概率與正態分布第1頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五概率基本知識隨機現象與確定性現象拋硬幣，落地時，正面向上。擲一粒骰子，擲出７點（不可能事件）。向空中拋一塊石頭，落到地上（必然事件）。隨機事件：隨機現象的各種可能結果（也稱為“事件”，用大寫字母A，B，C等表示）基本事件：不能分解的復合事件：可分解的第2頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五事件的概率1.頻率事件發生的概率與頻率有關。對于隨機事件A，如果在N次試驗中出現a次，則A發生的頻率記作F（A）=a/N頻率滿足不等式0F（A）1第3頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五事件的概率經驗概率對多次重復相同或相似試驗所得到的數據進行分析，獲得事件發生的相對頻率，作為對此事件發生概率的一個估計。第4頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五事件的概率先驗概率當試驗滿足:試驗中各種可能結果（基本事件）是有限的，并且每種結果發生的可能性是不變時，則某事件發生的概率等于該事件包含的基本事件數除以試驗中可能發生的基本事件總件數之商。設N代表可能發生的基本事件總數，K代表事件A包含的基本事件數，則A事件發生的概率為：第5頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五關于兩種概率的理解拋一枚硬幣，落地時正面朝上的概率是多少？先驗概率：經驗概率：大數定律：試驗次數越大，P(A)的相對頻率估計越好。第6頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五第7頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五第8頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五50粒不同顏色的石子放入一只瓶子并且完全混合在一起，石子中有25粒藍色，20粒綠色和5粒紅色。如果閉上眼睛從瓶子中取出一粒石子，計算以下概率：（1）P(紅色石子)（2）P(藍色或紅色石子)第9頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五在某大城市一家醫院的產房，去年出生1060個男嬰和1000個女嬰，假設這些數據表示了全部出生情況，在該醫院下一個出生的嬰兒是男嬰的概率是多少？是女嬰的概率是多少？第10頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五概率的性質(1)任何隨機事件的概率都是不小于零且不大于１的數。(2)不可能事件的概率等于零。(3)必然事件的概率等于１。(4)兩個互逆事件（對立事件）的概率之和等于１，逆事件的概率(5)小概率事件，P(A)<0.05第11頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五概率的兩個基本法則概率的加法法則：兩個互不相容事件A、B之和的概率等于兩個事件分別發生的概率之和。互不相容事件：一次試驗中不可能同時出現的事件稱為互不相容事件。第12頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五在9道試題中，有6道選擇題，2道是非題，1道填空題，隨機抽出一道題為是非題或選擇題的概率是多少？解：第13頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五概率的兩個基本法則乘法法則：兩個相互獨立事件A、B同時發生的概率等于兩個事件分別發生的概率的積。相互獨立事件：一個事件的發生概率與另一個事件的發生與否無關。第14頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五兩道四選一題，憑猜測做對一題的概率是多少？3/8設第一題做對為事件A，做錯為事件，第二題做對為事件B，做錯為事件，做對第一題的概率為,做對第二題的概率為第15頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五正態分布隨機變量正態分布特點(標準正態分布)正態分布表正態分布曲線下面積的應用第16頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五隨機變量：隨機現象的函數化隨機變量：表示隨機現象結果的變量在隨機現象中有很多樣本點本身就是用數量表示的，由于樣本點出現的隨機性，其數量呈現為隨機變量。擲一顆骰子，出現的點數X是一個隨機變量每天進入某超市的顧客數Y；顧客購買商品的件數U；顧客排隊等候付款的時間V。Y,U,V是三個不同的隨機變量。在隨機現象中還有不少樣本點本身不是數，這時可根據研究需要設計隨機變量。檢查一個產品，只考察合格與否，則其樣本空間為{合格品，不合格品}，這時可設計一個隨機變量X如下：樣本點X的取值合格品0不合格品1第17頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五定義在樣本空間上的實值函數X=X（w）稱為隨機變量。將事件映射為數字可以將概率研究定量化，引入分布函數設X是一個隨機變量，對任意實數x，稱F（x）=P（X<=x）為隨機變量X的分布函數。第18頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五離散型隨機變量隨機變量X只取有限或可列無窮多個值。例：某學生做一道正誤判斷題，做對記１分，做錯記０分。他在這道題的得分為隨機變量X連續型隨機變量隨機變量X可以取無限的且是不可列的值。例：某公共汽車停車點上乘客候車的時間記為隨機變量Y第19頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五概率分布隨機變量各取值的概率構成的分布某學生參加一次數學競賽，共回答三個問題，求該生答對題數的概率分布。第20頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五考慮全班153位同學體重的概率分布，若體重以千克為單位，可以精確到無限小數位，你能否列表顯示各種取值的概率？第21頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五連續型隨機變量的概率分布連續型隨機變量X有無限多個可能的取值，那么任何一個特殊值的概率都是0。由于X的取值是不可數的，則對應的概率密度也是不可數的。連續型概率分布不能表示為列表的形式，只能表示為連續型的曲線或者該曲線的函數表達式連續型分布不能計算某一點的概率，只能計算兩點間的概率，以曲線下的面積表示。第22頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五圖5.1連續型隨機變量的概率分布第23頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五第24頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五68.3％95.4％99.7％密度連續隨機變量（X）圖5.2正態分布曲線正態概率分布（正態分布）第25頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五正態分布曲線的特點鐘形軸對稱曲線，對稱軸是隨機變量的平均數。正態分布曲線的位置和形狀分別由平均數和標準差決定。平均數大小決定圖形向左移或右移。標準差大小決定圖形的陡峭程度，即縱線的最大值。第26頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五0

