小學數(shù)學奧數(shù)基礎教程（六年級）

本教程共30講

比較分數(shù)的大小

同學們從一開始接觸數(shù)學，就有比較數(shù)的大小問題。比較整數(shù)、小數(shù)

的大小的方法比較簡單，而比較分數(shù)的大小就不那么簡單了，因此也就產

生了多種多樣的方法。

對于兩個不同的分數(shù)，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相

同三種情況，其中前兩種情況判別大小的方法是：

分母相同的兩個分數(shù)，分子大的那個分數(shù)比較大；

分子相同的兩個分數(shù)，分母大的那個分數(shù)比較小。

第三種情況，即分子、分母都不同的兩個分數(shù)，通常是采用通分的方

法，使它們的分母相同，化為第一種情況，再比較大小。

由于要比較的分數(shù)千差萬別，所以通分的方法不一定是最簡捷的。下

面我們介紹另外幾種方法。

1.“通分子”。

當兩個已知分數(shù)的分母的最小公倍數(shù)比較大，而分子的最小公倍數(shù)比

較小時，可以把它們化成同分子的分數(shù)，再比較大小，這種方法比通分的

方法簡便。

例如，器與K，分母的最小公倍數(shù)是三位數(shù)，分子的最小公倍數(shù)是60,把

空化為包工化為把因為色〉空所以絲〉12。

1785'22化為88'口為85"88‘見"17"22

如果我們把課本里的通分稱為“通分母”，那么這里講的方法可以稱

為“通分子”。

2.化為小數(shù)。

有時把已知分數(shù)化為小數(shù)后再比較大小，比通分等方法更簡便。例如

.2與蔣13，一看就知道2彳=0.66…，^13=0.65,所以213

這種方法對任意的分數(shù)都適用，因此也叫萬能方法。但在比較大小時

是否簡便，就要看具體情況了。

3.先約分，后比較。

有時已知分數(shù)不是最簡分數(shù)，可以先約分。

例如，集與黑約分后兩個分數(shù)都等于所以它們是相等的。

4.根據倒數(shù)比較大小。

對于分數(shù)城口n,如果工<1,那么m〉n。

mn

加麗19=20m*211.120g”20、19

例如‘而與五’因為而=1而<1通=役所以3〉而。

5.若兩個真分數(shù)的分母與分子的差相等、則分母(子)大的分數(shù)較大；

若兩個假分數(shù)的分子與分母的差相等，則分母(子)小的分數(shù)較大。也就

是說，

如果a>b,k>0,那么亨〉B；

a+ka

如果a<b,k>0,那么B〉號。

aa+k

例如，1與因為9-7=13-11,所以得〉］又如，耳與粵，因

y1513yJ2)4JJ4I

嶗嚼，5-所嚼〉署

類似地,對于看與圣因為9-8=12-11,所以看〉善。

O11O11

6.借助第三個數(shù)進行比較。有以下幾種情況：

(1)對于分數(shù)m和n,若m>k,k>n,貝ljm>n。

例如，.5與7因5為1所17以.5<￡7。這里借助于1

111J1【乙乙111J乙

Din23-22H%23、2323、2223.11

又如，而與萬因為而〉亓及〉五，所以而〉示

(2)對于分數(shù)m和n,若m-k>n-k,則m>n。

218191

例如,『費募兩個分數(shù)都畤略大，于是可以借助

立=654321

吟

184184

m—=----------n—=-----------

3654321'3456789

前一個差比較小，所以m<n。

（3）對于分數(shù)m和n,若k-mVk-n,則m>n。

例如竺與3因為1-竺=_1所以竺〉竺。

W19171U19191717,191741917

這里借助于1。

注意，（2）與（3）的差別在于，（2）中借助的數(shù)k小于原來的兩

個分數(shù)m和n；（3）中借助的數(shù)k大于原來的兩個分數(shù)m和n。

（4）把兩個已知分數(shù)的分母、分子分別相加I,得到一個新分數(shù)。新

分數(shù)一定介于兩個已知分數(shù)之間，即比其中一個分數(shù)大，比另一個分數(shù)小。

例啊與于新刀數(shù)不y,3>W>7°

利用這一點，當兩個已知分數(shù)不容易比較大小，新分數(shù)與其中一個已

知分數(shù)容易比較大小時.，就可以借助于這個新分數(shù)。

例如，工與《不容易比較，新分數(shù)巖，一看就知道它等于0.55,而

11y11+y

5c“u.11^5珀*cIK6mn6-11—5mi”6,5

§=0.555…,由疝<于推知一定有麗〉五,即五〈而<§，所以五《“

比較分數(shù)大小的方法還有很多，同學們可以在學習中不斷發(fā)現(xiàn)總結，

但無論哪種方法，均來源于：“分母相同，分子大的分數(shù)大；分子相同，

分母小的分數(shù)大”這一基本方法。

練習1

1.比較下列各組分數(shù)的大小:

