛(k)的順饋控制，如圖7-10所示。

圖7-10比圖7-9多了一個(gè)輸入順饋通道，控制規(guī)律中的其它參數(shù)L1和L2仍用和以前一樣的方法進(jìn)行設(shè)計(jì)。剩下的問(wèn)題是如何確定順饋增益系數(shù)L3。仿照和前面式(7.2.62)的推導(dǎo)不難求得當(dāng)r(k)為常數(shù)時(shí)

穩(wěn)態(tài)時(shí)有y(∞)=r(∞),同時(shí)希望在上式中ue(∞)=0以提高系統(tǒng)的無(wú)靜差度，因此得到7.2.4跟蹤系統(tǒng)設(shè)計(jì)從而得

在圖7-10中，仍然要求全部狀態(tài)直接反饋，這在生產(chǎn)實(shí)際中幾乎是不可能的。因此可仿照與前面類(lèi)似的方法，通過(guò)構(gòu)造觀測(cè)器來(lái)獲得狀態(tài)重構(gòu)x’(k),然后再反饋x’(k)。包含觀測(cè)器及積分的控制器如圖7-11所示。在圖7.11中，可根據(jù)需要選用前面討論過(guò)的任何一種形式的觀測(cè)器。7.2.4跟蹤系統(tǒng)設(shè)計(jì)

前面我們用極點(diǎn)配置法解決了系統(tǒng)的綜合問(wèn)題，其主要設(shè)計(jì)參數(shù)是閉環(huán)極點(diǎn)的位置，而且僅限于說(shuō)明單輸入單輸出系統(tǒng)中。這兒討論更一般的控制問(wèn)題。假設(shè)過(guò)程對(duì)象是線性的，且可以是時(shí)變的并有多個(gè)輸入和多個(gè)輸出，另外在模型中還加入了過(guò)程噪聲和量測(cè)噪聲。若性能指標(biāo)是狀態(tài)和控制信號(hào)的二次型函數(shù)，則綜合問(wèn)題被形式化為使此性能指標(biāo)為最小的問(wèn)題，由此可得到的最優(yōu)控制器是線性的，這樣的問(wèn)題稱(chēng)為線性二次型LQ(LinearQuadratic)控制問(wèn)題。如果在過(guò)程模型中考慮了高斯隨機(jī)擾動(dòng)，則稱(chēng)為線性二次型高斯LQG(LinearQuadraticGaussian)控制問(wèn)題。7.3采用狀態(tài)空間的最優(yōu)化設(shè)計(jì)法

我們首先討論在所有狀態(tài)都可用的條件下導(dǎo)出了LQ問(wèn)題的最優(yōu)控制規(guī)律，如果全部狀態(tài)是不可測(cè)的，就必須估計(jì)出它們，這可用狀態(tài)觀測(cè)器來(lái)完成。然后對(duì)隨機(jī)擾動(dòng)過(guò)程，可以求出使估計(jì)誤差的方差為最小的最優(yōu)估計(jì)器，它稱(chēng)為卡爾曼(Kalman)濾波器。這種估計(jì)器的結(jié)構(gòu)與狀態(tài)觀測(cè)器相同，但其增益矩陣K的確定方法是不同的，而且它一般為時(shí)變的。最后根據(jù)分離性原理來(lái)求解LQG問(wèn)題的最優(yōu)控制，并采用卡爾曼濾波器來(lái)估計(jì)狀態(tài)。采用LQG最優(yōu)控制器的調(diào)節(jié)系統(tǒng)(r(k)=0)如圖7.12所示。7.3采用狀態(tài)空間的最優(yōu)化設(shè)計(jì)法

現(xiàn)在來(lái)求解完全狀態(tài)信息情況下的LQ最優(yōu)控制問(wèn)題。其最優(yōu)控制器由離散動(dòng)態(tài)規(guī)劃來(lái)確定。7.3.1LQ最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)1.問(wèn)題的描述

