初等變換與逆矩陣第1頁，共19頁，2023年，2月20日，星期日初等變換與逆矩陣第2頁，共19頁，2023年，2月20日，星期日復習提問那些變換是初等變換?逆矩陣的概念?那些矩陣是初等變換矩陣?第3頁，共19頁，2023年，2月20日，星期日問題提出前面,我們已經知道了如何從幾何上求初等變換矩陣的逆矩陣對一般的矩陣,如何從幾何上求出它的逆矩陣呢?第4頁，共19頁，2023年，2月20日，星期日實例分析xyO654321123-2-1CAByxO123456654321-3-2-1C’A’B’M點A(1,0)變成A’(3,-1);點B(0,1)變成B’(-2,4);點C(3,2)變成C’(5,5);四邊形AOBC變成四邊形A’OB’C’第5頁，共19頁，2023年，2月20日，星期日xyO654321123-2-1CAByxO123456654321-3-2-1C’A’B’如何從幾何上求矩陣M的逆矩陣呢?點A’(3,-1)變回點A(1,0);點B’(-2,4)變回點B(0,1);點C’(5,5)變回點C(3,2);求矩陣M的逆矩陣,從幾何上,就是確定一個矩陣變換,它把第6頁，共19頁，2023年，2月20日，星期日確定一個矩陣變換,使得A’(3,-1)變回到A(1,0).yxO

123456654321-3-2-1A’A可以通過兩個初等變換實現把點A’變回到A第一步,只需把點A’(3,-1)垂直向y軸方向壓縮為

使A’變成A1(1,-1);第二步,實施沿y軸正方向的切變即可把點A1(1,-1)變

到點A(1,0)第一步第二步第7頁，共19頁，2023年，2月20日，星期日連續實施M1,M2表示的變換即實施矩陣M2M1表示的變換,可以把點A’變回點A.第8頁，共19頁，2023年，2月20日，星期日點B’在M2M1的作用下yxO

123456654321-3-2-1B”B’點B’變成了點要確定一個矩陣變換,將點B”變回到點B,但同時使點A保持不變第9頁，共19頁，2023年，2月20日，星期日由于點A在x軸上,因此向x軸的垂直壓伸變換沿x軸切變均能保證點A不變.用這樣的初等變換把點B”變回到B.第三步第四步第10頁，共19頁，2023年，2月20日，星期日連續實施M1,M2表示的變換即實施矩陣M2M1表示的變換,可以把點B”變回點B,而點A沒變.yxO

123456654321-3-2-1B”B第11頁，共19頁，2023年，2月20日，星期日這樣,我們找到了四個初等變換矩陣M1M2M3M4

依次連續實施這四個初等變換,把點A’(3,-1)及B’(-2,4),分別變回點A(1,0),B(0,1)即矩陣N=M4M3M2M1,使得第12頁，共19頁，2023年，2月20日，星期日第13頁，共19頁，2023年，2月20日，星期日思考交流請同學們利用逆矩陣的定義驗證矩陣第14頁，共19頁，2023年，2月20日，星期日抽象概括第15頁，共19頁，2023年，2月20日，星期日求一般可逆矩陣M的逆矩陣的步驟③②①M的逆矩陣M-1就可以表示為這兩組初等變換矩陣的乘積第16頁，共19頁，2023年，2月20日，星期日一般地,任一可逆矩陣,一定可以分解為一系列初等變換矩陣的乘積.從幾何上說,任一可逆矩陣表示的變換,總可以分解為一系列初等變換(如反射變換、壓伸變換、切變等)的合成.第17頁，共19頁，2023年，2月20日，星期日小結任一可逆矩陣及其逆矩陣可以由一系列初等變換矩陣的