Q）篇1715

'）66'75⑶

69,67

乙、6616661小、117207，八103217

（）99819998；（）448,808；（）

ne*240

2.將下列各組分數(shù)用“<”連接起來:

、7667

°）19,23*19,13；

r、史A\_<7_51

‘）布'TTT，129'139°

答案與提示練習1

,「八3、4小、32、36，八17.15

1（0n>i5;■）布〉行；C）西〉藥;

小、661.6661小、117.207，八103.217

（）998<9998；（）448>808；）H6<240°

c/1、6,67.7

20）23<19<19<13；

小47-51/18/41

（2）---<---<—<—o

12913949111

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巧求分數(shù)

我們經常會遇到一些分數(shù)的分子、分母發(fā)生變化的題目，例如分子或

分母加、減某數(shù)，或分子與分母同時加、減某數(shù)，或分子、分母分別加、

減不同的數(shù)，得到一個新分數(shù)，求加、減的數(shù)，或求原來的分數(shù)。這類題

目變化很多，因此解法也不盡相同。

例1有一個分數(shù)，分子加3可約簡為分子減3可約簡為:，求這個分

63

數(shù)。

分析：2比原分數(shù)多3個分數(shù)單位，:比原分數(shù)少3個分數(shù)單位，所以

63

之與2的和正好是原分數(shù)的2倍，即原分數(shù)是與;的平均數(shù)。

6363

解：仁51）3五7

例2有一個分數(shù)，它的分母加1,可約簡為分母減1,可約簡為,。

這個分數(shù)是多少？

分析：若把這個分數(shù)的分子、分母調換位置，原題中的分母加、減1

就變成分子加、減1，這樣就可以用例1求平均數(shù)的方法求出分子、分母

調換位置后的分數(shù)，再求倒數(shù)即可。

解：*$+2=:,（的倒數(shù)是:

例3有一個分數(shù)，分子加上2可約簡為，，分子減去1可約簡為《，求這

o2

個分數(shù)。

分析與解：因為加上和減去的數(shù)不同，所以不能用求平均數(shù)的方法求

解。

g比原分數(shù)多2個分數(shù)單位，（比原分數(shù)少1個分數(shù)單位，說明:和（相差（2+

1）個分數(shù)單位，我們先求出這個分數(shù)的一個分數(shù)單位，

4-4（2+1）=卜3=焉

這個分數(shù)為-2段或9a宗

例4一個分數(shù)，它的分母加上3可約分為它的分母減去2可約分為|

,這個分數(shù)是多少？

分析與解：如果把這個分數(shù)的分子與分母調換位置，問題就變?yōu)?

一個分數(shù)，它的分子加上3可約分為《它的分子減去2可約分為看

這個分數(shù)是多少?

于是與例3類似，可以求出

7351

（5-5）+0+2）遙+5建

7111—3111

----x3=—或一■>—x2=—

36----6266

原分數(shù)=1+日=4。

011

在例1?例4中，兩次改變的都是分子，或都是分母，如果分子、分

母同時變化，那么會怎樣呢？

例用分數(shù)關29的分子減去a,分母加上a,則分數(shù)約分后變?yōu)椋?求自然

數(shù)a?

