2018年07月03日初中數學3的初中數學組卷

第I卷（選擇題）

請點擊修改笫I卷的文字說明

一.選擇題（共12小題）

’工（x>0）

1.已知函數y=<x的圖象如圖所示，點P是y軸負半軸上一動點，過

』（x<0）

X

點P作y軸的垂線交圖象于A,B兩點，連接OA、OB.下列結論：

①若點Mi（xi，yi）,M2（X2,V2）在圖象上，且xi〈x2V0,則yi〈y2；

②當點P坐標為（0,-3）時，^AOB是等腰三角形；

③無論點P在什么位置，始終有SMOB=7.5,AP=4BP；

④當點P移動到使/AOB=90。時，點A的坐標為（2遍，一遍）.

其中正確的結論個數為（）

2.方程x2+3x-1=0的根可視為函數y=x+3的圖象與函數尸L的圖象交點的橫坐

X

標，則方程x3+2x-1=0的實根X。所在的范圍是（）

A.Q<<：—B.L<T<LC.D.<1

UYx044x033X022-x0

3.如圖，在直角坐標系中，正方形0ABe的頂點。與原點重合，頂點A、C分別

在x軸、y軸上，反比例函數支k（kW0,x>0）的圖象與正方形的兩邊AB、BC

X

分別交于點M、N,ND_Lx軸，垂足為D,連接。M、ON、MN.下列結論：

①△OCN之△OAM；②ON=MN；③四邊形DAMN與△MON面積相等；④若/

MON=45°,MN=2,則點C的坐標為（0,&+1）.

其中正確結論的個數是()

4.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-3x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩

點，以AB為邊在第一象限作正方形ABCD,點D在雙曲線尸四(k#0)上.將

X

正方形沿X軸負方向平移a個單位長度后，點C恰好落在該雙曲線上，則a的值

5.如圖，過點C(1,2)分別作x軸、y軸的平行線，交直線y=-x+6于A、B

兩點，若反比例函數y=k(x>0)的圖象與△ABC有公共點，則k的取值范圍是

x

()

A.2WkW9B.2WkW8C.2WkW5D.5WkW8

6.如圖，兩個反比例函數支馬口尸上的圖象分別是li和加設點P在k上，PC

XX

J_x軸，垂足為C,交b于點A,PD_Ly軸，垂足為D,交L于點B,則三角形PAB

的面積為()

2

7.如圖所示，已知A（尹……）為反比例函數咤圖象上的兩點,

動點P（x,0）在x軸正半軸上運動，當線段AP與線段BP之差達到最大時，點

0)C.(W,0)D.①，0)

22

8.如圖，直線y=6-x交x軸、y軸于A、B兩點，P是反比例函數尸魚&>0）圖

X

象上位于直線下方的一點，過點P作x軸的垂線，垂足為點M,交AB于點E,

過點P作y軸的垂線，垂足為點N,交AB于點F.則AF?BE=（）

A.8B.6C.4D.6^2

9.如圖，直線I是經過點（1,0）且與y軸平行的直線.RtaABC中直角邊AC=4,

BC=3.將BC邊在直線I上滑動，使A,B在函數力上的圖象上.那么k的值是（）

10.函數yi=x（x2o）,y2=A（x>0）的圖象如圖所示，下列結論：

X

①兩函數圖象的交點坐標為A（2,2）；

②當x>2時，y2>yi；

③直線x=l分別與兩函數圖象交于B、C兩點，則線段BC的長為3；

④當x逐漸增大時，yi的值隨著x的增大而增大，丫2的值隨著x的增大而減小.

則其中正確的是（）

A.只有①②B.只有①③C.只有②④D.只有①③④

11.如圖，反比例函數尸四（1<>0）與一次函數產工乂+1>的圖象相交于兩點人（人，

x2

yi）,B（X2，y2），線段AB交y軸與C,當|xi-X2I=2且AC=2BC時，k、b的值分

別為（）

A.k=—,b=2B.k=—,b=lC.k=—,b=—D.k=—,b=—

293393

12.（北師大版）如圖，已知點A是一次函數y=x的圖象與反比例函數y=2的圖

X

象在第一象限內的交點，點B在x軸的負半軸上，且OA=OB,那么AAOB的面

積為（)

