第1頁/共1頁巴中市恩陽區2022年秋高中二年級期中學業水平檢瀾理科數學試題一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.直線傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將直線方程轉化為斜截式，得到，即，結合即得解.【詳解】由題意，直線，故直線斜率，不妨設直線傾斜角為，則，又，即.故選：B2.給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉一周所形成的幾何體都是圓錐；③棱臺的上、下底面可以不相似，但側棱長一定相等.其中正確命題的個數是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據圓柱母線的定義可判斷命題①的正誤；根據圓錐的形成可判斷命題②的正誤；根據棱臺的定義可判斷命題③的正誤.【詳解】①不一定，只有當這兩點的連線平行于軸時才是母線；②不一定，當以斜邊所在直線為旋轉軸時，其余兩邊旋轉形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個同底圓錐組成的幾何體；③錯誤，棱臺的上、下底面相似且是對應邊平行的多邊形，各側棱延長線交于一點，但是側棱長不一定相等.故選：A.【點睛】本題考查幾何體結構特征的判斷，屬于基礎題.3.直線過定點，則點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】在直線方程中，先分離參數，再令參數的系數等于零，求得的值，可得直線恒過定點的坐標.【詳解】直線可化簡為，故可得，可得，故可得直線過定點.故選:D.4.設是直線是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A.若∥，∥，則∥ B.若∥，，則C.若，，則∥ D.若，∥，則【答案】B【解析】【分析】根據線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直的判斷定理、性質定理逐一判斷即可.【詳解】解：對于A，當和相交，直線平行于和的交線時，滿足∥，∥，但此時∥不成立，故錯誤；對于B，因為∥，所以在內至少存在于一條直線，使∥，又因為，所以，因為，所以，故正確；對于C，因為，，所以∥或，故錯誤；對于D，因為，∥，所以或∥或，故錯誤.故選：B5.若表示圓的方程，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把給定方程配方化成圓的標準方程形式即可計算作答.【詳解】方程化為：，因方程表示圓，于得，解得，所以的取值范圍是：.故選：A6.一個四棱錐的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A.8 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把三視圖轉換為幾何體，根據錐體體積公式即可求出幾何體的體積.【詳解】根據幾何體的三視圖可知幾何體為四棱錐,如圖所示：平面,且底面為正方形，所以該幾何體的體積為：故選：B7.已知直線l過點，且在y軸上的截距是在x軸上的截距的兩倍，則直線l的方程為（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】對直線是否經過原點分類，結合條件，求出的方程．【詳解】解：若直線經過原點，滿足條件，可得直線的方程為，即；若直線不經過原點，可設直線的方程為，把點代入可得，解得，直線的方程為，即，綜上可得直線的方程為或；故選：D．8.正方體中，二面角的平面角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】連接，取中點O連接.由，則且,則，故即為二面角的平面角，然后設正方體邊長進行求解即可.【詳解】連接，取中點O連接.由，則且,則，故即為二面角的平面角.不妨設正方體的邊長為1，則在中，在中，則.又，故可得：.故選：D.9.點關于直線的對稱點為A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】試題分析：設點關于直線的對稱點為，則①，又線段的中點在直線上，即整理得：②，聯立①②解得．∴點關于直線的對稱點點的坐標為，故選B．考點：1、點關于直線對稱；2、中點坐標公式．【方法點晴】設出點關于直線的對稱點的坐標，求出的中點坐標，代入直線方程，再利用與直線垂直，它們的斜率之積為，建立方程組進行求解．