雙層規劃及其應用

Bi-LevelProgramming

最為常見且得到廣泛研究與應用的多層規劃是雙層規劃問題，即考慮只有兩層決策者的情形。這是因為現實的決策系統大都可以看成雙層決策。

例如：中央和地方，公司和子公司，工廠的廠部和車間，高校的校部和院所等。實際上任何多層決策系統都是一系列雙層決策系統的復合。

雙層規劃：雙層規劃是雙層決策問題的數學模型，它是一種具有雙層遞階結構的系統優化問題，上下層問題都有各自的目標函數和約束條件。上層問題的目標函數和約束條件不僅與上層決策變量有關，而且還依賴于下層問題的最優解，而下層問題的最優解又受上層決策變量的影響。

二、雙層規劃的特點雙層規劃問題一般具有如下幾大特點：層次性——系統分層管理，下層服從上層，但下層有相對的自主權（舉例說明）。獨立性——各層決策者各自控制一部分決策變量，以優化各自的目標（舉例說明）。沖突性——各層決策者有各自不同的目標，且這些目標往往是相互矛盾的（舉例說明）。

優先性——上層決策者優先做出決策，下層決策者在優化自己的目標而選擇策略時，不能改變上層的決策（舉例說明）。自主性——上層的決策可能影響下層的行為，因而部分地影響下層目標的實現，但上層不能完全控制下層的選擇行為，在上層決策允許范圍內，下層有自主決策權（舉例說明）。

制約性——下層的決策不但決定著自身目標的實現，而且也影響上層目標的實現，因此上層在選擇策略優化自己的目標時，必須考慮到下層可能采取的策略對自己的不利影響（舉例說明）。依賴性——各層決策者的容許策略集通常是不可分離的，形成一個相關聯的整體（舉例說明）。

三、雙層規劃模型的基本形式其中由下述規劃求得（U）（L）上層決策者通過設置的值影響下層決策者。下層決策變量是上層決策變量的函數，即,這個函數一般被稱為反應函數。

一般來說，雙層規劃模型具有如下形式

與一般的數學規劃不同，即使當和都是連續函數，并且上下層的約束集合是有界閉的，雙層規劃也可能沒有最優解。假設上層選擇了點，那么下層面臨的是以為參數的簡單最小值最優化問題。在有些情況下，對固定的，下層對應的最優問題可能包含不止一個最優解。什么情況下會有這種問題？？

如：如果所有的函數都是線性的，很可能當固定的下層問題的所有最優解組成一個集，這意味著中的任何一點對下層是無差別的，但對上層的目標函數可能會有差別。上層最優解可能只在中某個特定點上達到，但是沒有辦法使下層更愿意選擇該點。

線性，就是指y=ax+b這種形式，往往指的就是一次。線性問題，往往是比較“良好”的問題，因為它們形式簡單，易求解。如果有誤差，因為是線性的緣故也比較容易估計。常見的線性問題有勻速直線運動、商品折扣等。非線性，就是指并非一次的其他情況。

雙層規劃分類

線性雙層規劃：所有目標函數和約束全為線性函數非線性雙層規劃：上下層目標函數和約束中至少有一個非線性函數相應的有整數線性雙層規劃、整數非線性雙層規劃等

求解雙層規劃問題是非常困難的。

原因:

雙層規劃問題是一個NP-hard

（non-deterministicpolynomial，縮寫NP）問題。雙層規劃的非凸性。四、雙層規劃計算的復雜性即使能找出雙層問題的解，通常也只可能是局部最優解而非全局最優解。？NP-hard，其中的NP是指非確定性多項式（non-deterministicpolynomial，縮寫NP）。所謂的非確定性是指，可用一定數量的運算去解決多項式時間內可解決的問題。NP問題通俗來說是其解的正確性能夠被“很容易檢查”的問題，這里“很容易檢查”指的是存在一個多項式檢查算法。例如，著名的推銷員旅行問題（TravelSalemanProblemorTSP）：假設一個推銷員需要從香港出發，經過廣州，北京，上海，…，等n個城市，最后返回香港。任意兩個城市之間都有飛機直達，但票價不等。假設公司只給報銷C元錢，問是否存在一個行程安排，使得他能遍歷所有城市，而且總的路費小于C？推銷員旅行問題顯然是NP的。因為如果你任意給出一個行程安排，可以很容易算出旅行總開銷。但是，要想知道一條總路費小于C的行程是否存在，在最壞情況下，必須檢查所有可能的旅行安排！這將是個天文數字。旅行推銷員問題是數學圖論中最著名的問題之一，即“已給一個n個點的完全圖，每條邊都有一個長度，求總長度最短的經過每個頂點正好一次的封閉回路”。Edmonds，Cook和Karp等人發現，這批難題有一個值得注意的性質，對其中一個問題存在有效算法時，每個問題都會有有效算法。迄今為止，這類問題中沒有一個找到有效算法。傾向于接受NP完全問題（NP-Complet或NPC）和NP難題（NP-Hard或NPH）不存在有效算法這一猜想，認為這類問題的大型實例不能用精確算法求解，必須尋求這類問題的有效的近似算法。此類問題中，經典的還有子集和問題；Hamilton回路問題問題東的復藏雜性：是鏡指這詞個問股題本污身的橫復雜谷程度嫂，是睛問題聲的性羊質。算法毫的復扣雜性：是耕指解充決問牧題的餓一個腸具體膜的算孝法的矛執行援時間應，是娛算法件的性顫質。問題—抽象—簡化捐判定暴性問扭題四、培雙層價規劃慘計算睛的復殘雜性只需刮回答ye攝s惡or航n龜o例如采：求從A到B的最總短路姜徑，可轉討化成嶄：從A到B是否塘有長唱度為1的路駛徑？傍從A到B是否曾有長代度為2的路改徑？…，從A到B是否收有長喬度為k的路春徑？就如果皆問到嫩了k的時員候回缸答了ye料s，則彩停止軋發問施，我訊們可扔以說蠢從A到B的最竄短路很徑就橋是k。四、陪雙層堵規劃酸計算土的復松雜性四、必雙層未規劃滲計算被的復航雜性(a躁)(b奶)(c撫)(d難)(e餡)定義:若函暑數圖許形上任意唐兩點的連敬線段財必在鄙函數剖圖形們的上岡方(下方)，則萌稱該痰函數犧為凸晌函數(凹函舟數)。數學妄表達梨式定學義為：忍函數f(撫X)，對感任意旁不相洞等的X1，X2∈(版a,瓦b)映,以及λ∈可(0敬,殲1)，有f[遭λX1+(妄1-吼λ)需X2]≤瞞λf厚(X1)+峽(1們-λ的)f逢(X2)怠,則f(缺x)稱作沖凸函肺數。四、謎雙層鋪規劃淚計算悉的復眠雜性其中逃由下森述規腔劃求趙得（U）（L）第一種情況：如果下列雙層規劃的最優解為第二熟種情宮況：如果掀上層畢決策給者控炸制所創有變楊量，潛雙層尖規劃幼變為設其最優解為其中第三渴種情檔況：如果放上下鬧層決缸策者鼓分別綱獨立的控制票各自即的決灶策變勉量，鏟雙層勤規劃咐變為設其最優解為那么鍵有下閉式存么在：有下躲式存哄在：除雙層規劃外，后兩種情況都是求單層規劃，較容易，因此可不直接求雙層規劃，而直接求后兩類單層規劃，然后盡量減小與，與之間的差異。其中波解對上友述問臟題，鞏當妹時湯，由霸，得月。呼當取航時，曲下層譯問題龜的最摘優目詞標函殖數值拌，但叔下層斬問題妥的最樓優解識不唯乳一，部滿足螞，顯主然這得對上渠層目鄙標函勞數庫產生速影響廣。當抖時犧，箏；羊當域時，圣。上述朵例子導說明氣：當上層給定氣一個倘允許愿決策舉后，微如果下層問題縮慧的最終優解巾不唯堅一，致將導督致整仁個求豆解的唇復雜諒性，刊甚至失無法婚保證威能求段得問赤題的最優描解。☆在交磚通領蘋域中淋的應仗用☆在管辨理中店的應辦用☆資源張分配☆價格科問題☆供應枝鏈管糖理☆生產切計劃☆其它透方面五、打雙層回規劃成的應藥用六、雞雙層調規劃叛求解艙算法一、請極點卸搜索示法（Ex蔽tr區em搬e坊Po船in綁t借Se據ar地ch惜M非et團ho佛d）：用于齡求解佩雙層增線性險規劃忘。基本耗觀點畏：雙層曲線性埋規劃揀問題喂的任亭何解榮都出禍現在斥下層完問題絕的約樓束集絹合的救極點汽位置考。因膠此，芳首先嗓可以恢利用或各種陶方法底來尋癢找約顯束空搏間的極點（不貨要求浪尋找球全部捎極點躁），勵然后來從中吉再找括出雙拳層問諸題的局部脖最優毅解或印全局準最優托解。二、乘下降量法（De摟sc霧en撈t悼Me召th站od）船：主要型用于生求解掙非線班性連緒續變患量的遺雙層近規劃洞問題最具嘉代表貞性的紋下降劉算法添：基抓于靈峽敏度治分析撲的求聯解算腳法。三、K-選T法（Ka建ru沃sh旗-K放uh里n-滋Tu稈ck內er蠻M畝et接ho頸d）：這種串方法踐將雙居層問披題中既的下渾層問需題用翠它的Ka月ru諸sh豎-K攏uh榨n-牲Tu老ck均er條件酸代替浴，主末要用煌于求魯解雙庸層線截性規迫劃問奮題，具最初錄用于仆求解陶雙層她線性夸資源橡控制凡問題腦。四、填直接引搜索旗法（Di群re捷ct掛S隨ea扭rc劫h繼Me石th地od）骨：直接際使目件標函屋數最剛小的朝方法脆，如Ab園du溪la亦al和Le固Bl懷an盒c（19再79）使酒用的Ho照ok閉e-繼Je氏ev電es搜索評法就說屬于欲此類炎，在焦搜索悲解的撐過程棄中，鉆這種貴方法免取決郊于上石層目銹標函符數值晃的變藝化。五、瓦非數駱值優節化方灶法（No植n-遲nu億me明ri井ca阻l考op殿ti泉mi軌za嶺ti豈on）這類醒方法離主要竹包括導模擬栽退火浸、遺獄傳算照法和嚇蟻群執算法沙等。這種禍非數源值優耽化方鈔法目錘前主要椒用來區求解漂城市慕交通謙連續京平衡遷網絡嬌設計丹問題慚（Cr俘