分析與解：分子減去a,分母加上a,（約分前）分子與分母之和不

變，等于29+43=72。約分后的分子與分母之和變?yōu)?+5=8,所以分子、分

母約掉

的因子是72+8=9,約分前的分數(shù)是季==。由此求出a是29-27=2或

5X945

45-43=2o

例6分數(shù)墨的分子和分母都減去同一個自然數(shù)，新的分數(shù)約分后是工，

求這個自然數(shù)。

分析與解：分數(shù)4r4的分子與分母的差是89-44=45,分子和分母都減去

同一個自然數(shù)，得到的新分數(shù)如果不約分，那么差還是45,新分數(shù)約分

后變

2

成分子與分母的差變成7-2=5,由45+5=9知，分子與分母約掉了9,

約分前為￡=所以分子、分母同時減去的數(shù)是89-63=26或

44-18=26。

例7一個分數(shù)的分子與分母之和是23,分母增加19后得到一個新分

把這個分數(shù)化為最簡分數(shù)是:，求原來的分數(shù)。

數(shù)，5

分析與解：新分數(shù)分子與分母的和是23+19=42,化為最簡分數(shù)］后，

分子與分母的和是1+5=6,是由新分數(shù)的分子、分母同時除以42+6=7得

到

的，所以新分數(shù)是繆=（,原分數(shù)是獲二=白。

5X73535-1916

例8將彥的分子加上10,要使分數(shù)的大小不變，分母應加多少？

O

分析與解：分子加10,等于分子增加了104-5=2（倍），為保持分數(shù)

的大小不變，分母也應增加相同的倍數(shù)，所以分母應加

8X2=16。

例9將樣24的分母減去10,要使一分數(shù)的大小不一變，分子應一減去多少？

分析與解：分母減去10,等于分母減少了原來的10+25=5,為保持分

在例8中，分母應加的數(shù)是

8X(10+5)=10X(8+5)=10-|

O

在例9中，分子應加的數(shù)是

24X（10+25）=10X（24+25）=10X—o

由此，我們得到解答例8、例9這類分數(shù)問題的公式：

分子應加（減）的數(shù)=分母所加（減）的數(shù)X原分數(shù)；

分母應加（減）的數(shù)=分子所加（減）的數(shù)十原分數(shù)。

例10有一個分數(shù)，它的分子加5,可以約簡為:；它的分母減2,可以約

4

簡為《求這個分數(shù)。

分析與解：這道題的分子、分母分別加、減不同的數(shù)，可以說是這類

題中最難的，我們用設未知數(shù)列方程的方法解答。

設這個分數(shù)的分子為X,由“分子加5,可以約簡為:“，得到分母為（x+5）

31

+再由"分母減2,可以約簡為之”，得到分母為2x+2。于是得到方程

3

2x+2=（x+5）——,

（2x+2）X3=（x+5）X4,

6x+6=4x+20,

2x=14,

x=7o

7

分母是2x+2=16,所求分數(shù)是n。

16

練習2

1.有一個分數(shù)，分子加1可約簡為分子減1可約簡為;，求這個分數(shù)。

2.有一個分數(shù)，分母加3可約簡為g,分母減3可約簡為（，求這個分數(shù)。

3.一個分數(shù)，分子加上2可約簡為熱分子減3去21可約簡為5，這個分數(shù)

是多少？

4一個分數(shù)，分母加上1可約簡為2：，分母減去2可約簡為4?，這個分數(shù)

是多少？

5.將分數(shù)冬的分子減去a,分母加上a,新的分數(shù)約分后等于：，求自然

/y/

數(shù)a。

6.分數(shù)2的分子、分母都加上同一個自然數(shù)，新的分數(shù)約分后等于W，求

6/16

這個自然數(shù)。

7一個分數(shù)的分母比分子大13,分子減少1后可約簡為巳求原來的分數(shù)。

8.將5的分子減去3,要使分數(shù)的大小保持不變，分母應減去多少？

9.將福的分母加上9,要使分數(shù)的大小保持不變，分子應加上幾？

10.有一個分數(shù)，它的分子減去2可約簡為g,它的分母加上1可約簡為工，

求這個分數(shù)。

答案與提示練習2

玲。解：&+42=?。

252772

27°解：中工尸2=5,1千萬

7

217

玷。解:?尸（2+1）一+———

51515

1225131171712

4正。解飛-彳）+"2）=適--=---,1+---=--

212121217

5.5o解：(53+79)+(4+7)=12,a=53-4X12=5O

6.13。解:(67-22)+(16-7)=5,7X5-22=13o

2X2+15

解:(13+1)+(9-2)=2,

lo9X218

6

8.8.5。解:3+石=&5。

9375。解：9XA=

—，，，，/，’，，，，，，，

】除

26

解：設分子為x,根據分母可列方程

(x-2)X2=I'-l。

解得x=15,分母為（x-2）X2=26。所求分數(shù)是

26

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分數(shù)運算的技巧

對于分數(shù)的混合運算，除了掌握常規(guī)的四則運算法則外，還應該掌握

一些特殊的運算技巧，才能提高運算速度，解答較難的問題。

L湊整法

與整數(shù)運算中的“湊整法”相同，在分數(shù)運算中，充分利用四則運算

法則和運算律(如交換律、結合律、分配律)，使部分的和、差、積、商

成為整數(shù)、整十數(shù)……從而使運算得到簡化。

12317

例1(3可+61+1]+%)X(2)

