第6頁共12頁工程問題一、什么是工程問題在日常生活中，做某一件事，制造某種產品，完成某項任務，完成某項工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作時間這三個量，它們之間的基本數量關系是工作量=工作效率×時間.在小學數學中，探討這三個數量之間關系的應用題，我們都叫做“工程問題”二、工程問題存在的比例關系工作總量相同，工作效率和工作時間成反比；工作時間相同，工作效率和工作總量成正比；工作效率相同，工作時間和工作總量成正比。三、例子例：一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.問兩人合作幾天可以完成？一件工作看成1個整體，因此可以把工作量算作1.所謂工作效率，就是單位時間內完成的工作量，我們用的時間單位是“天”，1天就是一個單位，再根據基本數量關系式，得到所需時間=工作量÷工作效率=6（天）?兩人合作需要6天.一、兩個人的問題標題上說的“兩個人”，也可以是兩個組、兩個隊等等的兩個集體.例1一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.現在甲先做了3天，余下的工作由乙繼續完成.乙需要做幾天可以完成全部工作？解一：甲做了3天，完成的工作量是eq\f(3,9)=eq\f(1,3),乙還需完成的工作量是1-eq\f(1,3)=eq\f(2,3)乙每天能完成的工作量（工作效率）是eq\f(1,6)，完成余下eq\f(2,3)的工作量所需時間是eq\f(2,3)÷eq\f(1,6)=4（天）答：乙需要做4天可完成全部工作.解二：9與6的最小公倍數是18.設全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需時間是（18-2×3）÷3=4（天）.解三：甲與乙的工作效率之比是6∶9=2∶3.甲做了3天，相當于乙做了2天.乙完成余下工作所需時間是6-2=4（天）.例2一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲離開了，由乙繼續做了40天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨完成各需要多少天？解：共做了6天后，原來，甲做24天，乙做24天，現在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.這說明原來甲24天做的工作，可由乙做16天來代替.因此甲的工作效率是乙的工作效率的eq\f(16,24)=eq\f(2,3)如果乙獨做，所需時間是如果甲獨做，所需時間是答：甲或乙獨做所需時間分別是75天和50天.例3某工程先由甲獨做63天，再由乙單獨做28天即可完成；如果由甲、乙兩人合作，需48天完成.現在甲先單獨做42天，然后再由乙來單獨完成，那么乙還需要做多少天？解：先對比如下：甲做63天，乙做28天；甲做48天，乙做48天.就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的甲先單獨做42天，比63天少做了63-42=21（天），相當于乙要做兩人合作6小時，甲完成的工作量是甲單獨做時每小時完成的工作量甲單獨做這件工作需要的時間是答：甲單獨完成這件工作需要33小時.這一節的多數例題都進行了“整數化”的處理.但是，“整數化”并不能使所有工程問題的計算簡便.例8就是如此.例8也可以整數化，當求出乙每有一點方便，但好處不大.不必多此一舉.二、多人的工程問題我們說的多人，至少有3個人，當然多人問題要比2人問題復雜一些，但是解題的基本思路還是差不多.例9一件工作，甲、乙兩人合作36天完成，乙、丙兩人合作45天完成，甲、丙兩人合作要60天完成.問甲一人獨做需要多少天完成？解：設這件工作的工作量是1.甲、乙、丙三人合作每天完成減去乙、丙兩人每天完成的工作量，甲每天完成答：甲一人獨做需要90天完成.例9也可以整數化，設全部工作量為180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.請試一試，計算是否會方便些？例10一件工作，甲獨做要12天，乙獨做要18天，丙獨做要24天.這件工作由甲先做了若干天，然后由乙接著做，乙做的天數是甲做的天數的3倍，再由丙接著做，丙做的天數是乙做的天數的2倍，終于做完了這件工作.問總共用了多少天？