2022年安徽省合肥市解放軍炮兵學院附屬中學高三數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中，a，b，c分別為A，B，C所對的邊，且（a+c）（a﹣c）=b（b+c），則角A=（）A．45° B．60° C．90° D．120°參考答案：A【考點】余弦定理．

【專題】解三角形．【分析】直接利用余弦定理求解即可．【解答】解：在△ABC中，a，b，c分別為A，B，C所對的邊，且（a+c）（a﹣c）=b（b+c），可得a2﹣c2=b2+bc，cosA==﹣．A=120°．故選：A．【點評】本題考查余弦定理的應用，考查計算能力．2.函數，的定義域為

A．

B．

C．

D．參考答案：B3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點，則異面直線AE與CD所成角的正切值為A． B． C． D．參考答案：C在正方體中，，所以異面直線AE與CD所成角為，設正方體邊長為，則由E為棱的中點，可得，所以則.故選C.

4.若α∈（0，），且sin2α+cos2α=，則tanα的值等于(

)A． B． C． D．參考答案：D【考點】同角三角函數間的基本關系；二倍角的余弦．【專題】三角函數的求值．【分析】把已知的等式中的cos2α，利用同角三角函數間的基本關系化簡后，得到關于sinα的方程，根據α的度數，求出方程的解即可得到sinα的值，然后利用特殊角的三角函數值，由α的范圍即可得到α的度數，利用α的度數求出tanα即可．【解答】解：由cos2α=1﹣2sin2α，得到sin2α+cos2α=1﹣sin2α=，則sin2α=，又α∈（0，），所以sinα=，則α=，所以tanα=tan=．故選D【點評】此題考查學生靈活運用二倍角的余弦函數公式及同角三角函數間的基本關系化簡求值，是一道基礎題．學生做題時應注意角度的范圍．5.若x，y，z是正數，且，，，則n的值是A.3 B.4 C.5 D.6參考答案：B【分析】令，可得到關于的關系式，代入進行化簡，并利用基本不等式即可得到的取值范圍，求出的值。【詳解】令，得，，，則，得，所以，注意到，即，且，所以，設，則.所以.故選B.【點睛】本題考查指數與對數的互化，對數的基本運算法則，以及基本不等式的應用，考查學生轉化的能力，屬于中檔題。6.若函數是定義在上的偶函數，則該函數的最大值為A．5B．4C．3D．2參考答案：A7.已知集合，在區間上任取一實數，則“”的概率為

(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：D略8.下列四個命題中，正確的是（

）A．已知服從正態分布，且，則B．已知命題;命題．則命題“”是假命題C．設回歸直線方程為，當變量增加一個單位時，平均增加2個單位D．已知直線,，則的充要條件是=-3

參考答案：B9.已知四棱錐的所有頂點在同一球面上,底面是正方形且球心在此平面內,當四棱錐體積取得最大值時,其面積等于,則球的體積等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D試題分析：當四棱錐體積取得最大值時,，因此,球的體積等于,選D.考點：球體積【方法點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找幾何體中元素間的關系，或只畫內切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關系，列方程(組)求解.10.已知=（5，－3），C（－1，3），=2，則點D坐標

（）

A．（11，9）

B．（4，0）

C．（9，3）

D．（9，-3）參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（幾何證明選講選做題）如圖,在中,斜邊,直角邊,如果以C為圓心的圓與AB相切于,則的半徑長為____▲___.參考答案：略12.等差數列的公差為2，若成等比數列，則的前n項和=___________.參考答案：13.已知實數x、y滿足，則z=2x+y的最小值是．參考答案：﹣2【考點】簡單線性規劃．【分析】由線性約束條件畫出可行域，根據角點法，求出目標函數的最小值．【解答】解：作出不等式組表示的平面區域，如圖所示由可得C（1，﹣1），此時z=1由可得B（1，5），此時z=7由可得A（﹣2，2），此時z=﹣2∴z=2x+y的最小值為﹣2故答案為：﹣214.已知，復數且（為虛數單位），則

