第四章級(jí)數(shù)第一節(jié)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第二節(jié)冪級(jí)數(shù)第三節(jié)Taylor級(jí)數(shù)表示第四節(jié)Laurent級(jí)數(shù)表示第五節(jié)孤立奇點(diǎn)的分類復(fù)變函數(shù)與積分變換》4.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1.復(fù)數(shù)序列概念收斂與發(fā)散定理4.1.1定理4.1.2復(fù)變函數(shù)與積分變換》2.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念收斂與發(fā)散形如的表達(dá)式被稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，其中wn是復(fù)數(shù)。若的前n項(xiàng)和有極限（n）,則稱該級(jí)數(shù)收斂，且稱此極限值為該無窮級(jí)數(shù)的和；否則稱為發(fā)散。復(fù)變函數(shù)與積分變換》收斂的充分必要條件－－定理4.1.3絕對(duì)收斂與條件收斂—定義4.1.4設(shè)，則級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是和都收斂，其中un和vn皆為實(shí)數(shù)。稱級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的，如果是收斂的稱級(jí)數(shù)是條件收斂的，如果是發(fā)散的，而是收斂的復(fù)變函數(shù)與積分變換》舉例考察級(jí)數(shù)的斂散性考察級(jí)數(shù)的斂散性考察級(jí)數(shù)的斂散性復(fù)變函數(shù)與積分變換》3.復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念收斂與發(fā)散形如的表達(dá)式被稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，其中wn(z)是復(fù)變函數(shù)。點(diǎn)收斂：域收斂：收斂稱之收斂，zB，稱之復(fù)變函數(shù)與積分變換》收斂的充分必要條件一致收斂—定理4.1.6級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是和都收斂，其中對(duì)于，稱它在B內(nèi)一致收斂于函數(shù)f(z)，如果>0，N()，當(dāng)n>N()時(shí)，有M判別法復(fù)變函數(shù)與積分變換》性質(zhì)連續(xù)性--4.1.7可積性--4.1.8解析性—4.1.9級(jí)數(shù)在B內(nèi)一致收斂，且wn(z)連續(xù)，則該級(jí)數(shù)在B內(nèi)連續(xù)級(jí)數(shù)在C上一致收斂，且wn(z)在C上連續(xù)，則級(jí)數(shù)在B內(nèi)一致收斂f(z)，且wn(z)在B內(nèi)解析，則f(z)在B內(nèi)解析，且復(fù)變函數(shù)與積分變換》4.2冪級(jí)數(shù)1.冪級(jí)數(shù)概念形如的級(jí)數(shù)被稱為以z0為中心的冪級(jí)數(shù)，其中an是復(fù)變常數(shù)。定理4.2.1（阿貝爾定理）復(fù)變函數(shù)與積分變換》2.冪級(jí)數(shù)的收斂圓與收斂半徑若存在正數(shù)R，使得當(dāng)|z-z0|<R時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；而得當(dāng)|z-z0|>R時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱R為級(jí)數(shù)的收斂半徑，其中|z-z0|<R被稱為收斂圓。復(fù)變函數(shù)與積分變換》收斂半徑的求法：定理4.2.2；定理4.2.3D'Alembert公式Cauchy(根式)公式舉例求級(jí)數(shù)的斂散半徑及收斂圓求級(jí)數(shù)的斂散半徑及收斂圓復(fù)變函數(shù)與積分變換》內(nèi)閉一致收斂3.冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)在收斂圓內(nèi)冪級(jí)數(shù)具有連續(xù)性、可積性4.2.5和解析性4.2.4冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)內(nèi)閉一致收斂4.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算復(fù)變函數(shù)與積分變換》4.3Taylor級(jí)數(shù)表示1.Taylor展開定理設(shè)函數(shù)f(z)以z0為圓心的圓周CR內(nèi)解析，則對(duì)于圓內(nèi)任一點(diǎn)z，函數(shù)f(z)可寫成（定理4.3.1）z0zCRCR'RR'復(fù)變函數(shù)與積分變換》舉例函數(shù)f(z)=ez在z=0點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)展開函數(shù)f(z)=sinz和f(z)=cosz在z=0點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)展開函數(shù)f(z)=Lnz

在z=1點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)展開函數(shù)f(z)=(1+z)n在z=0點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)展開復(fù)變函數(shù)與積分變換》例2把函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)解:函數(shù)在內(nèi)處處解析,由公式(4.1.7)把上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo),即得所求的展開式復(fù)變函數(shù)與積分變換》解析唱函數(shù)珠的一房誠個(gè)等仁價(jià)命昂題函數(shù)f(z)在B內(nèi)解駝析的童充分把必要想條件須為f(z)在B內(nèi)任零一點(diǎn)耳的鄰艘域內(nèi)岸可展蛙成冪猾級(jí)數(shù)答（定齒理4.晚3.賣2）復(fù)變殼函數(shù)關(guān)與積桿分變紫換》2.幾個(gè)睡初等電函數(shù)遷的冪魂級(jí)數(shù)修展開竿式直接紋方法間接緩方法函數(shù)f(z)=ar鏈ct服anz在z=0點(diǎn)的Ta悅yl安or級(jí)數(shù)糧展開函數(shù)f(z)=柔si缺nz在z=0點(diǎn)的Ta灰yl熔or級(jí)數(shù)銜展開函數(shù)f(z)=蟻1/每(1碗-z)2在z=0點(diǎn)的Ta把yl竿or級(jí)數(shù)謝展開待定僅系數(shù)莖法函數(shù)f(z)=忠ta筍n遙z在z=0點(diǎn)的Ta螞yl必or級(jí)數(shù)矮展開復(fù)變濟(jì)函數(shù)倍與積灑分變無換》4.鼻4誤La客ur承en仙t級(jí)數(shù)問題貴的提嶄出已知基結(jié)果：當(dāng)f(z)在圓|z-z0|<R內(nèi)解蠢析，Ta蕉yl廣or定理江告訴喇我們偷，f(z)必可即展開朋成冪視級(jí)數(shù)筐。問題慰是：當(dāng)f(z)在圓|z-z0|<R內(nèi)有民奇點(diǎn)具時(shí)，疼能否洲展開味成冪汪級(jí)數(shù)怠或展蛛開成冰類似瓣于冪透級(jí)數(shù)路的形秧式。復(fù)變期函數(shù)誼與積創(chuàng)分變餅換》1.洛朗告級(jí)數(shù)荒（雙溝邊冪炭級(jí)數(shù)速）其中被稱為雙邊冪級(jí)數(shù)的正冪部分被稱為雙邊冪級(jí)數(shù)的負(fù)冪部分復(fù)變競(jìng)函數(shù)扔與積轎分變魄換》收斂思環(huán)的曉確定設(shè)正租冪部虛分的虜收斂掙半徑冠為R1；而負(fù)距冪部聲分在窩變換=1型/(z-z0)下的忍級(jí)數(shù)堅(jiān)的收遵斂半禽徑為1/R2，則其餅在|z脫-z0|>R2外收宇斂。斯如果R2<R1，那么邁雙邊掩冪級(jí)圍數(shù)就秩在環(huán)葬狀域R2<|z-z0|<R1內(nèi)收灘斂，毫所以R2<|z-z0|<R1給出領(lǐng)了雙四邊冪曬級(jí)數(shù)肯的環(huán)耗狀收裹斂域頭，稱雙為收瓣斂環(huán)仙。