解：

13217

=[(3-+l-)+(6-+8-)]X(2-—)

=”5)X(2-各

7

=20X2-20X—

20

=40-7=33。

i4

例24-X25+32--4+0.25X125

14

解：原式=4x25+『25+32+4+亍+4+0.25x4x31

=100+5+8+(+31=1442。

77

2.約分法

制1x2x3+2x4x6+7x14x21

例31x3x5+2x6x10+7x21x35

般_1X2X3+23X(1X2X3)+73X(1X2X3)

胖：席凡-1X3X5+23X(1X3X5)+73X(1X3X5)

_(lX2X3)X(l+23+73)

"(IX3X5)X(l+23+73)

_1X2X3_2

=1X3X5=5

例499X(1-1)X(1-1)X(1-1)X-X(1-A)O

解：原式=99x萬x,xIx…x1=1。

3.裂項法

若能將每個分數(shù)都分解成兩個分數(shù)之差，并且使中間的分數(shù)相互抵

消，則能大大簡化運算。

根據占T一高（其中小提自然數(shù)）,在計算若干個分數(shù)之和時,

111111

例5-+++--+--

2612203042

百4_J_____1_J_____1_J_____1_

解:

盡八一屈+獲5+而'+工石+西+菽7

__22_11_11_12.2

=1-2+2-3+3-4+4-5+5-6+6-7

1111

例6---+----+---++

1x33x55x797x99

^^=1x(—+—+—2

解;++------)

座八24x33x55x797x99,

11111111

=—xfl—+----+----++------)

2k3355797991

2、99，29999

例7在自然數(shù)1?100中找出10個不同的數(shù)，使這10個數(shù)的倒數(shù)的

和等于1。

分析與解：這道題看上去比較復雜，要求10個分子為1,而分母不

同的

分數(shù)的和等于1,似乎無從下手。但是如果巧用“工-2=^^”來做,

就非常簡單了。

因為…，所以可根據題中所求，添上

乙乙-rDI*1JJ

括號。此題要求的是10個數(shù)的倒數(shù)和為1,于是做成:

1x22x33x44x55x66x77x88x99x1010

1111111111

=—+—+—+—+—+—+—+——+—+—o

261220304256729010

所求的10個數(shù)是2,6,12,20,30,42,56,72,90,10。

本題的解不是唯一的，例如由《+!=[+5推知，用9和45替換答案中

的10和30,仍是符合題意的解。

4.代數(shù)法

例加n+-+—+1+—++-+-+——+—+—)

"J'234，345，,2345，34，

分析與解：通分計算太麻煩，不可取。注意到每個括號中都有g+g+1

不妨設]+：+：=A,則

原式=(l+A)x(A+g)-a+A+3xA

1a21,211

=A+-+A+-A-A-A--A=-O

5.分組法

Kg/111、，2222、，333、

、23420，、34520，M520，

1818、19

,1920，20

分析與解：利用加法交換律和結合律，先將同分母的分數(shù)相加。分母

為n的分數(shù)之和為

[2n—1]

-+------=-x[l+2+--+(n-1)]

nnnn

1[1+(n-1)]x(n-1)__n(n-1)_n-1

n22n2

原式中分母為2~20的分數(shù)之和依次為

223419

2,2,2,2''~2

…123419

原式=-I-----1-------1------F+—

22222

=-X(1+2+3+4+-+19)

=[X190=95。

2

練習3

10-(0xg+0x$]+175°

7337

2.125--(ll--4—+2,25--

8'42020

23451234

3(1T-+2-+3-+4-)-J-(3-+5-+7-+9-)o

34j0J4J0

696969x696696

969969x969696

5、2+3”+”

26122030

6.1-+2-+3—+4—+5—+6—o

2612203042

1111111111111、111

7.(-+-+—+—)x(-+-+—+—)-(-+-+-+—+—)x(-+-+-

’579IV91113，^5791113，9IV

8.在自然數(shù)1?60中找出8個不同的數(shù)，使這8個數(shù)的倒數(shù)之和等于k

9

9.觀察下面的一列數(shù)，根據其中的規(guī)律指出總是這列數(shù)中的第幾個?

