千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦初等數論考試試卷1初等數論考試試卷1

一、單項挑選題(每題3分，共18分)

1、假如ab，ba，則().

Aba=

Bba-=

Cba≤

Dba±=

2、假如n3，n5，則15（）n.

A整除

B不整除

C等于

D不一定

3、在整數中正素數的個數（）.

A有1個

B有限多

C無限多

D不一定

4、假如)(modmba≡,c是隨意整數,則

A)(modmbcac≡

Bba=

CacT)(modmbc

Dba≠

5、假如(),則不定方程cbyax=+有解.

Acba),(

B),(bac

Cca

Daba),(

6、整數5874192能被()整除.

A3

B3與9

C9

D3或9

二、填空題(每題3分，共18分)

1、素數寫成兩個平方數和的辦法是（）.

2、同余式)(mod0mbax≡+有解的充分須要條件是().

3、假如ba,是兩個正整數,則不大于a而為b的倍數的正整數的個數為().

4、假如p是素數,a是隨意一個整數,則a被p整除或者().

5、ba,的公倍數是它們最小公倍數的().

6、假如ba,是兩個正整數,則存在()整數rq,,使rbqa+=,br≤0.

三、計算題(每題8分，共32分)

1、求[136,221,391]=?

2、求解不定方程144219=+yx.

3、解同余式)45(mod01512≡+x.

4、求???

??563429,其中563是素數.（8分）

四、證實題(第1小題10分，第2小題11分，第3小題11分，共32分)

1、證實對于隨意整數n,數6233

2

nnn

++是整數.

2、證實相鄰兩個整數的立方之差不能被5整除.

3、證實形如14-n的整數不能寫成兩個平方數的和.

試卷1答案

一、單項挑選題(每題3分，共18分)

1、D.

2、A

3、C

4、A

5、A

6、B

二、填空題(每題3分，共18分)

1、素數寫成兩個平方數和的辦法是（唯一的）.

2、同余式)(mod0mbax≡+有解的充分須要條件是(bma),().

3、假如ba,是兩個正整數,則不大于a而為b的倍數的正整數的個數為(][ba

).

4、假如p是素數,a是隨意一個整數,則a被p整除或者(與p互素).

5、ba,的公倍數是它們最小公倍數的(倍數).

6、假如ba,是兩個正整數,則存在(唯一)整數rq,,使rbqa+=,br≤0.

三、計算題(每題8分，共32分)

1、求[136,221,391]=?（8分）

解[136,221,391]

=[[136,221],391]=[391

,17221136?]

=[1768,391](4分)=17391

1768?

=104?391

=40664.（4分）

2、求解不定方程144219=+yx.（8分）

解：由于（9，21）=3，1443，所以有解；（2分）

化簡得4873=+yx；（1分）

考慮173=+yx，有1,2=-=yx，（2分）

所以原方程的特解為48,96=-=yx，（1分）

因此，所求的解是Zttytx∈-=+-=,348,796。（2分）

3、解同余式)45(mod01512≡+x.（8分）

解由于(12,45)=3|5,所以同余式有解,而且解的個數為3.（1分）又同余式等價于)15(mod054≡+x,即yx1554=+.（1分）我們利用解不定方程的辦法得到它的一個解是(10,3),（2分）

即定理4.1中的100=x.（1分）

因此同余式的3個解為

)45(mod10≡x,（1分）

)45(mod25)45(mod34510≡+≡x,（1分）

)45(mod40)45(mod345210≡?

+≡x.（1分）

4、求?

????563429,其中563是素數.（8分）

解把????

?563429看成Jacobi符號,我們有?????-=??

????????=?????=?????=??

???-=?????42967)1(429674292429134429563429563)1(56342981

42921563.214292（3分）

??

???=?????--=?????-=?????-=?????--=??

???-=27672767)1(67276742967429)1(429672167.212721429.2167（2分）11311327)1(27132113.2127=?????=?????-=?????=--,（2分）

即429是563的平方剩余.（1分）

四、證實題(第1小題10分，第2小題11分，第3小題11分，共32分)

1、證實對于隨意整數n,數62

33

2nnn++是整數.(10分)證實由于62332nnn++=)32(62nnn++=)2)(1(61++nnn,（3分）

而且兩個延續整數的乘積是2的倍數,3個延續整數的乘積是3的倍數,（2分）并且(2,3)=1,（1分）所以從)2)(1(2++nnn和)2)(1(3++nnn有)2)(1(6++nnn,（3分）即623

3

2nnn++是整數.（1分）

2、證實相鄰兩個整數的立方之差不能被5整除.（11分）

證實由于133)1(2

33++=-+nnnn,（3分）

所以只需證實1332++nnT)5(mod.而我們知道模5的徹低剩余系由-2,-1,0,1,2構成,

所以這只需將n=0,±1,±2代入1332++nn分離得值1，7，1，19，7.

對于模5,1332++nn的值1，7，1，19，7只與1，2，4等同余,

所以1332++nnT)5(mod（7分）所以相鄰兩個整數的立方之差不能被5整除。（1分）

3、證實形如14-n的整數不能寫成兩個平方數的和.（11分）

證實設n是正數,并且)4(mod1-≡n,（3分）假如

22yxn+=,（1分）

則由于對于