數學分析第一學期期末考試試題

考試科目：數學分析年級：

適用專業：數學與應用數學信息與計算科學統計學

考試時間：120分鐘考試方式：閉卷試卷類別：A試題滿分：100分

考生注意：答案全部寫在答題紙上，寫清題號，不必抄題.

一.判斷題(正確的劃《錯誤的劃x,每小題2分，共20分).

1.若數列｛端收斂，則｛凡｝必為有界數列.

2.無窮小量與一個有界變量的乘積仍是一個無窮小量.

3.若單調數列｛%｝中有一個子列｛%｝收斂，則數列｛6｝收斂.

4.若〃=1,2,…，且limx“=a,limy?=b,則必有

〃一>8n—

5.若/(x)在x=0點可導，則|/(刈在x=0點也可導.

6.若/(x)在/點連續，g(x)在/點不連續，則/(x)g(x)在5點一定不連續.

7.設/(%)在［。,刃上可導，若/(九)在切上嚴格單調增加，則在［Q,川上

必有"x)〉0.

8.若/(x)在x=x()取的最大值，則/'(x)=0.

9.若/(x)在X上一致連續，則/a)在X上必定一致連續.

10.若/(x)為可導的偶函數，則/'(X)必為奇函數.

二.敘述定義并用定義證明(每題9分，共18分)

丫2_S

1.敘述lim/(x)=A的定義，并用定義證明lim=^=l.

X->00\7XfCOk_|_j

2.敘述函數/(x)在X上一致連續的定義，并用定義證明/(x)=正在

(-00,+00)上一致連續.

三.計算下列各題(每題4分，共24分)

11

+???+2.lim

XTO7sin2x

sin4x

3.設y=(x2+2x+3)e，，求y(")；4.lim

A->0Vx+T-i

x=〃(r—sinr)，求宗;

5.設4

y=ti(l-cosr)

'g(x)

6.設“x)=丁，x*°，且已知g@=g'(O)=O，g"(O)=4,試求r(O).

0,x=0

四.按要求解答下列各題(1-4每題8分，第5題6分，共38分)

1.設an+i-y]2+an,〃=1,2,…，證明:｛4“｝的極限存在并求其值.

2.設函數/(x)在天點可導，且在5點的某一鄰域內，/(%)為/(X)的最大

值，則_f(Xo)=O.

3.敘述閉區間上連續函數的有界性定理，并用有限覆蓋定理證明.

4.按函數作圖步驟，作函數/(x)=x-2arctanx的圖像.

5.若函數/(%)滿足：f[[a,b]^^[a,b],對Vx,ye[a,b],有

\f(x)-f(y)\<q\x-y\,其中0<q<l是常數,對V/.a,》],令x,+|=/(x“),

〃=0,1,2,…，則上｝收斂，且x*=%x“滿足/(x*)=x*,且有誤差估計式：

|x?-x*|<p—|X]-x0|,〃=1,2,….

《數學分析》(A)試題參考答案及評分標準

一.判斷題(正確的劃4,錯誤的劃X,每小題2分，共20分)

1.V；2.4；3.4；4.x；5.x；6.x；7.x；8.x；

9.x；10.(

二.敘述定義并證明(每題9分，共18分)

1.(l)lim/(x)=AoW￡>0,3X>0,當忖〉X時，有|/(》)一川<￡.

22

(2)證明：Vf>0,由于Y-工51==6J〈二6，所以要r使-5—1<￡,只

x+1x+\xx+1

須提<￡,即同>杉，取X=j|，則當|x|>X時，有9|一1<￡,所以

X2-5

lim

XT8x2+l

2.(l)/(x)在X上一致連續:V￡＞0,第＞0,Vxpx2eX,只要|當一司＜5,

就有|/(斗)-/(々)|<￡?

(2)證明：Vf>0,由于VX],9e(-oo,+oo)有-雙■卜加,所以取

5=/,則當上一馬上^，就有|聲一所以/(%)=也在(-00,4-00)上

一致連續.

