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2020年全國統一高考數學試卷（理科）（新課標Ⅰ）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）若z＝1+i，則|z2﹣2z|＝（）A．0B．1C．D．22．（5分）設集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，則a＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．43．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐．以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（）A．B．C．D．4．（5分）已知A為拋物線C：y2＝2px（p＞0）上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y軸的距離為9，則p＝（）A．2B．3C．6D．95．（5分）某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發芽率y和溫度x（單位：℃）的關系，在20個不同的溫度條件下進行種子發芽實驗，由實驗數據（xi，y）（i＝1，2，…，20）得到下面的散點圖：i由此散點圖，在10℃至40℃之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發芽率y和溫度x的回歸方程類型的是（）A．y＝a+bxB．y＝a+bx2C．y＝a+bexD．y＝a+blnx6．（5分）函數f（x）＝x43﹣2x的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為（）第2頁（共18頁）A．y＝﹣2x﹣1B．y＝﹣2x+1C．y＝2x﹣3D．y＝2x+17．（5分）設函數f（x）＝cos（ωx+）在[﹣π，π]的圖象大致如圖，則f（x）的最小正周期為（）A．B．C．D．8．（5分）（x+A．5）（x+y）5的展開式中x3y3的系數為（）B．10C．15D．209．（5分）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，則sinα＝（）A．B．C．D．10．（5分）已知A，B，C為球O的球面上的三個點，⊙O1為△ABC的外接圓．若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO，則球O的表面積為（）1A．64π11．（5分）已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直線l：2x+y+2＝0，P為l上的動點．過點P作⊙M的切線PA，PB，切點為A，B，當|PM|?|AB|最小時，直線AB的方程為（C．2x﹣y+1＝0B．48πC．36πD．32π）A．2x﹣y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0D．2x+y+1＝012．（5分）若2+logaa＝4+2log4b，則（）b2A．a＞2bB．a＜2bC．a＞b2D．a＜b2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）若x，y滿足約束條件則z＝x+7y的最大值為．14．（5分）設，為單位向量，且|+|＝1，則|﹣|＝．15．（5分）已知F為雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x軸．若AB的斜率為3，則C的離心率為．第3頁（共18頁）16．（5分）如圖，在三棱錐P﹣ABC的平面展開圖中，AC＝1，AB＝AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，則cos∠FCB＝．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）設{a}是公比不為1的等比數列，a為a，a的等差中項．n123（1）求{an}的公比；＝1，求數列{na}的前n項和．（2）若a1n18．（12分）如圖，D為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE＝AD．△ABC是底面的內接正三角形，P為DO上一點，PO＝DO．（1）證明：PA⊥平面PBC；（2）求二面角B﹣PC﹣E的余弦值．19．（12分）甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰：比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束．經抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空．設每場比賽雙方獲勝的概率都為（1）求甲連勝四場的概率；．（2）求需要進行第五場比賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率．