2022-2023學年重慶市部分學校高二下學期期中數學試題一、單選題1．甲工廠有80名工人，乙工廠有60名工人，丙工廠有70名工人，現從中選取1人參加技術培訓，則不同的選法有（

）A．180種 B．210種 C．240種 D．270種【答案】B【分析】根據分類加法計數原理求得正確答案.【詳解】依題意可知，不同的選法有種.故選：B2．函數在區間上的平均變化率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據平均變化率的定義列式求解.【詳解】根據平均變化率的定義可知，.所以函數在區間上的平均變化率為.故選：C3．已知函數的導函數為，的圖象如圖所示，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據已知條件作出切線，利用導數的幾何意義及斜率的定義即可求解.【詳解】依次作出函數在處的切線，如圖所示根據導數的幾何意義及圖形中切線的斜率可知，．故選：B.4．已知函數，則在下列區間上，單調遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出函數的導函數，令，結合選項中角的范圍求得x的范圍，即可得出單調遞增區間.【詳解】因為，所以，令，則，又，則，所以，所以，所以的單調遞增區間為，因為，所以為函數的一個單調遞增區間.故選：B5．已知，且，則（

）A．0.3 B．0.4 C．0.7 D．0.8【答案】C【分析】根據二項分布期望、方差公式及已知列方程求即可.【詳解】由題設，，則，所以.故選：C6．已知直線與函數，的圖象分別交于點，，則的最小值為（

）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【分析】由題設可得，利用三元基本不等式求其最小值，注意取值條件.【詳解】由題設，，，且，所以，當且僅當，即時等號成立，綜上，的最小值為.故選：C7．被9除的余數為（

）A．2 B．6 C．4 D．7【答案】C【分析】利用二項式展開式求得正確答案.【詳解】，其中，其中，其中，綜上所述，被9除的余數為.故選：C8．放假伊始，8名同學相約前往某門店體驗沉浸式角色扮演型劇本游戲，目前店中僅有可供4人組局的劇本，其中角色各1人，角色2人.已知這8名同學中有4名男生，4名女生，店主讓他們8人分成兩組先后參加游戲，其中角色不可同時為女生，角色至少有一名女生，則他們不同的選擇方式共有（

）A．2376種 B．4752種 C．9504種 D．1584種【答案】B【分析】根據三個角色的要求進行分組，然后計算出他們不同的選擇方式.【詳解】分組方法1：一組角色兩個男生、角色男女；另一組角色男女、角色女；方法數有：.分組方法2：一組男女；另一組男女；方法數有：.所以他們不同的選擇方式共有.故選：B二、多選題9．已知則（

）A． B．若越大，則越小C． D．【答案】ABC【分析】根據正態分布的對稱性等知識求得正確答案.【詳解】依題意，，所以，所以，A選項正確.越大，正態分布的最高點越矮，遠離的數據越多，越小，B選項正確.根據正態分布的對稱性可知，C選項正確.，D選項錯誤.故選：ABC10．已知，則（