本題主要考查求點關于直線的對稱點的坐標的方法，利用垂直、中點在對稱軸上兩個條件，待定系數法求對稱點的坐標，考查方程思想與轉化運算能力，屬于中檔題．10.已知正方體棱長為分別是棱的中點，動點在正方形（包括邊界）內運動，若面，則線段的長度范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據題意，找去過與平面平行的平面，則可得到所在的平面，進而得到答案.【詳解】由題意，取的中點，的中點，連接，，，，，作圖如下：在正方體中，易知，，，則共面，平面，平面，平面，同理可得：平面，，平面平面，當平面時，平面，正方體的棱長為，在中，，解得，同理，在中，，解得，則中邊上的高，即，故選：D.11.已知點在同一個球面上，，若四面體體積的最大值為10，則這個球的表面積是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知可得，從而可得球心在過中點與面垂直的直線上，根據球的幾何性質可得，當過球心時體積最大，由四面體體積的最大值為10，求出，再利用勾股定理求出球的半徑，從而可求出球的表面積【詳解】解：由，可得，所以，則球心在過中點與面垂直的直線上，因為面積為定值，所以四面體的高最大時體積最大，根據球的幾何性質可得，當過球心時體積最大，因為四面體的最大體積為10，所以，可得，中，，所以，得，所以球的表面積為，故選：B．【點睛】本題主要考查三棱錐外接球表面積的求法，屬于難題.要求外接球的表面積和體積，關鍵是求出球的半徑，求外接球半徑的常見方法有：①若三條棱兩垂直則用（為三棱的長）；②可以轉化為長方體的外接球；③特殊幾何體可以直接找出球心和半徑；④設球心（在過底面多邊形外接圓圓心與底面垂直的直線上），利用待定系數法求半徑.12.在平面直角坐標系中，已知點，，圓，在圓上存在點滿足，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設，由，得出的軌跡方程為一個圓，再由圓與圓的位置關系可得實數的取值范圍．【詳解】設，由，得，化簡得，即，則點在以為圓心，2為半徑的圓上，又在圓上，所以點為兩圓有交點，即圓與圓有交點，所以，解得，即實數的取值范圍是．故選：D．二、填空題（每小題5分，共20分）13.如圖，是水平放置的的斜二測直觀圖，若，則的面積為______．【答案】12【解析】【分析】首先根據直觀圖還原為原圖，再計算的面積.【詳解】如下圖，直觀圖還原為原圖，則的面積故答案為：1214.若直線與直線平行，則__________．【答案】【解析】【分析】利用直線平行的條件即得.【詳解】兩條直線平行，則有，∴.故答案為：1.15.一個直角三角形的兩條直角邊的長分別為3cm和4cm，將這個直角三角形以斜邊為軸旋轉一周，所得旋轉體的體積是_______.【答案】π【解析】【分析】由題意，旋轉體為底面重合的兩個圓錐，根據題干數據計算底面半徑和高，利用圓錐體積公式求解即可.【詳解】如圖所示，不妨設直角三角形為，其中為直角，，故，，將這個直角三角形以斜邊為軸旋轉一周，可得到如圖所示的底面重合的兩個圓錐，圓錐底面圓的半徑為，兩個圓錐的高分別為，，故旋轉體的體積.故答案為：.16.若不等式的解集為，且，則___________．【答案】##【解析】【分析】設，則可根據兩個函數的圖象的位置關系求得的值.【詳解】設，，則，故即，結合可得在以原點為圓心，半徑為2的半圓上（如圖所示），所以的圖象為如圖所示的半圓，其中而的圖象為過的動直線，因為不等式的解集為，故的圖象不在圖象上方的點的橫坐標的集合為，若，結合圖象可得，故，故圖象過，故此時即，若，結合圖象可得此時，這與矛盾，若，結合圖象可得故的圖象不在圖象上方的點的橫坐標的集合為空集，故答案為：【點睛】思路點睛：對于含參數的不等式的解的問題，可根據不等式的形式將解的問題轉化為熟悉函數圖象的位置關系問題，結合動態討論求出參數滿足的要求.三、解答題（共70分，其中17題10分，18-22題每題12分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為．求：（1）直線的方程；（2）頂點的坐標．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】(1)由題意可得，由點斜式可寫出直線的方程，再化為一般式即可；(2)設，則,代入中線所在直線方程得，與聯立求解即可.【小問1詳解】解：∵邊上的高所在直線方程為，∴，∴直線的方程為，即為：．【小問2詳解】解：設，則線段的中點,代入中線所在直線方程得，即為，又，聯立得，解得，∴．18.