數學核心概念意象構建的理論與實踐

數學核心概念往往是教學的重點與難點，又是相應數學學科發明的本源，為了突破難點，加強理解，提高思維能力，構建其意象乃是必由之路。下面循著筆者思維的軌跡說明其理論和實踐的意義。一、向量的意象向量是向量分析的基本概念，歷史上多用物理學中的力為意象，如利用兩力合成的實驗引入向量加法的平行四邊形法則。但應用平行四邊形法則求兩力的合力時，計算中要用到余弦定理。在當年教學上余弦定理要在高一下學期才學到，對于高一上的物理教學十分不便。如何解決這一矛盾，迫使筆者另覓出路，這是上世紀五十年代的事。筆者嘗試用位移作向量的意象，物體從點A運動到點B，其位移為向量。再從點B運動到點C，其位移為。兩次運動的合成，其位移為。根據位移與運動的路徑無關，可知兩次運動合成即與從點A運動到點C所產生的位移一樣，從而有于是向量加法的三角形法則躍然紙上。位移是看得見摸得著的向量，既然其加法服從三角形法則，可以推想一切向量的加法均服從三角形法則，從此建立向量加法定義是合情合理的。定義先將向量b平移使其始點與a的終點重合，則以a的始點為始點，b的終點為終點的向量c，稱為向量a與向量b的和向量。記作a+b=c。圖1如圖1，圖2從此推出向量加法的多邊形法則。并證明了向量加法服從加法結合律。這樣處理向量的線性運算十分方便。再從此引入向量的正交分解，就方便地使向量的加減運算化歸為實數運算，而不必應用余弦定理了。這說明向量的意象用位移取代力的優越性。這一改變始于上世紀六十年代，七十年代美國的物理教學中也作了類似的改革，時至今日已是人們的共識。這一變革的經歷說明了數學核心概念的意象的恰當構建既有理論意義更有實踐價值。二、三角函數概念意象的構建三角函數概念發源于三角形邊、角關系的定量研究。后受函數概念的滲透與實際應用的刺激，角的概念的推廣經歐拉的天才改建，引入沿用至今的坐標定義。此后由于教學的方便取r=1，應用單位圓，引入圓函數，這又是教材中普遍采用的觀點。筆者受到力學求共面作用于同一點諸力的合力的啟發，發覺三角函數與力的正交分解有密切的聯系，如果利用向量改造任意角三角函數的定義將為運算帶來極大便利，與向量的坐標相結合可以構建三角函數的活動模型為三角函數的學習創造新的體系。圖3圖4上述定義與傳統定義顯然是等價的。三角函數的活動模型（即三角函數的意象）中點P的坐標，實際就是(cosθ,sinθ)。在模型中轉化為x軸上的有向線段OM的數量和y軸上的有向線段ON的數量。當θ變化時，觀察OM、ON的變化規律，即可把握cosθ、sinθ變化的規律，使余弦函數、正弦函數的性質盡顯眼底。余弦函數、正弦函數的定義域、零點、正、負值區間、值域（包括最大值和最小值）、周期性、奇偶性、單調性。并畫出余弦、正弦函數的圖象。利用向量的坐標表示可以方便地推導誘導公式、加法定理，還可以利用向量工具推出正弦定理、余弦定理，一部三角學都成了三角函數定義的直接推論。整部三角學仿佛就是學生自己發明的一樣。有了三角函數概念系統的改造，建立如上的活動模型（即意象）不僅建立了三角學的新體系，同時把向量的一維向量、二維向量、三維向量的基本定理，轉化成直線坐標系、平面直角坐標系、空間直角坐標系的基本定理（這些定理乃是解析幾何發明的本源）可以使解析幾何中的幾何量轉化成其坐標表達式（即數學符號語言）。許多定理、公式也都成了學生創新思維實踐的成果，從而體會構建數學核心概念的意象的理論價值和實踐意義。三、數列極限概念的意象數學極限概念是極限論的基礎，即極限論的核心概念之一，在此基礎上發展到函數極限概念，它既是教學的重點，更是教學的難點，如何突破這一難點，數學家與數學教育家作過大量的研究。在1966年正值十年浩劫前夕，筆者對此作過探索，雖然遭遇空前的干擾，但樂此不疲。在微積分誕生之前，人們已經多次碰到常量數學無法解決的問題，如圓周長、圓面積、拋物拱面積等等，在常量數學無能為力的面前，出路何在？在無法求精確解的困難下，自然想到求近似解來代替精確值。開始階段，求得的近似解誤差比較大。如古代我國有“徑一周三”之說，實際求得圓周率的近似值3，隨著生產力的發展，要求的精確度逐步提高，通過不斷改進，求出的近似值的誤差越來越小，但不論誤差多小，結果仍為近似值，只有人們從求近似值的過程中進行反思，發現近似值乃是某變量的函數，觀察到一系列近似值的演變趨勢不斷向一定值逼近，憑直覺猜想這一定值就是所求問題的精確解，這一猜想是否正確？如何判斷其正確或謬誤呢？在微積分誕生的初期，人們一直為此苦惱，也由此發生不少錯誤，直至柯西提出極限的嚴格定義，更確切的說是魏爾斯特拉斯提出ε-N、ε-δ語言以后，才使微積分奠定在嚴密的邏輯基礎之上，極限思想才有了嚴密的表述，下面先從一個實例分析開始。例一矩形閘門寬1米，長4米，水深3米，如圖5，圖中單位為米，求閘門受到的壓力是多少？圖5由于壓強隨水深而變化，故應用常量數學無法求精確解，不得已求其近似解，將閘門沿水深方向分為n等分，分別求其所受壓力的近似值，然后加起來。其每層所受壓強如下所示：就多小，精確地刻畫了確實向定值A無限逼近”。這里借助絕對誤差與絕對誤差界ε，揭示了數列極限概念的本質屬性，構建了數列極限的意象，它并非幾何形象，但仍然有助于對概念的理解與鞏固記憶，這說明概念的意象并非一定是具有幾何形象，只要是能揭示概念本質屬性，便于深刻理解與應用就可以了。教學實踐證明，利用上述“誤差模型”能幫助學生突破難點，取得較好的效果。1980年初，筆者的一堂研究課，近90%的學生當堂理解了數列極限的概念。并能正確應用求出簡單數列的極限。值得指出的是：如果把理解為數列在數軸上的對應點與點A的距離，ε是任意小一段距離，前人已成功地構建了數列極限的幾何模型：當n無限變大時，在n＞N的條件下，數列的對應點都落在點A的ε鄰域(A-ε,A+ε)中，則可以無限逼近定值A，即。這一幾何模型也是數列極限概念的意象，它卻是有形的幾何圖，一樣起到加深理解，便于記憶鞏固應用的作用。以上的論述都揭示在數學核心概念的教學中，恰當地構建概念、原理的意象對概念的理解、應用、鞏固記憶都有不可忽