半導(dǎo)體物理與器件

習(xí)題集

《微電子物理基礎(chǔ)》

《半導(dǎo)體物理學(xué)》

《電子器件》

北方工業(yè)大學(xué)

微電子系

目錄

《微電子物理基礎(chǔ)》...............................................................1

第1章經(jīng)典物理的困難......................................................1

第2章定態(tài)薛定蹲方程......................................................4

第3章量子力學(xué)中的力學(xué)量..................................................9

第4章微擾理論...........................................................13

第5章晶體結(jié)構(gòu)...........................................................15

第6章晶體的結(jié)合.........................................................21

第7章晶格振動與晶體熱學(xué)性質(zhì)............................................26

第8章晶體中的電子能帶理論...............................................30

《半導(dǎo)體物理學(xué)》...............................................................34

緒論........................................................................34

第1章半導(dǎo)體中的電子狀態(tài)..................................................35

第2章半導(dǎo)體中雜質(zhì)和缺陷能級.............................................44

第3章半導(dǎo)體中載流子的統(tǒng)計分布...........................................50

第4章半導(dǎo)體的導(dǎo)電性......................................................60

第5章非平衡載流子.......................................................69

第6章pn結(jié)..............................................................75

第7章金屬和半導(dǎo)體的接觸.................................................80

第8章半導(dǎo)體表面與MIS結(jié)構(gòu)...............................................86

《微納電子器件》...............................................................91

第1章pn結(jié)二極管........................................................91

第2章雙極型晶體管（BJT）.........................................................................................102

第3章結(jié)型場效應(yīng)晶體管（JFET）..............................................................................116

第4章MOS型場效應(yīng)晶體管（MOSFET）.................................................................120

《微電子物理基礎(chǔ)》

第1章經(jīng)典物理的困難

(-)主要知識

1普朗克的能量量子假設(shè)：

光波在發(fā)射過程中，物體的能量變化是不連續(xù)的，并且能量值只能取某個最小單

元的整數(shù)倍。

2愛因斯坦試探性的答案：

因為光波本身就是由一個個的能量子組成的(光量子)

3玻爾原子理論：

由于物體中束縛在原子周圍的電子只能處于分立的能量態(tài)，而當(dāng)電子在這些能量

態(tài)之間躍遷時，它所發(fā)出的光也就自然具有分立的能量

4Compton效應(yīng)證實了光的粒子性

5、主要公式

□Planck假設(shè)￡■“=nhv

h

□Einstein的光量子假說P=彳

/L

□波粒二象性

6、光電效應(yīng)：

光照射某些金屬時能從表面釋放出電子的效應(yīng)。這時產(chǎn)生的電子稱為光電子

(photoelectron)。

7、愛因斯坦光量子假設(shè)

光束和物質(zhì)相互作用時，其能量并不象波動理論所想象的那樣連續(xù)分布，而是集

中在一些叫光子(photon)的粒子上。這種粒子保持著頻率或波長的概念，光子

的能量正比于其頻率，即￡=%

根據(jù)光的動量和能量關(guān)系：p=E/c,得到：p=h/A

光量子具有“整體性”，光的發(fā)射、傳播、吸收都是量子化的

8、原子結(jié)構(gòu)的玻爾量子論Bohr

1.按照經(jīng)典理論，帶電粒子作這種軌道應(yīng)該不斷地釋放電磁能，從而電子的能量

越來越小，軌道半徑也越來越小，

最后要落到原子核中去。

2,原子中電子在圓周運動中，由于能量的連續(xù)變化，發(fā)射譜線應(yīng)該是是連續(xù)譜,

結(jié)果是線光譜。譜線中亮線對應(yīng)

著原子輻射能量，暗線對應(yīng)原子的吸收能量。

9、經(jīng)典物理學(xué)中波動的概念

①經(jīng)典波動是可以在整個空間中傳播的周期性擾動。

②表征經(jīng)典波動的物理量是頻率和波矢，運動服從相應(yīng)的波動方程。

③經(jīng)典粒子滿足疊加原理，可以得到干涉和衍射花樣。

光的波動性用波長和頻率來描述

光的粒子性用質(zhì)量和動量來描述

10、愛因斯坦的光

?1909年，愛因斯坦首次提出光的波粒二象性p=h”

?對于統(tǒng)計平均現(xiàn)象光表現(xiàn)為波動，而對于能量漲落現(xiàn)象光卻表現(xiàn)為粒子。

（二）例題

1由普朗克黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律：能量密度極大值所對應(yīng)的波長兒“與溫度T成

