關于數學基礎知識第1頁，課件共56頁，創作于2023年2月第二章數學基礎知識第一節統計學基礎知識第二節微積分知識第三節線性代數知識第2頁，課件共56頁，創作于2023年2月第一節統計學基本知識一、算術平均算術平均（arithmeticmean）就是我們日常生活中使用的普通的平均數，其定義如下式：第3頁，課件共56頁，創作于2023年2月二、加權算術平均加權平均（weightedarithmeticmean）是將各數據先乘以反映其重要性的權數（w），再求平均的方法。其定義如下式：第4頁，課件共56頁，創作于2023年2月三、變化率變化率的定義如下式：第5頁，課件共56頁，創作于2023年2月四、幾何平均幾何平均（geometricmean）是n個數據連乘積的n次方根，其定義如下式：

第6頁，課件共56頁，創作于2023年2月五、移動平均所謂移動平均（moving

average），就是對時間序列數據的前后數據求平均，將不必要的變動（

循環變動、季節變動和不規則變動）平滑（smoothing），也即剔除這些變動，從而發現長期變化方向的一種方法。第7頁，課件共56頁，創作于2023年2月通常，移動平均大多用簡單的奇數項來計算，下面是3項移動平均和5項移動平均的定義。3項移動平均：

第8頁，課件共56頁，創作于2023年2月5項移動平均：

第9頁，課件共56頁，創作于2023年2月EXCEL演示?三項移動平均五項移動平均第10頁，課件共56頁，創作于2023年2月六、方差與標準差為了了解數據的結構，有必要考察數據的集中趨勢和分散的程度。對于集中的趨勢，我們從前面學習過的算術平均中已經大體有所了解，而對于分散的程度，通過對方差（variance）與標準差（standarddeviation），以及下一節將要介紹的變動系數的計算，能夠得到很多信息。第11頁，課件共56頁，創作于2023年2月方差的計算方法是，先將每個數據與算術平均數之差（即離差）的平方相加求和，再除于樣本數減一(樣本，總體不減）。而標準差是方差的正的平方根。由于方差是通過平方計算的，它與原數據的次數有所不同，而標準差由于是方差的平方根，因而又與原數據的次數相同。因此，標準差與原數據的單位相同，而方差則不附加單位。

第12頁，課件共56頁，創作于2023年2月方差S2的定義分別如下式（樣本）：

第13頁，課件共56頁，創作于2023年2月標準差S的的定義分別如下式：第14頁，課件共56頁，創作于2023年2月七、變動系數變動系數（coefficientofvariation）又稱變異系數，它用標準差S除于算術平均數的商來表示。變動系數CV的定義如下式：

第15頁，課件共56頁，創作于2023年2月八、標準化變量標準差變量（standardizedvariable）,又稱基準化變量，它是用來測量某個數據的數值與算術平均數的偏離程度，是標準差s的多少倍。借此可以看出該數據在全體數據所處的位置。標準化變量z的定義如下式：第16頁，課件共56頁，創作于2023年2月九、相關系數

所謂相關系數（correlationcoefficient）是用來測量諸如收入與消費、氣溫和啤酒的消費量、匯率與牛肉的進口價格等兩個變量X、Y之間的相互關系的大小和方向（正或負）的系數。通過計算相關系數，可以知道X與Y之間具有多大程度的線性（linear）關系。相關系數R的定義如下式：第17頁，課件共56頁，創作于2023年2月第18頁，課件共56頁，創作于2023年2月相關系數的R的取值范圍為，R的取值具有以下的不同含義：

（1）R=1完全正相關（perfectpositivecorrelation）（2）R>0正相關（positivecorrelation）（3）R=0不相關（nocorrelation）（4）R<0負相關（negativecorrelation）（5）R=-1完全負相關（perfectnegativecorrelation）為什么會有上述結果？請結合公式思考。第19頁，課件共56頁，創作于2023年2月十、概率分布隨機變量在各個可能值上出現的概率的大小的情況，叫概率分布。概率分布可用概率函數描述。離散性隨機變量X的可能取值為xi，P為概率，則概率函數為P（X=xi）i=1,2,3,…n概率函數滿足P（X=xi）≥0；第20頁，課件共56頁，創作于2023年2月十一、概率分布連續性的隨機變量概率函數第21頁，課件共56頁，創作于2023年2月十二、總體與樣本數理統計中把所研究對象的全部單位所組成的集合，叫做總體。從總體中抽出的部分單位所組成的集合，叫做樣本。單個對象叫個體。第22頁，課件共56頁，創作于2023年2月十三、正態分布當連續的隨機變量的概率密度函數形式為時，稱X的分布為正態分布,記為X～，密度函數中和是X的數學期望和方差。第23頁，課件共56頁，創作于2023年2月十三、正態分布（總體分布）當和時，稱X服從標準正態分布，記為X～。對于非標準正態分布的X，總可以作如下變換，，使Z服從標準正態分布。第24頁，課件共56頁，創作于2023年2月第25頁，課件共56頁，創作于2023年2月正態分布為何重要？身高？體重？財富？空調運行時間？…………第26頁，課件共56頁，創作于2023年2月十四、抽樣分布

