復變函數第三章習題答案_第1頁
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9復變函數第三章習題答案第三章柯西定理柯西積分掌握內容：1.柯西積分定理：若函數在圍線C之內是處處解析的，則。2.柯西積分定理的推廣：若函數在圍線C之內的點不解析，則，其中是分別以為圓點，以充分小的為半徑的圓。3.若在圍線C之內存在不解析點，復變函數沿圍線積分怎么求呢？——運用柯西積分公式。柯西積分公式：若函數在圍線C之內，函數在圍線C之內是處處解析的，則4.柯西積分公式的高階求導公式：若函數在圍線C之內，函數在圍線C之內是處處解析的，則習題：1.計算積分積分路徑是直線段。解：令，則積分路徑如圖所示：在積分路徑上：，所以2.計算積分。積分路徑分別是：（1）直線段，（2）右半單位圓，（3）左半單位圓。解：（1）令，則，在積分路徑上，，所以（2）令，在積分路徑上：（3）令，在積分路徑上：5.不用計算，證明下列分之值為零，其中為單位圓。（1），（2），（3），解：（1）因為函數在單位圓所圍的區域內解析，所以。（2）因為函數在單位圓內解析，所以。（3）因為函數的不解析點不包含在單位圍線之內，所以由柯西積分定理有：6.計算，，，。解：（1）由柯西積分公式：，其中，在圍線內。，所以（2）被積函數在復平面上不是解析函數，所以不能用柯西積分定理和柯西積分公式，其積分值與積分路徑有關。根據積分路徑，令，則（3）被積變量為，根據積分路徑，令，則：（4）根據積分路徑，令，7.由積分之值，證明，其中C取單位圓。證明：因為被積函數的奇點在積分圍道外，故，現令，則在上，，比較可得：8.計算：（1）。解：。10.設表圓周，，求。解：設，它在復平面內解析，故當時，則由柯西積分公式有：所以。11.求積分從而證明：。解：由于，函數在處不解析令則故所以即13.設，利用本章例5驗證柯西積分公式以及柯西求導公式提示：把寫成。證明：設，則式的右邊為可寫為：由柯西積分定理有：所以右邊即左邊=右邊。再由式子可知當時成立。假設當時等式成立。則當時成立。所以14.求積分（1），（2），其中解：（1）被積函數有奇點，該奇點在積分圍道內，由柯西積分求導公式有：（2）先用柯西積分

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