三.計算下列各題(每題4分，共24分)

3.y(")=[/+(2+2M)X+〃2+〃+3]/;

.sin4x0

4.hmi....-=8;

3。Jx+1-1

5.

dx242

Ar，/c,「g(x)1-g'(x)1g'(x)-g'⑼1”小o

6./(0)=hm—i4-2-=lim—^-=—hrm——----^~=—g(0)=2.

2v7

\)10x…2x2-。x-02

四.按要求解答下列各題(1-4每題8分，第5題6分，共38分)

1.證明：(1)先利用數學歸納法證明｛《,｝有上界血+1;

(2)由an+l-an-J2+%-J2+a,—=〃"j'；以及

%-可知｛凡｝單調上升，因而由單調有界定理知｛a“｝的

V2+V2+V2

極限存在，設limq,=a,在a“+i=j2+a”兩邊取極限得a=Jc+a,解得”上^

"T8Y2

(舍去負值)得a=2,所以lim%=2.

〃T8

2.證明：f：(x0)=lim.x)T(Xo)wo,廣(%)=lim“力」)酒

+V07

-+ox—而\f-ox-x0

又/(x)在天點可導，所以((%)=￡(/)=￡'(%)，因而有/'(x°)=0.

3.(1)有界性定理:若函數/(x)在閉區間[a,可上連續，則“X)在[a,可上

有界.(2分)

(2)證明：由連續函數的局部有界性，對每一點xb[a,b],都存在鄰域

。(》',',)及正數”「使得

|/(x)|<MA,,xeU(￡,%)n[a,b]，

考慮開區間集

H=\u(f,3X.)|x'e[a,可｝,

顯然“是[a,可的一個無限開覆蓋.由有限覆蓋定理，存在H的一個有限子集

H*=｛(7(4@)卜w[a,b],i=l,2,…%｝

覆蓋了[a,句，且存在正數根,此，…,風，使得對一切可有

|/(x)|<M.t,i=l,2,…,k,令”=嚶,叫.，則對任何xe[a,b],x必屬于某

因而|/(x)歸即“X)在[a,可上有界.(6分)

4.解：(1)定義域{x|xe/?}

(2)函數f(x)=x-2arctanx在(-*+8)上是奇函數。

(3)曲線與坐標軸的交點為(0,0)。

(4)/。)=無/令(3=0,得》=±1。

4Y

(5)/〃(x)=―令/"(x)=0,得x=0

(1+巧一

(6)漸近線y=x+4,y-x-7i

(7)列表

X-101

(T，。)(0,1)。,+8)

——

/'(X)++

——

/F)0++

“X)凹增極大值點凹減拐凸減極小值點凸增

點

極大值=1,極小值/⑴=1-拐點(0,0)。

5.證明：(1)先證明｛x"｝為Cauchy歹！因而｛x“｝收斂，設limx,,=x*。

(上+1-％歸/歸一與|,卜,『-x?|<《一上一X。|)

q

(2)易知函數/(x)在［a,可上連續，在x“+1=/(x“)兩邊取極限得/(x*)=x*。

(3)在k.+p-乙歸廣力西一引兩邊令pf+oo可得

q"

|…歸|X1-x0|,〃=1,2,….

i—q

數學科學學院2004-2005學年第二學期期末考試試題

考試科目：數學分析年級：04適用專業：數學與應用數學，信息，概率

時間：120分鐘考試方式：閉卷試卷類別：A卷試題滿分：100分

注意：答案全部寫在答題紙上，寫清題號，不必抄題。

敘述（每題3分共12分）

1.函數列｛/“（x）｝在數集X上非一致有界

00

2.級數在數集X上一致收斂的Cauchy原理

?=1

3.微積分學基本定理

4,積分第?中值定理

二.計算（每題6分共30分）

1.^x2e2xdx

2.J\nxdx

nnn

3.--------1-...-------)

lim(22222

“TOOn~+1n+2n+n

X2

4.lim

2

XTO

e"dt

.求級數Zoo（-1）"（的和

5

〃=】

三.討論斂散性（每題7分共28分）

1.討論級數大的絕對收斂性與條件收斂性

?=|?