第n卷（非選擇題）

請點擊修改第n卷的文字說明

填空題（共11小題）

13.如圖，直線y=-3x+3與x軸交于點B,與y軸交于點A,以線段AB為邊，

在第一象限內作正方形ABCD,點C落在雙曲線y=k（kWO）上，將正方形ABCD

X

沿X軸負方向平移a個單位長度，使點D恰好落在雙曲線y=K（kWO）上的點

X

（x>0）的圖象上，直線EF分別與x軸、y軸交

于點A,B,且BE：BF=1：m.過點E作EP，y軸于P,已知aOEP的面積為1,

（用含m的式子表示）

15.如圖，矩形AOBC的頂點坐標分別為A（0,3）,0（0,0）,B（4,0）,C

（4,3）,動點F在邊BC上（不與B、C重合），過點F的反比例函數產四的圖象

X

與邊AC交于點E,直線EF分別與y軸和x軸相交于點D和G.給出下列命題：

①若k=4,則△OEF的面積為呈；

3

②若k卷，則點C關于直線EF的對稱點在x軸上；

③滿足題設的k的取值范圍是0VkW12；

④若DE?EG=空，則k=l.

12

其中正確的命題的序號是(寫出所有正確命題的序號).

16.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，BC=2AB.A,B兩點的坐標分別是

(-1,0),(0,2),(：用兩點在反比例函數丫=四(|<<0)的圖象上,則卜等于.

X

17.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線I：y=-x-1,雙曲線y=L,在

X

I上取一點Ai,過Ai作x軸的垂線交雙曲線于點Bi,過Bi作y軸的垂線交I于點

A2,請繼續操作并探究：過A2作x軸的垂線交雙曲線于點B2,過B2作y軸的垂

線交I于點A3，…，這樣依次得到I上的點Al，A2，A3，…，An，...記點An的橫坐

標為an,若ai=2,則a2=，a20i3=;若要將上述操作無限次地進行

下去，則ai不可能取的值是

18.如圖，點A在雙曲線尸&上，且0A=4,過點A作AC_Ly軸，垂足為C,0A

X

的垂直平分線交0C于點B,則△ABC的周長為

19.如圖，將一塊直角三角板OAB放在平面直角坐標系中，B(2,0),ZAOB=60°,

點A在第一象限，過點A的雙曲線為打四.在x軸上取一點P,過點P作直線

X

0A的垂線I,以直線I為對稱軸，線段0B經軸對稱變換后的像是0B.

(1)當點0'與點A重合時，點P的坐標是;

20.如圖，點A(xi，yi)、B(x2,y2)都在雙曲線y=K(X>0)上，且X2-XI=4,

X

yi-y2=2；分別過點A、B向x軸、y軸作垂線段，垂足分別為C、D、E、F,AC

與BF相交于G點，四邊形FOCG的面積為2,五邊形AEODB的面積為14,那么

21.如圖所示，RtAABC在第一象限，NBAC=90°,AB=AC=2,點A在直線y=x

上，其中點A的橫坐標為1,且AB〃x軸，AC〃y軸，若雙曲線廠N(kWO)與

X

△ABC有交點，則k的取值范圍是

23.如圖，一次函數丫=2*+1）的圖象與x軸，y軸交于A,B兩點，與反比例函數

尸四的圖象相交于C,D兩點，分別過C,D兩點作y軸，x軸的垂線，垂足為E,

X

F,連接CF,DE.有下列四個結論：

①ACEF與4DEF的面積相等；

②△AOBs/OE；

③△DCEgACDF；

④AC=BD.

其中正確的結論是.（把你認為正確結論的序號都填上）.

三.解答題（共27小題）

24.如圖，一次函數丫=-叵+1的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B,以線段

3

AB為邊在第一象限作等邊AABC.

(1)若點C在反比例函數y=k的圖象上，求該反比例函數的解析式；

X

(2)點P(2我，m)在第一象限，過點P作x軸的垂線，垂足為D,當aPAD

與40AB相似時，P點是否在(1)中反比例函數圖象上？如果在，求出P點坐

標；如果不在，請加以說明.

25.如圖，在直角坐標系中，RtaABC的直角邊AC在x軸上,ZACB=90°,AC=1,

反比例函數y=K(k>0)的圖象經過BC邊的中點D(3,1).

X

(1)求這個反比例函數的表達式；

(2)若aABC與4EFG成中心對稱，且4EFG的邊FG在y軸的正半軸上，點E

在這個函數的圖象上.