，

．參考答案：15.已知定義在上的函數對任意實數均有，且在區間上有表達式，則函數在區間上的表達式為

參考答案：【知識點】函數解析式的求解及常用方法．B1【答案解析】f（x）=﹣4（x+2）（x+4）．

解析：設x∈[﹣3，﹣2]，則x+4∈[1，2]，由f（x+2）=﹣f（x），得f（x）=﹣2f（x+2）=﹣2[﹣2f（x+4）]=4f（x+4），因為f（x）在區間[0，2]上有表達式f（x）=﹣x2+2x，所以f（x）=4f（x+4）=4[﹣（x+4）2+2（x+4）]=﹣4（x+2）（x+4）．故答案為：f（x）=﹣4（x+2）（x+4）．【思路點撥】設x∈[﹣3，﹣2]，則x+4∈[1，2]，由f（x+2）=﹣f（x），可得f（x）=4f（x+4），由f（x）在區間[0，2]上的表達式f（x）=﹣x2+2x，可求f（x+4），從而解出答案．16.在等比數列中,若公比,且前3項之和等于21,則該數列的通項公式

．

參考答案：

17.直角的兩條直角邊長分別為3,4，若將該三角形繞著斜邊旋轉一周所得的幾何體的體積是,則

參考答案： 三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f(x)＝lnx－mx（mR）．（1）若曲線y＝f(x)過點P(1，－1)，求曲線y＝f(x)在點P處的切線方程；（2）求函數f(x)在區間[1，e]上的最大值；（3）若函數f(x)有兩個不同的零點x1，x2，求證：x1x2＞e2．參考答案：

函數的最小值大于零，即可得證．（3）不妨設．因為，所以，19.已知函數的圖像在處的切線與直線平行.（I）求函數的極值；（II）若，求實數m的取值范圍.參考答案：(1)f(x)=ax+1?xlnx的導數為f′(x)=a?1?lnx，可得f(x)的圖象在A(1,f(1))處的切線斜率為a?1，由切線與直線x?y=0平行，可得a?1=1，即a=2,f(x)=2x+1?xlnx，f′(x)=1?lnx，由f′(x)>0,可得0<x<e,由f′(x)<0，可得x>e，則f(x)在(0,e)遞增,在(e,+∞)遞減，可得f(x)在x=e處取得極大值，且為e+1，無極小值；(2)可設,若?∈(0,+∞)，由,可得，即有恒成立，設在(0,+∞)為增函數，即有g′(x)=1?lnx?2mx0對x>0恒成立，可得在x>0恒成立，由的導數為得：當h′(x)=0,可得，h(x)在(0,)遞減,在(,+∞)遞增，即有h(x)在x=處取得極小值,且為最小值可得，解得；故實數m的取值范圍是20.已知點F是拋物線:的焦點，點到F的距離為2.（Ⅰ）求拋物線方程；（Ⅱ）設直線AB與曲線相交于A,B兩點，若AB的中垂線與y軸的交點為，求b的值.（Ⅲ）拋物線上是否存在異于點、的點，使得經過、、三點的圓和拋物線在點處有相同的

切線.若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.參考答案：解：（Ⅰ）準線：，依拋物線定義可知，，所以拋物線為----3分（Ⅱ）由，所以的中點為，所以AB的中垂線為依題意可知在垂線上，所以----------------------------------7分(2)由（Ⅱ）,假設拋物線上存在異于點、的點，滿足題意令圓的圓心為，則由得得，（或者用中垂線交點求出圓心坐標）------10分因為拋物線在點處的切線斜率，--------------------------11分又該切線與垂直，所以所以因為，所以.故存在點且坐標為.--------------------------------------13分略21.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（1）求證：AA1⊥平面ABC；（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；（3）證明：在線段BC1存在點D，使得AD⊥A1B，并求的值．參考答案：（1）是正方形，。又，。（2），。分別以為建立如圖所示的空間直線坐標系。則，，，，設平面的法向量為，平面的法向量，，，。可得可取。。由圖可知二面