反比，即

4.7=仇常量）

并近似計算b的數(shù)值，準(zhǔn)確到兩位有效數(shù)字。

（提示：5-x=5e-*的解為X24.965）

解：根據(jù)c=，。將普朗克公式變?yōu)?/p>

~,一、2nhe1

E（2,T）=—------------------------

25exp（hc/AkT）-l

令》=勺，則普朗克公式變?yōu)?/p>

AkT

17tk5T5x5

E(x,T)=c3k4e1

為求極大值，需求dE/心并令其為零

245T55(e*—1)V—

E(無,T)==0

34

ch(el)2

于是5"—xe'一5=0

即5-x=5e-、

其近似解為5,將x=5代入等式右側(cè)可得

x-5—5e5?4.966

再把x=4.966代入等式右側(cè)經(jīng)兩三次迭代，得到xx4.965

所以

x=-^-=4.965

4“kT

-3

得到AmT=he/4.965k=2.898x10

令Z?=2.898xlO3

證畢。

2在0K附近，鈉的價電子能量約為3電子伏特，求其德布羅意波長。

2

解：根據(jù)E=hu=meV/2

電子質(zhì)量機(jī)《=9.11*10卬依，leV=1.6xlO-'9J

f2E__12x3x1.6x10-^

=lxl06m,v1

9.11X10-31

一6.63x10-34

=7.2x10l0/n=0.72〃加

P9.11x10-31*106

3氫原子的動能是E=34/V2（做為玻耳茲曼常數(shù)，求T=1K時，氨原子的德布羅意

波長。

解：根據(jù)1

E=hu=mxy12

得

2E3k?

V=言費磊

〃%機(jī)o

h6.63x10-"

A=1.27x109m=1.Tlnm

p4x1.67x1027xO.78xlO2

4兩個光子在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子。如果兩個光子的能量相等，問要實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)

化，光子的波長最大是多少？

解：根據(jù)能量守恒，2〃。=2機(jī)/

h6.63x1()3

得到40=0.73xl(T，

me9.11X10-3'x3xlO8

第2章定態(tài)薛定謗方程

(-)主要知識

1微觀粒子的波粒二象性

?在光的波粒二象性的啟發(fā)下，為了克服玻爾理論的局限性德布羅意提出

了微觀粒子具有波粒二象性的假設(shè)，將粒子的波動性(匕4)或(。閨和粒子性

(E,P)通過德布羅意關(guān)系聯(lián)系起來

E=hv=ha>

h—

p=n=hk

2

r[=lnl2n,co=2VTT

r2萬_

k=——n

A

微觀粒子的波動性被電子衍射實驗、干涉實驗所證實

2Schrodinger方程

狀態(tài)隨時間的變化所遵循的方程

/_、

由..dy/(r:,t')=

3算符化規(guī)則

—訪▽動量算符

-d

Ef訪三能量算符

dt

方2

H=f+V=---V2+;7(f)哈密頓算符

2m

4波函數(shù)及波函數(shù)的統(tǒng)計解釋

玻恩的統(tǒng)計解釋：波函數(shù)在空間某一點的強(qiáng)度(振幅絕對值的平方)與該點找到

粒子的幾率成正比。也就意謂著描寫微觀粒子的波乃是幾率波。

?在t時刻，在r點附近的體積元di中找到粒子的幾率為

5波函數(shù)滿足的條件

I.平方可積條件/>=有限值

2.一般說來，波函數(shù)“(；”)1f-o>0

—?A

3.要求是〃(rj)單值函數(shù)

4.波函數(shù)及其各級微商要具有連續(xù)性

6態(tài)疊加原理

若體系具有一系列不同的可能狀態(tài){曲,出…},則它們的線性組合￥=

Cl+7+C232+…也是該體系的一個可能的狀態(tài)，各態(tài)出現(xiàn)的幾率為

其中C/.C2…為復(fù)常數(shù)。

7不確定關(guān)系

是力學(xué)量的不確定度之間的關(guān)系

-Ar=v\p-Ar=Ar-A/??〃/2

8定態(tài)薛定渭方程

(1)前提：微觀粒子的勢能函數(shù)U與時間t無關(guān)

定態(tài)薛定瑞方程

定態(tài)波函數(shù)

(2)處于定態(tài)的粒子其在空間某處出現(xiàn)的幾率不隨時間變化，即幾率密度不是

時間的函數(shù)

一維無限勢阱模型

(3)

粒子的勢能具有如下形式U(x)=°(-

能量本征值:

n27i2n七

=nE(〃=1,23???)

8m6?]

本征函數(shù):

A!sin——(X+Q),〃為正整數(shù)，國<。

兇＞a

(4)隧道效應(yīng)

,在￡>U0的情況下，入射粒子的一部分透過勢壘進(jìn)入x>a的區(qū)域

?在粒子能量次U0時的情況下，透射系數(shù)不為零經(jīng)典理論無法解釋

?隧道效應(yīng)的本質(zhì)是粒子具有波動和粒子的二象性，是經(jīng)典力學(xué)無法解釋的

(二)例題

例1證明在定態(tài)中，幾率密度與時間無關(guān)。

證明：設(shè)定態(tài)波函數(shù)為

”(r,f)=0(r)exp[-j￡7/%]

其復(fù)共班為

=°*(r)exp匹〃方］

根據(jù)幾率密度定義w(r,r)=力(￡，)〃*(r=0(r)0*(r)

所以dw/dt=0

例2一粒子在一維勢場

8X<0

U(x)=<00<x<a

oox>a

中運動，求粒子的能級和對應(yīng)的波函數(shù)。

解：分別寫出三個區(qū)的薛定謂方程

在阱外(x<0,x>。)

