長記憶時間序列模型及應用商務統計與經濟計量系教授金融風險管理中心主任2010年6月主要內容ARMA模型的回顧；長記憶的概念；長記憶的檢驗方法；ARFIMA模型；一些應用；1.ARMA模型的回顧ARMA模型的形式ARMA(p,q)模型其中是白噪聲ARMA模型的平穩性條件如果，那么ARMA模型定義了唯一的二階平穩解ARMA模型的可逆性條件如果，那么ARMA模型能夠唯一地表達成如下的無窮階自回歸模型的形式ARMA模型的自相關特征任何一個平穩的ARMA模型的自相關函數都是呈指數遞減的，即因此自相關函數絕對可和，ARMA模型的譜密度函數于是ARMA模型的估計條件極大似然估計；極大似然估計；最小二乘估計；單位根的檢驗AugmentedDickey-Fuller(ADF)檢驗(Said&Dickey1981);Phillips-Perron(PP)檢驗(Phillips&Perron1988)；Perron-Ng(PN)檢驗(Perron&Ng1996)；Kwitkowski-Phillips-Schmidt-Shin（KPSS）檢驗(Kwitkowskietal.1992)；上證指數日全距序列

（1997.01.03-2010.06.18)取對數之后的全距序列自相關函數圖形估計的譜密度函數估計的ARMA模型經過模型選擇階數得到2.長記憶的概念基于自相關函數的定義如果存在常數，使得此時自相關函數不再絕對可和，基于譜函數的定義如果存在常數，使得基于自相關函數和基于譜函數的定義是等價的。3.長記憶的檢驗重新標度極差統計量重新標度極差（rescaled-range）統計量其中對對數全距序列的R/S分析對應的斜率估計為0.8987，因此d的估計為0.3987R/S分析方法的不足R/S分析方法其實對時間序列當中的短程記憶比較敏感，模擬結果顯示，即便對于自回歸系數為0.3的AR(1)過程，經R/S方法得到的Hurst指數也有近乎一半的情形超過1/2.（Davies&Harte,1987;Lo1991）修正的R/S統計量修正的R/S統計量的漸近分布對于短期過程其中V是定義在[0,1]上的布朗橋的全距對長記憶性的判斷對于長記憶過程因此利用該統計量可以對長記憶過程進行單邊的檢驗。對數全距序列的修正的R/S分析

V-statp-Valueq=144.26720.0000Newey-West(1994)6.60490.0000Andrew(1991)3.46530.0000對ARMA(1,1)殘差的R/S分析

V-statp-Valueq=142.47860.0002Newey-West(1994)2.16610.0030Andrew(1991)2.20720.00224.ARFIMA模型模型的形式分數次整合ARMA模型或者稱之為I(d)過程，記為分數次差分算子其中當時該過程可逆。平穩解的存在性當時，該過程存在著平穩解，能夠寫成其中平穩解的自相關函數特征對于平穩的情況，自相關函數滿足顯然自相關函數呈雙曲（hyperbolic）律遞減（Sowell1992;Chung1994)平穩解譜密度函數的性質所以，記憶參數d取不同值時當時對應的是二階平穩的長記憶過程，譜密度函數在0點奇異；當時對應的過程稱為反持續（anti-persistent）過程，譜密度函數在0點處等于0；當時，對應的是短記憶ARMA過程,譜密度函數在0點處為正數；當時，對應的過程非平穩，方差無窮大，包含了單位根過程。模擬分數次白噪聲的數據ARFIMA模型的估計條件極大似然估計；極大似然估計；非線性最小二乘估計；Baillie(1996)對對數全距序列的估計對殘差的檢驗

Statp-ValueQ(10)6.18140.7998Q(20)17.22650.6382Q(50)45.45110.6562Q(100)98.95630.5107q=141.42520.2452Newey-West(1994)1.41010.2607Andrew(1991)1.41470.25595.一些應用對宏觀經濟變量的實證研究Baillie&Bollerslev(1994):匯率Crato&Rothman(1994),多個宏觀變量；Diebold&Rudebusch(1989):GNP;Dijketal.(2000):失業率Hassler&Wolters(1995):CPI;Tsay（2000）實際利率；總結與討論長記憶過程的特征與模型；長記憶的波動率模型；長記憶與結構變化；一些文獻Baillie,R.T.,(1996),“Longmemoryprocessesandfractionalintegrationinec