2.設S.(x)=〃:,(〃=1,2,…),討論｛S“(x)｝在［0,1］上的一致收斂性

1+〃X

3.設%20,且數列｛〃可｝有界，判斷級數僅＞1）的斂散性

n=l

J,1

4.判斷級數的斂散性

?=2nln'n

四.證明（1,2,3題每題8分，4題6分共30分）

1.設函數列｛/“(x)｝滿足

(1)/“(x)eC［a,b］,〃=

⑵｛￡,(x)｝在［a,可上一致收斂于/(x)

則limf力(x)dx=f/(xMx

W—>00

2.若/(x)在［a,匕］上連續，［/2(x"x=0,證明：f^x)=0,xe［a,b］

3.設/(x)為連續正值函數，證明當x20時，函數

*3=

是單調遞增的

4.設/(%)在［0,+8)上單調，lim/G)存在，如果導數r(x)在［。,+句上連續，那么積

Xf+00

分「/'(x)sin2xdx收斂

數學科學學院2004-2005學年第二學期期末考試試題

考試科目：數學分析年級：04適用專業：數學與應用數學

時間：120分鐘考試方式：閉卷試卷類別：B卷試題滿分：100分

注意：答案全部寫在答題紙上，寫清題號，不必抄題。

敘述（每題3分共12分）

1.函數列｛/,（X）｝在數集X上一致有界

8

2.級數一致收斂的Cauchy原理

W=1

3.微積分學基本定理

4,積分第一中值定理

四.計算(每題6分共30分)

1.^x2exdx

2.L\nxdx

nnn

3.----------------------1-...)

lim(222222

“TOOn+1n+2------n+n

2

X

4.lim

XTOfe-'dt

?tos.v

(T)"

5.求級數Z的和S

n=\An

五.討論斂散性（每題7分共28分）

設數列有界，討論級數，的斂散性.

1.

\3/〃=i

2.討論級數方史的絕對收斂性與條件收斂性

3.設5?(x)="：,(〃=1,2,--?),討論｛S.(x)｝在［0,1］上的一致收斂性

\+n~x~

4.討論無窮積分的收斂性

四.證明（1,2,3題每題8分，4題6分共30分）

1.設函數列｛/“（X）｝滿足

(1)fn(x)eC[a,b],〃=1,2,…；

⑵{,(X)}在句上一致收斂于/(x)

〃一>8

2.設/(x)ec[a,b],且非負，若3x0e[a,b],使/(玉))>0，則f/(x>/x>0

3.設/(x)為連續正值函數，證明當x20時，函數

9(x)=

是單調遞增的

4.設/(X)和g(x)在[a,可上都可積,證明不等式

[ff(x)g(x)dxfg2(力對

04-05學年第二學期04級《數學分析》A卷解答

六.敘述(每題3分共12分)

1.>0,3x0GX,n0G有卜Af。

2.\/e>0,3N,當〃〉N時，對Wp￡,VxGX,有

■+i(x)+~+〃“+°(x)|<￡

3.設/(x)eC［a,可，/(x)是/(x)在［a,目上的一個原函數，則成立

f〃》協=/(6)—歹(a)

4.設/(x)和g(x)都在［〃,目可積，g(x)在［a,句上不變號，貝IJ存在〃使得

f/(x)g(x)dx=〃[g(xg,

其中相和〃分別表示“X)在［a,目的下確界和上確界

七.計算(每題6分共30分)

1.解：^x2e2xdx

^2x

匕、dx—----\x€^xdx

2」......................3分

......................6分

2.解：

代2g2

￡lnAzZx=(xlnx)lf2-￡xd\nx3分

=2e2-e-Px--dx=2e2-e-xV^=e2.