一^^A^+U0(X)=E"，(X)(U-8)⑴

2max

在阱內(nèi)(0<x<a)

h2d2(/>(x)

=E0(x)⑵

2mdx1

設(shè)薛定調(diào)方程在阱內(nèi)和阱外的解分別為外,勿，根據(jù)關(guān)于薛定謗方程的邊界條件的討論，有

@=0x>a,x<0(3)

4(a)=我⑷，(0)=%(。)⑷

引入符號

2mE1/2

a=(5)

則(2)式化為

"?+aMx)=0(6)

dx~

其解為。=Asinar+8cosca

根據(jù)波函數(shù)的連續(xù)條件

(Asinaa+Bcoscxci)^=0(7)

(Asinaa+3cos助)后〃=0(8)

得到(xci—n7iB=0,Asinas=0

A不能為零，所以有

2

aa=n兀，an=n7rla,En=fian12m

tlTT

所以由=Asinax-Asin——x

na

根據(jù)波函數(shù)的歸一化條件

J"J；dx=A?「(sin竺兇2dx=1

A=jl

例3求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時幾率最大的位置。

解：第一激發(fā)態(tài)就是n=l的態(tài)，其波函數(shù)為

6=——caexp(-a2x2/2)

TC，

其幾率密度

卬=帆|2=—exp(-a2x2)

71

色^=^^-exp^a2x2)(2x-2^z2x3)

dx71

令我=0,得到x=0,x=±l/a

dx

x=0不符合要求所以第一激發(fā)態(tài)幾率最大的位置為

x=±l/a=±J-^-

(三)練習(xí)題

a"2x2

1、一維諧振子處在基態(tài)〃(x)=expF——cot],求

22

(1)勢能的平均值"=機(jī)02//2

(2)動能的平均值亍="2/2加

4曰一嚴(yán)2/C2、」阮

提示：xexpGySr)ax=———

J-001

2、設(shè)f=0時；粒子的狀態(tài)為

什(x)=A[sin2kx+—coskx]

求此粒子的平均動量。

3、在一維無限勢阱中運動的粒子，勢阱的寬度為a,如果粒子的狀態(tài)由波函數(shù)

以x)—Ax(a—x)

描寫，A為歸一化常數(shù)。求粒子動量的平均值。

4、設(shè)氫原子處于狀態(tài)

1V3

4*)=萬&⑺幾(仇9)一-./I⑺幾(-9)

求氫原子能量、角動量平方及角動量Z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的兒率和這些力學(xué)量

的平均值。

5、設(shè)一體系未受微擾作用時只有兩個能級：Em,E02,現(xiàn)在受到微擾后'的作用，微擾矩陣

元為";2=”]=“；2都是實數(shù)。用微擾公式計算能量二級修正值。

6、基態(tài)氫原子處于平行板電場中，若電場是均勻的且隨時間按指數(shù)下降，即

「0z<0

一[/expf-t/v]t>0(?■為大于零的參數(shù))

求經(jīng)過多長時間后氫原子處在2p態(tài)的兒率。

(提示：根據(jù)躍遷選擇定則只考慮從基態(tài)到“210的躍遷)

7、一維運動的粒子處在下面狀態(tài)。

‘AxexpG疝)(x>0,2>0)

〃(x)=〈

[0(x<0)

(1)此波函數(shù)歸一化；(2)求坐標(biāo)的概率分布函數(shù)；(3)在何處找到粒子的幾率最大。

(提示：￡e~xxn~'dx=(n-1)!)

8、若在一維無限勢阱中運動的粒子的量子數(shù)為n。求

(1)距勢阱的左壁1/4寬度內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率是多大

(2)n取何值時，在此范圍內(nèi)找到粒子的幾率最大

9、考慮一個粒子受不含時勢V(r)的束縛。

(a)設(shè)粒子的態(tài)用形式為“(「，。二雙切力⑺的波函數(shù)描述。證明/Q)=Aexpji")

力2,

(A是常數(shù))，而既r)必須滿足方程——vV(r)+V(rW)=

2m

(b)證明(a)中薛定謂方程的解導(dǎo)致時間無關(guān)的概率密度。

10、考慮波函數(shù)

叭x,t)={Aexp(ipx/方)+BexpQipx/方))exp(-ip°t/2mh)

求出該波函數(shù)相應(yīng)的概率流。

11、考慮質(zhì)量為m的粒子束縛在形為

V(x,y,x)=V(x)+U(y)+W(z)

的三維勢阱中，推導(dǎo)該情況的定態(tài)薛定調(diào)方程，分量變量以得到三個獨立的一維問題。建立

三維態(tài)能量和一維問題有效能量的關(guān)系。

第3章量子力學(xué)中的力學(xué)量

(-)基礎(chǔ)知識

1、算符是指作用在一個函數(shù)上得出另一個函數(shù)的運算符號

2、算符的引入規(guī)則

3、算符的本征值和本征函數(shù)

4、簡并degeneration

5、厄米算符本征函數(shù)的正交歸一性

1(m=ri)

J%(FW,(F)dr=3削=?