1121231234

1,2*『3*2"彳'"3'2*I'

答案與提示練習3

1.30

2.13—o

4

1..2345

3—0提不：除數(shù)=2X(丘+2彳++4/。

Z34J0

4受1

1292

艇69x10101x696x1001_69x696_667

眸=969x1001x96x10101=969x96=1292

5弓

解：原式=54+[+/5+5)=5式11)=弓

6.24

解：原式=(1+2+3+4+5+6)+(:+1+±+±+之+3)

Nb1ZNU3U4/

=21+Q-g)=21yo

解:設那+5=A,

則原式=(1+A)X(A+()-(g+A+或)XA

11,11,11

=5A+65+A+i3A-5A-A-BA=650

8.2,6,8,12,20,30,42,56。

111111

：1=1-T+-+--i-

223388

111111

+(一—一")+一8

111111

=—+—+—+―+—+—+—+—。

2612203042568

9.5680o

解：從前向后，分子與分母之和等于2的有1個，等于3的有2個,

等于4的有3個人……一般地，分子與分母之和等于n的有（n-1）個。分

子與分母之和小于9+99=108的有1+2+3+…+106=5671（個），

言是分子與分母之和等于108的第9個分數(shù)，是這列數(shù)的第

5671+9=5680（個）。

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循環(huán)小數(shù)與分數(shù)

任何分數(shù)化為小數(shù)只有兩種結果，或者是有限小數(shù)，或者是循環(huán)小數(shù),

而循環(huán)小數(shù)又分為純循環(huán)小數(shù)和混循環(huán)小數(shù)兩類。那么，什么樣的分數(shù)能

化成有限小數(shù)？什么樣的分數(shù)能化成純循環(huán)小數(shù)、混循環(huán)小數(shù)呢？我們先

看下面的分數(shù)。

1331717

⑴2=°5,25（7）=°12,40（=2^）=°4255

1513??

（2）-=0,3,y=0.714285,—=0.39；

6767

⑶)=0.83,—(=——)=0.38285714,

1/JJZx/

101

=0.2805o

黑23x5x9)

(1)中的分數(shù)都化成了有限小數(shù)，其分數(shù)的分母只有質因數(shù)2和5,

化

成的有限小數(shù)的位數(shù)與分母中含有,的2與5中個數(shù)較多的個數(shù)相同，如二17,

因為40=2>5,含有3個2,1個5,所以化成的小數(shù)有三位。

(2)中的分數(shù)都化成了純循環(huán)小數(shù)，其分數(shù)的分母沒有質因數(shù)2和

5?

(3)中的分數(shù)都化成了混循環(huán)小數(shù)，其分數(shù)的分母中既含有質因數(shù)

2或5,又含有2和5以外的質因數(shù)，化成的混循環(huán)小數(shù)中的不循環(huán)部分

的位數(shù)與

分母中含有2與5中個數(shù)較多的個數(shù)相同，如三，因為175=52X7,含有2個

5,所以化成混循環(huán)小數(shù)中的不循環(huán)部分有兩位。

于是我們得到結論：

一個最簡分數(shù)化為小數(shù)有三種情況：

(1)如果分母只含有質因數(shù)2和5,那么這個分數(shù)一定能化成有限

小數(shù)，并且小數(shù)部分的位數(shù)等于分母中質因數(shù)2與5中個數(shù)較多的那個

數(shù)的個數(shù)；

(2)如果分母中只含有2與5以外的質因數(shù)，那么這個分數(shù)一定能

化成純循環(huán)小數(shù)；

(3)如果分母中既含有質因數(shù)2或5,又含有2與5以外的質因數(shù),

那么這個分數(shù)一定能化成混循環(huán)小數(shù)，并且不循環(huán)部分的位數(shù)等于分母

中質因數(shù)2與5中個數(shù)較多的那個數(shù)的個數(shù)。

例1判斷下列分數(shù)中，哪些能化成有限小數(shù)、純循環(huán)小數(shù)、混循環(huán)小

數(shù)？能化成有限小數(shù)的，小數(shù)部分有幾位？能化成混循環(huán)小數(shù)的，不循環(huán)