雙邊殊冪級(jí)兇數(shù)在忠收斂味環(huán)內(nèi)抖絕對(duì)癢內(nèi)閉豎一致叨收斂炒。復(fù)變墓函數(shù)廁與積亮分變卷換》正冪部分負(fù)冪部分R2R1z0R1z0|z-z0|<R1R2z0R2<|z-z0|收斂句環(huán)R2<|z歡-z0|<R1復(fù)變凡函數(shù)養(yǎng)與積茅分變何換》雙邊憐冪級(jí)停數(shù)的肥性質(zhì)R2R1z0B定理設(shè)雙邊冪級(jí)數(shù)的收斂環(huán)B為R2<|z-z0|<R1，則(1)在B內(nèi)連續(xù)；(2)在B內(nèi)解析，且于B內(nèi)可逐項(xiàng)可導(dǎo)；(3)在B內(nèi)可逐項(xiàng)積分。復(fù)變紹函數(shù)選與積伐分變投換》2.抵La衣ur祥en彎t展開定理設(shè)函同數(shù)f(z)在環(huán)盲狀域R2<|z-z0|<R1的內(nèi)匠部單洪值解襪析，判則對(duì)駝?dòng)诃h(huán)每?jī)?nèi)任燈一點(diǎn)z，f(z)可展想開成zCR1CR2R2R1z0C復(fù)變濃函數(shù)條與積障分變慌換》La耳ur的en擱t級(jí)數(shù)曉中的z0點(diǎn)可能宴是奇嗎點(diǎn)，澆也可打能不錢是奇急點(diǎn)說明La恐ur這en弦t級(jí)數(shù)麻展開甩的唯扯一性收斂命范圍嚇的極雷限的掌確定復(fù)變姨函數(shù)講與積晨分變春換》舉例函數(shù)f(z)=匪si塑nz/刑z在0<|z|<內(nèi)的La儀ur培en柔t(yī)級(jí)數(shù)染展開函數(shù)f(z)=醋1/(1栗-z2)分別瘋在1<|z|<和0<|z-1偶|<2內(nèi)的La坑ur竿en沿t級(jí)數(shù)嘴展開11-11<|z|<21-10<|z-1|<2復(fù)變亂函數(shù)誓與積喊分變工換》例3把函咳數(shù)吹展開宴成妥的級(jí)割數(shù)解:因?yàn)樗詮?fù)變叫函數(shù)蔑與積戰(zhàn)分變問換》例4把函麻數(shù)驚在火收斂巴圓環(huán)學(xué)域濃內(nèi)展換開成疲羅倫棍級(jí)數(shù).解:因?yàn)樗?復(fù)變陜函數(shù)杠與積眨分變煌換》例5把函填數(shù)晝?cè)陉懯諗考鎴A環(huán)嘴域章內(nèi)展黃開成帆羅倫低級(jí)數(shù).解:因?yàn)樗?復(fù)變除函數(shù)園與積棚分變竟換》例5把函偷數(shù)亮在媽收斂回圓環(huán)司域本內(nèi)展疑開成殖羅倫娛級(jí)數(shù).解:因?yàn)樗?復(fù)變蛇函數(shù)視與積辦分變述換》通過但例3、例4、例5可知斃同一借個(gè)函延數(shù)在航不同呢的收版斂圓受環(huán)域醋內(nèi)的朵羅倫采級(jí)數(shù)哪一般聲不同;由羅尼倫級(jí)嫂數(shù)的形唯一速性可套知,同一續(xù)個(gè)函濟(jì)數(shù)在旦相同響的收塘斂圓頓環(huán)域毀內(nèi)的昨羅倫輕級(jí)數(shù)浪一定趁相同.復(fù)變還函數(shù)損與積濟(jì)分變箱換》第五舍節(jié)癥孤立旺奇點(diǎn)矛的分錘類概念若函罵數(shù)f(z)在某看點(diǎn)z0在不溝可導(dǎo)泛，而紗在z0的任雨意鄰射域內(nèi)課除z0外連震續(xù)可國導(dǎo)，磨則稱z0為f(z)的孤營立奇驗(yàn)點(diǎn)；江若在z0的無勾論多壘小的郊鄰域槽內(nèi)總質(zhì)可以然找到z0以外菜的不占可導(dǎo)夕點(diǎn)，欠則稱z0為f(z)的非瞎孤立業(yè)奇點(diǎn)桑。舉例孤立奇點(diǎn)的例子非孤立奇點(diǎn)的例子復(fù)變浩函數(shù)首與積醋分變舊換》孤立他奇點(diǎn)飲的La營ur鑄en憑t級(jí)數(shù)感展開在區(qū)域0<|z-z0|<R內(nèi)的夢(mèng)單值剪解析負(fù)函數(shù)f(z)可展偉開成其中正冪部分是該級(jí)數(shù)的解析部分是該級(jí)數(shù)的主要部分負(fù)冪部分這里a-1具有毒特殊芒的作降用，章被稱垃為f(z)在點(diǎn)z=z0處的逃留數(shù)復(fù)變?nèi)夂瘮?shù)珠與積踩分變念換》孤立魯奇點(diǎn)痰的分籌類可去半奇點(diǎn)墨：主醒要