0ri)

6、完備性(Completeness)

7、力學(xué)量的平均值(AverageValues)

:=|肅4+同24+…+同24

8、軌道角動量算符定義

A繪的本征方程：￡2〃,“(6/)=/。+1?2九〃(仇力

1=0,l,2,3....nT稱為角量子數(shù)，表征角動量的大小

BLz的本征值和本征函數(shù)

上工網(wǎng)@=向匕網(wǎng)哈

m=09±1,±2,±3,???士/

9、類氫原子的波函數(shù)

(1)分離變量法求解定態(tài)方程，可以得到滿足波函數(shù)條件的解

〃汕?，a。)=%(叫〃(a。)

在球坐標(biāo)下，薛定謗方程變?yōu)?/p>

三仁3斗，色頜/)+」二位且=ERY

2mr'|_5rVdr)sin0dOdOsin_0d(p~Jr

(2)波函數(shù)正交歸一性

10、本征能量

(1)能量取下列離散值時，才有滿足波函數(shù)有限性條件的解

能量本征值/nZ2e：z221

rLe?-〃=1,2,3,???

24n~

(2)對氫光譜的解釋

(3)能級簡并度：電子的能級是A?度簡并的

11、基本的對易關(guān)系：動量分量算符和與之對應(yīng)的坐標(biāo)分量是不對易的.

xmPn-Pnxm

(二)例題

1、證明對于算符A友。，證明下述恒等式成立

(1)[B,A]=4AB|

ZV人人/V人人ZK

(2)[A+B,C]=[A,C]+[B,C]

人人人人人八ZX./X

(3)[A,BC]=[A,B]C+B[A,C]

證明：

人人人TV八八八人

[B,A]=BA-AB=-(AB-BA)=TAB]

人人人八人八八八A

[A+8,C]=(A+B)C—C(A+8)

八八八八八八八/V

=(AC+BC)-(CA+CB)

AA人人人人人人人人人人

=(AC-CA)+(BC-CB)=[A,C]+\B,C]

人人人人人人人人八人人人人

[A,BC]=ABC-BCA+BAC-BAC

八人八人八人人人-人人人

=ABC-BAC+BAC-BCA

八八八八八人八八八八

=(AB-BA)C+B(AC-CA)

八八八X***/X

=[A,B]C+B[A,C]

2、考慮如下算符

O#(x)=x3i//(x),6、i//(x)=x"火幻

dx

求對易關(guān)系

解：由等式可以看出

O=x3,0=x—

l2dx

-)〃(X)=(/3)W(X)-X二(%V(X))

dxax

dxdx

dxdx

=一3/〃(x)=一3。］〃(幻

=-3?

3、求出二維各向同性諧振子的本征函數(shù)和本征值；求能級的簡并度，該系的哈密頓量是

A2分21

H=—++-mar(x2+y2)

2m2m2-

解：體系所滿足的薛定謬方程為,

22

fiW(x,y)=［玖+△+工〃z

@2(—+y2w(x,y)=y)

2m2m2

采用分量變量法”(x,y)=X(x)Y(y)

則薛定謂方程變?yōu)?/p>

嗡+3同加+吟+-")xjxy

--F+-mco2x2XY+(--X駕+~ma)2y2XY)^EXY

2mdx122mdy22'

兩邊同除〃(x,y)=X(x?(y),得到

方2

1方2d2X22?1d2y

+—1mcox=Ei--(-+—1mco2y2\)

X2mdx122mYdy22

方程左邊只是x的函數(shù)右邊僅是y的函數(shù)，欲使兩邊相等，只有兩邊均等于一常數(shù)時才能成

立，令此常數(shù)為E、.，于是有

力22

dX22

+-ma)xX=E.X(1)

2x

2mdx2x

h1d2Y

+—mco2y2Y=EY(2)

2mdy22，

式中Ey

方程（1）、（2）的分別是一維線性諧振子的所滿足的定態(tài)薛定謂方程，它們相應(yīng)的本征值分

別為

Ex=（4.+力①,Ey=（ny+g）力o）

所以有

E=Ev+EK=（〃*+〃、,+V）ha>=（〃+

在〃空y間，有〃**<+"y、,=〃，所以體系是〃+1度簡并的。

4、考慮具有哈密頓量

fP122

H1=-----F—mcox

2m2

的一維諧振子，我們定義新的算符

P=/P,：=xylmcolh

ylmcoh

于是百=掾（溟+戶2）。

（1）計算對易關(guān)系/,0]

（2）定義算符

?二+（。+商=、mcoi八

區(qū)"+嬴P'

mcoi人

-----x-------p

T°力）=2力mco

計算&與4+的對易關(guān)系。

解：（1）根據(jù)犬與仄的對易關(guān)系以力]二訪；有

A八人八人.DI--------/--------D

[P,Q]=PQ-QP=■,xylmcolti-xylmco/h.