解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）.說明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12(天），三人一共做了2+6+12=20（天）.答：完成這項工作用了20天.本題整數化會帶來計算上的方便.12，18，24這三數有一個易求出的最小公倍數72.可設全部工作量為72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.總共用了例11一項工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙兩人合作1天.問這項工程由甲獨做需要多少天？解：丙2天的工作量，相當乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，與乙做4天一樣.也就是甲做1天，相當于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.他們共同做13天的工作量，由甲單獨完成，甲需要答：甲獨做需要26天.事實上，當我們算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1，就知甲做1天，相當于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙兩人完成的工作量，可轉化為甲再做13天來完成.例12某項工作，甲組3人8天能完成工作，乙組4人7天也能完成工作.問甲組2人和乙組7人合作多少時間能完成這項工作？解一：設這項工作的工作量是1.甲組每人每天能完成乙組每人每天能完成甲組2人和乙組7人每天能完成答：合作3天能完成這項工作.解二：甲組3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙組4人7天能完成，因此7人4天能完成.現在已不需顧及人數，問題轉化為：甲組獨做12天，乙組獨做4天，問合作幾天完成？小學算術要充分利用給出數據的特殊性.解二是比例靈活運用的典型，如果你心算較好，很快就能得出答數.例13制作一批零件，甲車間要10天完成，如果甲車間與乙車間一起做只要6天就能完成.乙車間與丙車間一起做，需要8天才能完成.現在三個車間一起做，完成后發現甲車間比乙車間多制作零件2400個.問丙車間制作了多少個零件？解一：仍設總工作量為1.甲每天比乙多完成因此這批零件的總數是丙車間制作的零件數目是答：丙車間制作了4200個零件.解二：10與6最小公倍數是30.設制作零件全部工作量為30份.甲每天完成3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份.乙、丙一起，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7.已知甲、乙工作效率之比是3∶2=12∶8.綜合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是12∶8∶7.當三個車間一起做時，丙制作的零件個數是2400÷（12-8）×7=4200（個）.例14搬運一個倉庫的貨物，甲需要10小時，乙需要12小時，丙需要15小時.有同樣的倉庫A和B，甲在A倉庫、乙在B倉庫同時開始搬運貨物，丙開始幫助甲搬運，中途又轉向幫助乙搬運.最后兩個倉庫貨物同時搬完.問丙幫助甲、乙各多少時間？解：設搬運一個倉庫的貨物的工作量是1.現在相當于三人共同完成工作量2，所需時間是答：丙幫助甲搬運3小時，幫助乙搬運5小時.解本題的關鍵，是先算出三人共同搬運兩個倉庫的時間.本題計算當然也可以整數化，設搬運一個倉庫全部工作量為60.甲每小時搬運6，乙每小時搬運5，丙每小時搬運4.三人共同搬完，需要60×2÷（6+5+4）=8（小時）.甲需丙幫助搬運（60-6×8）÷4=3（小時）.乙需丙幫助搬運（60-5×8）÷4=5（小時）.三、水管問題從數學的內容來看，水管問題與工程問題是一樣的.水池的注水或排水相當于一項工程，注水量或排水量就是工作量.單位時間里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的問題，不過是工作量有加有減罷了.因此，水管問題與工程問題的解題思路基本相同.例15甲、乙兩管同時打開，9分鐘能注滿水池.現在，先打開甲管，10分鐘后打開乙管，經過3分鐘就注滿了水池.