J?x

.....................6分

3.解：

一/〃nn.

hm(;rjr+“2-2+.?+”2；)

8n+1n4-2n+n

、

J_]1111

lim4-------+---—----

n-?ao~n\~P-n?22nn2

1+1+—

n—n

3分

71

arctgxul^—

6分

X2

4.lim

x->0廠dt

2

x

=lim-------；-------lim3分

XTOrsin-x2

.r->0(華百刀

-Iedt-Ue2dt

1.2x

=lim———------------------=-16分

"f°—e~Sinx-2sinxcosx

5.解：令〃x)=f(—1)工x2n,由某級數的性質知當xw(—1,1)時,

a2n

f(x)=Z(T)x,2n-l_.X

2

M=11+x

3分

因為

/(x)=_/■⑼+['/")小=1*力ln(l+x2

2v)

所以S=lirq,/(x)=-；ln2..........................................

6分

八.討論斂散性(每題7分共28分)

1.解：考察級數之I土I.因為

"=1?

limJl—I=lim=1x1,

〃T8Yn〃T8Hjn

所以當lxl<l時，￡《絕對收斂;

“=1n

........................3分

當lxl>l時，由Cauchy判別法知，發散，故之二也發散；

?=|n,,=］n

........................5分

而當X=1時，級數為￡上，它是發散的；當x=-l時，級數為￡匚」-,它是條件

?=1"?=In

收斂的.

........................7分

2.解：令S（x）=O,易知，Vxe［O,l］,有

limS?（x）=S（x）........................2分

取￡o='，對VN,取〃o>N及/=-5-,有

3兒、

阮（/）—S（Xo）|=；>g........................6分

因此｛S.（x）｝在［0,1］上不一致收斂........................7分

3.解：因為｛〃b,｝有界，所以三”>0,使得（〃%,J卜M。

........................2分

........................5分

I61產

而當P>已時，2匕收斂，故X。「絕對收斂，從而收斂。

1

3n=］幾n=l

........................7分

4.解：取〃x）=—則在［2,+8）上，/（X）單調減少，/（x）>0,且

QO1

n=.....................3分

E/（）E2

〃=2n=2nlnn

11

由于]/（x“x=------1----........................6分

InAIn2

故「/（X.X收斂7分

四.證明(1,2,3題每題8分，4題6分共30分)

1.證明：由條件(1)(2)知〃x)eC[a,可，從而/(x)eK[出句.

.....................1分

對Ve>0,由條件(2)存在N,當〃〉N時，對Vxe[a,b],有

|/“(力一/(%)|<七.........................4分

U-U

因此，當〃〉1^[時，有

|￡/?(x)Jx-￡/(x>/x|<￡|/?(x)-/(X)px<￡.(6—a)=￡

即lim(8區=f/(^.....................8分

n—>00

2.若/'(x)在[a,“上連續，[/2(x)t/x=0,證明：f(x)=0,xe[a,b]

證明：因為/(x)wC[a,",K3x06\a,b],使/(而)>0,所以存在可使得

/(x)>0,xe[a,例.

.....................5分

又因為/(x)在[a,可非負，故f/(x)t/x>j>0

.....................8分

3.證明：若云0€卜,“，使得從而

2

/(x0)>Oo........................2分

因為f(x)eC\a,b],所以存在[a,。]u[a,可使得

/2(x)>0,xe[a,0.......................5分

又因為尸⑴在心力]非負，故，/2(x“x21/卜2>0,矛盾

.....................8分

4.證明：因為

43二句⑺門0力一/(：)1力⑴”.................3分

(1/⑺可

令。=由于/(x)為連續正值函數，所以

0(x)=/(x)1：(》一)/(3合0,.......................6分

所以“(x”0,即9(x)是單調遞增的........................8分

4.證明：不妨設/(x)在［0,+oo］上單調遞減。因為lim/G)存在，故由Cauchy收斂準則

*->+□0

知，7￡〉0日乂〉0,當4,4"〉乂時，有

\f(A')-f(A")\<￡,.......................3分

故當A',A">X時，不妨設A<4",有

|J：f'(x)sin2xdx<口夕(洲

,?，....................6分

=卜1/。建=|/(4)一/(0|<￡

04-05學年第二學期04級《數學分析》B卷解答

敘述(每題3分共12分)

2.3M>0,使對VxwX及V〃w有|f(x)歸M.