在空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點，E，F分別邊AB，BC上的點，且．求證：（1）點E，F，G，H四點共面；（2）直線EH，BD，FG相交于一點．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）利用三角形的中位線平行于第三邊和平行線分線段成比例定理，得到都平行于，由平行線的傳遞性可得，根據兩平行確定一平面得出證明；（2）利用分別在兩個平面內的點在這兩個平面的交線上，即可證明.【小問1詳解】由題意，作圖如下：空間四邊形中，分別是的中點，.又，，，四點共面.【小問2詳解】證明：連接、，因為分別是的中點，所以，且，又因為，所以，且，所以，且，故四邊形為梯形，且是梯形的兩腰，所以相交于一點.設交點為，因為平面，所以平面，同理平面，而平面平面，所以，故點時直線的公共點，即直線相交于一點.19.已知圓與y軸相切于點，圓心在經過點與點的直線l上．（1）求圓的方程；（2）若圓與圓相交于M，N兩點，求兩圓的公共弦長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用兩點求出直線方程l，利用圓心在l上又在求出圓心坐標，進而求出圓的半徑求出圓的方程；(2)利用兩圓的方程相減得到公共弦所在直線方程，求出圓心到公共弦的距離，利用勾股定理求出兩圓的公共弦長．小問1詳解】經過點與點的直線l的方程為，即，因為圓與y軸相切于點，所以圓心在直線上，聯立解得可得圓心坐標為，又因為圓與y軸相切于點，故圓的半徑為4，故圓的方程為．【小問2詳解】圓的方程為，即，圓，兩式作差可得兩圓公共弦所在的直線方程為，圓的圓心到直線的距離，所以兩圓的公共弦長為．20.如圖，平面平面，，，，.（1）求證：平面；（2）求證：.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】【分析】(1)過點分別作、的平行線，交點為、，利用平行關系和線段長度關系證明四邊形為平行四邊形，從而有，再利用線面平行的判定定理證明平面；(2)利用面面垂直的性質得到平面，從而，又由，得.【詳解】(1)證明：過點作的平行線，交于點，連接.過點作的平行線交于點，連接.則四邊形為平行四邊形，有平行且等于.因為，所以.因為，所以，故，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，有平行且等于，所以平行且等于，四邊形為平行四邊形，有.又平面，平面，所以平面.(2)證明：因為，，所以.因為平面與平面垂直，且交線為，又平面，所以平面，又平面，所以.又由(1)知，所以.21.如圖，某海面上有O、A、B三個小島（面積大小忽略不計），A島在O島的北偏東45°方向處，B島在O島的正東方向20km處．（1）以O為坐標原點，O的正東方向為x軸正方向，1km為單位長度，建立平面直角坐標系，寫出A、B的坐標，并求A、B兩島之間的距離；（2）已知在經過O、A、B三個點的圓形區域內有未知暗礁，現有一船在O島的南偏西30°方向距O島20km處，正沿著北偏東60°行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險？【答案】（1），，（2）該船有觸礁的危險．【解析】【分析】(1)根據題意可得兩點的坐標，由兩點間的距離公式可得A、B兩島之間的距離；(2)求得過，三點的圓的方程為，該船航線所在的直線方程為，由點到線的距離公式可得圓心到此直線的距離，由此可得直線與圓相交，從而可得結論.【小問1詳解】解：∵A在的北偏東45°方程，在的正東方向，∴，．由兩點間的距離公式知，；【小問2詳解】解：設過，三點的圓的方程為．將，，代入上式，得，解得．∴圓的方程為．則該圓的圓心為，半徑．設船起初所在的點為，則又該船航線所在直線的斜率為，∴該船航線所在的直線方程為．圓心到此直線的距離，由于，，即，所以此直線與圓相交，故不改變方向，該船有觸礁的危險．22.如圖所示，在四棱錐中，底面四邊形是菱形，底面是邊長為2的等邊三角形，PB=PD=，AP=4AF（1）求證：PO⊥底面ABCD（2）求直線與OF所成角的大小.（3）在線段上是否存在點，使得平面？如果存在，求的值；如果不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，.【解析】【分析】（1）由底面是菱形，證得PO⊥BD，在中，PA=PC，證得PO⊥AC，結合線面垂直的判定定理，即可證得PO⊥底面ABCD；（2）連接OF，取AP中點為E，連接OE，證得CPOE，得到∠EOF為直線與OF所成的角