（優選）電路分析基礎向量分析法現在是1頁\一共有31頁\編輯于星期日本章學習目的及要求

熟悉復數的幾種表達方式及其加減乘除運算規則；掌握正弦量的相量表示法、相量的性能及其運算方法；掌握復阻抗和復導納的概念；學會用相量圖進行正弦量的輔助分析；正確理解正弦交流電路中幾種功率的分析。現在是2頁\一共有31頁\編輯于星期日4.1復數及其運算學習目標：復數的運算是相量分析的基礎，了解復數的代數式、三角式和極坐標式及其相互轉換，理解復數進行加減乘除運算的規則。4.1.1復數及其表示方法復數A在復平面上是一個點，＋j0a2＋1a1A原點指向復數的箭頭稱為它的模,模a與正向實軸之間的夾角稱為復數A的幅角；A在實軸上的投影是它的實部；A在虛軸上的投影稱為其虛部。復數A的代數表達式為：A=a1+ja2由圖又可得出復數A的模值a和幅角ψ分別為：a現在是3頁\一共有31頁\編輯于星期日由圖還可得出復數A與模復數還可以表示為指數形式和極坐標形式：又可得到復數A的三角函數式為：＋j0a2＋1a1Aaa及幅角ψ之間的關系為A=acosψ+jasinψA=aejψ

或A=a/ψ復數的幾種表示方法可以相互轉換。解已知復數A的模a=5，幅角ψ=53.1°，試寫出復數A的極坐標形式和代數形式表達式。極坐標形式為：A=5/53.1°代數表達形式為：A=3+j4例現在是4頁\一共有31頁\編輯于星期日4.1.2復數運算法則

顯然，復數相加、減時用代數形式比較方便；復數相乘、除時用極坐標形式比較方便。設有兩個復數分別為：A、B加、減、乘、除時的運算公式現在是5頁\一共有31頁\編輯于星期日在復數運算當中，一定要根據復數所在象限正確寫出幅角的值。如：注意：

代數形式中虛部數值前面的j是旋轉因子，一個復數乘以j相當于在復平面上逆時針旋轉90°；除以j相當于在復平面上順時針旋轉90°（數學課程中旋轉因子是用i表示，電學中為了區別于電流而改為j)?，F在是6頁\一共有31頁\編輯于星期日檢驗學習結果1.已知復數A=4+j5，B=6-j2。試求A+B、A-B、A×B、A÷B。2.已知復數A=17/24°，B=6/-65°。試求A+B、A-B、A×B、A÷B。解1第2題自己練習?，F在是7頁\一共有31頁\編輯于星期日4.2相量和復阻抗學習目標：了解相量的概念，熟練掌握正弦量的相量表示法；初步了解相量圖的畫法；掌握復阻抗的概念。4.2.1相量

與正弦量相對應的復電壓和復電流稱之為相量。為區別與一般復數，相量的頭頂上一般加符號“·”。例如正弦量i=14.1sin(ωt+36.9°)A，若用相量表示，其最大值相量為：有效值相量為：由于一個電路中各正弦量都是同頻率的，所以相量只需對應正弦量的兩要素即可。即模值對應正弦量的有效值（或最大值），幅角對應正弦量的初相。現在是8頁\一共有31頁\編輯于星期日

按照各個正弦量的大小和相位關系用初始位置的有向線段畫出的若干個相量的圖形，稱為相量圖。把它們表示為相量，并且畫在相量圖中。例已知解用有效值相量表示，即：U1=U1ψ1U2=U2ψ2畫在相量圖中：U2U1也可以把復平面省略，直接畫作U2U1虛線可以不畫現在是9頁\一共有31頁\編輯于星期日

利用相量圖中的幾何關系，可以簡化同頻率正弦量之間的加、減運算及其電路分析。解例如：U利用相量圖輔助分析，U2U1根據平行四邊形法則，由相量圖可以清楚地看出：U1cosψ1+U2cosψ2U1sinψ1+U2sinψ2利用相量圖分析計算同頻率正弦量之間的加、減運算，顯然能起到化隱含為淺顯的目的，根據相量與正弦量之間的對應關系：u=Umsin(ωt+φ)現在是10頁\一共有31頁\編輯于星期日4.2.2復阻抗