首先考慮確定性問(wèn)題,即無(wú)過(guò)程干擾Vc(t)和量測(cè)噪聲w(t)的情況。設(shè)被控對(duì)象的連續(xù)狀態(tài)方程為且連續(xù)的被控對(duì)象和離散控制器之間采用零階保持器連接，即其中：T為采樣周期。將連續(xù)狀態(tài)方程離散化得7.3.1LQ最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)系統(tǒng)控制的目的是按線性二次型性能指標(biāo)函數(shù)其中為最小，來(lái)設(shè)計(jì)離散的最優(yōu)控制器L，使其中，加權(quán)矩陣Q0和/Q1為非負(fù)定對(duì)稱(chēng)矩陣，/Q2為正定對(duì)稱(chēng)矩陣，N為正整數(shù)。7.3.1LQ最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)

公式(7.3.5)即為L(zhǎng)Q最優(yōu)控制器。帶LQ最優(yōu)控制器調(diào)節(jié)系統(tǒng)(r(k)=0)如圖7.13所示。

當(dāng)N為最小正整數(shù)時(shí)，稱(chēng)為最少拍時(shí)間最優(yōu)調(diào)節(jié)器問(wèn)題。實(shí)際上應(yīng)用最多的是要求N=∞，設(shè)計(jì)無(wú)限時(shí)間最優(yōu)調(diào)節(jié)器，計(jì)算L(k)的穩(wěn)態(tài)解。7.3.1LQ最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)2.二次型性能指標(biāo)函數(shù)的離散化

二次型性能指標(biāo)函數(shù)式(7.3.5)是以連續(xù)時(shí)間形式表示的，并可進(jìn)一步表示為而且

由式(7.3.1)、(7.3.2)，當(dāng)kT≤t≤(k+1)T時(shí)可求得7.3.1LQ最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)其中將式(7.3.9)、(7.3.2)，代入式(7.3.8)，并整理可得將式(7.3.10)代入式(7.3.7)得到等效的離散二次型性能指標(biāo)函數(shù)為7.3.1LQ最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)2.最優(yōu)控制規(guī)律計(jì)算

對(duì)式(7.3.3)所示的離散被控對(duì)象，若使式(7.3.14)所示的離散二次型性能指標(biāo)函數(shù)為最小，則式(7.3.6)所示的離散控制規(guī)律L的遞推公式為7.3.2狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器設(shè)計(jì)

全部狀態(tài)全用于反饋。這在實(shí)際上是難于做到的，因?yàn)橛行顟B(tài)是無(wú)法量測(cè)的，即使量測(cè)到的信號(hào)中還可能含有量測(cè)噪聲，下面討論狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)。

設(shè)連續(xù)被控對(duì)象的狀態(tài)方程(如圖7.12所示)為其中，Vc為非負(fù)定對(duì)稱(chēng)矩陣，W為正定對(duì)稱(chēng)矩陣，并假設(shè)vc(t)和w(t)互不相關(guān)。7.3.2狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器設(shè)計(jì)1.連續(xù)被控對(duì)象的狀態(tài)方程的離散化

為了設(shè)計(jì)離散的Kalman濾波器，可首先將式(7.3.20)所示的連續(xù)模型進(jìn)行離散化，從而采樣系統(tǒng)的Kalman濾波問(wèn)題便轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的離散系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問(wèn)題。方程(7.3.20)的解可寫(xiě)為這里也假定在連續(xù)的被控對(duì)象前有一零階保持器，因而有7.3.2狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器設(shè)計(jì)其中T為采樣周期，令t0=kT,t=(k+1)T,則式(7.3.23)變?yōu)檫M(jìn)一步將系統(tǒng)的量測(cè)方程離散化為則(7.3.20)所對(duì)應(yīng)的離散方程為7.3.2狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器設(shè)計(jì)2.Kalman濾波公式的推導(dǎo)

在方程(7.3.27)中，由于存在隨機(jī)的干擾vd(k)和隨機(jī)的測(cè)量噪聲w(k)。因此系統(tǒng)的狀態(tài)向量x(k)也為隨機(jī)向量。其中y(k)是能夠量測(cè)的輸出量。問(wèn)題是根據(jù)量測(cè)量y(k)估計(jì)x(k)，若記x(k)的估計(jì)量為x^(k),則為狀態(tài)估計(jì)誤差，因而為狀態(tài)估計(jì)誤差的協(xié)方差陣。顯然，P(k)為對(duì)稱(chēng)非負(fù)定矩陣。根據(jù)最優(yōu)估計(jì)理論，最小方差估計(jì)為7.3.2狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器設(shè)計(jì)