①求OF的長；

26.已知：如圖，直線y=Lx+b與x軸負半軸交于點A,與y軸正半軸交于點B,

2

線段0A的長是方程x2-7x-8=0的一個根，請解答下列問題：

(1)求點B坐標；

(2)雙曲線y=k(kWO,x>0)與直線AB交于點C,且AC=5娓，求k的值；

X

(3)在(2)的條件下，點E在線段AB上，AE=依，直線l_Ly軸，垂足為點P

(0,7),點M在直線I上，坐標平面內是否存在點N,使以C、E、M、N為頂

點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

Ko*

27.如圖1,一次函數y=-x+b與反比例函數y=K(kWO)的圖象交于點A(1,

X

3),B(m,1),與x軸交于點D,直線OA與反比例函數y=K(kWO)的圖象的

X

(2)判斷點B、E、C是否在同一條直線上，并說明理由；

(3)如圖2,已知點F在x軸正半軸上，OF=2?，點P是反比例函數(kWO)

2x

的圖象位于第一象限部分上的點(點P在點A的上方)，ZABP=ZEBF,則點P

的坐標為(，).

28.如圖1,0OABC的邊OC在y軸的正半軸上，OC=3,A(2,1),反比例函數

y=K(x>0)的圖象經過的B.

(1)求點B的坐標和反比例函數的關系式；

(2)如圖2,直線MN分別與x軸、y軸的正半軸交于M,N兩點，若點。和點

B關于直線MN成軸對稱，求線段ON的長；

(3)如圖3,將線段0A延長交y=K(x>0)的圖象于點D,過B,D的直線分

X

別交x軸、y軸于E,F兩點，請探究線段ED與BF的數量關系，并說明理由.

29.有這樣一個問題：探究同一平面直角坐標系中系數互為倒數的正、反比例函

數y=Lx與y=K(kWO)的圖象性質.

kx

小明根據學習函數的經驗，對函數丫=4與丫=上，當k>0時的圖象性質進行了

kx

探究.

下面是小明的探究過程：

(1)如圖所示，設函數y=L<與y=K圖象的交點為A,B,已知A點的坐標為(-

kx

k,-1),則B點的坐標為；

(2)若點P為第一象限內雙曲線上不同于點B的任意一點.

①設直線PA交x軸于點M,直線PB交x軸于點N.求證：PM=PN.

證明過程如下：設P(m,k),直線PA的解析式為y=ax+b(aW0).

m

"ka+b=-l

則k，

ma+b二一

in

解得_______

二直線PA的解析式為

請你把上面的解答過程補充完整，并完成剩余的證明.

②當P點坐標為(1,k)(kWl)時，判斷4PAB的形狀，并用k表示出4PAB

的面積.

30.如圖，一次函數y=kix+b(廿0)與反比例函數(k2W0)的圖象交于

點A(-1,2),B(m,-1).

(1)求這兩個函數的表達式；

(2)在x軸上是否存在點P(n,0)(n>0),使4ABP為等腰三角形？若存在,

31.直線y=kx+b與反比例函數y=§(x>0)的圖象分別交于點A(m,3)和點

X

B(6,n),與坐標軸分別交于點C和點D.

(1)求直線AB的解析式；

(2)若點P是x軸上一動點，當ACOD與4ADP相似時，求點P的坐標.

32.如圖，直線yi=mx+n(mWO)與雙曲線y2=^.(kWO)相交于A(-1,2)

X

和B(2,b)兩點,與y軸交于點C,與x軸交于點D.

(1)求m,n的值；

(2)在y軸上是否存在一點P,使4BCP與AOCD相似？若存在求出點P的坐

標；若不存在，請說明理由.

33.如圖1,QOABC的邊0C在x軸的正半軸上，OC=5,反比例函數y=W_（x>0）

X

的圖象經過點A（1,4）.

（1）求反比例函數的關系式和點B的坐標；

（2）如圖2,過BC的中點D作DP〃x軸交反比例函數圖象于點P,連接AP、

OP.

①求AAOP的面積；

②在口OABC的邊上是否存在點M,使得△POM是以PO為斜邊的直角三角形？

若存在，請求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由.

34.如圖，在平面直角坐標系中，點0為坐標原點，直線y=-x+b與坐標軸交于

C,D兩點，直線AB與坐標軸交于A,B兩點，線段OA,OC的長是方程x2-3x+2=0

的兩個根（OA>OC）.

（1）求點A,C的坐標；

（2）直線AB與直線CD交于點E,若點E是線段AB的中點，反比例函數y=K（k

X

NO）的圖象的一個分支經過點E,求k的值；

（3）在（2）的條件下，點M在直線CD上，坐標平面內是否存在點N,使以點

B,E,M,N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出滿足條件的點N的坐

標；若不存在，請說明理由.