第4頁（共18頁）20．（12分）已知A，B分別為橢圓E：+y2＝1（a＞1）的左、右頂點，G為E的上頂點，?＝8．P為直線x＝6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點．21．（12分）已知函數f（x）＝e+ax2x﹣x．（1）當a＝1時，討論f（x）的單調性；（2）當x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍．（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。[選修4-4：坐標系與參數方程]（10分）22．（10分）在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為（t為參數）．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為4ρcosθ﹣16ρsinθ+3＝0．（1）當k＝1時，C1是什么曲線？（2）當k＝4時，求C1與C的公共點的直角坐標．2[選修4-5：不等式選講]（10分）23．已知函數f（x）＝|3x+1|﹣2|x﹣1|．（1）畫出y＝f（x）的圖象；（2）求不等式f（x）＞f（x+1）的解集．第5頁（共18頁）2020年全國統一高考數學試卷（理科）（新課標Ⅰ）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）若z＝1+i，則|z2﹣2z|＝（）A．0B．1C．D．2【解答】解：若z＝1+i，則z2﹣2z＝（1+i）2﹣2（1+i）＝2i﹣2﹣2i＝﹣2，則|z2﹣2z|＝|﹣2|＝2，故選：D．2．（5分）設集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，則a＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．42【解答】解：集合A＝{x|x﹣4≤0}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|2x+a≤0}＝{x|x≤﹣a}，由A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，可得﹣a＝1，則a＝﹣2．故選：B．3．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐．以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（）A．B．C．D．【解答】解：設正四棱錐的高為h，底面邊長為a，側面三角形底邊上的高為h′，則依題意有：，因此有h′2﹣（）2＝ah′?4（）2﹣2（）﹣1＝0?＝（負值舍去）；第6頁（共18頁）故選：C．4．（5分）已知A為拋物線C：y2＝2px（p＞0）上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y軸的距離為9，則p＝（）A．2B．3C．6D．9【解答】解：A為拋物線C：y2＝2px（p＞0）上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y軸的距離為9，因為拋物線上的點到焦點的距離和到準線的距離相等，故有：9+＝12?p＝6；故選：C．5．（5分）某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發芽率y和溫度x（單位：℃）的關系，在20個不同的溫度，y）（i＝1，2，…，20）得到下面的散點圖：條件下進行種子發芽實驗，由實驗數據（xii由此散點圖，在10℃至40℃之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發芽率y和溫度x的回歸方程類型的是（）A．y＝a+bxB．y＝a+bx2C．y＝a+bexD．y＝a+blnx【解答】解：由散點圖可知，在10℃至40℃之間，發芽率y和溫度x所對應的點（x，y）在一段對數函數的曲線附近，結合選項可知，y＝a+blnx可作為發芽率y和溫度x的回歸方程類型．故選：D．6．（5分）函數f（x）＝x43﹣2x的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為（）A．y＝﹣2x﹣1B．y＝﹣2x+1C．y＝2x﹣3D．y＝2x+1【解答】解：由f（x）＝x4﹣2x3，得f′（x）＝4x3﹣6x2，∴f′（1）＝4﹣6＝﹣2，又f（1）＝1﹣2＝﹣1，∴函數f（x）＝x4﹣2x3的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為y﹣（﹣1）＝﹣2（x﹣1），即y＝﹣2x+1．第7頁（共18頁）故選：B．7．（5分）設函數f（x）＝cos（ωx+）在[﹣π，π]的圖象大致如圖，則f（x）的最小正周期為（）A．B．C．D．