如果把正弦交流電路中各元件的電阻或電抗用復數表示時，我們稱之為復數形式的電阻電抗，簡稱復阻抗。各元件復阻抗的代數形式如下：

如果幾個理想元件相串聯時，它們復阻抗的模和幅角可由以下三角形求出：RXL|Z|RL串聯電路RXC|Z|RC串聯電路RXL-XC|Z|RLC串聯電路現在是11頁\一共有31頁\編輯于星期日答案1.把下列正弦量表示為有效值相量：思考練習2.指出下列各式的錯誤并改正：正弦量和相量之間只有對應沒有相等。電壓單位是V！相量上面要加符號“·”！現在是12頁\一共有31頁\編輯于星期日I4.3相量分析法4.3.1.串聯電路的相量模型分析RL串相量圖ULRC串相量圖UCURUCUCURLC串相量圖UIIURURU

串聯電路中，各元件上通過的電流相同，因此在相量分析中，應以電流為參考相量（參考相量畫在正向實軸位置上）。ULULCURIULURL串相量模型URIUCURC串相量模型URIULURLC串相量模型UC現在是13頁\一共有31頁\編輯于星期日

由相量圖可以看出：RL串聯電路中總電壓超前電流一個φ角；RC串聯電路中總電壓滯后電流一個φ角；RLC三元件相串聯的電路中，若UL>UC，則總電壓超前電流一個φ角，若UL<UC，則總電壓滯后電流一個φ角，若UL=UC時，總電壓與電流同相，相位差φ=0，電路出現串聯諧振（后面專門討論）。IRL串相量圖ULRC串相量圖UCURUCUCURLC串相量圖UIIURURUULULC現在是14頁\一共有31頁\編輯于星期日串聯電路阻抗的一般表達式：

若串聯電路中只有兩個元件相串聯時，代入上式仍舊適用。參看前面的阻抗三角形。11

由阻抗三角形可以看出：感性電路為正三角形，總電壓超前電流；容性電路為倒三角形，總電壓滯后電流；若純電阻性時，雖然電路中含有動態元件L和C，仍舊會出現電壓和電流同相的特殊情況，此時電路中總的復阻抗等于電阻R?，F在是15頁\一共有31頁\編輯于星期日4.3.2并聯電路的相量模型分析IL>IC時的相量圖，電壓超前總電流。ICU

在RLC并聯電路中，各元件兩端加的電壓相同，因此在相量分析中，應以電壓為參考相量。IRIILURLC并聯電路相量模型ICIRILICILCIIL<IC時的相量圖，電壓滯后總電流。ICUIRILILCIIL當IL=IC時，電路出現并聯諧振，此時電路中阻抗最大，且為純電阻性?，F在是16頁\一共有31頁\編輯于星期日

以感性的并聯電路為例，來討論一下并聯電路的復導納（即電阻和電納總的作用效果的復數表示形式），復導納用Y表示：Y=G+j(BC-BL），式中的G是電導（電阻的倒數）；BC是容納（容抗的倒數）；BL是感納（感抗的倒數）。

由復導納的復數表達式又可得出：GBC-BL|Y|RLC并聯電路的導納三角形

顯然，在感性電路中，電路中的電納BL>BC，電路呈感性，導納三角形為倒三角形；若電路呈容性，導納三角形即為正三角形?，F在是17頁\一共有31頁\編輯于星期日4.3.3應用實例1.據原電路圖畫出相量模型圖（電路結構不變）；

在正弦交流電路中，若正弦量用相量表示，電路參數用復數阻抗表示，則直流電路中介紹的基本定律、公式、分析方法都能用。具體步驟如下：2.根據相量模型列出相量方程式或畫出相量圖；3.用相量分析法或相量圖求解；4.將結果變換成要求的形式?，F在是18頁\一共有31頁\編輯于星期日例1下圖中已知：I1=10A、UAB=100V，求：A

、UO

的讀數。解題方法有兩種：1.利用復數進行相量分析；AAB

C25UOC12I&I&1I&2.利用相量圖分析求解。現在是19頁\一共有31頁\編輯于星期日利用復數進行相量分析：AAB

C25UOC12I&I&1I&已知：I1=10A、

UAB=100V，求：A、UO的讀數。解A的讀數是10安培，UO的讀數是141.4伏特。現在是20頁\一共有31頁\編輯于星期日利用相量圖分析求解：例2URIULU電路的相量模型UCRjXL-jXC下圖中已知R=15Ω，L=12mH，C=40μF，端電壓u=28.3sin(2500t)V，求：i及各元件電壓。解IURUCUULUL+UC由電壓三角形可導出阻抗三角形為：RXL-XC|Z|現在是21頁\一共有31頁\編輯于星期日一個110V、60W的白熾燈接到50Hz、220V的正弦電源上，可以用一個電阻、一個電感或一個電容和它串聯。試分別求所需的R、L、C的值。如果換接到220V直流電源上，這三種情況的結果分別如何？思考練習分析白熾燈的燈絲電阻為：白熾燈和電阻相串聯時，電路為純電阻性質，因此總電壓有效值等于兩個分電壓有效值之和，所以：白熾燈和電感相串聯時，電路為RL串聯，有：現在是22頁\一共有31頁\編輯于星期日白熾燈和電容相串聯時，電路為RC串聯，有：

