數(shù)學(xué)建模統(tǒng)計第1頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五專題板塊系列概率統(tǒng)計專題1優(yōu)化專題2模糊方法及微分方程專題3圖論專題4第2頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五概率統(tǒng)計專題Part1:方差分析與協(xié)方差分析概率統(tǒng)計Part2:回歸方程第3頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五part1：方差分析與協(xié)方差分析一單因素方差分析二雙因素方差分析三單因素協(xié)方差分析四雙因素協(xié)方差分析第4頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五在試驗中，有可能影響試驗指標并且有可能加以控制的試驗條件稱為因素。通過試驗的設(shè)計，在試驗中只安排一個因素有所變化、取不同的狀態(tài)或水平，而其余的因素都在設(shè)計的狀態(tài)或水平下保持不變的試驗稱為單因素試驗。

單因素方差分析—理論第5頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五因素A的水平觀測值(n1+n2+…+nr=n)單因素方差分析—理論第6頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五在單因素試驗中，假設(shè)有r個編號為i=1至r的正態(tài)總體，它們分別服從N(μi,σ2)分布，

單因素方差分析—理論第7頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五當μi及σ2未知時，要根據(jù)取自這r個正態(tài)總體的r個相互獨立且方差相同的樣本檢驗原假設(shè)H0：各μi(i=1至r)相等，所作的檢驗以及對未知參數(shù)的估計稱為方差分析。

μ稱為總平均值.單因素方差分析—理論第8頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五總離均差平方和的分解單因素方差分析—理論第9頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五結(jié)論1）SST=SSE+SSA；

單因素方差分析—理論第10頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五單因素方差分析—理論第11頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五結(jié)論2）

結(jié)論3）當H0為真時，

結(jié)論4）當H0為真時，SSE、SSA相互獨立；

單因素方差分析—理論第12頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五結(jié)論5）當H0為真時，單因素方差分析—理論第13頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五單因素方差分析--計算dataex；doa=1to3；inputn@@；doi=1ton；inputx@@；Output；end；end；Cards；8212924222530272610202525232931242620216242228252126；procanova;classa;modelx=a；meansa/duncancldiff；run;第14頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五例1.1《切胚乳試驗》用小麥種子進行切胚乳試驗，設(shè)計分3種處理，同期播種在條件較為一致的花盆內(nèi)，出苗后每盆選留2株，成熟后測量每株粒重(單位：g)，得到數(shù)據(jù)如下：

處理未切去胚乳切去一半胚乳切去全部胚乳

每株粒重

21,29,24,22,25,30,27,2620,25,25,23,29,31,24,26,20,2124,22,28,25,21,26單因素方差分析--計算第15頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五單因素方差分析--計算第16頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五方差來源

A

誤差總和平方和

6.77223.73230.50自由度

22123均方和

3.3910.65

F值

0.32顯著性

N單因素方差分析--計算第17頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五例1.2《藥劑處理》用4種不同的藥劑處理水稻種子，發(fā)芽后觀測到苗高(單位：cm)如下：

處理

1234

苗高

19,23,21,1321,24,27,2020,18,19,1522,25,27,22單因素方差分析--計算第18頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五dataex;doa=1to3;doi=1to5;inputx@@;output;end;end;cards;19232113212427202018191522252722;proc

anova;classa;modelx=a;meansa/duncancldiff;run;單因素方差分析--計算第19頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五單因素方差分析--計算第20頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五方差來源

A

誤差總和平方和

104118222自由度

31215均方和

34.679.83

F值

3.53顯著性*單因素方差分析--計算第21頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五通過試驗的設(shè)計，在試驗中只安排兩個因素有所變化、取不同的狀態(tài)或水平，而其他的因素都在設(shè)計的狀態(tài)或水平下保持不變的試驗稱為雙因素試驗。

雙因素方差分析-不考慮交互作用-理論第22頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五可設(shè)雙因素試驗的一個因素為A，共有A、A、…、A等r個水平，另一個因素為B，共有B、B、…、B等s個水平。這兩個因素的水平互相搭配各安排一次試驗，其中A因素的A水平與B因素的B水平搭配安排試驗所得到的樣本為X，相應(yīng)的觀測值為x

