第7頁（共7頁）中檔解答題特訓(xùn)之——模擬篇（3）2016-2017學(xué)年河北省衡水中學(xué)高三（下）三調(diào)數(shù)學(xué)試卷（理科）1．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1≠0，常數(shù)λ＞0，且λa1an=S1+Sn對一切正整數(shù)n都成立．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)a1＞0，λ=100，當(dāng)n為何值時，數(shù)列的前n項和最大？2．某同學(xué)在研究性學(xué)習(xí)中，收集到某制藥廠今年前5個月甲膠囊生產(chǎn)產(chǎn)量（單位：萬盒）的數(shù)據(jù)如下表所示：月份x12345y（萬盒）44566（1）該同學(xué)為了求出y關(guān)于x的線性回歸方程=+，根據(jù)表中數(shù)據(jù)已經(jīng)正確計算出=0.6，試求出的值，并估計該廠6月份生產(chǎn)的甲膠囊產(chǎn)量數(shù)；（2）若某藥店現(xiàn)有該制藥廠今年二月份生產(chǎn)的甲膠囊4盒和三月份生產(chǎn)的甲膠囊5盒，小紅同學(xué)從中隨機購買了3盒甲膠囊，后經(jīng)了解發(fā)現(xiàn)該制藥廠今年二月份生產(chǎn)的所有甲膠囊均存在質(zhì)量問題．記小紅同學(xué)所購買的3盒甲膠囊中存在質(zhì)量問題的盒數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．3．已知多面體ABCDEF如圖所示，其中ABCD為矩形，△DAE為等腰等腰三角形，DA⊥AE，四邊形AEFB為梯形，且AE∥BF，∠ABF=90°，AB=BF=2AE=2．（1）若G為線段DF的中點，求證：EG∥平面ABCD；（2）線段DF上是否存在一點N，使得直線BN與平面FCD所成角的余弦值等于？若存在，請指出點N的位置；若不存在，請說明理由．4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，斜率為1的直線l過定點（﹣2，﹣4）．以O(shè)為極點，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ﹣4cosθ=0．（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程以及直線l的參數(shù)方程；（2）兩曲線相交于M，N兩點，若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．1．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1≠0，常數(shù)λ＞0，且λa1an=S1+Sn對一切正整數(shù)n都成立．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)a1＞0，λ=100，當(dāng)n為何值時，數(shù)列的前n項和最大？【考點】8H：數(shù)列遞推式；8E：數(shù)列的求和．【分析】（1）利用遞推關(guān)系即可得出．（2）利用對數(shù)的運算性質(zhì)、等差數(shù)列的通項公式與單調(diào)性即可得出．【解答】解：（1）令n=1，得，因為a1≠0，所以，當(dāng)n≥2時，，，兩式相減得2an﹣2an﹣1=an（n≥2），所以an=2an﹣1（n≥2），從而數(shù)列{an}為等比數(shù)列，所以．（2）當(dāng)a1＞0，λ=100時，由（1）知，an=，bn=lg==2﹣nlg2．所以數(shù)列{bn}是單調(diào)遞減的等差數(shù)列，公差為﹣lg2，所以，當(dāng)n≥7時，，所以數(shù)列的前6項和最大．【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性、對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．2．某同學(xué)在研究性學(xué)習(xí)中，收集到某制藥廠今年前5個月甲膠囊生產(chǎn)產(chǎn)量（單位：萬盒）的數(shù)據(jù)如下表所示：月份x12345y（萬盒）44566（1）該同學(xué)為了求出y關(guān)于x的線性回歸方程=+，根據(jù)表中數(shù)據(jù)已經(jīng)正確計算出=0.6，試求出的值，并估計該廠6月份生產(chǎn)的甲膠囊產(chǎn)量數(shù)；（2）若某藥店現(xiàn)有該制藥廠今年二月份生產(chǎn)的甲膠囊4盒和三月份生產(chǎn)的甲膠囊5盒，小紅同學(xué)從中隨機購買了3盒甲膠囊，后經(jīng)了解發(fā)現(xiàn)該制藥廠今年二月份生產(chǎn)的所有甲膠囊均存在質(zhì)量問題．記小紅同學(xué)所購買的3盒甲膠囊中存在質(zhì)量問題的盒數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．