最后將所有的Kalman濾波遞推公式歸納如下x^(0)和P(0)給定，k=1,2,3,…

從上面的遞推公式可以看出，若Kalman濾波增益矩陣K(k)已知，由(7.3.32)、(7.3.33)便可依次計(jì)算狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)，因此必須先計(jì)算出K(k)7.3.2狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器設(shè)計(jì)3.Kalman濾波增益矩陣的計(jì)算K(k)可以直接根據(jù)式(7.3.34)~(7.3.36)的遞推公式進(jìn)行計(jì)算，下面給出迭代計(jì)算的流程：①給定參數(shù)F,C,V,W,P(0)，給定迭代步數(shù)N，并置k=1;②按式(7.3.35)計(jì)算P(k|k-1);③按式(7.3.36)計(jì)算P(k);④按式(7.3.34)計(jì)算K(k);⑤如果k=N，轉(zhuǎn)⑦，否則轉(zhuǎn)⑥;⑥k=k+1，轉(zhuǎn)②;⑦輸出K(k)和P(k)，k=1,2,3,…N.7.3.2狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器設(shè)計(jì)

在上述迭代過(guò)程中，當(dāng)k逐漸增加時(shí)，K(k)和P(k)將趨于穩(wěn)態(tài)值。而且只要初始P(0)是非負(fù)定對(duì)稱(chēng)矩陣，則K(k)和P(k)的穩(wěn)態(tài)值將與P(0)無(wú)關(guān)。因此，如果只需要計(jì)算K(k)的穩(wěn)態(tài)值，則可取P(0)=0或P(0)=I。7.3.3LQG最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)

由LQ最優(yōu)控制器和狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)兩部分，就組成了LQG最優(yōu)控制器。設(shè)連續(xù)被控對(duì)象即式(7.3.20)的離散狀態(tài)方程即式(7.3.27)為由狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器和LQ最優(yōu)控制器組成的LQG的方程為7.3.3LQG最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)

顯然，設(shè)計(jì)LQG最優(yōu)控制器的關(guān)鍵是按分離性原理分別計(jì)算Kalman濾波器增益矩陣K和最優(yōu)控制器L。圖7.12給出了采用LQG最優(yōu)控制器的系統(tǒng)框圖。

為了計(jì)算LQG最優(yōu)控制器,首先按式(7.3.34)~(7.3.36)迭代計(jì)算K(k)，直至趨于穩(wěn)態(tài)值K為止；然后按(7.3.16)~(7.3.18)迭代計(jì)算L(k)直至趨于穩(wěn)態(tài)值L為止。7.3.3LQG最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)

閉環(huán)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)性能取決于最優(yōu)控制器，而最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)又依賴于被控對(duì)象的模型(矩陣A,B,C)、干擾模型(協(xié)方差矩陣V,W)和二次型性能指標(biāo)函數(shù)中加權(quán)矩陣(Q0,/Q1,/Q2)的選取。被控對(duì)象的模型可通過(guò)機(jī)理分析、實(shí)驗(yàn)方法和系統(tǒng)辨識(shí)方法來(lái)獲取。Kalman濾波器增益矩陣K的計(jì)算取決于過(guò)程干擾協(xié)方差陣V和量測(cè)噪聲協(xié)方差陣W，而最優(yōu)控制器L的計(jì)算又取決于加權(quán)矩陣。在設(shè)計(jì)過(guò)程中，一般憑經(jīng)驗(yàn)或試湊給出V，W和加權(quán)矩陣，通過(guò)計(jì)算不斷調(diào)整，逐步達(dá)到滿意的調(diào)節(jié)系統(tǒng)。7.3.4跟蹤系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