。雙因素方差分析-不考慮交互作用-理論第23頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五雙因素方差分析-不考慮交互作用-理論第24頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五服從F(s-1,(r-1)(s-1))分布。方差來源平方和自由度均方和F值顯著性AB誤差總和SSASSBSSESSTr-1s-1(r-1)(s-1)rs-1MSAMSBMSEFAFB服從F(r-1,(r-1)(s-1))分布。雙因素方差分析-不考慮交互作用-理論第25頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五雙因素方差分析-不考慮交互作用-計算第26頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五dataex;doa=1to4;dob=1to5;inputx@@;output;end;end;cards;5356455249475047475357635457584552424148;proc

anova;classab;modelx=ab;meansab/duncancldiff;run;雙因素方差分析-不考慮交互作用-計算第27頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五雙因素方差分析-不考慮交互作用-計算第28頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五雙因素方差分析-不考慮交互作用-計算第29頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五雙因素方差分析-考慮交互作用-理論可設(shè)雙因素試驗的一個因素為A，共有A1、A2、…、Ar等r個水平，另一個因素為B，共有B1、B2、…、Bs等s個水平。這兩個因素的水平互相搭配各安排m次試驗，其中A因素的A水平與B因素的B水平搭配安排試驗所得到的樣本為X，相應(yīng)的觀測值為x。第30頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五雙因素方差分析-考慮交互作用-理論第31頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五服從F(r-1,rs(m-1))分布服從F(s-1,rs(m-1))分布

服從F((r-1)(s-1),rs(m-1))分布

雙因素方差分析-考慮交互作用-理論第32頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五方差來源平方和自由度均方和F值顯著性ABAB誤差總和

SSASSBSSABSSESSTr-1s-1(r-1)(s-1)rs(m-1)rsm-1MSAMSBMSABMSEFAFBFAB雙因素方差分析-考慮交互作用-理論第33頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五雙因素方差分析-考慮交互作用-計算第34頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五dataex;doa=1to4;dob=1to3;doi=1to2;inputx@@;output;end;end;end;cards;58.252.656.241.265.360.849.142.854.150.551.648.460.158.370.973.239.240.775.871.558.25148.741.4;proc

anova;classab;modelx=aba*b;meansab/duncancldiff;run;雙因素方差分析-考慮交互作用-計算第35頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五雙因素方差分析-考慮交互作用-計算第36頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五雙因素方差分析-考慮交互作用-計算第37頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五如果在單因素、雙因素或多因素試驗中有無法控制的因素x影響試驗的結(jié)果Y，且x可以測量、x與Y之間又有顯著的線性回歸時，常常利用線性回歸來矯正Y的觀測值、消去x的差異對Y的影響。例如，研究施肥對蘋果樹產(chǎn)量的影響，由于蘋果樹的長勢不齊，必須消去長勢對產(chǎn)量的影響。又如，研究飼料對動物增重的影響，由于動物的初重不同，必須消去初重對增重的影響。協(xié)方差分析第38頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五這種不是在試驗中控制某個因素，而是在試驗后對該因素的影響進行估計，并對試驗指標的值作出調(diào)整的方法稱為統(tǒng)計控制，可以作為試驗控制的輔助手段。以統(tǒng)計控制為目的，綜合線性回歸分析與方差分析所得到的統(tǒng)計分析方法，稱為協(xié)方差分析，所需要統(tǒng)計控制的一個或多個因素，例如蘋果樹的長勢，又如動物的初重等等稱為協(xié)變量。協(xié)方差分析第39頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五單因素協(xié)方差分析-理論第40頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五單因素協(xié)方差分析-理論第41頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五單因素協(xié)方差分析-理論第42頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五單因素協(xié)方差分析-理論第43頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五單因素協(xié)方差分析-計算第44頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五施用三種肥料的產(chǎn)量矯正后有極顯著的差異