【解答】解：由圖象可得最小正周期小于π﹣（﹣）＝，大于2×（）＝，排除A，D；由圖象可得f（﹣）＝cos（﹣ω+）＝0，即為﹣ω+＝kπ+，k∈Z，（*）若選B，即有ω＝若選C，即有ω＝＝，由﹣×+＝kπ+，可得k不為整數，排除B；＝，由﹣×+＝kπ+，可得k＝﹣1，成立．故選：C．8．（5分）（x+A．5）（x+y）5的展開式中x3y3的系數為（）B．10C．15D．20【解答】解：因為（x+）（x+y）5＝；要求展開式中x3y3的系數即為求（x2+y2）（x+y）5展開式中x4y3的系數；展開式含x4y3的項為：x?x?y?x?y＝154x4y3；223+y2故（x+）（x+y）5的展開式中x3y3的系數為15；故選：C．9．（5分）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，則sinα＝（）A．B．C．D．【解答】解：由3cos2α﹣8cosα＝5，得3（2cos2α﹣1）﹣8cosα﹣5＝0，2α﹣4cosα﹣4＝0，解得cosα＝2（舍去），或cos．∵α∈（0，π），∴α∈（，π），即3cos則sinα＝＝．故選：A．第8頁（共18頁）10．（5分）已知A，B，C為球O的球面上的三個點，⊙O1為△ABC的外接圓．若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO，則球O的表面積為（）1A．64πB．48πC．36πD．32π【解答】解：由題意可知圖形如圖：⊙O1的面積為4π，可得O1A＝2，則AO＝ABsin60°，，1∴AB＝BC＝AC＝OO1＝2，外接球的半徑為：R＝＝4，球O的表面積：4×π×42＝64π．故選：A．11．（5分）已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直線l：2x+y+2＝0，P為l上的動點．過點P作⊙M的切線PA，PB，切點為A，B，當|PM|?|AB|最小時，直線AB的方程為（）A．2x﹣y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y+1＝0【解答】解：化圓M為（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，PAM＝|PA|?|AM|＝2|PA|＝．圓心M（1，1），半徑r＝2．∵＝2S△∴要使|PM|?|AB|最小，則需|PM|最小，此時PM與直線l垂直．直線PM的方程為y﹣1＝（x﹣1），即y＝，聯立聯立，解得P（﹣1，0）．則以PM為直徑的圓的方程為，相減可得直線AB的方程為2x+y+1＝0．故選：D．．12．（5分）若2+logaa＝4+2log4b，則（）b2A．a＞2bB．a＜2bC．a＞b2D．a＜b2+loga＝4+2log4b＝22b+log2b；【解答】解：因為2a因為22b+log2b＜22b+log22b＝22b+log2b+1即2+loga2a＜22b+log22b；2x，由指對數函數的單調性可得f（x）在（0，+∞）內單調遞增；b2+log令f（x）＝2x且f（a）＜f（2b）?a＜2b；故選：B．第9頁（共18頁）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）若x，y滿足約束條件則z＝x+7y的最大值為1．，不等式組表示的平面區域如圖所示，由，可得A（1，0）時，目標函數z＝x+7y，可得y＝x+過點A時，在y軸上截距最大，x+，當直線y＝此時z取得最大值：1+7×0＝1．故答案為：1．14．（5分）設，為單位向量，且|+|＝1，則|﹣|＝．【解答】解：，為單位向量，且|+|＝1，|+|＝1，可得2，1+2+1＝1，所以，則|﹣|＝＝．故答案為：．15．（5分）已知F為雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x軸．若AB的斜率為3，則C的離心率為2．【解答】解：F為雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦點（c，0），A為C的右頂點（a，0），B為C上的點，且BF垂直于x軸．所以B（c，），若AB的斜率為3，可得：，b2＝c﹣a，代入上式化簡可得c＝3ac2﹣2a，e＝，可得e﹣3e+22＝0，e＞1，222解得e＝2．故答案為：2．第10頁（共18頁）16．（5分）如圖，在三棱錐P﹣ABC的平面展開圖中，AC＝1，AB＝AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，則cos∠FCB＝﹣【解答】解：由已知得BD＝因為D、E、F三點重合，所以AE＝AD＝．AB＝，BC＝2，，BF＝BD＝AB＝，則在△ACE中，由余弦定理可得CE2＝AC2+AE2﹣2AC?AE?cos∠CAE＝1+3﹣2×＝1，所以CE＝CF＝1，則在△BCF中，由余弦定理得cos∠FCB＝故答案為：﹣．＝＝﹣，三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）設{a}是公比不為1的等比數列，a為a，a的等差中項．n123（1）求{an}的公比；＝1，求數列{na}的前n項和．