2.Vf>0,3N,當〃〉N時，對Wpe,有,“+］+—Fun+p|<￡

3.設〃x)wC［a,可，3(x)是“X)在［a,可上的一個原函數,則成立

。(沙尸尸㈤-尸⑷

4.設/(x)和g(x)都在［a,可可積，g(x)在。力］上不變號,則存在〃使得

f/(x)g(x”x=〃fg(x)c/x,

其中機和M分別表示/(x)在［a,目的下確界和上確界

二.計算(每題6分共30分)

1.解：^x2e'dx

-j.x2(e*)dx=x2ex-2^xexdx3分

^x2ex-2xex+2e'+C.....................6分

2.解:

jlnxdx=(xlnx)lf

xdinx..................3分

手-邛-"Xl『字............6分

3.解:

nnn

---------1-----------------1-------F)

1@力+12n2+22n2+n2

1

=lim—工+1

〃一?8n

1+—

n

........................3分

........................6分

4.lim

XTO

........................3分

=lim----；--------=2e,........................6分

s°"ssx.sin%

5.解：令〃尤）=￡（一1）上x2n,由箱級數的性質知當xc（—1,1）時,

n=\2〃

-X

2

〃=11+x

........................3分

因為

“x)=/(0)+*4=-3(1+/)

所以S=；li//（x）=_；ln2,.................

6分三.討論斂散性（每

題7分共28分）

1.解：因為｛〃、“｝有界，所以三〃>0,使得（Ma“<M.

2分

3

3/na

又因為卜：卜巴a;"?I/M

JPn3p

5分

181

而當P>—時，W7收斂，故2〃「絕對收斂，從而收斂?

3“=i〃""=]

7分

_oo>1

2.解：考察級數二I.因為

?=|?

xn|xl

lim4l-1=1加7=1"

nfocYn-njn

所以當Ixkl時，￡匚絕對收斂；

,1?

........................3分

當lxl>l時，由Cauchy判別法知，￡|史1發散，故之工也發散;

M=1"?：=1〃

........................5分

8]81—1）

而當X=1時，級數為2—，它是發散的：當x=—1時，級數為它是條件

n=l〃n=l"

收斂的.

3.解：令S（x）=O,易知，\/xG[0,1],有

limSn（x）=S（x）........................2分

取￡（）=1，對VN,取〃0>N及%=-5-,有

3〃。

W.（Xo）-S（Xo）|=g〉；........................6分

因此｛S“（x）｝在[0,1]上不一致收斂。..................7分

4.解：當時，0W----W——.

1+MX。

.....................2分

又當月>1時無窮積分「9r收斂，故無窮積分f收斂，

.....................5分

從而無窮積分收斂

.....................7分

四.證明(1,2,3題每題8分，4題6分共30分)

1.證明:由條件(1)(2)知/(x)eC[a,可，從而/(x)eR[a,可.

.....................1分

對V￡>0,由條件(2)存在N,當〃>N時，對Vxe[a,。],有

?......................4分

U—U

因此，當〃>?4時，有

f/(x叫wf|/“(x)—/(x)網〈六.(b-a)=￡

即11111]/"(')公=1/(》如........................8分

”->00

2.證明：因為/(x)wC[a,",且去0丹[。,“,使/&)>0,所以存在例u[a,可使

W/(x)>0,XG[?,/7]....................5分

又因為/(x)在[a,可非負，故

[2]'/(工9>0。........................8分

3.證明：

。，⑴司(力門⑴力-/⑺?⑴山..................3分

0\X)_7-3爐

(。(。力)