部分有幾位？

5431231003

交’21"250'78,H7,850

分析與解：上述分數(shù)都是最簡分數(shù)，并且

32=25,21=3X7,250=2X5%78=2X3X13,

117=3*13,850=2X52X17,

根據上面的結論，得到：

段能化成五位有限小數(shù)，魯能化成三位有限小數(shù)。

《，黑能化成純循環(huán)小數(shù)。

鄉(xiāng)能化成混循環(huán)小數(shù)，且不循環(huán)部分有一位；上能化成混循環(huán)小數(shù)，且

不循環(huán)部分有兩位。

將分數(shù)化為小數(shù)是非常簡單的。反過來，將小數(shù)化為分數(shù)，同學們可

能比較熟悉將有限小數(shù)化成分數(shù)的方法，而對將循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)的方法

就不一定清楚了。我們分純循環(huán)小數(shù)和混循環(huán)小數(shù)兩種情況，講解將循環(huán)

小數(shù)化成分數(shù)的方法。

1.將純循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)。

例2將0.5化成分數(shù)。例3將0.382化成分數(shù)。

解：0.5X10=5.5,解：0.382X1000=382,382,

0.5=0,5?0.382=0.382。

將上兩式相減，得將上兩式相減，得

0.5X(10-1)=5,0.382X(1000-1)=382,

05X9=5,0.382X999=382,

5??382

0.5=-0,382=--

9999

從例2、例3可以總結出將純循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)的方法。

純循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)的方法：

分數(shù)的分子是一個循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)，分母的各位數(shù)都是9,9

的個數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同。

例如：0.7=Z,0.57=*!!'0」44=端=*…

2.將混循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)。

例40.18X100=18.8,

0.18X10=1.8。

將上兩式相減，得

0.18X(100-10)=18-1,

0.18X90=17,

0.18=京

90

例50.257X1000=257.57,

0.257X10=2.57

將上兩式相減，得

0.257X(1000-10)=255,

0.257X990=255,

…)25517

0.257=——=-o

99066

從例4、例5可以總結出將混循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)的方法。

混循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)的方法：

分數(shù)的分子是小數(shù)點后面第一個數(shù)字到第一個循環(huán)節(jié)的末位數(shù)字所

組成的數(shù)，減去不循環(huán)數(shù)字所組成的數(shù)所得的差；分母的頭幾位數(shù)字是9,

末幾位數(shù)字都是0,其中9的個數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，0的個數(shù)與不循

環(huán)部分的位數(shù)相同。

17-1168

例如：0.17=

909045'

136-11353

0.136=990=990=22'

1745-17172848

0.1745=

99009900275

掌握了將循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)的方法后，就可以正確地進行循環(huán)小數(shù)的

運算了。

例6計算下列各式:

⑴0.291-0.192+0.375+0.526

⑵0.330XQ.186O

「、仁5291192-1375526-5

解:(D原式=旃一行聯(lián)+演+

990

291+375521-191

---------+---------

999990

—_6_6_6_3_3_0—2+1

~999990~33

⑵原式二1^X186-1330X1855

990999X99081

練習4

1.下列各式中哪些不正確？為什么？

37

(1)—=0.578125；

64

13?

⑵—=0.590；

45

⑶296=°1520275

（4）而=0.9702。

2.劃去小數(shù)0.27483619后面的若干位，再添上表示循環(huán)節(jié)的兩個圓

點，得到一個循環(huán)小數(shù)，例如0.274836。請找出這樣的小數(shù)中最大的與

最小的。

3.將下列純循環(huán)小數(shù)化成最簡分數(shù)：

0.8,0.39,0,231,0.135。

4.將下列混循環(huán)小數(shù)化成最簡分數(shù)：

0.28,0,315,0,225,0.517。

5.計算下列各式：

Q）0.253+0.513+0.413-0.180；

（2）3.3x0.075s

（3）0.9168+0.4630。

答案與提示練習4

1.（1）（3）（4）不正確。

2.最大是0.22，最小是。夕。

,8,■13,,,77,,5

3.0,8=-；0.39=—；0.231=—；0.135=—?