35.如圖1,一次函數y=kx-3(k#0)的圖象與y軸交于點A,與反比例函數

y=—(x>0)的圖象交于點B(4,b).

x

(1)b=；k=；

(2)點C是線段AB上的動點(與點A、B不重合)，過點C且平行于y軸的直

線I交這個反比例函數的圖象于點D,求△OCD面積的最大值；

(3)將(2)中面積取得最大值的△OCD沿射線AB方向平移一定的距離，得到

△OVD-,若點0的對應點CT落在該反比例函數圖象上(如圖2),則點〉的坐

36.如圖，平面直角坐標系xOy中，點C(3,0),函數y=K(k>0,x>0)的

X

圖象經過口OABC的頂點A(m,n)和邊BC的中點D.

(1)求m的值；

(2)若AOAD的面積等于6,求k的值；

(3)若P為函數y——(k>0,x>0)的圖象上一個動點，過點P作直線l_Lx

X

軸于點M,直線I與x軸上方的口OABC的一邊交于點N,設點P的橫坐標為t,

當里衛時，求t的值.

PM4

37.如圖，直線y=ax+l與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，與雙曲線y=N(x

X

>0)相交于點P,PC_Lx軸于點C,且PC=2,點A的坐標為(-2,0).

(1)求雙曲線的解析式；

(2)若點Q為雙曲線上點P右側的一點，且QH±x軸于H,當以點Q、C、H

為頂點的三角形與^AOB相似時，求點Q的坐標.

38.如圖，點M(-3,m)是一次函數y=x+l與反比例函數y=K(kWO)的圖

X

象的一個交點.

(1)求反比例函數表達式；

(2)點P是x軸正半軸上的一個動點，設。P=a(aW2),過點P作垂直于x軸

的直線，分別交一次函數，反比例函數的圖象于點A,B,過0P的中點Q作x

軸的垂線，交反比例函數的圖象于點C,△ABU與aABC關于直線AB對稱.

①當a=4時，求△ABU的面積；

②當a的值為時，△AMC與△AMC的面積相等.

>'A

39.如圖，已知一次函數丫=當-3與反比例函數y=K的圖象相交于點A（4,n）,

2x

與x軸相交于點B.

（1）填空：n的值為,k的值為；

（2）以AB為邊作菱形ABCD,使點C在x軸正半軸上，點D在第一象限，求點

D的坐標；

（3）觀察反比例函數y=k的圖象，當y2-2時，請直接寫出自變量x的取值范

40.如圖1,已知直線y=x+3與x軸交于點A,與y軸交于點B,將直線在x軸下

方的部分沿x軸翻折，得到一個新函數的圖象（圖中的"V形折線"）.

（1）類比研究函數圖象的方法，請列舉新函數的兩條性質，并求新函數的解析

式；

（2）如圖2,雙曲線y=k與新函數的圖象交于點C（1,a）,點D是線段AC上

X

一動點（不包括端點），過點D作x軸的平行線，與新函數圖象交于另一點E,

與雙曲線交于點P.

①試求4PAD的面積的最大值；

②探索：在點D運動的過程中，四邊形PAEC能否為平行四邊形？若能，求出此

時點D的坐標；若不能，請說明理由.

41.如圖，雙曲線y=K(x>0)經過△OAB的頂點A和OB的中點C,AB〃x軸,

X

點A的坐標為(2,3).

(1)確定k的值；

(2)若點D(3,m)在雙曲線上，求直線AD的解析式；

(3)計算aOAB的面積.

42.如圖，點A(1,6)和點M(m,n)都在反比例函數y=K(x>0)的圖象

X

上，

(1)k的值為；

(2)當m=3,求直線AM的解析式；

(3)當m>l時，過點M作MP，x軸，垂足為P,過點A作AB_Ly軸，垂足為

B,試判斷直線BP與直線AM的位置關系，并說明理由.

43.【合作學習】

如圖I,矩形ABOD的兩邊OB,0D都在坐標軸的正半軸上，0D=3,另兩邊與反

比例函數y=K(k#O)的圖象分別相交于點E,F,且DE=2.過點E作EHLx軸

X

于點H,過點F作FG_LEH于點G.回答下面的問題：

①該反比例函數的解析式是什么？

②當四邊形AEGF為正方形時，點F的坐標是多少？

(1)閱讀合作學習內容，請解答其中的問題；

(2)小亮進一步研究四邊形AEGF的特征后提出問題："當AE>EG時，矩形AEGF

與矩形DOHE能否全等？能否相似？”

針對小亮提出的問題，請你判斷這兩個矩形能否全等？直接寫出結論即可；這兩

個矩形能否相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，試說明理由.

相交于A、B、C、D四點.

(1)當點C的坐標為(-1,1)時，A、B、D三點坐標分別是人(,),

B(,),D(,).

(2)證明：以點A、D、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形.

(3)當k為何值時，口ADBC是矩形.

