第九模塊專題突破【課標要求】1.能綜合運用所學數學知識解決規律探究、存在性、最值、運動型等問題。2.能運用方程、不等式、函數等數學知識解決現實生活問題?！究键c梳理】1.規律探究問題所謂的規律探究型問題是指根據已知條件所提供的若干特例,通過觀察、類比、歸納,發現問題中的數學對象所具有的規律性的問題.一般地,規律探究型問題主要有以下兩種:規律探究問題、規律探究問題.2.方案與決策問題方案與決策問題，出題背景常為生活中的多種方案及經濟中的最省、最大利潤等,一般結合等考點命題有關最值和定值的題目常與圖象、問題、問題等相結合,難度較大.所謂存在性問題是指根據題目所給的,探究是否存在符合要求的,存在性問題可抽象理解為“已知事項M,是否存在具有某種性質的對象Q”.運動型問題主要分為：、、圖形的運動型問題。主要類型:1.常見圖形面積的計算，一般用來解.2.非常規圖形面積的計算，將非常規圖形面積用常見圖形面積的來表示.探究問題包括從中探究、從的探究、存在性探究、動態探究等.全等變換1.；2.；3..相似變換：位似；【典型例題】知識點1.規律探究問題例1.在平面直角坐標系中，直線l：y＝x+1與y軸交于點A1，如圖所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，點A1，A2，A3，A4，……在直線l上，點C1，C2，C3，C4，……在x軸正半軸上，則前2020個正方形對角線長的和是．跟蹤訓練：OOyx(A)A1C112BA2A3B3B2B1第1題圖2.若a1＝1－eq\f(1,m)，a2＝1－eq\f(1,a1)，a3＝1－eq\f(1,a2)，…，則a2020的值為．(用含m的代數式表示)知識點2.方案與決策問題例2.為落實“綠水青山就是金山銀山”的發展理念,某市政部門招標一工程隊負責在山腳下修建一座水庫的土方施工任務.該工程隊有A,B兩種型號的挖掘機,已知3臺A型和5臺B型挖掘機同時施工一小時挖土165立方米;4臺A型和7臺B型挖掘機同時施工一小時挖土225立方米.每臺A型挖掘機一小時的施工費用為300元,每臺B型挖掘機一小時的施工費用為180元.(1)分別求每臺A型,B型挖掘機一小時挖土多少立方米;(2)若不同數量的A型和B型挖掘機共12臺同時施工4小時,至少完成1080立方米的挖土量,且總費用不超過12960元.問施工時有哪幾種調配方案,并指出哪種調配方案的施工費用最低,最低費用是多少元.跟蹤訓練：3.某學校是乒乓球體育傳統項目學校,為進一步推動該項目的開展,學校準備到體育用品店購買直拍球拍和橫拍球拍若干副,并且每買一副球拍必須要買10個乒乓球,乒乓球的單價為2元,若購買20副直拍球拍和15副橫拍球拍花費9000元;購買10副橫拍球拍比購買5副直拍球拍多花費1600元.(1)求兩種球拍每副各多少元;(2)若學校購買兩種球拍共40副,且直拍球拍的數量不多于橫拍球拍數量的3倍,請你給出一種費用最少的方案,并求出該方案所需費用.知識點3.最值問題例3.如圖,在平面直角坐標系中,反比例函數y=(x>0)的圖象與邊長是6的正方形OABC的兩邊AB,BC分別相交于M,N兩點,△OMN的面積為10.若動點P在x軸上,則PM+PN的最小值是.跟蹤訓練：4.如圖,Rt△ABC中,AB⊥是△ABC內部的一個動點,且滿足∠PAB=∠PBC,則線段CP長的最小值為.知識點4.存在性問題例4.拋物線與x軸交于A、B兩點（A點在B點左側），與y軸交于點C．動直線EF（EF//x軸）從點C開始，以每秒1個單位的速度沿y軸負方向平移，且分別交y軸、線段BC于E、F兩點，動點P同時從點B出發，在線段OB上以每秒2個單位的速度向原點O運動．是否存在t，使得△BPF與△ABC相似．若存在，試求出t的值；若不存在，請說明理由．跟蹤訓練：5.在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝－x2+2x＋3與x軸交于A、B兩點，點M在這條拋物線上，點P在y軸上，如果以點P、M、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形，求點M的坐標．知識點5.運動型問題例5.如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=-1,且經過A(1,0),C(0,3)兩點,與x軸的另一個交點為B.