-Jmcohylmcoh

（2）利用上邊的結(jié)果，可以寫出

a+a=-(Q-iP)((Q+iP)

=-[Q2+P1-i(PQ-QP>]

=-[Q2+P2-i[P,Q]]

=；[Q2+戶+1]

于是我們有

方=?(02+戶2)

=hco(a+a+—)

現(xiàn)在我們開始計算(5+與4的對易關(guān)系

[a+,a]=^Q-iP,Q+iP]=i[Q,戶1=一1

(三)練習(xí)題

1、諧振子在，=0時刻的波函數(shù)是

”(x,0)=6AI//、+V24%+Ak

這里〃“是諧振子第n個能態(tài)的定態(tài)本征函數(shù)，計算

(a)常數(shù)A

(b)對于所有的t求波函數(shù)科(xj)

2、設(shè)義(r,/)和〃2(r,f)是薛定謬方程

ih-w=------V咳+V(r)打

dt2m

的兩個解，證明J%*%dr與時間無關(guān)。

第4章微擾理論

(一)基本知識

1、微擾理論的任務(wù)就是從H。的本征值和本征函數(shù)出發(fā)，近似求出經(jīng)過T微擾后

的本征值和本征函數(shù)。

將體系的哈密頓量寫為：

方匕=("°)+欣')％=￡>"

將能級和波函數(shù)按入展開

用苦+型+說黑+…

一”=必°）+之吸）+先必2）+一.

靖），耳,，心，H分別表示能量和波函數(shù)的一級、二級修正

準(zhǔn)確到一級近似，體系的能級和波函數(shù)是

E?=簿°）+H1nn=片。＞+J3。喈記。）八

…S‘/

準(zhǔn)確到二級近似,體系的能級為

紇=￡7+”：“…

，*"紇一上7

（二）例題

例1設(shè)粒子在一維無限深勢阱（0,a）中的粒子，受到微擾

(0<xv〃/2)

w)=<

G(Q/2<XVQ)

的作用，求一級近似下粒子的基態(tài)能量

解：粒子的哈密頓算符為方=方（。）+6，

粒子的能量基態(tài)本征函數(shù)和基態(tài)能量為

j2/asin—,(0<x<a)

a

0,(X<0,X>4Z)

E(o)=

2ma

基態(tài)能量的一級修正為/=/瞰*(幻方州:°)(幻公

=—{hsin2(—x)t/x+—「csin2(—

aJoaaJfl/2a

2haca1、

二(5155x)=2(z,+c)

一級近似下的基態(tài)能量為

42方21.

--十;;S+c)

2ma2

E,=E；。）+=耳8+JV，）*/?%⑼dr

（三）練習(xí)題

1、設(shè)一體系未受微擾作用時只有兩個能級：EOI,EO2,現(xiàn)在受到微擾力'的作用，微擾矩陣

元為=a,H'[l=H!n="a力都是實數(shù)。用微擾公式計算能量二級修正值。

第5章晶體結(jié)構(gòu)

（一）主要知識

1、晶體結(jié)構(gòu)：

*晶體的性質(zhì)與其中原子的種類和存在的質(zhì)粒形態(tài)——基元（原子、分子、離

子或它們的集團(tuán)）有關(guān)，也與這些基元的排列方式有關(guān).晶體的結(jié)構(gòu)就是指基元

在晶體中的排列方式.在討論晶體的結(jié)構(gòu)時，把基元都抽象成為格點，因此格點

的排列規(guī)律就反映了晶體的結(jié)構(gòu)，稱為晶格結(jié)構(gòu)或晶體結(jié)構(gòu).格點也就是基元

在晶體中的平衡位置.

*由格點排列而成的空間格子稱為布拉菲格子（Bravaislattice）;把具體的基元

以相同的方式、重復(fù)地放置在布拉菲格子的格點上即得到整個晶體的結(jié)構(gòu).因此

可以說，布拉菲格子是晶體結(jié)構(gòu)形式的一種理想概括.晶體結(jié)構(gòu)的基本特點就是

具有周期性（平移對稱性）和對稱性.

2、晶體的共性

長程有序性

—晶體中的原子都是按一定順序規(guī)則排列，至少在微米量級范圍內(nèi)是有序排

列

-長程有序是晶體材料具有的共同特征

-在熔化過程中，晶體長程有序解體時對應(yīng)著一定熔點

-多晶體：由許多晶粒組成，在每個晶粒范圍內(nèi)規(guī)則排列

-單晶體：在整個范圍內(nèi)原子都是規(guī)則排列的

單晶體不見得是由同種元素組成

晶面夾角守恒：

屬于同一品種的晶體，兩個相對應(yīng)晶面之間的夾角恒定不變。

晶體具有各向異性特征

一晶體的物理性質(zhì)在不同方向上存在著差異，這種現(xiàn)象稱為晶體的各向異性

3、密堆積結(jié)構(gòu)：

可把原子看成是剛性球，在一個平面內(nèi)緊密排列（一個球的周圍有6個球）

而構(gòu)成密排面，然后再把許多密排面上下緊密堆積起來，即形成密堆積結(jié)構(gòu).密

堆積的方式可有多種：

①如果是ABAB…型堆積，則形成六角密堆積結(jié)構(gòu)；每一個球與周圍的12個

球相接觸，則配位數(shù)為12.是由2套Bravais格子構(gòu)成的復(fù)式晶格.金屬Be,Mg,

Zn,Co,Cd等都具有六角密堆積結(jié)構(gòu).理想六角密堆積的c/a=1.633;實際上，Be

的c/a=1.566,Cd的c/a=1.885,其余的在其間）.