45.如圖，在直角梯形OABC中，BC〃AO,NAOC=90。，點A,B的坐標分別為

(5,0),(2,6),點D為AB上一點，且BD=2AD,雙曲線y=N(k>0)經過點

X

D,交BC于點E.

(1)求雙曲線的解析式；

(2)求四邊形ODBE的面積.

46.如圖，在平面直角坐標系中，直線I與x軸相交于點M,與y軸相交于點N,

《△MON的外心為點A(W,-2),反比例函數y=k(x>0)的圖象過點A.

2x

(1)求直線I的解析式；

(2)在函數y=K(x>0)的圖象上取異于點A的一點B,作BC±x軸于點C,

X

連接OB交直線I于點P.若AONP的面積是△OBC面積的3倍,求點P的坐標.

47.如圖，將透明三角形紙片PAB的直角頂點P落在第四象限，頂點A、B分別

落在反比例函數y=K圖象的兩支上，且PB_Lx于點C,PA_Ly于點D,AB分別與

X

X軸，y軸相交于點E、F.已知B(1,3).

(1)k=；

(2)試說明AE=BF；

(3)當四邊形ABCD的面積為2L時，求點P的坐標.

48.如圖①，直角三角形AOB中，ZAOB=90°,AB平行于x軸，0A=20B,AB=5,

反比例函數行K（x>0）的圖象經過點A.

X

（1）直接寫出反比例函數的解析式；

（2）如圖②，P（x,y）在（1）中的反比例函數圖象上，其中1VXV8,連接

0P,過點。作0QL0P,且0P=20Q,連接PQ.設點Q坐標為（m,n）,其中

m<0,n>0,求n與m的函數解析式，并直接寫出自變量m的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若Q坐標為（m,1）,求APOQ的面積.

49.如圖，點A、B分別在x,y軸上，點D在第一象限內，DC±x軸于點C,A0=CD=2,

AB=DA=J^,反比例函數y=K（k>0）的圖象過CD的中點E.

x

（1）求證：△AOB絲Z\DCA；

（2）求k的值；

（3）aBFG和4DCA關于某點成中心對稱，其中點F在y軸上，是判斷點G是

否在反比例函數的圖象上，并說明理由.

y=K(x>0,k是常數)的圖象經過點A(1,4),點

x

B(m,n),其中m>l,AM，x軸，垂足為M,BN，y軸，垂足為N,AM與BN

的交點為c.

(1)寫出反比例函數解析式;

(2)求證：△ACBs^NOM；

(3)若4ACB與△NOM的相似比為2,求出B點的坐標及AB所在直線的解析

O\MX

2018年07月03日初中數學3的初中數學組卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共12小題）

’工（x>0）

1.已知函數丫=x的圖象如圖所示，點P是y軸負半軸上一動點，過

4<0）

X

點P作y軸的垂線交圖象于A,B兩點，連接OA、OB.下列結論：

①若點Mi（xi，yi）,M2（X2,V2）在圖象上，且xi〈x2V0,則yi〈y2；

②當點P坐標為（0,-3）時，^AOB是等腰三角形；

③無論點P在什么位置，始終有SMOB=7.5,AP=4BP；

④當點P移動到使/AOB=90。時，點A的坐標為（2遍，一遍）.

其中正確的結論個數為（）

【分析】①錯誤.因為X1VX2V0,函數y隨x是增大而減小，所以皿>丫2；

②正確.求出A、B兩點坐標即可解決問題；

③正確.設P（0,m）,則B（3,m）,A（-11,m）,可得PB=-3,PA=-

IDIDinID

推出PA=4PB,SAOB=SAOPB+SAOPA=3+絲=7.5；

22

④正確.設P（0,m）,則B（A,m）,A（-以，m）,推出PB=-W,PA=-絲,

IDIDIDID

0P=-m,由△OPBs^APO,可得OP2=PB?PA,列出方程即可解決問題；

【解答】解：①錯誤.???xi<X2<0,函數y隨x是增大而減小，

.,.yi>y2,故①錯誤.

②正確.VP(0,-3),

/.B(-1,-3),A(4,-3),

/.AB=5,OA=^y2=5,

AAB=AO,

???△AOB是等腰三角形，故②正確.

③正確.設P(0,m),則B(W?,m),A(-m),

inin

APB=-A,PA=-H,

IDID

APA=4PB,

SAOB=SAOPB+SAOPA=—+-^^=7.5,故③正確.