93333337

?13??52?203■233

4°28=科0.315=-；0.225=-；0.517=-

u八、，/C、25f200

5Q）1；（2）-；（3）—

/、石于228513372180

解:⑴原式=麗+荻+荻-荻

/、…37525

⑵^=3-x—=-

，一9168.4584200

（）原式=9999T9900

W1

小學數(shù)學奧數(shù)基礎教程（六年級）

本教程共30講

工程問題（一）

顧名思義，工程問題指的是與工程建造有關的數(shù)學問題。其實，這類

題目的內容已不僅僅是工程方面的問題,也括行路、水管注水等許多內容。

在分析解答工程問題時，一般常用的數(shù)量關系式是：

工作量=工作效率義工作時間，

工作時間=工作量+工作效率，

工作效率=工作量+工作時間。

工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用數(shù)1表示，

也可

以是部分工程量，常用分數(shù)表示。例如，工程的一半表示成，工程的三分

之一表示為｝

工作效率指的是干工作的快慢，其意義是單位時間里所干的工作量。

單位時間的選取，根據題目需要，可以是天，也可以是時、分、秒等。

工作效率的單位是一個復合單位，表示成“工作量/天”，或“工作

量/時”等。但在不引起誤會的情況下，一般不寫工作效率的單位。

例1單獨干某項工程，甲隊需100天完成，乙隊需150天完成。甲、

乙兩隊合干50天后，剩下的工程乙隊干還需多少天？

分析與解：以全部工程量為單位1。甲隊單獨干需100天，甲的工作

效

率是需；同理，乙隊的工作效率是高。兩隊合干的工作效率是(需+總)。

由“工作量=工作效率X工作時間”，50天的工作量是

+—5—)x50=—+—=—

100150，236

剩下的工作量是由“工作時間=工作量+工作效率”，剩下的工

作量由乙隊干還需

(1令+高=25(天)°

例2某項工程，甲單獨做需36天完成，乙單獨做需45天完成。如

果開工時甲、乙兩隊合做，中途甲隊退出轉做新的工程，那么乙隊又做了

18天才完成任務。問：甲隊干了多少天？

分析：將題目的條件倒過來想，變?yōu)椤耙谊犗雀?8天，后面的工作

甲、乙兩隊合干需多少天？”這樣一來，問題就簡單多了。

(1-^X18)+(1+A)

213

=(1-5)+旃=父20=12(天)。

答：甲隊干了12天。

例3單獨完成某工程，甲隊需10天，乙隊需15天，丙隊需20天。

開始三個隊一起干，因工作需要甲隊中途撤走了，結果一共用了6天完成

這一工程。問：甲隊實際工作了幾天？

分析與解：乙、丙兩隊自始至終工作了6天，去掉乙、丙兩隊6天的

工作量，剩下的是甲隊干的，所以甲隊實際工作了

[1-(B+^)x6]+i?=3(天)。

例4一批零件，張師傅獨做20時完成，王師傅獨做30時完成。如

果兩人同時做，那么完成任務時張師傅比王師傅多做60個零件。這批零

件共有多少個？

分析與解：這道題可以分三步。首先求出兩人合作完成需要的時間,

再求出每小時張比王多做的零件數(shù)，60+12=5（個）。

最后求出這批零件的蟋，5+（￡-疝=300（個）。

例5—水池裝有一個放水管和一個排水管，單開放水管5時可將空

池灌滿，單開排水管7時可將滿池水排完。如果一開始是空池，打開放水

管1時后又打開排水管，那么再過多長時間池內將積有半池水？

分析與解：以滿池水為單位1。1時放水管可使水增加，排水管可使水

減少，同時開1時，可使水增加（g-｝。放水管打開1時后，池內已經有!

