2022-2023學(xué)年遼寧省鞍山市第六高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.把邊長(zhǎng)為的正方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)AC折成直二面角,折成直二面角后,在A,B,C,D四點(diǎn)所在的球面上,B與D兩點(diǎn)之間的球面距離為(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：答案：C解析：把邊長(zhǎng)為的正方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)AC折成直二面角,折成直二面角后,在A,B,C,D四點(diǎn)所在的球面上,球的半徑為1，B與D兩點(diǎn)恰好是兩條垂直的半徑的端點(diǎn)，它們之間的球面距離為個(gè)大圓周長(zhǎng)，即，選C。2.已知偶函數(shù)滿(mǎn)足，且時(shí)，則方程根的個(gè)數(shù)是A.2B.3

C.4

D.多于4

參考答案：C略3.函數(shù)y=e|lnx|﹣|x﹣1|的圖象大致是（）

A

B

C

D參考答案：Dy=e|lnx|-|x-1|=當(dāng)x≥1時(shí),y=1,排除C,當(dāng)x=時(shí),y=,排除A,B,故選D.

4.已知?jiǎng)t等于（A）7 （B） （C） （D）參考答案：B5.已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則為

A

B

1

C

2

D

3參考答案：答案:D6.規(guī)定：對(duì)任意的各位數(shù)字不全相同的三位數(shù)，若將各位數(shù)字按照從大到小、從左到右的順序排列得到的三位數(shù)，稱(chēng)為原三位數(shù)的“和諧數(shù)”；若將各位數(shù)字按照從小到大、從左到右的順序排列得到的三位數(shù)，稱(chēng)為原三位數(shù)的“新時(shí)代數(shù)”．如圖，若輸入的=891，則輸出的為（

）A．2

B．3

C．4

D．5參考答案：C7.參考答案：C8.如圖，二面角中，，射線(xiàn)PA，PB分別在平面，內(nèi)，點(diǎn)A在平面內(nèi)的射影恰好是點(diǎn)B，設(shè)二面角、PA與平面所成角、PB與平面所成角的大小分別為，則（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】由題意畫(huà)出圖形，分別找出二面角及線(xiàn)面角，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性及平面的斜線(xiàn)與平面內(nèi)所有直線(xiàn)所成角中的最小角是線(xiàn)面角進(jìn)行大小比較．【詳解】解：當(dāng)PA⊥l，PB⊥l時(shí)，δ＝φ＝θ；當(dāng)PA，PB與l均不垂直時(shí)，如圖：由已知AB⊥β，可得AB⊥l，過(guò)A作AO⊥l，連接OB，則OB⊥l，可得∠AOB為δ，∠APB＝φ，在平面AOB內(nèi)，過(guò)B作BI⊥AO，則BI⊥α，連接PI，則∠BPI＝θ，在Rt△ABO與Rt△ABP中，可得tanδ，tanφ，由AB＝AB，PB＞OB，可得tanδ＞tanφ，則δ＞φ；PB為平面α的一條斜線(xiàn)，PB與α內(nèi)所有直線(xiàn)所成角的最小角為θ，即φ＞θ．∴δ＞φ＞θ．綜上，δ≥φ≥θ．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面角，面面角及其求法，明確平面的斜線(xiàn)與平面內(nèi)所有直線(xiàn)所成角中的最小角是線(xiàn)面角是關(guān)鍵，是中檔題．9.直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切于點(diǎn)A（1，3），則2a+b的值為（