如果換接到220V直流電源上，電阻的情況不變；但直流電路中電感元件相當于短路，所以無論接多大的電感，220V電壓都會全部加在白熾燈上，白熾燈就會因過電壓而燒損；電容元件在直流電路中相當于開路，因此無論接多大的電容，白熾燈中均無電流。2.判斷下列結論的正確性：現在是23頁\一共有31頁\編輯于星期日4.4復功率學習目標：正確區分正弦電路中的瞬時功率、有功功率、無功功率、視在功率、復功率和功率因數的概念，熟練掌握其分析計算的方法。4.4.1正弦交流電路中的功率設一個無源二端網絡的端口電壓、電流為：u=Umsin(ωt+ψu)i=Imsin(ωt+ψi)1.電路吸收的瞬時功率：現在是24頁\一共有31頁\編輯于星期日

上式說明瞬時功率有兩個分量，第一項與電阻元件的瞬時功率相似，始終大于或等于零，是網絡吸收能量的瞬時功率，其平均值為UIcosφ

。第二項與電感元件或電容元件的瞬時功率相似，其值正負交替，是網絡與外部電源交換能量的瞬時功率，它的最大值為UIsinφ

。2.電路吸收的平均功率：平均功率也就是有功功率，數值上等于瞬時功率在一個周期內的平均值，即：3.電路吸收的無功功率：

無功功率反映了“只交換而不消耗”的電路現象，其中“無功”二字不能理解為“無用”，感性電路中的無功功率就是吸收電能建立磁場的那部分功率，用QL表示，恒為正值；容性電路中的無功功率是建立電場儲存電能的那部分功率用QC表示，即：Q的單位是乏爾（var)現在是25頁\一共有31頁\編輯于星期日QL和QC一正一負，說明兩元件之間的無功功率具有相互補償作用，即L建立磁場時C恰逢放電，C建立電場時L恰逢釋放磁場能，L和C之間的能量交換可以互補。

電力設備的容量一般由其額定電壓和額定電流的乘積來決定，稱為視在功率，用S表示：

為了區別于有功功率和無功功率，視在功率的單位用“伏安(VA)”或“千伏安(KVA)”。

由上式又可看出視在功率S和有功功率P、無功功率Q三者之間存在著相當勾股弦定理的數量關系，因此可以把這種數量關系用一個三角形來表示：PQL-QCS顯然功率三角形和阻抗三角形、電壓三角形是相似三角形。

只有電阻元件上才消耗有功功率！現在是26頁\一共有31頁\編輯于星期日PQL-QCS4.4.2復功率根據功率三角形可以導出復功率：

復功率是一個輔助計算功率的復數，它的模是視在功率，它的輻角的余弦等于電路中總電壓與電流之間的相位差角，其實部是有功功率，虛部是無功功率復功率將正弦穩態電路的三個功率統一在一個公式中，只要計算出電路中的電壓相量和電流相量，各種功率就可以很方便的計算出來。復功率的單位仍用視在功率的單位【VA】?，F在是27頁\一共有31頁\編輯于星期日4.4.3功率因數的提高

功率因數是電力技術經濟中的一個重要指標。負載功率因數過低，電源設備的容量不能得到充分利用；另外在功率一定、電壓一定的情況下，負載功率因數越低，則通過輸電線路上的電流I=P/(Ucosφ)越大，因此造成供電線路上的功率損耗增大。顯然，提高功率因數對國民經濟的發展具有非常重要的意義。提高功率因數的意義是什么？如何提高？提高功率因數的意義：1.提高發配電設備的利用率；2.減少輸電線上的電壓降和功率損失。

盡量減少感性設備的空載和輕載，或在感性設備兩端并聯適當的電容?，F在是28頁\一共有31頁\編輯于星期日

一臺功率為1.1kW的感應電動機，接在220V、50Hz的電路中，電動機需要的電流為10A，求：(1)電動機的功率因數；(2)若在電