前面討論了調(diào)節(jié)系統(tǒng)(如圖7.12所示)的設(shè)計(jì)，它主要考慮了系統(tǒng)的抗干擾性能。對(duì)于跟蹤系統(tǒng)，除了考慮系統(tǒng)應(yīng)有好的抗干擾性能外，還要求系統(tǒng)對(duì)參考輸入具有好的跟蹤響應(yīng)性能。因此，對(duì)于跟蹤系統(tǒng)，可首先按調(diào)節(jié)系統(tǒng)來(lái)設(shè)計(jì)，使具有好的抗干擾性能，然后再按一定的方式引入?yún)⒖驾斎耄蛊錆M足跟蹤性能的要求。

由于這里的LQG系統(tǒng)與7.2.4節(jié)的采用狀態(tài)空間的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)的系統(tǒng)具有完全相同的結(jié)構(gòu)，因此，這里可與第7.2.4節(jié)所介紹的同樣方法來(lái)引入?yún)⒖驾斎搿Ｔ诘?.2.4節(jié)主要討論了單輸入單輸出的情況，本節(jié)LQG問(wèn)題可適合于一般的多變量系統(tǒng)。為了消除由于模型參數(shù)不準(zhǔn)所引起的跟蹤穩(wěn)態(tài)誤差和常值干擾所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差，可采用與圖7.11類(lèi)似的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖7.14所示。7.3.4跟蹤系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

在圖7.14所示的系統(tǒng)中，狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)按第7.3.2節(jié)中給出的方法進(jìn)行設(shè)計(jì)，L1和L2按第7.2.4節(jié)中介紹PI調(diào)節(jié)的方法進(jìn)行設(shè)計(jì)，如果進(jìn)一步提高系統(tǒng)的無(wú)靜差度，可以引入順饋增益矩陣L3，參考公式(7.2.65)可求得（假設(shè)控制量和輸出量的維數(shù)相等）第七講

作業(yè)7-1.設(shè)一階單輸入單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)方程為采樣周期T=0.5s，試設(shè)計(jì)最少拍無(wú)紋波控制器D(z)。7-2.被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為采樣周期T=0.1s，采用零階保持器。按極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制規(guī)律L，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)在z1,2=0.8±j0.25處，求L和u(k)。第七講

作業(yè)7-3.被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為T(mén)=0.5秒，設(shè)計(jì)控制器u=kx+k1r，使閉環(huán)系統(tǒng)具有極點(diǎn)-2±j2√3，10。7-4.試比較三種觀測(cè)器的特點(diǎn)及應(yīng)用場(chǎng)合。7-5.簡(jiǎn)述分離性原理。第七講

作業(yè)7-6.被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為采樣周期T=0.1s，采用零階保持器。進(jìn)行全狀態(tài)直接反饋，但只能測(cè)到一個(gè)狀態(tài)變量。設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器，極點(diǎn)配置在z1,2=0.3±j0.5處，試求觀測(cè)器的增益矩陣。第七講