③密堆積方式的多型性（polytypism）:密排面堆積的重復(fù)周期也可以大于3

層，則密堆積方式有無窮多種.例如，SiC,PbI2,CdI2,可以有多種所謂多型體

（polytype）,差別只是密排面的堆積順序不同，能量的差別很小；一般是層狀結(jié)構(gòu),

層間的鍵合遠(yuǎn)弱于層內(nèi).

4、六角密堆積（hep）

第三層小球放在第一層小球之上，即重復(fù)第一層的排列，這樣就形成了

ABABAB.......的密堆積方式。

?每一個球與周圍的12個球相接觸，則配位數(shù)為12

,由2套Bravais格子構(gòu)成的復(fù)式晶格

?金屬Be,Mg,Zn,Co,Cd等都具有六角密堆積結(jié)構(gòu)

?理想六角密堆積的c/a=1.633;實際上，Be的c/a=1.566,Cd的

c/a=1.885,其余的在其間.

5、配位數(shù)

~由于布拉菲格子中的每一個格點都是相互等價的，則每一個格點周圍的最近

鄰格點數(shù)也是相同的；這個格點數(shù)就稱為該布拉菲格子的配位數(shù).

配位數(shù)可以給出相應(yīng)晶體的許多信息.例如，若配位數(shù)=12,則該晶體具有密

堆積結(jié)構(gòu)（在同一層內(nèi)有6個最近鄰格點，在上下層內(nèi)各有3個最近鄰格點）；若

配位數(shù)=4,則該晶體多半是共價晶體.

5、空間點陣

是由幾何點規(guī)則地周期地排列而成的無限點陣，可看成由幾何點沿空間三個

不共面的方向各按一定距離無限重復(fù)地平移構(gòu)成

?由x射線衍射對固體的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析得知，晶態(tài)物質(zhì)和非晶態(tài)物質(zhì)區(qū)別之

點就在于：晶態(tài)物質(zhì)是由原子、分子、離子或原子團(tuán)在三維空間中有規(guī)則

地重復(fù)排列而組成的，這種組成晶體的原子、離子、分子或原子團(tuán)通常稱

為晶體的基本結(jié)構(gòu)單元，簡稱基元。

?有些簡單的晶體，如銅、金、銀等，它的基元是單個原子.有些晶體包括

化合物晶體，如金剛石、氯化鈉（NaCl）、氮化鈣（GaF2）等，它的基元是由

兩個或兩個以上的原子組成.有些無機(jī)物晶體的基元可多達(dá)100個以上的

原子，如金屬間化合物NaCd2的基元包含1000多個原子，而蛋白質(zhì)晶體

的基元包含多達(dá)10000個以上的原子.如果忽略晶體基元的具體細(xì)節(jié)，用

一個數(shù)學(xué)上的幾何點來代表它.

6、Bravais格子：

*布拉菲格子的定義~布拉菲格子是矢量Rn=nlal+n2a2+n3a3的全部端點

（格點）的集合（ni為0和正負(fù)整數(shù)）.Rn稱為布拉菲格子的格矢;al、a2、a3是三個

不共面的矢量，稱為布拉菲格子的基矢.因此，布拉菲格子的所有格點都是幾何

位置上等價、周圍環(huán)境相同的;據(jù)此即可以判斷一個格子是否布拉菲格子.

布拉菲格子反映了晶體的主要特點——對稱性；其中原子排列的周期性，或

平移對稱性，可用布拉菲格子表示為：平移任一格矢Rn,晶體保持不變.

7、晶格的周期性基矢

根據(jù)空間點陣學(xué)說，晶體結(jié)構(gòu)可以用晶格來描述，晶體結(jié)構(gòu)=基元+空間

點陣。但是，采用晶格來描述晶體很不方便，也不直觀，為了更方便地描述

晶體結(jié)構(gòu)，常采用原胞和基矢來描述。

8、原胞

布拉菲格子的原胞是指晶體中體積最小的周期性重復(fù)單元，可由基矢al、a2、

a3作邊來構(gòu)成（平行六面體）.原胞的體積為0=al.（a2Xa3）,與每個格點在

空間平均占有的體積相等.則每個原胞中只包含一個格點.由于基矢的選取方法

各種各樣，則原胞也可以有各種選取方法；但是各種原胞都應(yīng)該具有相同的體積,

并且只包含一個格點.為了克服這種原胞形狀的任意性給分析帶來的困難，對于

一個給定的布拉菲格子，其基矢往往已經(jīng)有約定的選取方法（下面將示出）.