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圖5.3平均數不等，標準差相等的正態分布示意圖第27頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五－1

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圖5.4平均數相等，標準差不等的正態分布示意圖第28頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五標準正態分布標準正態分布：平均數為０，標準差為1的正態分布。標準分數即服從標準正態分布標準正態分布曲線的特點：曲線最高點為（Z＝0，Y=0.3989）。曲線下的總面積即概率總和為１，對稱軸兩邊各為0.5。曲線是以過Z=0的縱線為對稱軸，兩側橫坐標絕對值相等的對應點高度相等，對應的曲線下面積相等。標準正態分布的平均數、中數、眾數三點重合在Z=0這一點上。曲線與對稱軸交點處Y值最大，即此處觀測值的相對次數最大，概率最大；第29頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五正態分布表根據標準正態分布曲線的函數公式進行計算編制而成的。通過Z值可查Y值或P值，也可通過P值查Z值。第30頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五標準正態分布表中各變量的含義第31頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五已知下列Z值，查表求P值。（1）Z＝-1與Z＝1之間的概率（2）Z＝-2與Z＝2之間的概率（3）Z＝-3與Z＝3之間的概率（4）Z＝-1.96與Z＝1.96之間的概率（5）Z＝-2.58與Z＝2.58之間的概率第32頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五利用正態分布表求：（1）正態曲線下Z＝1.34處左側的面積（2）正態曲線下Z＝2.16處右側的面積（3）正態曲線下Z＝-1.64處左側的面積（4）正態曲線下Z＝-1.5處右側的面積第33頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五利用正態分布表求：（1）中央50％的面積的下限Z值和上限Z值（2）正態曲線下右尾20％的面積的下限Z值（3）正態曲線下左側30％的面積的上限Z值第34頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五標準正態曲線下面積的應用使用前提：隨機變量（X）服從或近似正態分布，其標準化后的變量（Z）才能服從標準正態分布，才能應用正態分布表（標準正態分布曲線）的規律進行概率的計算。第35頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五解題關鍵畫出正態分布曲線示意圖注意題意轉換成Z、P第36頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五推求考試成績特定區間內的人數已知某年級200名學生考試成績呈正態分布，平均分為85分，標準差為10分，學生甲的成績為70分，問全年級成績比學生甲低的學生人數是多少？第37頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五圖5.6運用標準正態分布曲線解題（一）第38頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五第39頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五已知某省有86582名考生參加1998年全國普通高校招生入學數學考試，總體成績服從均值為66分、標準差為19.79分的正態分布，試問下列范圍內的人數有多少？（1）60－72分；（2）72分以上。第40頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五推求考試成績中某一特定人數比率的分數界限某次招生考試，學生成績符合正態分布，學生成績的平均分為80分，標準差為10分，要擇優錄取25％的學生進入高一級學校學習，問最低分數線應是多少分？第41頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五25％圖5.7運用標準正態分布曲線解題（二）a第42頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五解：已知

1.擇優25％錄取，設分數線在a點，則a點右側的的概率為0.25

2.那么a點的P為0.5-0.25＝0.25

3.查正態分布表P=0.25時，Z=0.67

4.將Z＝0.67通過公式轉換成原始分數即可，得到a點的分數為86.7分答：擇優錄取25％的人的話，最低分數線應為86.7分。第43頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五某次數學競賽，學生成績呈正態分布，參賽學生200人，平均分66.78分，標準差為9.19分，（1）若表彰前20名競賽優勝者，其最低分應是多少？（2）某生若得80分，他在參賽者中排列第幾名？第44頁，共48頁，2023年，2月20日，星期五分析：已知N=200,（1）前20名，在所有參賽者中的位置是前10％設最低分數點為b，則b點右側的概率是0.1

b點標準分數對應的P值是0.5-0.1＝0.4查正態分布表得b點的Z分數為1.28，根據Z分數的公式轉換求得b點分數為78.54分。（2）某生得80分，則其Z分數為1.44查表Z＝1.44時，P=0.42507那么等于和高于該生的人數比率為

0.5-0.42507＝0.07493具體人數＝200×0.07