）A.2 B.-1 C.1 D.-2參考答案：B略10.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足：則a20=（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)單調(diào)函數(shù)的定義域?yàn)镈，值域?yàn)锳，如果單調(diào)函數(shù)使得函數(shù)的值域也是A，則稱(chēng)函數(shù)是函數(shù)的一個(gè)“保值域函數(shù)”．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，函數(shù)與互為反函數(shù)，且是的一個(gè)“保值域函數(shù)”，是的一個(gè)“保值域函數(shù)”，則__________．參考答案：1【分析】根據(jù)反函數(shù)性質(zhì)以及“保值域函數(shù)”定義可得的值域等于的定義域，再根據(jù)對(duì)應(yīng)區(qū)間單調(diào)性分類(lèi)討論值域取法，最后根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系確定a,b，解得結(jié)果.【詳解】根據(jù)“保值域函數(shù)”的定義可知；如果函數(shù)是函數(shù)的一個(gè)“保值域函數(shù)”，那么的值域就等于的定義域．所以，的值域等于的定義域；的值域等于的定義域．因?yàn)楹瘮?shù)與互為反函數(shù)，所以的定義域等于的值域．因此的值域等于的定義域．函數(shù)，所以在是單調(diào)遞減，在是單調(diào)遞增．（1）當(dāng)時(shí)，，消元得到，解得，舍去；（2）當(dāng)時(shí)，，整理可得，解得，故【點(diǎn)睛】本題屬于定義題，有點(diǎn)難．需要在審題過(guò)程中把題干上給的定義讀懂，理解透徹，靈活運(yùn)用，對(duì)學(xué)生能力要求高．本題需要注意兩點(diǎn)：（1）復(fù)合函數(shù)中內(nèi)涵數(shù)的值域等于外函數(shù)的定義域，所以能夠得出的值域就等于的定義域；（2）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)，一個(gè)函數(shù)定義域等域另一個(gè)的值域，這個(gè)性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．本題易錯(cuò)的是遺忘了定義中對(duì)函數(shù)單調(diào)的要求．12.如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為6cm，該紙片上的正方形ABCD的中心為O、E、F、G、H，為圓O上的點(diǎn)，分別是以AB、BC、CD、DA為底邊的等腰三角形.沿虛線(xiàn)剪開(kāi)后，分別以AB、BC、CD、DA為折痕折起，使得E、F、G、H重合，得到一個(gè)四棱錐.當(dāng)該四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍時(shí)，該四棱錐的外接球的體積為_(kāi)_________．參考答案：如圖，連結(jié)交于點(diǎn)，設(shè)重合于點(diǎn)，正方形的邊長(zhǎng)為，則該四棱錐的側(cè)面積是底面積的倍，，解得，設(shè)該四棱錐的外接球的球心為，半徑為，則，，，解得，外接球的體積，故答案為.13.已知集合，集合，若，則實(shí)數(shù)m=

．參考答案：1由題意得,驗(yàn)證滿(mǎn)足

點(diǎn)睛：(1)認(rèn)清元素的屬性，解決集合問(wèn)題時(shí)，認(rèn)清集合中元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)和化簡(jiǎn)集合是正確求解的兩個(gè)先決條件.

(2)注意元素的互異性.在解決含參數(shù)的集合問(wèn)題時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合中元素的互異性，否則很可能會(huì)因?yàn)椴粷M(mǎn)足“互異性”而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.

(3)防范空集.在解決有關(guān)等集合問(wèn)題時(shí)，往往忽略空集的情況，一定先考慮是否成立，以防漏解.

14.歐陽(yáng)修《賣(mài)油翁》中寫(xiě)到：（翁）乃取一葫蘆置于地，以錢(qián)覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢(qián)孔入，而錢(qián)不濕．可見(jiàn)“行行出狀元”，賣(mài)油翁的技藝讓人嘆為觀(guān)止．若銅錢(qián)是直徑為4cm的圓面，中間有邊長(zhǎng)為1cm的正方形孔，若隨機(jī)向銅錢(qián)上滴一滴油（油滴不出邊界），則油滴整體（油滴是直徑為0.2cm的球）正好落入孔中的概率是

.(不作近似計(jì)算)參考答案：略15.斜率為2的直線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)且與雙曲線(xiàn)的左右兩支分別相交，則雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍___．參考答案：16.在極坐標(biāo)系中，圓C的方程為ρ=2，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），則圓心C到直線(xiàn)l距離為

．參考答案：考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程．專(zhuān)題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程．分析：首先把圓的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程，進(jìn)一步轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)形式，再把直線(xiàn)的參數(shù)方程轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程，最后利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出結(jié)果．解答： 解：圓C的方程為ρ=2，轉(zhuǎn)化為：ρ=2sinθ+2cosθ，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為：x2+y2=2x+2y，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式為：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2所以：該曲線(xiàn)是以（1，1）為圓心，為半徑的圓．直線(xiàn)l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為：2x﹣y+1=0．所以：圓心到直線(xiàn)的距離為：d=．故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，點(diǎn)到直線(xiàn)間的距離公式的應(yīng)用．主要考查學(xué)生的應(yīng)用能力．17.