的水，與半池水還差所以要達到半池水，還需

岑一?《-?3+盤=5：（時）。

例6甲、乙二人同時從兩地出發(fā)，相向而行。走完全程甲需60分鐘,

乙需40分鐘。出發(fā)后5分鐘，甲因忘帶東西而返回出發(fā)點，取東西又耽

誤了5分鐘。甲再出發(fā)后多長時間兩人相遇？

分析：這道題看起來像行程問題，但是既沒有路程又沒有速度，所以

不能用時間、路程、速度三者的關系來解答。甲出發(fā)5分鐘后返回，路上

耽誤10分鐘，再加上取東西的5分鐘，等于比乙晚出發(fā)15分鐘。我們將

題目改述一下：完成一件工作，甲需60分鐘，乙需40分鐘，乙先干15

分鐘后，甲、乙合干還需多少時間？由此看出，這道題應該用工程問題的

解法來解答。

解：（1-915）+（表+崇）g5=15（分）。

答：甲再出發(fā)后15分鐘兩人相遇。

練習5

1.某工程甲單獨干10天完成，乙單獨干15天完成，他們合干多少天

才可完成工程的一半？

2.某工程甲隊單獨做需48天，乙隊單獨做需36天。甲隊先干了6

天后轉交給乙隊干，后來甲隊重新回來與乙隊一起干了10天，將工程做

完。求乙隊在中間單獨工作的天數(shù)。

3.一條水渠，甲、乙兩隊合挖需30天完工。現(xiàn)在合挖12天后，剩下

的乙隊單獨又挖了24天挖完。這條水渠由甲隊單獨挖需多少天？

4.甲、乙二人植樹，若單獨完成則甲比乙所需的時間多;。若兩人合干,

則完成任務時乙比甲多植50棵。這批樹共有多少棵？

5.修一段公路，甲隊獨做要用40天，乙隊獨做要用24天。現(xiàn)在兩隊

同時從兩端開工，結果在距中點750米處相遇。這段公路長多少米？

6.蓄水池有甲、乙兩個進水管，單開甲管需18時注滿，單開乙管需

24時注滿。如果要求12時注滿水池，那么甲、乙兩管至少要合開多長時

間？

7.兩列火車從甲、乙兩地相向而行，慢車從甲地到乙地需8時、比快

車從

乙地到甲地多用;的時間。如果兩車同時開出，那么相遇時快車比慢車多行

40千米。求甲、乙兩地的距離。

答案與提示練習5

1.3天。解?白舄+令=3（天）。

2.14天。

解：U-￡x（6+10）］+'-10=14（天）。

4o允

3.120天。

解：乙隊的工作效率為（1-^X12）+24=、

甲隊單獨挖需1+%.）=120（天）。

4.350棵。

解：乙的工作效率是甲的?所以乙完成工作量的;，甲完成5。這批樹

共有50+（y-1）=350（棵）。

5.6000米。

r

M1li11】心、

解：750X2+■-而）*口+（可+而）,=6000（米）。

I乙*"Tv乙**tU

6.8時。

提示：甲管12時都開著，乙管開

（1-《X12）+1=8（時）。

loZ4

7.280千米。

解：快車從乙地到甲地用8+（1+；）=6（時）。兩車相遇需

L（K）=T（時），

0o/

相遇時快車比慢車多行全程的（JW）X普=”，所以甲、乙兩地相距

6877

40+；=280（千米）。

小學數(shù)學奧數(shù)基礎教程（六年級）

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工程問題（二）

上一講我們講述的是已知工作效率的較簡單的工程問題。在較復雜的

工程問題中，工作效率往往隱藏在題目條件里，這時，只要我們靈活運用

基本的分析方法，問題也不難解決。

例1一項工程，如果甲先做5天，那么乙接著做20天可完成；如果

甲先做20天，那么乙接著做8天可完成。如果甲、乙合做，那么多少天

可以完成？

分析與解：本題沒有直接給出工作效率，為了求出甲、乙的工作效率，我

們先畫出示意圖：

甲5天乙20天

<■

乙摩天

甲15天

乙20天乙8天

從上圖可直觀地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即

甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天”等量替換

題中“甲工作5天”這一條件，通過此替換可知乙單獨做這一工程需用

20+4=24（天）

完成，即乙的工作效率為，。又因為乙工作4天的工作量和甲工作5天的工作

量相等，所以甲的工作效率是乙的g,

甲、乙合做這一工程，需用的時間為

1+弓+加=玲（天）

例2一項工程，甲、乙兩隊合作需6天完成，現(xiàn)在乙隊先做7天，

然后

甲隊做4天，共完成這項工程的卷，如果把其余的工程交給乙隊單獨做，那

么還要幾天才能完成？

分析與解：題中沒有告訴甲、乙兩隊單獨的工作效率，只知道他們合

作

的工作效率是!，但甲、乙兩隊一天也沒有合作過。為了解決這個問題，我

0

們把“乙先做7天，甲再做4天”的過程轉化為“甲、乙合做4天，乙再

做3天”，這樣，就可以把合作的工作效率!用上了。

單獨6