2022-2023學(xué)年福建省福州市福清市高中聯(lián)合體高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)數(shù)的虛部是（

）A． B．4 C．3 D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】復(fù)數(shù)的虛部為.故選：B.2．下列結(jié)論中，正確的是（

）A．零向量只有大小沒有方向 B．C．對任一向量，總是成立的 D．與線段的長度不相等【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的概念，逐一判斷即可得出答案．【詳解】既有大小又有方向的量叫向量，則零向量既有大小又有方向，故A錯誤；由于與方向相反，長度相等，故B正確；因為零向量的模為0，故C錯誤；與線段的長度相等，故D錯誤．故選：B．3．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的概念判斷.【詳解】復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，故B，C，D錯誤.故選：A.4．若，，與的夾角為，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的定義計算即可.【詳解】因為，，與的夾角為，所以.故選：C.5．已知，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，且，，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用面積公式計算可得.【詳解】因為，，，所以.故選：D6．為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)上所有的點（

）A．向左平行移動個單位長度 B．向右平行移動個單位長度C．向左平行移動個單位長度 D．向右平行移動個單位長度【答案】C【分析】利用三角函數(shù)圖象的相位變換求解.【詳解】對于A，函數(shù)上所有的點向左平行移動個單位長度，得到，故A錯誤；對于B，函數(shù)上所有的點向右平行移動個單位長度，得到，故B錯誤；對于C，函數(shù)上所有的點向左平行移動個單位長度，得到，故C正確；對于D，函數(shù)上所有的點向右平行移動個單位長度，得到，故D錯誤.故選：C.7．已知向量，，若，則m的值為（

）A．或2 B．或3 C．或3 D．或4【答案】A【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)公式計算即可.【詳解】因為，所以，即，解得或.故選：A.8．已知分別為三個內(nèi)角的對邊，若，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由正弦定理得到，再由余弦定理求得，即可求解.【詳解】因為，由正弦定理可得，又因為，由余弦定理得，又因為，所以.故選：C.二、多選題9．設(shè)，復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若是實數(shù)，則 B．若是虛數(shù)，則C．當(dāng)時，的模為 D．當(dāng)時，在復(fù)平面上對應(yīng)的點為【答案】AC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念判斷A、B，根據(jù)復(fù)數(shù)的模判斷C，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】因為，，對于A：若是實數(shù)，則，解得，故A正確；對于B：若是虛數(shù)，則，解得，故B錯誤；對于C：當(dāng)時，所以，故C正確；對于D：當(dāng)時，在復(fù)平面上對應(yīng)的點為，故D錯誤；故選：AC10．設(shè)向量，，則（

）A． B．與的夾角為C．與共線 D．【答案】AD【分析】利用向量運算的坐標(biāo)表示、向量模長、夾角公式以及向量共線、垂直的坐標(biāo)形式計算求解.【詳解】因為，，所以，，故A正確；因為，，所以，因為兩向量夾角的范圍為，所以與的夾角為，故B錯誤；因為，，所以，又，所以，所以，所以與不共線，故C錯誤，D正確.故選：AD.11．如圖所示，一個質(zhì)點在半徑為2的圓O上以點P為起始點，沿逆時針方向運動，每3s轉(zhuǎn)一圈.則該質(zhì)點到x軸的距離關(guān)于時間t的函數(shù)記為.下列說法正確的是（

）A． B．C．的周期為 D．的周期為3【答案】AC【分析】根據(jù)角速度的概念、任意角的三角函數(shù)定義以及三角函數(shù)的周期公式計算.【詳解】由題可知，質(zhì)點的角速度為，因為點P為起始點，沿逆時針方向運動，設(shè)經(jīng)過時間之后所成角為，則，根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義有：，所以該質(zhì)點到x軸的距離為，故A正確，B錯誤；因為，所以的周期為，故C正確，D錯誤.故選：AC.12．已知向量，，（），則下列命題正確的是（