22

④正確.設P(0,m),則B(3,m),A(-絲，m),

mm

.\PB=-XPA=-H,OP=-m,

mm

VZAOB=90°,ZOPB=ZOPA=90°,

.,.ZBOP+ZAOP=90°,NAOP+NOAP=90°,

/.ZBOP=ZOAP,

.'.△OPB^AAPO,

???OP_LPB,

APOP

，OP2=PB?PA,

m2=-—?(--lA),

mm

/.m4=36,

Vm<0,

/.m=-泥，

:.A(2通，-灰)，故④正確.

二②③④正確，

故選：C.

y

X

【點評】本題考查反比例函數綜合題、等腰三角形的判定、兩點間距離公式、相

似三角形的判定和性質、待定系數法等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解

決問題，學會利用參數，構建方程解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

2.方程x2+3x-1=0的根可視為函數y=x+3的圖象與函數yj?的圖象交點的橫坐

X

標，則方程x3+2x-1=0的實根X。所在的范圍是（）

A.Q<?B.<—C.<上D.<1

【分析】首先根據題意推斷方程x3+2x-1=0的實根是函數y=x2+2與尸上的圖象

X

交點的橫坐標，再根據四個選項中X的取值代入兩函數解析式，找出拋物線的圖

象在反比例函數上方和反比例函數的圖象在拋物線的上方兩個點即可判定推斷

方程x3+2x-1=0的實根x所在范圍.

【解答】解:方程X3+2X-1=0,

x2+2=—,

,它的根可視為y=x2+2和1的圖象交點的橫坐標，

X

當x=L時，y=x2+2=2」^,y=L=4,此時拋物線的圖象在反比例函數下方;

416x

當x=Ut，y=x2+2=2L,y=^3,此時拋物線的圖象在反比例函數下方；

39x

當*=1時，y=x2+2=2^,y=￡2,此時拋物線的圖象在反比例函數上方；

24x

當x=l時，y=x2+2=3,y=￡l,此時拋物線的圖象在反比例函數上方.

X

故方程x3+2x-1=0的實根X所在范圍為：l<x<X

32

故選：C.

【點評】此題考查了學生從圖象中讀取信息的數形結合能力.解決此類識圖題，

同學們要注意分析其中的“關鍵點"，還要善于分析各圖象的變化趨勢.

3.如圖，在直角坐標系中，正方形0ABe的頂點0與原點重合，頂點A、C分別

在x軸、y軸上，反比例函數打四（kWO,x>0）的圖象與正方形的兩邊AB、BC

X

分別交于點M、N,ND_Lx軸，垂足為D,連接OM、ON、MN.下列結論：

①△OCN四△OAM；②ON=MN；③四邊形DAMN與△MON面積相等；④若/

MON=45。，MN=2,則點C的坐標為（0,&+1）.

其中正確結論的個數是（）

【分析】根據反比例函數的比例系數的幾何意義得到SAONC=SAOAM=lk,即

LOC?NC=1JOA?AM,而OC=OA,則NC=AM,在根據"SAS”可判斷△OCN0△OAM；

22

根據全等的性質得到ON=OM,由于k的值不能確定，則NMON的值不能確定，

無法確定△ONM為等邊三角形，則ONWMN；根據SAOND=SAOAM=1J<和SAOND+S

四邊形DAMN=SaOAM+SzJ3MN,即可得至S四邊形DAMN=SAOMN;作NE10M于E點，則^ONE

為等腰直角三角形，設NE=x,則0M=0N=J5<,EM=V5<-x=（a-1）x,在Rt

△NEM中，利用勾股定理可求出X2=2+&,所以OM=（揚）2=4+2&,易得△

BMN為等腰直角三角形，得至UBN=^MN=&,設正方形ABCO的邊長為a,在

RtAOCN中，利用勾股定理可求出a的值為揚1,從而得到C點坐標為（0,揚1）.