(1)若直線y=mx+n經過B,C兩點,求拋物線和直線BC的解析式;(2)在拋物線的對稱軸x=-1上找一點M,使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小,求點M的坐標;(3)設點P為拋物線的對稱軸x=-1上的一個動點,求使△BPC為直角三角形的點P的坐標.跟蹤訓練：6.如圖,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,點E、F同時由A、C兩點出發,分別沿AB、CB方向向點B勻速移動(到點B為止),點E的速度為1cm/s,點F的速度為2cm/s,經過t秒△DEF為等邊三角形,則t的值為.

例6.如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,以頂點C為圓心,適當長為半徑畫弧,分別交AC,BC于點E,F,再分別以點E,F為圓心,大于EF的長為半徑畫弧,兩弧交于點P,作射線CP交AB于點D,若BD=3,AC=10,則△ACD的面積是.跟蹤訓練：7.如圖,P為等邊三角形ABC內的一點,且P到三個頂點A,B,C的距離分別為3,4,5,則△ABC的面積為.扇形MON的兩條半徑OM,ON重合,圍成圓錐,將此圓錐的底面半徑記為r1;將扇形DEF以同樣方法圍成的圓錐的底面半徑記為r2,則r1∶r2=.例7.如圖,點E在△DBC的邊DB上,點A在△DBC內部,∠DAE=∠BAC=90°,AD=AE,AB=AC.給出下列結論:①BD=CE;②∠ABD+∠ECB=45°;③BD⊥CE;④BE2=2(AD2+AB2)-CD2.其中正確的有.跟蹤訓練：如圖所示,已知△ABC中,BC=12,BC邊上的高h=6,D為BC上一點,EF∥△DEF的面積y關于x的函數圖象大致為()例8.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=2,點D是BC的中點,點E是AB邊上一動點,沿DE所在直線把△BDE翻折到△△AB'F為直角三角形,則AE的長為.跟蹤訓練：α(0°<α<360°),得到矩形AEFG.(1)如圖,當點E在BD上時.求證:FD=CD;(2)當α為何值時,GC=GB?畫出圖形,并說明理由.【鞏固提升】1.如圖所示的運算程序中，若開始輸入的值為48，我們發現第1次輸出的結果為24，第2次輸出的結果為12，……第2019次輸出的結果為_____．2.如圖,AB⊥y軸,垂足為B,將△ABO繞點A逆時針旋轉到△AB1O1的位置,使點B的對應點B1落在直線y=-x上,再將△AB1O1繞點B1逆時針旋轉到△A1B1O2的位置,使點O1的對應點O2落在直線y=-x上,………依次進行下去,若點B的坐標是(0,1),則點O12的坐標為.3.如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,E是AB邊的中點,F是線段BC上的動點,將△EBF沿EF所在直線折疊得到△EB'F,連接B'D,則B'D的最小值是.4.為了更好地保護美麗如畫的邛海濕地,西昌市污水處理廠決定先購買A、B兩型污水處理設備共20臺,對邛海濕地周邊污水進行處理,每臺A型污水處理設備12萬元,每臺B型污水處理設備10萬元.已知1臺A型污水處理設備和2臺B型污水處理設備每周可以處理污水640噸,2臺A型污水處理設備和3臺B型污水處理設備每周可以處理污水1080噸.(1)求A、B兩型污水處理設備每周分別可以處理污水多少噸;(2)經預算,市污水處理廠購買設備的資金不超過230萬元,每周處理污水的量不低于4500噸,請你列舉出所有購買方案,并指出哪種方案所需資金最少,最少是多少?5.拋物線y＝ax2＋bx－3與x軸交于A(1,0)、B(3,0)兩點，與y軸交于點D，頂點為C．（1）求此拋物線的解析式；（2）在x軸下方的拋物線上是否存在點M，過M作MN⊥x軸于點N，使以A、M、N為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．6.邊長為2的正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點（點P與A、C不重合），連接BP，將BP繞點B順時針旋轉90°到BQ，連接QP，QP與BC交于點E，QP延長線與AD（或AD延長線）交于點F．