9、單胞（結(jié)晶學(xué)原胞）

布拉菲格子的原胞是晶體的最小周期性重復(fù)單元，只包含一個格點;而布拉菲

格子的單胞可包含一個或數(shù)個格點，體積也可比原胞大（一倍或數(shù)倍），是反映

了晶體的一定對稱性的周期性重復(fù)單元.例如，簡單立方、體心立方和面心立方

晶格的原胞各不相同，但其單胞卻都是立方體（包含的格點數(shù)分別是1、2和4）.

布拉菲格子的單胞在于強(qiáng)調(diào)其晶系歸屬以及所應(yīng)有的點群對稱性.

單胞的邊長稱為晶格常數(shù).對于具有立方體單胞的晶體，其晶格常數(shù)就是一

個數(shù)；而對于其他的晶體則否.晶向、晶面和基元的標(biāo)記，常常以單胞為基準(zhǔn).

兩種常見的原胞：固體物理學(xué)原胞

結(jié)晶學(xué)原胞

固體物理學(xué)原胞--初基原胞，原胞

結(jié)晶學(xué)原胞——慣用晶胞，單胞

10、基矢primitivevector

每個方向上一定的平移距離稱為點陣在該方向上的周期，在一定方向上有一

定的周期，不同方向上的周期的大小一般不相同，于是可選用三個不共面的方向

上的最小周期作為這三個不共面方向上的天然長度單位.并選取任一陣點作為原

點.由此原點引出這三個方向上的天然長度單位以構(gòu)成三個初級平移矢量

al,a2,a3形成一個坐標(biāo)系統(tǒng)，這樣一個坐標(biāo)系統(tǒng)便可用來描述整個空間點陣。這

空間點陣可用矢量Rn來描述

Rn=nlal+n2a2+n3a3,al,a2,a3通常稱為基矢。我們把所有可用位矢來描述

的點陣布拉菲點陣，這是晶體結(jié)構(gòu)的最重要概念

11、典型的晶格結(jié)構(gòu)：

*簡式晶格和復(fù)式晶格~如果基元中包含一個原子，則相應(yīng)的晶格是簡式晶

格；相反，如果基元中包含一個以上的原子，則相應(yīng)的晶格是復(fù)式晶格.很顯然,

簡式晶格必然是布拉菲格子，每個原胞中只有一個原子.而復(fù)式晶格的每個原胞

中包含有多個原子，整個晶格可看成是由多個簡單的子晶格——布拉菲格子復(fù)

合（套構(gòu)）而成的.

12、面心立方（fee）布拉菲格子：

*三個基矢是從立方體的一個頂點到三個相鄰的面心的矢量；

*原胞中只包含一個原子，單胞中含有4個原子（6X1/2+8X1/8=4）

*格點配位數(shù)=12.

*金剛石、閃鋅礦（立方ZnS）、氯化鈉、C60晶體、Al、Ag、Au、Pt、Cu、

Ni、Pb等具有面心立方的布拉菲格子.

13、金剛石結(jié)構(gòu)和閃鋅礦結(jié)構(gòu)：

*由2套面心立方Bravais格子沿體對角線方向措開1/4對角線長度而構(gòu)成.

*金剛石結(jié)構(gòu)中雖然只有一種原子，但相鄰的2個原子并不等價，則是復(fù)式晶

格，每個原胞中有2個原子.閃鋅礦結(jié)構(gòu)中相鄰的2個原子是不同種類的，當(dāng)然

是復(fù)式晶格.

*配位數(shù)=4,每個原子的4個最近鄰形成一個正四面體.

*單胞是立方體，邊長為晶格常數(shù).立方體頂角和面心上的原子等價，但與立

方體中部的4個原子不等價.單胞中包含8個原子.

*Si和Ge具有金剛石結(jié)構(gòu).重要的III-V族和H-VI族半導(dǎo)體材料都具有閃鋅礦

(立方ZnS)結(jié)構(gòu).

(二)例題

1、具有笛卡爾坐標(biāo)(nl,n2,n3)的所有點形成什么樣的布拉菲點陣？如果

(a)ni個為奇數(shù)，或全為偶數(shù)

(b)要求nl+n2+n3全為偶數(shù)

解：(a)若ni全為偶數(shù)，則點陣矢量R=(21,2m,2n),于是有：

R=l(2x)+m(2y)+n(2z)=/q+根令+na^

ciy==a?—2

顯然由R定義的是一個晶格常數(shù)為2的SC點陣

若ni全為奇數(shù)，則點陣矢量為：

R=(2/+l)x+(2m+l)y+(2n+l)z

=l(2x)+m(2y)+n(2z)+(x+y+z)

顯然由R定義的也是一個晶格常數(shù)為2的SC點陣，但相對

上面一個sc點陣位移了一個矢量(x+y+z),正好位于bcc位置

(b)nl+n2+n3全為偶數(shù)