）A．若，則B．存在，使得C．與共線的單位向量只有一個為D．若在上的投影向量為，則向量與夾角為【答案】ABD【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)公式即可判斷A；根據(jù)結(jié)合數(shù)量積的運算律求出，即可判斷B；根據(jù)單位向量的定義判斷C；根據(jù)投影向量的定義求出，再根據(jù)向量夾角的公式即判斷D.【詳解】對于A，若，則，，，故A正確；對于B，由，，得，，若，則，所以，由，得，所以，所以，所以存在，使得，故B正確；對于C，與共線的單位向量為，故為或，故C錯誤；對于D，在上的投影向量為，所以，則，又因為，所以，即向量與夾角為，故D正確.故選：ABD.三、填空題13．已知復(fù)數(shù)滿足，則__________．【答案】.【分析】在等式兩邊同時除以，再利用復(fù)數(shù)的除法法則可得出復(fù)數(shù).【詳解】，，故答案為.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法，解題的關(guān)鍵就是從等式中得出的表達式，再結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算律得出結(jié)果.14．已知與不共線，是一組基底，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【分析】由是一組基底，可得兩個向量不共線，利用平面向量共線定理結(jié)合平面向量基本定理求出時的值，即可得解.【詳解】當(dāng)時，則存在唯一實數(shù)，使得，所以，解得，因為是一組基底，所以兩個向量不共線，所以.故答案為：.15．一艘輪船按照北偏東40°方向，以18海里/小時的速度直線航行，一座燈塔原來在輪船的南偏東20°方向上，經(jīng)過20分鐘的航行，輪船與燈塔的距離為海里，則燈塔與輪船原來的距離為_______海里.【答案】4【分析】先結(jié)合條件找出已知角及線段長，然后結(jié)合余弦定理即可直接求解．【詳解】設(shè)輪船的初始位置為A，20分鐘后輪船位置為B，燈塔位置為C，如圖所示由題意得，，，，由余弦定理得，即，解得．則燈塔與輪船原來的距離為4海里故答案為：4．16．將函數(shù)的圖象沿x軸向左平行移動個單位長度后，得到關(guān)于原點對稱的圖象，請寫出一個符合題意的，則______.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換求得，因為的圖象關(guān)于原點對稱，得到，列出方程，即可求解.【詳解】將函數(shù)的圖象沿x軸向左平行移動個單位長度后，得到函數(shù)，因為的圖象關(guān)于原點對稱，可得，即，解得，即，所以符合題意的可以是.故答案為：（答案不唯一）.四、解答題17．已知復(fù)數(shù)，，且是純虛數(shù).(1)求；(2)設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對應(yīng)的點為，，若四邊形是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，求點對應(yīng)的復(fù)數(shù).【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡復(fù)數(shù)，即可得到方程（不等式）組，即可求出的值，從而求出復(fù)數(shù)，再求出，即可求模；（2）首先表示出、的坐標(biāo)，依題意可得，即可求出點坐標(biāo)，從而求出其對應(yīng)的復(fù)數(shù).【詳解】（1）因為，所以，所以，因為是純虛數(shù)，所以，解得，所以，則，所以.（2）復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對應(yīng)的點為，，則，因為四邊形是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，所以，所以，則點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.18．已知，，.(1)求的值；(2)求向量與夾角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）直接展開，代入即可求解；（2）先分別求出，再直接代入向量夾角公式即可求解.【詳解】（1）因為，所以；（2），，所以，即向量與夾角的余弦值為.19．已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且.(1)求角A；(2)若，，求b，c的值.【答案】(1)(2)，【分析】（1）先用正弦定理邊化角，再利用三角恒等變換的公式化簡求解即可；（2）先利用正弦定理找到邊的關(guān)系，然后根據(jù)條件利用余弦定理求解即可.【詳解】（1）已知，由正弦定理得，，顯然，所以有，得，又，所以；（2）因為，由正弦定理可知，由余弦定理可得，，即，解得，所以.20．某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)在一個周期內(nèi)的簡圖時，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：(1)請將上表數(shù)據(jù)補充完整，并求出函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象橫坐標(biāo)伸長為原來的倍，縱坐標(biāo)不變可得函數(shù)的圖象.求函數(shù)在區(qū)間的最大值以及取得最大值時的集合.【答案】(1)表格數(shù)據(jù)見解析，(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可得出關(guān)于、、的方程組，可解得這三個參數(shù)的值，即可得出函數(shù)的解析式，金額可完善表格中的數(shù)據(jù)；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換可得出函數(shù)的解析式，由可求得的取值范圍，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值及其對應(yīng)的的取值集合.【詳解】（1）解：由表格中的數(shù)據(jù)可得，解得，所以，.表格數(shù)據(jù)如下表：（2）解：將函數(shù)的圖象橫坐標(biāo)伸長為原來的倍，縱坐標(biāo)不變可得函數(shù)的圖象，則，當(dāng)時，則，當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)取最大值，且，所以，函數(shù)在區(qū)間取最大值時的的取值集合為.21．如圖所示，在中，點D是邊BC的中點，點E是線段AD靠近A的三等分點.過點E的直線與邊AB，AC分別交于點P，Q.設(shè)，，其中，.(1)試用與表示，；(2)求證：為定值，并求此定值.【答案】(1)，.(2)證明見解析；定值為.【分析】（1）根據(jù)向量的平行四邊形法則和三角形法則，即可求解；（2）由題意求得，結(jié)合三點共線，得到，即可求解.【詳解】（1）解：因為點為的中點，由向量的平行四邊形法則，可得，在中，由向量的三角形法則，可得.（2）證明：在中，點為的中點，且點為靠近的三等分點，且所以,因為三點共線，所以，解得，即為定值.22．已知函數(shù)的圖象如圖所示，點B，D，F(xiàn)為與x軸的交點，