（1）連接CQ，證明：CQ=AP；（2）設AP=x，CE=y，試寫出y關于x的函數關系式，并求當x為何值時，CE=BC；（3）猜想PF與EQ的數量關系，并證明你的結論．7.定義：如果一個數的平方等于，記為，這個數叫做虛數單位，把形如的數叫做復數，其中叫這個復數的實部，叫做這個復數的虛部.它的加，減，乘法運算與整式的加，減，乘法運算類似．例如計算：；；根據以上信息，完成下列問題：(1)填空：，；(2)計算：；(3)計算：．8.如圖1，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，∠ABD+∠ADB=∠ACB．（1）填空：∠BAD與∠ACB的數量關系為；（2）求的值；（3）將△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如圖2），連接BA′，與CD相交于點P．若CD=，求PC的長．9.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中線，AC=BC，一個以點D為頂點的45°角繞點D旋轉，使角的兩邊分別與AC、BC的延長線相交，交點分別為點E，F，DF與AC交于點M，DE與BC交于點N．（1）如圖1，若CE=CF，求證：DE=DF；（2）如圖2，在∠EDF繞點D旋轉的過程中：①探究三條線段AB，CE，CF之間的數量關系，并說明理由；②若CE=4，CF=2，求DN的長．10.如圖1，拋物線y=ax2+bx+c經過平行四邊形ABCD的頂點A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），拋物線與x軸的另一交點為E．經過點E的直線l將平行四邊形ABCD分割為面積相等兩部分，與拋物線交于另一點F．點P在直線l上方拋物線上一動點，設點P的橫坐標為t（1）求拋物線的解析式；（2）當t何值時，△PFE的面積最大？并求最大值的立方根；（3）是否存在點P使△PAE為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．第九模塊專題突破參考答案【考點梳理】1.數式類，圖形類.2.方程(組)或不等式(組.3.函數，存在性，運動.4.條件，結論.5.點、線.6.公式，和或差.7.實踐，特殊到一般.8.平移；軸對稱；旋轉【典型例題】（22020﹣1）跟蹤訓練：1..2.例2.解：(1)設每臺A型,B型挖掘機一小時分別挖土x立方米和y立方米,根據題意,得解得：所以,每臺A型挖掘機一小時挖土30立方米,每臺B型挖掘機一小時挖土15立方米.(2)設總費用為W元,A型挖掘機有m臺(m為正整數),則B型挖掘機有(12-m)臺,(12-m)為正整數.根據題意,得W=4×300m+4×180(12-m)=480m+8640,由解得：因為m≠12-m,且m為正整數,即m≠6,且m為正整數,所以7≤m≤9,所以,共有三種調配方案:方案一:當m=7時,12-m=5,即A型挖掘機7臺,B型挖掘機5臺;方案二:當m=8時,12-m=4,即A型挖掘機8臺,B型挖掘機4臺;方案三:當m=9時,12-m=3,即A型挖掘機9臺,B型挖掘機3臺.∵480>0,由一次函數的性質可知,W隨m的增大而增大,∴當m=7時,W最小=480×7+8640=12000,∴調配方案為A型挖掘機7臺,B型挖掘機5臺時,施工費用最低,最低費用為12000元.3.解：(1)設直拍球拍每副x元,橫拍球拍每副y元,由題意得,解得答:直拍球拍每副220元,橫拍球拍每副260元.(2)設購買直拍球拍m副,則購買橫拍球拍(40-m)副,由題意得m≤3(40-m),解得m≤30,設買40副球拍所需的費用為w元,則w=(220+20)m+(260+20)(40-m)=-40m+11200,∵-40<0,∴w隨m的增大而減小,∴當m=30時,w取最小值,最小值為-40×30+11200=10000(元).答:當購買直拍球拍30副,橫拍球拍10副時,費用最少,最少費用為10000元.例3.解：∵正方形OABC的邊長是6,∴點M的橫坐標和點N的縱坐標為6,∴M(6,),N(,6),∴BN=6-,BM=6-,∵△OMN的面積為10,∴6×6-×6×-×6×-×(6-)2=10,∴k=24(舍負),∴M(6,4),N(4,6),作M關于x軸的對稱點M',連接NM'交x軸于點P,則NM'的長即為PM+PN的最小值,∵AM=AM'=4,∴BM'=10,BN=2,∴NM'=跟蹤訓練：4.2.