【考點】CG：離散型隨機變量及其分布列；BK：線性回歸方程；CH：離散型隨機變量的期望與方差．【分析】（1）由線性回歸方程過點（，），得=﹣，而，易求，且=0.6，從而可得的值，把x=6代入回歸方程可得6月份生產(chǎn)的甲膠囊產(chǎn)量數(shù)；（2）ξ=0，1，2，3，利用古典概型的概率計算公式可得P（ξ=0）、P（ξ=1）、P（ξ=2）、P（ξ=3），從而可得ξ的分布列，由期望公式可求ξ的期望；【解答】解：（1）==3，（4+4+5+6+6）=5，因線性回歸方程=x+過點（，），∴=﹣=5﹣0.6×3=3.2，∴6月份的生產(chǎn)甲膠囊的產(chǎn)量數(shù)：=0.6×6+3.2=6.8．（2）ξ=0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，其分布列為ξ0123P所以Eξ==．【點評】本題考查線性回歸方程、離散型隨機變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生分析解決問題的能力．3．已知多面體ABCDEF如圖所示，其中ABCD為矩形，△DAE為等腰等腰三角形，DA⊥AE，四邊形AEFB為梯形，且AE∥BF，∠ABF=90°，AB=BF=2AE=2．（1）若G為線段DF的中點，求證：EG∥平面ABCD；（2）線段DF上是否存在一點N，使得直線BN與平面FCD所成角的余弦值等于？若存在，請指出點N的位置；若不存在，請說明理由．【考點】MI：直線與平面所成的角；LS：直線與平面平行的判定．【分析】（1）以B為原點，BA，BF，BC分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABCD的一個法向量，通過，推出，即可證明EG∥平面ABCD．（2）當(dāng)點N與點D重合時，直線BN與平面FCD所成角的余弦值等于．理由如下：直線BN與平面FCD所成角的余弦值為，即直線BN與平面FCD所成角的正弦值為，求出平面FCD的法向量，設(shè)線段FD上存在一點N，使得直線BN與平面FCD所成角的正弦值等于，設(shè)，通過向量的數(shù)量積，轉(zhuǎn)化求解λ，推出當(dāng)N點與D點重合時，直線BN與平面FCD所成角的余弦值為．【解答】解：（1）證明：因為DA⊥AE，DA⊥AB，AB∩AE=A，故DA⊥平面ABFE，故CB⊥平面ABFE，以B為原點，BA，BF，BC分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則F（0，2，0），D（2，0，1），，E（2，1，0），C（0，0，1），所以，易知平面ABCD的一個法向量，所以，所以，又EG?平面ABCD，所以EG∥平面ABCD．（2）當(dāng)點N與點D重合時，直線BN與平面FCD所成角的余弦值等于．理由如下：直線BN與平面FCD所成角的余弦值為，即直線BN與平面FCD所成角的正弦值為，因為，設(shè)平面FCD的法向量為，由，得，取y1=1得平面FCD的一個法向量假設(shè)線段FD上存在一點N，使得直線BN與平面FCD所成角的正弦值等于，設(shè)，則，，所以，所以9λ2﹣8λ﹣1=0，解得λ=1或（舍去）因此，線段DF上存在一點N，當(dāng)N點與D點重合時，直線BN與平面FCD所成角的余弦值為．【點評】本題考查空間向量的應(yīng)用，直線與平面平行以及直線與平面所成角的求法，考查數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，斜率為1的直線l過定點（﹣2，﹣4）．以O(shè)為極點，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ﹣4cosθ=0．（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程以及直線l的參數(shù)方程；（2）兩曲線相交于M，N兩點，若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．【考點】Q4：簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（1）由斜率為1的直線l過定點（﹣2，﹣4），可得參數(shù)方程為：，（t為參數(shù)）．由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ﹣4cosθ=0，即ρ2sin2θ﹣4ρcosθ=0，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．（2）把直線l的方程代入拋物線方程可得：t2﹣12t+48=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系及其|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|即可得出．【解答】解：（1）由斜率為1的直線l過定點（﹣2，﹣4），可得參數(shù)方程為：，（t為參數(shù)）．由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ﹣4cosθ=0，即ρ2sin2θ