令°(x)=#(x)[：/(%f-/(x),由于/(X)為連續正值函數，所以

0(x)=/(x)]：(X一，)/(小壯。,.........................6分

所以“(x)NO,即e(x)是單調遞增的........................8分

4.證明：對任給實數t,有f'|y(x)+g(x)]7x20,即

t2f/(xRx+2fly('g(x”x+fg?(x>/xNO.......2分

從而左端的二次三項式的判別式A40,即

Q(X)g(X)dx)-jf2(x)jg2⑺成4(J,............4分

即

[f/(x)g(x”x4f/2(x”x)(fg2(x)dx)。..............6分

數學科學學院2005-2006學年第三學期期末考試試題

考試科目：數學分析年級：04適用專業：數學與應用數學，信息與計算科學，統計學

時間：120分鐘考試方式：閉卷試卷類別：A卷試題滿分：100分

注意：答案全部寫在答題紙上，寫清題號，不必抄題。

—.將函數/（》）=/（一萬4x4萬）展開為Fourier級數（10分）

計算（每題9分共54分）

1.求極限lim—

?98X-XV+V

y—>00',

2.設憶=arctan+=求二

dx.v=0

3.求二重積分jjsin+y2dxdy

+/44乃2

4.設函數z=z（x,y）是由方程土=lnZ確定的，求生及生

zy5xdy

5.求第二型曲線積分/=,其中L為環繞點（1,0）的簡單、可求長的閉

曲線

6.求三重積分JJJJ?+『dxdydz,其中丫是由曲面f+J?=22,z=1所界的區域

V

三.判斷反常積分關于p在上的一致收斂性（10分）

四.（第1題10分，第2題16分共26分）

1.設/（x,y）,fv（x,y）都在［a/］、上,引上連續，則/（）,）=［/（工,,中在卜,引上可微

并且在［c,旬上成立［fy（x,y）dx

2.設

,x2+y2r0

〃x,y)

,x2+y2=0

證明：（1）/（x,y）在（0,0）的鄰域中連續；

（2）/（x,y）在（0,0）的鄰域中具有有界的偏導函數力'（x,y）,

（3）/（x,y）在點（0,0）不能微分。

04級第三學期＜〈數學分析〉期末考試試題解答（A卷）

解：因為“X）是偶函數，所以2=0,------------2分

且

2

“。=2,xdx-1萬2,----------------4分

2，；

an--[Xcosnxdx-(-1)>...............-8分

n*n'

于是得到/(x)的Fourier級數為

“X)

................-........-10分

x+y

1.極限lim""22

Xfocx-孫+y

y—>oo

解：由不等式f+y222kH得

x+y/|x+y|/+y|/1,1

、、、十

x2-xy+y2---------+H-|x||y|

----------------------5分

(111x+y

而lim=0,故有lim—2=o

XTCO一8

、甲瓦x

yfooy-?oo~^y+y

----------------------9分

2.解：由鏈式規則

dzdzdzdy12e2x

———+-----------------+-----------,

dxSxBydxl+(x+y)1+(%+y)

-------------------7分

于是生

9分

dxx=o2

3.解：令

x=rsin^,

V0<6?2)，

y-rcos6,

---------------------3分

則

11sinA/X2+y2dxdy----------6分

7T文2+)，2(4點2

rsinrdr=-6兀29分

4.解：在方程2=lnZ的兩邊對x求偏導，得

zy

1Idz\dz..

--X----=-----，-------------------------3')

zzdxzdx

整理得到生=上。---------------------------5分

dxx+z

在方程2=lnZ的兩邊對y求偏導，得

zy

xdz_zdz

----------1---,-------------------------7分

zdyydy

整理得到絲=1_r----------------------9分

②y(x+z)

5.解：令

x-1

P(x,y)=，。(匕)，)=

(1)2+/(I)?+/

則絲W:J)?

------------------3分

dxdx

以（1,0）為心，以￡為半徑作圓。，：/+>2=￡2,其中￡小于原點到集合L的距離。記L

與C,所圍的區域為。。CJ表示順時針方向的圓周。

則由格林公式得

[x-\)dy-ydx,?(x-\)dy-ydx,?/dQdPVJ八

L(x—lZ'k(x-l)2+y2一虬--------dxdy=0

dxdy)

----------------6分

由此推出

a竺占2.

T(X-1)2+/—L;(x—lJ+J

h(x-l)2+y2

----------------------------9分

6.解：+y2dxdydz=jjdxdyj%-—ylx2+y2dz--------5分

Vx2+y2<l

=JJ[\lx2+y2-(x2+y2)dxdy

JT2+>,2<1------------------9分

三.解：令

心f當Z「「苧X