）A．B．C．D．展開式中所有項的二項式系數的和為【答案】ABD【分析】采用賦值法，分別令和可以判斷選項A、C；根據二項式展開式的通項求得x的系數，可以判斷選項B；直接由展開式中所有項的二項式系數的和的知識就可以判斷選項D.【詳解】令，得，所以A正確；展開式的通項為，令，得，所以B正確；令，得，又，所以，所以C不正確；展開式中所有項的二項式系數的和為，所以D正確.故選：ABD.11．甲箱中有3個紅球，2個白球和2個黑球，乙箱中有2個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，分別以，和表示從甲箱中取出的球是紅球、白球和黑球的事件，再從乙箱中隨機取出一球，以表示從乙箱中取出的球是紅球的事件，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據全概率公式及條件概率概率公式計算可得.【詳解】因為，，，若發生，則乙箱中有個紅球，個白球和個黑球，所以，故A正確；若發生，則乙箱中有個紅球，個白球和個黑球，所以，若發生，則乙箱中有個紅球，個白球和個黑球，所以，所以，故B正確；因為，所以，所以，故C錯誤；，故D正確；故選：ABD12．已知正數x，y滿足，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由條件可得，利用比較法判斷的大小，判斷A，B，化簡，利用導數求函數的最值，由此判斷C，D.【詳解】因為，所以，，所以所以，A正確，B錯誤；令，則，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以，C正確；令，則，可知當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以，D正確，故選：ACD.三、填空題13．已知函數，則__________.【答案】【分析】根據題意，求出，然后根據瞬時變化率的運算求解.【詳解】由，得，則.故答案為：.14．某學校組織學生進行答題比賽，已知共有4道類試題，8道類試題，12道類試題，學生從中任選1道試題作答，學生甲答對這3類試題的概率分別為，，.若學生甲答對了所選試題，則這道試題是類試題的概率為_____________.【答案】【分析】利用全概率公式及條件概率公式計算可得.【詳解】設學生選道類試題為事件，學生選道類試題為事件，學生選道類試題為事件，設學生答對試題為事件，則，，，，，，所以，所以.故答案為：四、雙空題15．一個裝有水的圓柱形水杯水平放在桌面上，在杯內放入一個圓柱形鐵塊后，水面剛好和鐵塊的上底面齊平，如圖所示．已知該水杯的底面圓半徑為6cm，鐵塊底面圓半徑為3cm，放入鐵塊后的水面高度為6cm，若從時刻開始，將鐵塊以1cm/s的速度豎直向上勻速提起，在鐵塊沒有完全離開水面的過程中，水面將______（填“勻速”或“非勻速”）下降；在時刻，水面下降的速度為______cm/s．【答案】勻速【分析】由圓柱形鐵塊豎直向上勻速提起，可得水面勻速下降；根據已知得出水面高度H與時刻的函數關系，通過導數求瞬時速度.【詳解】設在鐵塊沒有完全離開水面的過程中，水面高度為H，鐵塊離開水面的高度為h，則水和鐵塊的體積為，即①．鐵塊距離杯底的高度為②．由①②可得．令函數，則．故水面將勻速下降，下降的速度為．故答案為：勻速；.五、填空題16．如圖，某景區共有五個景點，相鄰景點之間僅設置一個檢票口供出入，共有7個檢票口，工作人員為了檢測檢票設備是否正常，需要對每個檢票口的檢票設備進行檢測.若不重復經過同一個檢票口，依次對所有檢票口進行檢測，則共有____________種不同的檢測順序.【答案】【分析】將個景區抽象為個點，見個檢票口抽象為條路線，將問題化歸為不重復走完條路線，即一筆畫問題，分析可得只能從或處出發才能不重復走完條路線，再用列舉法列出所有可能結果，即可得解.【詳解】如圖將個景區抽象為個點，見個檢票口抽象為條路線，將問題化歸為不重復走完條路線，即一筆畫問題，從或處出發的線路是奇數條，其余是偶數條，可以判斷只能從或處出發才能不重復走完條路線，由于對稱性，只列出從處出發的路線情形即可.①走路線：，，，，，，共種；②走路線：，，，，，，共種；③走路線：，，，，共種；綜上，共有種檢測順序.故答案為：六、解答題17．已知的展開式中第4項和第5項的二項式系數相等.(1)求的值；(2)求展開式中，含項的系數.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題設知，根據組合數性質即可得結果；（2）寫出二項式的通項公式，即知含項的，進而求其系數.【詳解】（1）由展開式中第4項和第5項的二項式系數相等，即，則.（2）由（1）知：原二項式為，則，故時，，所以含項的系數為.18．已知函數.(1)求曲線在處的切線方程；(2)求在區間上的值域.【答案】(1)(2)【分析】（1）求解導函數，分別計算，利用導數的幾何意義寫出切線方程；（2）求解的根，討論與的情況，從而得函數的單調性，求解出極值與端點處的函數值，比較大小后可得函數的最值，從而可得函數值域.【詳解】（1）由題意，函數的定義域為，，所以，，即切線的斜率為，切點坐標為，所以曲線在處的切線方程為.（2）由（1）知，，得或，當或時，；當時，，所以函數在和上為增函數，在上為減函數，所以函數的極大值為，極小值為，又因為，，所以函數的最大值為，最小值為，所以函數在區間上的值域為.19．某班舉行“黨史知識”競賽，共12個填空題，每題5分，滿分60分.李明參加該競賽，其中前9個題能答對，后3個題能答對的概率分別為，，.(1)求李明最終獲得滿分的概率；(2)設李明的最終得分為，求的分布列.【答案】(1)(2)分布列見解析【分析】（1）根據相互獨立事件概率計算公式求得正確答案.（2）先求得的可能取值，然后利用相互獨立事件概率計算公式求得的分布列.【詳解】（1）李明最終獲得滿分的概率為.（2）前個題得分分；后個題，得分可能是，所以的可能取值為，所以，，，.所以的分布列為：20．已知函數.(1)求的極值；(2)若恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)極小值為1，無極大值(2)【分析】（1）求導，利用導數求解單調性即可求解極值，（2）將恒成立問題轉化成求函數最值問題，構造函數，利用導數求解最值.【詳解】（1）由得，令，故在單調遞增，令，故在單調遞減，故當時，取極小值，且極小值為，故極大值，（2）由恒成立可得恒成立，記，則，令，則，由（1）知：在處取極小值也是最小值，且最小值為1，故，因此在上單調遞增，且，故當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，故當時，取極小值也是最小值1，故21．某商場采用派發抵用券的方式刺激消費，設計了兩個抽獎方案.方案一：客戶一次性拋擲兩個質地均勻的骰子，若點數之積為12，獲得900元的抵用券，若點數相同，獲得600元的抵用券，其他情況獲得180元的抵用券.方案二：盒子中有編號為的小球各一個（除編號外其他均相同），客戶從中有放回地摸球兩次，若兩次摸球的編號相同，獲得600元的抵用券，若兩次摸球的編號之和為奇數，獲得元的抵用券，其他情況獲得100元的抵用券.(1)若客戶甲從兩個方案中隨機選擇一個抽獎，求甲能獲得不低于600元抵用券的概率；(2)客戶乙選擇方案二的抽獎方式，記乙獲得的抵用券金額為X，若，求a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）計算出每種方案能獲得不低于600元抵用券的概率，即可求得答案；（2）確定X的可能取值，求出每個值對應的概率，根據，即可求得答案.【詳解】（1）若客戶選擇方案一，則能獲得不低于600元抵用券的概率為.若客戶選擇方案二，則能獲得不低于600元抵用券的概率為.故甲從兩個方案中隨機選擇一個抽獎,能獲得不低于600元抵用券的概率為.（2）由題可知，X的取值可能為100，a，600.，，，則.由，解得.又因為，所以a的取值范圍為.22．已知函數.(1)比較與0的大小；(2)證明：對任意的，恒成立.【答案】(1)當時，；當時，；當時，(2)證明見解析【分析】（1）求出函數的定義域，根據導函數得出函數在定義域上單調性，結