（2）若a1n【解答】解：（1）設{an}是公比q不為1的等比數列，a為a，a的等差中項，可得2a＝a+a，123123＝aq+aq2，即為q2+q﹣2＝0，即2a111解得q＝﹣2（1舍去），所以{an}的公比為﹣2；（2）若a1＝1，則a＝（﹣2）nn，1﹣na＝n?（﹣2）n1，﹣n}的前n項和為S＝1?1+2?（﹣2）+3?（﹣2）2+…+n?（﹣2）n1，﹣則數列{nann﹣2Sn＝1?（﹣2）+2?（﹣2）2+3?（﹣2）3+…+n?（﹣2）n，兩式相減可得3Sn＝1+（﹣2）+（﹣2）2+（﹣2）3+…+（﹣2）n﹣1﹣n?（﹣2）n＝﹣n?（﹣2）n，化簡可得Sn＝，所以數列{nan}的前n項和為．第11頁（共18頁）18．（12分）如圖，D為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE＝AD．△ABC是底面的內接正三角形，P為DO上一點，PO＝（1）證明：PA⊥平面PBC；DO．（2）求二面角B﹣PC﹣E的余弦值．【解答】解：（1）不妨設圓O的半徑為1，OA＝OB＝OC＝1，AE＝AD＝2，，，，在△PAC中，PA2+PC2＝AC，故2PA⊥PC，同理可得PA⊥PB，又PB∩PC＝P，故PA⊥平面PBC；（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，則有0），，E（0，1，故，設平面PBC的法向量為，則，可取，同理可求得平面PCE的法向量為，故，即二面角B﹣PC﹣E的余弦值為．第12頁（共18頁）19．（12分）甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰：比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束．經抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空．設每場比賽雙方獲勝的概率都為．（1）求甲連勝四場的概率；（2）求需要進行第五場比賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率．【解答】（1）甲連勝四場只能是前四場全勝，P＝（）4＝．（2）根據賽制，至少需要進行四場比賽，至多需要進行五場比賽，比賽四場結束，共有三種情況，甲連勝四場的概率為，乙連勝四場比賽的概率為，丙上場后連勝三場的概率為，∴需要進行五場比賽的概率為：P＝1﹣＝．（3）設A為甲輸，B為乙輸，C為丙輸，則丙最終獲勝的概率為：P＝P（ABAB）+P（BABA）+P（ABACB）+P（BABCA）+P（ABCAB）+P（ABCBA）+P（BACAB）+P（BACBA）+P（ACABB）+P（ACBAB）+P（BCABA）+P（BCBAA）＝（）4×2+（）5×10＝．第13頁（共18頁）+y2＝1（a＞1）的左、右頂點，G為E的上頂點，?＝8．P為直線x＝6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點．【解答】解：如圖所示：（1）由題意A（﹣a，0），B（a，0），G（0，1），∴＝（a，1），＝（a，﹣1），?＝a2﹣1＝8，解得：a＝3，故橢圓E的方程是+y2＝1；（2）由（1）知A（﹣3，0），B（3，0），設P（6，m），則直線PA的方程是y＝（x+3），?（9+m2）x2+6m2x+9m2﹣81＝0，由韋達定理﹣3xc＝?x＝，聯立c代入直線PA的方程為y＝（x+3）得：yc＝，即C（，），?（1+m2）x2﹣6m2x+9m2﹣9＝0，直線PB的方程是y＝（x﹣3），聯立方程由韋達定理3xD＝?x＝，D代入直線PB的方程為y＝（x﹣3）得y＝D，即D（，），則①當xc＝xD即＝時，有m2＝3，此時xc＝x＝，即CD為直線x＝，D②當x≠xD時，直線CD的斜率K＝＝，cCD∴直線CD的方程是y﹣＝（x﹣），整理得：y＝（x﹣），直線CD過定點（，0）．綜合①②故直線CD過定點（，0）．第14頁（共18頁）第15頁（共18頁）

21．（12分）已知函數f（x）＝e+ax2x﹣x．（1）當a＝1時，討論f（x）的單調性；（2）當x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍．【解答】解：（1）當a＝1時，f（x）＝ex+x2﹣x，f′（x）＝ex+2x﹣1，設g（x）＝f′（x），因為g′（x）＝ex+2＞0，可得g（x）在R上遞增，即f′（x）在R上遞增，因為f′（0）＝0，所以當x＞0時，f′（x）＞0；當x＜0時，f′（x）＜0，所以f（x）的增區間為（0，+∞），減區間為（﹣∞，0）；（2）當x≥0時，f（x）≥x3+1恒成立，①當x＝0時，不等式恒成立，可得a∈R；②當x＞0時，可得a≥恒成立，設h（x）＝，則h′（x）＝＝＝＝，可設m（x）＝ex﹣x﹣x﹣1，可得2m′（x）＝e﹣x﹣1，m″（x）＝e﹣1，xx由x＞0，可得m″（x）＞0恒成立，可得m′（x）在（0，+∞）遞增，所以m′（x）＞m′（0）＝0，即m′（x）＞0恒成立，即m（x）在（0，+∞）遞增，所以m（x）＞m（0）＝0，再令h′（x）＝0，可得x＝2，當0＜x＜2時，h′（x）＞0，h（x）在（0，2）遞增；x＞2時，h′（x）＜0，h（x）在（2，+∞）遞減