【解答】解：?.?點M、N都在y=K的圖象上，

X

/.SAONC=SAOAM=-^J<>SP-1.0C*NC=—OA*AM,

222

?.?四邊形ABC。為正方形，

AOC=OA,ZOCN=ZOAM=90",

；.NC=AM,

/.△OCN^AOAM,所以①正確；

.*.ON=OM,

???k的值不能確定，

AZM0N的值不能確定，

...△ONM只能為等腰三角形，不能確定為等邊三角形,

...ONWMN,所以②錯誤；

?S/、QND=SAOAM="^"k，

2

而SAOND+S四邊形DAMN=SAOAM+S^OMN，

，四邊形DAMN與△MON面積相等，所以③正確；

作NE±OM于E點，如圖，

VZMON=45°,

.?.△ONE為等腰直角三角形，

/.NE=OE,

設NE=x,則0N=V2x-

OM=V5<,

.,.EM='/^x-x=(&-1)x,

在RtaNEM中，MN=2,

VMN2=NE2+EM2,EP22=x2+[(a-1)x]2,

?，.X2=2+^/2>

0N2=(J^x)2=4+2

VCN=AM,CB=AB,

.\BN=BM,

???△BMN為等腰直角三角形,

.BN=^JVIN=&,

2

設正方形ABCO的邊長為a,則OC=a,CN=a-

在RtAOCN中，VOC2+CN2=ON2,

?'?a2+(a-\[2)2=4+2、歷,解得ai="\歷H,az=_1(舍去),

AOC=V2+1,

...c點坐標為(0,揚1),所以④正確.

故選：C.

【點評】本題考查了反比例函數的綜合題：掌握反比例函數圖象上點的坐標特征、

比例系數的幾何意義和正方形的性質；熟練運用勾股定理和等腰直角三角形的性

質進行幾何計算.

4.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-3x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩

點，以AB為邊在第一象限作正方形ABCD,點D在雙曲線尸四（k#0）上.將

X

正方形沿X軸負方向平移a個單位長度后，點C恰好落在該雙曲線上，則a的值

A.1B.2C.3D.4

【分析】作CE±y軸于點E,交雙曲線于點G.作DF±x軸于點F,易證△OAB

^△FDA^ABEC,求得A、B的坐標，根據全等三角形的性質可以求得C、D的

坐標，從而利用待定系數法求得反比例函數的解析式，進而求得G的坐標，則a

的值即可求解.

【解答】解：作CE，y軸于點E,交雙曲線于點G.作DFLx軸于點F.

在y=-3x+3中，令x=0,解得：y=3,即B的坐標是（0,3）.

令y=0，解得：x=l,即A的坐標是（1,0）.

則OB=3,OA=1.

VZBAD=90°,

/.ZBAO+ZDAF=90°,

又,直角AABO中，ZBAO+ZOBA=90°,

/.ZDAF=ZOBA,

?.,在△OAB和4FDA中，

"ZDAF=Z0BA

-NB0A=NAFD，

,AB=AD

.,.△OAB^AFDA（AAS）,

同理，△OAB之4FDA0ZXBEC,

，AF=0B=EC=3,DF=OA=BE=1,

故D的坐標是（4,1）,C的坐標是（3,4）.代入y=K■得：k=4,則函數的解析

X

式是：y=A.

x

AOE=4,

則C的縱坐標是4,把y=4代入y=_l得：x=l.即G的坐標是（1,4）,

x

ACG=2.

故選：B.

【點評】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，待定系數法求函

數的解析式，正確求得C、D的坐標是關鍵.

5.如圖，過點C(1,2)分別作x軸、y軸的平行線，交直線y=-x+6于A、B

兩點，若反比例函數y=K(x>0)的圖象與AABC有公共點，則k的取值范圍是

A.24W9B.24W8C.2WkW5D.5WkW8

【分析】先求出點A、B的坐標，根據反比例函數系數的幾何意義可知，當反比

例函數圖象與aABC相交于點C時k的取值最小，當與線段AB相交時，k能取

到最大值，根據直線y=-x+6,設交點為(x,-x+6)時k值最大，然后列式利

用二次函數的最值問題解答即可得解.

【解答】解：???點C(1,2),BC〃y軸，AC〃x軸，

當x=l時，y=-1+6=5>

當y=2時,-x+6=2,解得x=4,

.,.點A、B的坐標分別為A(4,2),B(1,5),

根據反比例函數系數的幾何意義，當反比例函數與點C相交時，k=lX2=2最小，

設反比例函數與線段AB相交于點(x,-x+6)時k值最大，

則k=x(-x+6)=-x2+6x=-(x-3)2+9,

Vl<x<4,

.,.當x=3時，k值最大，

此時交點坐標為（3,3）,

因此，k的取值范圍是2WkW9.

故選:A.

【點評】本題考查了反比例函數系數的幾何意義，二次函數的最值問題，本題看

似簡單但不容易入手解答，判斷出最大最小值的取值情況并考慮到用二次函數的

最值問題解答是解題的關鍵.

6.如圖，兩個反比例函數尸馬口尸上的圖象分別是k和岳設點P在k上，PC

XX

_Lx軸，垂足為C,交L于點A,PD，y軸，垂足為D,交L于點B,則三角形PAB

的面積為（）

2

【分析】設P的坐標是（a,工），推出A的坐標和B的坐標，求出/APB=90。,

a

求出PA、PB的值，根據三角形的面積公式求出即可.