R="￡+%,+(2N_〃1一%)2

=〃R+%$+(N-4)2+(N-〃2)2

令1=N—〃i，m=N—%

R=(N—l)x+(N-m)y+(l+/n)z

又令n=N-l-m

R=(n+m)x+(H+/)y+(/+z

=〃(￡+y)+/(5?+z)+m(z+x)

fee點陣矢量是&='1■"](￡+》)+]%(9+2)+鼻4仁+炒

顯然由R定義的是一個晶格常數(shù)為2的fee點陣

(三)練習(xí)題

一、填空題

1、初級晶胞是—的最小重復(fù)單元。初級晶胞必定正好包含布喇非點陣的一個

陣點。

2、維格納-賽茲晶胞(W—S晶胞)是晶胞。

3、請列舉三種簡單晶體結(jié)構(gòu)(例金剛石結(jié)構(gòu))—、—、-o

4、在結(jié)晶學(xué)中，屬于立方晶系的布喇菲原胞有一、—和____三種。

二、簡答題

1以堆積模型計算由同種原子構(gòu)成的同體積的體心和面心立方晶體中的原子數(shù)

之比。

2解理面是指面指數(shù)低的晶面還是指面指數(shù)高的晶面？為什么？

3基矢為a1=石包=?j,a3=a(i+j+k)/2的晶體為何種結(jié)構(gòu)？若

a3=?(j+k)/2+3ai/2,又為何種結(jié)構(gòu)？為什么?

4若R〃/與R/詢平行，R”“是否是R,〃的整數(shù)倍？以體心立方和面心立方結(jié)構(gòu)證

*1*2*3"KIHKI'\'23

明之

5晶面指數(shù)為(123)的晶面ABC是離原點0最近的晶面，OA、0B和0C分

別與基矢4,a2,a?重合，除。點外OA、0B和0C上是否有格點？若ABC面

的指數(shù)為(234),情況又如何？

6驗證晶面(210),(111),(01④是否屬于同一晶帶。若是同一晶帶，其帶軸方向的

晶列指數(shù)是什么？

7帶軸為［001］的晶帶各晶面，其面指數(shù)有何特點？

8與晶列［/上。］垂直的倒格面的面指數(shù)是什么？

9六角密積屬于何種晶系？一個晶胞中含有幾個原子？

10體心立方元素晶體，［111］方向上的結(jié)晶學(xué)周期為多大？實際周期為多大？

11面心立方元素晶體中最小的晶列周期為多大？該晶列在哪些晶面內(nèi)？

12、試描述點陣和晶體結(jié)構(gòu)的區(qū)別。

13、什么是布喇非點陣？為什么說布喇非點陣是晶體結(jié)構(gòu)周期性的數(shù)學(xué)抽象？

三、計算題

1以剛性原子球堆積模型，計算以下格結(jié)構(gòu)的致密度分別為：

(1)簡立方，7/6(2)體心立方，技78(3)面心立方，/6

(4)六角密積，/6(5)金剛石結(jié)構(gòu)，晶/16

2在立方晶胞中，畫出(101)、(021)、(丘2)和(210)晶面。

3如圖所示，在六角晶系中，晶面指數(shù)常用(〃&㈤表示，它們

代表一晶面在基矢為，ara3上的截距分別為

6/〃，生/k心〃，在c軸上的截距為c/加。證明：h+k=T,

并求出%&、A4834、ABz&A和4A3A四個晶面的

面指數(shù)。

4設(shè)某一晶面族的間距為d,三個基矢a?，23的末端分別

落在離原點的距離為〃3、3、4d的晶面上，試用反證法證明：質(zhì)是互質(zhì)的。

5證明在立方晶系中，晶列［〃如與晶面正交。

6如圖所示，B、C兩點是面心立方晶胞上兩面心。

(1)求ABC面的密勒指數(shù)；

(2)求AC晶列的指數(shù)，并求相應(yīng)原胞在座標(biāo)系中的指數(shù)。

7試證明面心立方的倒格子是體心立方；體心立方的倒格子是面心立方。

8六角晶胞的基矢

a=75a/2i+a/2j,Z?=-V5a/2i+a/2j,c=ck

求其倒格基矢。

9證明以下結(jié)構(gòu)晶面族的面間距：

(1)立方晶系：％+公+"產(chǎn)

22r/f

h+k+hkX+U

(3)六角晶系:

10求晶格常數(shù)為a的面心立方和體心立方晶體晶面族①滴2為)的面間距。

11證明晶面.他%)、(九%；%)及(/您；耳)屬于同一晶帶的條件是

%h2h3

h\h'2也=0

h；h；%

12、某晶體的每個陣點上有一個同中原子，其初基矢量(以公計)為

AAAAA

-3xa2-3y%=1.5(x+y+z)

試問：

(a)此晶體的布喇非點陣是哪種類型？

(b)計算初級晶胞和慣用晶胞的體積。

(c)計算六角密堆積結(jié)構(gòu)的堆積比率。

13、閃鋅礦的密度0=4.067x1()3依加-3,鋅原子量4=65.37,硫的原子量

A,=72.6(,求閃鋅礦結(jié)構(gòu)的點陣常數(shù)。

14、碘化鉀具有NaCl結(jié)構(gòu)，其密度為3.13x103a6-3

試求

(a)基本的面間距離

Oa

(b)立方晶胞邊長

15、如圖所示，B