1、分布2、t分布3、F分布第27頁，課件共56頁，創作于2023年2月1、分布統計量定義為

Xi符從正態分布。

xi服從標準正態分布，

服從自由度為n的卡方分布，卡方分布其實就是殘差平方和。Xi服從正態分布第28頁，課件共56頁，創作于2023年2月分布的密度函數為：其數學期望其方差為，第29頁，課件共56頁，創作于2023年2月N=4N=15第30頁，課件共56頁，創作于2023年2月如果隨機變量X服從標準正態分布N（0，1）；隨機變量Y服從自由度為n、方差為2n的分布。并且X和Y相互獨立，則統計量：服從t分布（注：可以將分子理解為符合標準正態分布的參數，分母看作其標準差。2、t分布第31頁，課件共56頁，創作于2023年2月t分布的密度函數為其數學期望E（t）=0，方差t分布的特點是：左右對稱；當n很大時，非常接近正態分布。第32頁，課件共56頁，創作于2023年2月對于從標準正態分布中的總體中抽的容量為n的簡單隨機樣本，其樣本均值與樣本標準差S構成如下統計量。服從自由度為n-1的t分布，記為t～t(n-1)。注意：這里的分母是子樣標準差除以自由度，實際上是子樣均值的標準差！只有這樣才與分子保持一致性。分子被平均了，分母當然也要平均！t分布在小樣本（n<30）統計推斷中占有重要的地位。第33頁，課件共56頁，創作于2023年2月T分布圖形：正態分布相當于標準差為1的t分布。而t分布的標準差多小于1。因而出現這種尾部肥大的現象。正態分布T分布第34頁，課件共56頁，創作于2023年2月如果隨機變量Xi(i=1,2,3,…n),Yi(i=1,2,3,…n)是相互獨立的，而且服從相同的正態分布。令3、F分布第35頁，課件共56頁，創作于2023年2月則統計量服從第一自由度、第二自由度的F分布。記為F～F(,)3、F分布注：F分布在方差分析中有著重要的作用。例如判斷兩個正態分布總體的方差是否有顯著差異，需要利用F分布。其分子與分母其實是兩個方差，在進行回歸檢驗時正是利用F函數這個特點。第36頁，課件共56頁，創作于2023年2月F分布圖形第37頁，課件共56頁，創作于2023年2月比較：正態分布T分布F分布卡方分布第38頁，課件共56頁，創作于2023年2月本班同學的身高平均是2.5米，如何證明該假設是錯的？大概率與小概率事件試驗：直接進行試驗，發生的應該是大概率事件；若小概率事件發生，假設出現錯誤。判斷：對假設進行肯定或否定。第39頁，課件共56頁，創作于2023年2月假設（假說）檢驗：原假設：即擬否定假設，用H0表示；備擇假設：擬證實假設，用H1表示。擬證本班同學平均身高2.5米.H0：M=2.5H1：M≠2.5驗證：直接找一個學生，測量其身高；判斷：假設,該生在1.9與3.1之間的概率是95%;在此之外的概率為5%。若在上述范圍內,無法推翻假設,相反可推翻.第40頁，課件共56頁，創作于2023年2月例1：正態分布檢驗設甲、乙兩臺機床生產同類型產品，其產品重量分別服從方差為70克（）與90克（）的正態分布。從甲機床中隨機地取出35件，其平均重量是137克，獨立地從乙機床隨機取出45件，其平均重量130克，問在顯著性為0.02時，兩臺機床的產品就重量而言有無顯著差異？第41頁，課件共56頁，創作于2023年2月解：理論：第42頁，課件共56頁，創作于2023年2月第43頁，課件共56頁，創作于2023年2月例2：比較兩種安眠藥A、B的療效，以10個患者為實驗對象，數據如下：問：在顯著性水平為0.02時，兩種藥的療效是否相同？（t分布）第44頁，課件共56頁，創作于2023年2月解：由于患者相同，可以建立z變量，然后假設z的均值是0，對其進行t雙尾檢驗第45頁，課件共56頁，創作于2023年2月第46頁，課件共56頁，創作于2023年2月例3（卡方分布）：設已知維尼綸纖度在正常生產條件下服從正態分布N（1.405,0.002304)。在生產某段時間，抽取了5根纖維，測得其纖度為1.32,1.55,1.36,1.4,1.44.問該段時間纖維精度是否正常？（顯著性水平是0.1，雙側檢驗，即左0.05,右0.05，陰影部分是0.95）解：第47頁，課件共56頁，創作于2023年2月9.4913.5第48頁，課件共56頁，創作于2023年2月例4（F）：甲乙兩臺機床加工同一種軸。從這兩臺機床加工的軸中隨機抽取若干根，沒得直徑（單位為毫米）為：假定各臺機床加工軸的直徑分別服從正態分布，試比較甲乙兩臺機床加工的精度有無顯著差異。顯著性取0.05,單側檢驗。第49頁，課件共56頁，創作于2023年2月解：第50頁，課件共56頁，創作于2023年2月F分布圖形第51頁，課件共56頁，創作于2023年2月思考題：試驗發現喂食轉基因大豆的10只小老鼠兩年后有7只患癌癥死亡。有人說該結果不可信，因為10只樣本太小，不具有代表性。你如何看待該結論？第52頁，課件共56頁，創作于2023年2月第二節微積分基礎知識速度與經濟學：理解導數的實踐意義；函數與導數：復習導數主要計算公式；微分與積分：了解微分與積分的概念，復習微分與積分主要公式，重點是復合函數的微分。第53頁，課件共56頁，創