作業(yè)7-7.被控對(duì)象為設(shè)采樣周期T=0.1s，設(shè)計(jì)控制器使閉環(huán)極點(diǎn)為z1,2=-1.8±j2.4。設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器，使閉環(huán)極點(diǎn)為z1,2=-8。謝謝！圖6-1具有輸出反饋的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)D(z)CBAr(t)u(t)u(k)e(k)y(t)x(t)-T+T++被控對(duì)象圖7-1具有輸出反饋的多變量計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)y(k)Tr(k)u(k)u(t)y(t)控制器零階保持器控制器圖7-2計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)r(k)u(k)y(t)控制器被控對(duì)象圖7-3簡(jiǎn)化的離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖y(k)u(k)u(t)y(t)觀測(cè)器控制規(guī)律零階觀測(cè)器被控對(duì)象圖7-4調(diào)節(jié)系統(tǒng)(r(k)=0)中控制器的結(jié)構(gòu)12控制器y(k)u(k)u(t)x(t)y(t)控制規(guī)律零階觀測(cè)器C圖7-5按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制規(guī)律v(k)y(k)x(k)U(k)PI控制規(guī)律C圖7-6預(yù)報(bào)觀測(cè)器v(k)y(k)x(k)U(k)PI控制規(guī)律C圖7-7按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)的PI控制規(guī)律v(k)y(k)x(k)U(k)PI控制器被控對(duì)象觀測(cè)器圖7-8按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)的PI控制器r(k)v(k)y(k)x(k)U(k)PI控制規(guī)律Ce(k)Ue(k)圖7-9帶PI控制規(guī)律的跟蹤系統(tǒng)r(k)v(k)y(k)x(k)U(k)PI和輸入順饋控制規(guī)律Ce(k)ue(k)ur(k)圖7-10帶PI控制和輸入順饋的跟蹤系統(tǒng)v(k)y(k)x(k)U(k)PI控制器被控對(duì)象觀測(cè)器r(k)圖7-11按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)的PI控制器圖7-12調(diào)節(jié)系統(tǒng)(r(k)=0)中LQG最優(yōu)控制器的結(jié)構(gòu)x(k)u(k)u(t)y(t)狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器LQ最優(yōu)控制規(guī)律零階觀測(cè)器被控對(duì)象Vc(k)最優(yōu)裝置w(k)控制器返回7.3.2返回7.3返回7.3.3返回7.3.4圖7-13調(diào)節(jié)系統(tǒng)(r(k)=0)中LQ最優(yōu)控制器的結(jié)構(gòu)LQ最優(yōu)控制器X(k+1)=Fx(k)+Gu(k)Cu(k)-Lx(k)y(t)圖7-14帶最優(yōu)估計(jì)器及PI和順饋控制的跟蹤系統(tǒng)++-+-y(k)r(k)v(k)x(k)U(k)控制器x(k+1)=Fx(k)+Gu(k)+vd(k)狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器y(k)=Cx(k)+w(k)w(k)[解]實(shí)際上，求解此題關(guān)鍵是求得系統(tǒng)的離散狀態(tài)方程，而求離散狀態(tài)方程的關(guān)鍵又是求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣eAt，這兒給出兩種求eAt的方法：

(1)拉普拉斯變換法[例7.1]則(2)卡萊-哈密爾頓法則[例7.1]顯然[例7.1]由上述兩種方法的任一種均可得要設(shè)計(jì)無(wú)紋波系統(tǒng)，應(yīng)滿足而n=2,r=1,m=1,因此取N=2可滿足上式條件。由式(7.1.17)可得[例7.1]即進(jìn)一步得由式(7.1.19)和N=2知[例7.1]由式(7.1.20)和N=2知所以數(shù)字控制器D(z)為[例7.1][解]被控對(duì)象的微分方程為，定義兩個(gè)狀態(tài)變量分別為得到，故有故有對(duì)應(yīng)的離散狀態(tài)方程為[例7.2]代入T=0.1s得而且系統(tǒng)能控[例7.2]根據(jù)要求，求得S平面上兩個(gè)期望的極點(diǎn)為利用的關(guān)系，可求得Z平面上的兩個(gè)期望極點(diǎn)為于是得到期望的閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為若狀態(tài)反饋控制規(guī)律為[例7.2]比較(7.2.10)與(7.2.11)的同冪次系數(shù)，可得則閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為求解上式，得L1=10,L2=3.5所以[例7.2][解]定義狀態(tài)變量為x1=y，x2=x1’，x3=x2’，則系統(tǒng)狀態(tài)方程為[例7.3]將系統(tǒng)狀態(tài)方程離散化，見(jiàn)MATLAB程序Exam331[解]散狀態(tài)方程為其中將T=0.1s代入式(7.2.32)得(1)由已知條件知[例7.4]比較式(7.2.33)與(7.2.34)的同冪系數(shù)得解得[例7.4](2)由已知條件知比較式(7.2.35)與(7.2.36)的同冪系數(shù)得解得[例7.4](3)由前面知比較式(7.2.37)與(7.2.38)的同冪系數(shù)得 K=0.8

解畢[例7.4][解]由[例7.2]和[例7.3]中知系統(tǒng)是能控和能觀的。根據(jù)分離性原理，系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)可按以下進(jìn)行(1)設(shè)計(jì)控制規(guī)律求對(duì)應(yīng)控制極點(diǎn)z1