【解答】解：???點P在y=上上，

X

IXp|Xyp|=|k|=l,

...設P的坐標是（a,±）（a為正數），

a

?.?PA，x軸，

，A的橫坐標是a,

0A在y=-2上,

X

；.A的坐標是（a,-2）,

VPB±yft,

?；B在y=-2上,

.?.代入得：1^-1,

ax

解得：x=-2a,

AB的坐標是(-2a,A.),

/.PA=|--(--)|=—,PB=a-(-2a)|=3a,

aaa

?.?PA，x軸，PB_Ly軸，x軸，y軸，

/.PA±PB,

...△PAB的面積是：1PAXPQ=LX3a=2.

22a2

故選：C.

【點評】本題考查了反比例函數和三角形面積公式的應用，關鍵是能根據P點的

坐標得出A、B的坐標，本題具有一定的代表性，是一道比較好的題目.

7.如圖所示，已知A(1,yi),B(2,y2)為反比例函數y=工圖象上的兩點，

2x

動點P(x,0)在x軸正半軸上運動，當線段AP與線段BP之差達到最大時，點

P的坐標是()

OPx

A.(1,0)B.(1,0)C.泣，0)D.芭，0)

2

【分析】求出AB的坐標，設直線AB的解析式是y=kx+b,把A、B的坐標代入求

出直線AB的解析式，根據三角形的三邊關系定理得出在4ABP中，|AP-BP|V

AB,延長AB交x軸于*當P在P，點時，PA-PB=AB,此時線段AP與線段BP

之差達到最大，求出直線AB于x軸的交點坐標即可.

【解答】解：?.?把A(1,yi),B(2,y2)代入反比例函數y=L得：y1=2,丫2=工,

2x2

AA(工2),B(2,L),

22

?.?在4ABP中，由三角形的三邊關系定理得：AP-BP|<AB,

，延長AB交x軸于P，，當P在，點時，PA-PB=AB,

即此時線段AP與線段BP之差達到最大,

設直線AB的解析式是y=kx+b,

2』

k+b

把A、B的坐標代入得：2

*2k+b

解得:k=-1,b=—,

2

直線AB的解析式是y=-x+1,

2

當y=0時,x=—,

2

即P(1,0),

2

【點評】本題考查了三角形的三邊關系定理和用待定系數法求一次函數的解析式

的應用，解此題的關鍵是確定P點的位置，題目比較好，但有一定的難度.

8.如圖，直線y=6-x交x軸、y軸于A、B兩點，P是反比例函數尸1&〉0)圖

X

象上位于直線下方的一點，過點P作x軸的垂線，垂足為點M,交AB于點E,

過點P作y軸的垂線，垂足為點N,交AB于點F.則AF?BE=()

A.8B.6C.4D.6A/2

【分析】首先作輔助線：過點E作EC±OB于C,過點F作FD±OA于D,然后

由直線y=6-x交x軸、y軸于A、B兩點，求得點A與B的坐標，則可得OA=OB,

即可得△AOB,△BCE,△ADF是等腰直角三角形，則可得

AF?BE=&CE?叵F=2CE?DF,又由四邊形CEPN與MDFP是矩形，可得CE=PN,

DF=PM,根據反比例函數的性質即可求得答案.

【解答】解：過點E作ECLOB于C,過點F作FDLOA于D,

?直線y=6-x交x軸、y軸于A、B兩點，

AA(6,0),B(0,6),

AOA=OB,

/.ZAB0=ZBA0=45o,

ABC=CE,AD=DF,

VPM1OA,PN10B,

/.四邊形CEPN與MDFP是矩形，

；.CE=PN,DF=PM,

???P是反比例函數尸&(x>0)圖象上的一點，

X

APN*PM=4,

ACE*DF=4,

在RMBCE中，BE=—壁—=V2CE,

sin450

在RSADF中，AF=_5E__=?F,

sin45

.??AF?BE=V^CE?&DF=2CE?DF=8.

故選：A.

【點評】此題考查了反比例函數的性質，以及矩形、等腰直角三角形的性質.解

題的關鍵是注意數形結合與轉化思想的應用.

9.如圖，直線I是經過點（1,0）且與y軸平行的直線.Rt^ABC中直角邊AC=4,

BC=3.將BC邊在直線I上滑動，使A,B在函數打片的圖象上.那么k的值是（）

X

o-kx

?

A.3B.6C.12D.至

4

【分析】過點B作BM±y軸于點M,過點A作AN_Lx軸于點N,延長AC交y

軸于點D,設點C的坐標為（1,y）,根據反比例函數上的點向x軸y軸引垂線

形成的矩形面積