例4.解析：△BPF與△ABC有公共角∠B，那么我們梳理兩個三角形中夾∠B的兩條邊．△ABC是確定的．由，可得A(4,0)、B(8,0)、C(0,4)．于是得到BA＝4，BC＝．還可得到．△BPF中，BP＝2t，那么BF的長用含t的式子表示出來，問題就解決了．在Rt△EFC中，CE＝t，EF＝2t，所以．因此．于是根據兩邊對應成比例，分兩種情況列方程：①當時，．解得（如圖1-2）．②當時，．解得（如圖1-3）．圖1-2圖1-3跟蹤訓練：5.【解析】在P、M、A、B四個點中，A、B是確定的，以AB為分類標準．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．①如圖1，當AB是平行四邊形的對角線時，PM與AB互相平分，因此點M與點P關于AB的中點（1,0）對稱，所以點M的橫坐標為2．此時M(2，3)．②如圖2，圖3，當AB是平行四邊形的邊時，PM//AB，PM＝AB＝4．所以點M的橫坐標為4或－4．所以M(4,－5)或(－4,－21)．我們看到，因為點P的橫坐標是確定的，在解圖1時，根據對稱性先確定了點M的橫坐標；在解圖2和圖3時，根據平移先確定了點M的橫坐標．圖1圖2圖3例5.解：(1)依題意,得解得∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+3.∵對稱軸為直線x=-1,且拋物線經過點A(1,0),∴B(-3,0).把(-3,0)、(0,3)分別代入y=mx+n,得解得∴直線BC的解析式為y=x+3.(2)存在.由拋物線的性質知MA=MB,∴MA+MC=MB+MC.∴要使MA+MC最小,則點M應為直線BC與對稱軸x=-1的交點.把x=-1代入y=x+3,得y=2.∴M(-1,2).(3)設P(-1,t),結合B(-3,0),C(0,3),得BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10.①若B為直角頂點,則BC2+PB2=PC2,即18+4+t2=t2-6t+10,解得t=-2.②若C為直角頂點,則BC2+PC2=PB2,即18+t2-6t+10=4+t2,解得t=4.③若P為直角頂點,則PB2+PC2=BC2,即4+t2+t2-6t+10=18,解得t1=,t2=.綜上所述,滿足條件的點P共有四個,坐標分別為P1(-1,-2),P2(-1,4),P3,P4.跟蹤訓練：.例6.15跟蹤訓練：①②③=4\*GB3④D例8.10.解：(1)證明:設EF與AD交于點O,由旋轉的性質可得,AE=AB,∠AEF=∠ABC=∠DAB=90°,EF=BC=AD,∴∠AEB=∠ABE.又∵∠ABE+∠EDA=90°=∠AEB+∠DEF,∴∠EDA=∠DEF,∴DO=EO.∴OA=OF.又∵∠DOF=∠EOA,∴△DOF≌△EOA(SAS),∴FD=AE.又∵AE=AB=CD,∴CD=FD.(2)當GB=GC時,點G在BC的垂直平分線上.理由如下:分兩種情況討論:①當點G在AD右側時,取BC的中點H,連接GH交AD于點M,連接GD,GB,GC,∵GC=GB,H為BC中點,∴GH⊥BC.∴四邊形ABHM是矩形,∴AM=BH=AD=AG,∴GM垂直平分AD,∴GD=GA=DA,∴△ADG是等邊三角形,∴∠DAG=60°,∴旋轉角α=60°;②當點G在AD左側時,同理可得△ADG是等邊三角形,∴∠DAG=60°,∴旋轉角α=360°-60°=300°.【鞏固提升】6.2.O12(-9-9,9+3).3.2-2.4.解析(1)設一臺A型污水處理設備每周處理污水x噸,一臺B型污水處理設備每周處理污水y噸,根據題意有解之得即A、B兩種污水處理設備每周可處理污水240噸、200噸.(2)設購買A型污水處理設備z臺,則購買B型污水處理設備(20-z)臺,根據題意有解之得≤z≤15.由于z必須為整數,所以z的取值為13、14或15,因此購買方案及所需資金如下表:A型污水處理設備(臺)B型污水處理設備(臺)所需資金(萬元)第一種方案13713×12+7×10=226第二種方案14614×12+6×10=228第三種方案15515×12+5×10=230顯然第一種方案:購買A型污水處理設備13臺、B型污水處理設備7臺所需資金最少,最少資金為226萬元.5.