；參考答案：答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為

。參考答案：100819.(本小題滿(mǎn)分13分)在醫(yī)學(xué)生物學(xué)試驗(yàn)中，經(jīng)常以果蠅作為試驗(yàn)對(duì)象.一個(gè)關(guān)有6只果蠅的籠子里，不慎混入了兩只蒼蠅（此時(shí)籠內(nèi)共有8只蠅子：6只果蠅和2只蒼蠅），只好把籠子打開(kāi)一個(gè)小孔，讓蠅子一只一只地往外飛，直到兩只蒼蠅都飛出，再關(guān)閉小孔.

(Ⅰ)求籠內(nèi)恰好剩下1只果蠅的概率；（Ⅱ）求籠內(nèi)至少剩下5只果蠅的概率.參考答案：本小題主要考查排列、組合知識(shí)與等可能事件、互斥事件概率的計(jì)算，運(yùn)用概率知識(shí)分析問(wèn)題及解決實(shí)際問(wèn)題的能力．本小題滿(mǎn)分13分．解析：以表示恰剩下只果蠅的事件．以表示至少剩下只果蠅的事件．可以有多種不同的計(jì)算的方法．方法1（組合模式）：當(dāng)事件發(fā)生時(shí)，第只飛出的蠅子是蒼蠅，且在前只飛出的蠅子中有1只是蒼蠅，所以．方法2（排列模式）：當(dāng)事件發(fā)生時(shí)，共飛走只蠅子，其中第只飛出的蠅子是蒼蠅，哪一只？有兩種不同可能．在前只飛出的蠅子中有只是果蠅，有種不同的選擇可能，還需考慮這只蠅子的排列順序．所以．由上式立得；．20.已知函數(shù)（a是常數(shù)），（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．參考答案：（1）見(jiàn)解析；（2）或．（1）根據(jù)題意可得，當(dāng)a＝0時(shí)，，函數(shù)在上是單調(diào)遞增的，在上是單調(diào)遞減的．···········································1分當(dāng)a≠0時(shí)，，因?yàn)椋?，令，解得x＝0或．·····························3分①當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)在，上有，即，函數(shù)單調(diào)遞減；函數(shù)在上有，即，函數(shù)單調(diào)遞增；························4分②當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)在，上有，即，函數(shù)單調(diào)遞增；函數(shù)在上有，即，函數(shù)單調(diào)遞減；························5分綜上所述，當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，遞減區(qū)間為；當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，遞增區(qū)間為；當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；·······6分（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)在（0，16）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)；而的兩個(gè)零點(diǎn)為x＝0，，所以，解得①；···············8分又由（1）可知：時(shí)，，是增函數(shù)，時(shí)，，是減函數(shù)，∴在上；令，解得②；······································10分又，即，解得③；······················11分由①②③組成不等式組，解得；∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是．·······································12分21.（本小題滿(mǎn)分12分）如圖所示，直三棱柱ABC-A′B′C′的側(cè)棱長(zhǎng)為4，AB⊥BC，且AB＝BC＝4，點(diǎn)D，E分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AD＝BE.（Ⅰ）求證：無(wú)論D在何處，總有B′C⊥C′D；（Ⅱ）當(dāng)三棱錐B-DB′E的體積取最大值時(shí)，求二面角D-B′E-A′的余弦值．

參考答案：根據(jù)題意，以B為原點(diǎn)，以BC，BA，BB′所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則B(0，0，0)，A(0，4，0)，A′(0，4，4)，C(4，0，0)，C′(4，0，4)，B′(0，0，4)．(1)證明：設(shè)D(0，a，0)，則E(4－a，0，0)，得＝(4，0，－4)，＝(－4，a，－4)，故·＝0，有⊥，即總有B′C⊥C′D.

………4分(2)當(dāng)且僅當(dāng)a＝2時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)D(0，2，0)，E(2，0，0)

………6分則,設(shè)面DB′E的法向量為,由可取同理可得面A′B′E的一個(gè)法向量

………10分由易得二面角D-B′E-A′的余弦值為。

………12分

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，圓的圓心為C2．（1）說(shuō)明C1是哪一種曲線(xiàn)，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；（2）過(guò)原點(diǎn)且與直線(xiàn)（t為參