已知甲管比乙管每分鐘多注入0.6立方米水，這個水池的容積是多少立方米？甲每分鐘注入水量是乙每分鐘注入水量是因此水池容積是答：水池容積是27立方米.例16有一些水管，它們每分鐘注水量都相等.現在按預定時間注滿水池，如果開始時就打開10根水管，中途不增開水管，也能按預定時間注滿水池.問開始時打開了幾根水管？答：開始時打開6根水管.例17蓄水池有甲、丙兩條進水管，和乙、丁兩條排水管.要灌滿一池水，單開甲管需3小時，單開丙管需要5小時.要排光一池水，單開乙管需要、乙、……的順序輪流打開1小時，問多少時間后水開始溢出水池？，否則開甲管的過程中水池里的水就會溢出.以后（20小時），池中的水已有此題與廣為流傳的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉進了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到達井口，每小時它總是爬3尺，又滑下2尺.問這只青蛙需要多少小時才能爬到井口？看起來它每小時只往上爬3-2=1（尺），但爬了27小時后，它再爬1小時，往上爬了3尺已到達井口.因此，答案是28小時，而不是30小時.例18一個蓄水池，每分鐘流入4立方米水.如果打開5個水龍頭，2小時半就把水池水放空，如果打開8個水龍頭，1小時半就把水池水放空.現在打開13個水龍頭，問要多少時間才能把水放空？解：先計算1個水龍頭每分鐘放出水量.2小時半比1小時半多60分鐘，多流入水4×60=240（立方米）.時間都用分鐘作單位，1個水龍頭每分鐘放水量是240÷（5×150-8×90）=8（立方米），8個水龍頭1個半小時放出的水量是8×8×90，其中90分鐘內流入水量是4×90，因此原來水池中存有水8×8×90-4×90=5400（立方米）.打開13個水龍頭每分鐘可以放出水8×13，除去每分鐘流入4，其余將放出原存的水，放空原存的5400，需要5400÷（8×13-4）=54（分鐘）.答：打開13個龍頭，放空水池要54分鐘.水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水，就需要分開考慮，解本題的關鍵是先求出池中原存有的水.這在題目中卻是隱含著的.例19一個水池，地下水從四壁滲入池中，每小時滲入水量是固定的.打開A管，8小時可將滿池水排空，打開C管，12小時可將滿池水排空.如果打開A，B兩管，4小時可將水排空.問打開B，C兩管，要幾小時才能將滿池水排空？解：設滿水池的水量為1.A管每小時排出A管4小時排出因此，B，C兩管齊開，每小時排水量是B，C兩管齊開，排光滿水池的水，所需時間是答：B，C兩管齊開要4小時48分才將滿池水排完.本題也要分開考慮，水池原有水（滿池）和滲入水量.由于不知具體數量，像工程問題不知工作量的具體數量一樣.這里把兩種水量分別設成“1”.但這兩種量要避免混淆.事實上，也可以整數化，把原有水設為8與12的最小公倍數24.17世紀英國偉大的科學家牛頓寫過一本《普遍算術》一書，書中提出了一個“牛吃草”問題，這是一道饒有趣味的算術題.從本質上講，與例18和例19是類同的.題目涉及三種數量：原有草、新長出的草、牛吃掉的草.這與原有水量、滲入水量、水管排出的水量，是完全類同的.例20有三片牧場，場上草長得一樣密，而且長得一草；21頭牛9星期吃完第二片牧場的草.問多少頭牛18星期才能吃完第三片牧場的草？解：吃草總量=一頭牛每星期吃草量×牛頭數×星期數.根據這一計算公式，可以設定“一頭牛每星期吃草量”作為草的計量單位.原有草+4星期新長的草=12×4.原有草+9星期新長的草=7×9.由此可得出，每星期新長的草是（7×9-12×4）÷（9-4）=3.那么原有草是7×9-3×9=36（或者12×4-3×4）.對第三片牧場來說，原有草和18星期新長出草的總量是這些草能讓90×7.2÷18=36（頭）牛吃18個星期.答：36頭牛18個星期能吃完第三片牧場的草.例20與例19的解法稍有一點不一樣.例20把“新長的”具體地求出來，把“原有的”與“新長的”兩種量統一起來計算.事實上，如果例19再有一個條件，例如：“打開B管，10小時可以將滿池水排空.”也就可以求出“新長的”與“原有的”之間數量關系.但僅僅是例19所求，是不需要加這一條件.好好想一想，你能明白其中的道理嗎？“牛吃草”這一類型問題可以以各種各樣的面目出現.限于篇幅，我們只再舉一個例子.例21畫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