【解析】△AMN是直角三角形，因此必須先證明△BCD是直角三角形．一般情況下，根據直角邊對應成比例分兩種情況列方程．（1）拋物線的解析式為y＝－x2＋4x－3．（2）由y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，得D(0,－3)，C(2,1)．如圖3-2，由B(3,0)、D(0,－3)、C(2,1)，可知∠CBO＝45°，∠DBO＝45°．所以∠CBD＝90°，且．圖3-2圖3-3圖3-4設點M、N的橫坐標為x，那么NM＝－yM，而NA的長要分N在A的右邊或左邊兩種情況，因此列方程要“兩次分類”：當N在A右側時，NA＝x－1，分兩種情況列方程：①當時，．解得．此時M（如圖3-3）．②當時，．解得x＝6．此時M(6,－15)（如圖3-5）．當N在A左側時，NA＝1－x，也要分兩種情況列方程：①當時，．解得＞1，不符合題意（如圖3-4）．②當時，．解得x＝0，此時M(0,－3)（如圖3-6）．圖3-5圖3-66.答案（1）證明見解析；（2）當x=3或1時，CE=BC；（3）.結論：PF=EQ，解析試題分析：（1）證出∠ABP=∠CBQ，由SAS證明△BAP≌△BCQ可得結論；（2）如圖1證明△APB∽△CEP，列比例式可得y與x的關系式，根據CE=BC計算CE的長，即y的長，代入關系式解方程可得x的值；（3）如圖3，作輔助線，構建全等三角形，證明△PGB≌△QEB，得EQ=PG，由F、A、G、P四點共圓，得∠FGP=∠FAP=45°，所以△FPG是等腰直角三角形，可得結論．如圖4，當F在AD的延長線上時，同理可得結論．（2）解：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠BAD=45°，∠BCA=∠BCD=45°，∴∠APB+∠ABP=180°﹣45°=135°，∵DC=AD=2，由勾股定理得：AC=，∵AP=x，∴PC=4﹣x，∵△PBQ是等腰直角三角形，∴∠BPQ=45°，∴∠APB+∠CPQ=180°﹣45°=135°，∴∠CPQ=∠ABP，∵∠BAC=∠ACB=45°，∴△APB∽△CEP，∴，∴，∴y=x（4﹣x）=﹣（0＜x＜4），由CE=BC=，∴y=﹣，x2﹣4x=3=0，（x﹣3）（x﹣1）=0，x=3或1，∴當x=3或1時，CE=BC；當F在AD的延長線上時，如圖4，同理可得：PF=PG=EQ．解：（1）-i，1；（2）原式=3-4i+3i-4i2=3-i+4=7-i（3）原式=i+（-1）+（-i）+1+…+i=i8.解：（1）如圖1中，在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，又∵∠ABD+∠ADB=∠ACB，∴∠BAD+∠ACB=180°，故答案為∠BAD+∠ACB=180°．（2）如圖1中，作DE∥AB交AC于E．∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE，∵OB=OD，∴△OAB≌△OED，∴AB=DE，OA=OE，設AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°，∴∠EDA=∠ACB，∵∠DEA=∠CAB，∴△EAD∽△ABC，∴∴=，∴4y2+2xy﹣x2=0，∴（）2+﹣1=0，∴=（負根已經舍棄），∴（3）如圖2中，作DE∥AB交AC于E．由（1）可知，DE=CE，∠DCA=∠DCA′，∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′，∴DE∥CA′∥AB，∴∠ABC+∠A′CB=180°，∵△EAD∽△ACB，∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C，∴∠DA′C+∠A′CB=180°，∴A′D∥BC，∴△PA′D∽△PBC，∴，∴，即∵CD=，∴PC=1．9.（1）證明：∵∠ACB=90°，AC=BC，AD=BD，∴∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF=90°，∴∠DCE=∠DCF=135°，在△DCE與△DCF中，，∴△DCE≌△DCF，∴DE=DF；（2）解：①∵∠DCF=∠DCE=135°，∴∠CDF+∠F=180°﹣135°=45°，∵∠CD