單因素協(xié)方差分析-計算第45頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五dataex;doa=1to3;doi=1to8;inputxy@@;output;end;end;cards;475458665363465149565666546144505254535364675862596261636364666944524858465450615970576458695366;

proc

glm;classa;modely=xa/solution;lsmeansa/stderrpdiff;run;單因素協(xié)方差分析-計算第46頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五單因素協(xié)方差分析-計算第47頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五雙因素協(xié)方差分析-不考慮交互作用方差來源平方和自由度均方和F值顯著性AQAr-1MQAFABQBs-1MQBFB誤差QErs-r-sMQE總和QTrs-2第48頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五雙因素協(xié)方差分析-不考慮交互作用第49頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五

dataex;doa=1to3;dob=1to5;inputxy@@;output;end;end;cards;82.85104.24123.00114.94102.88103.14124.5072.75125.84104.06123.88103.8692.82104.9492.89;proc

glm;classab;modely=xab/solution;lsmeansab/stderrpdiff;run;雙因素協(xié)方差分析-不考慮交互作用第50頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五雙因素協(xié)方差分析-不考慮交互作用第51頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五方差來源平方和自由度均方和F值顯著性A0.604620.30232.49NB7.124541.781114.66**誤差0.850270.1215總和8.579313各小區(qū)的產(chǎn)量矯正后沒有顯著的差異，各品種的產(chǎn)量矯正后有極顯著的差異。雙因素協(xié)方差分析-不考慮交互作用第52頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五雙因素協(xié)方差分析-考慮交互作用方差來源平方和自由度均方和F值顯著性AQAr-1MQAFABQBs-1MQBFBABQAB(r-1)(s-1)MQABFAB誤差QErs(m-1)-1MQE總和QTrsm-2第53頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五雙因素協(xié)方差分析-考慮交互作用第54頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五方差來源平方和自由度均方和F值顯著性A277.434853

92.4782866.51**B

2.8452593

2.8452590.20NAB

12.8481001

4.2827000.30N誤差

99.4411717

14.205882

A與B的交互作用矯正后不顯著，促生長劑之間的差異極顯著，試驗批次間的差異不顯著雙因素協(xié)方差分析-考慮交互作用第55頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五dataex;doa=1to4;dob=1to2;doi=1to2;inputxy@@;output;end;end;end;cards;14.697.812.194.219.5113.218.8110.113.6100.312.998.518.5119.418.2114.712.899.210.789.6 18.2122.216.9105.312.0102.112.4103.816.4117.217.2117.9proc

glm;classab;modely=xaba*b/solution;lsmeansab/stderrpdiff;run;雙因素協(xié)方差分析-考慮交互作用第56頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五雙因素協(xié)方差分析-考慮交互作用第57頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五part2回歸方程一一元線性回歸二一元非線性回歸三多元線性回歸第58頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五

1.一元線性回歸的基本概念一元線性回歸可用來分析自變量x取值與因變量Y取值的內(nèi)在聯(lián)系，不過這里的自變量x是確定性的變量，因變量Y是隨機性的變量。進行n次獨立試驗，測得數(shù)據(jù)如下：一元線性回歸第59頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五由回歸方程可以推出

根據(jù)樣本及其觀測值可以得到α、β及σ2的估計量及估計值

得到回歸方程的估計式或經(jīng)驗回歸方程

一元線性回歸第60頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五有多種確定回歸方程也就是確定未知參數(shù)

的方法，其中最常用的是最小二乘法，即求出

一元線性回歸第61頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五的值最小，所求出的a稱為經(jīng)驗截距，簡稱為截距，b稱為經(jīng)驗回歸系數(shù)，簡稱為回歸系數(shù)，而

一元線性回歸第62頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五2.總體中未知參數(shù)的估計根據(jù)最小二乘法的要求由

一元線性回歸第63頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五⑴F檢驗法：

當H0為真時，

且SSR與SSE相互獨立；因此，當H0為真時，

當F≥F1-α(1,n-2)時應(yīng)該放棄原假設(shè)H0。3一元回歸方程檢驗一元線性回歸第64頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五(2)t檢驗法：

當H0為真時，

當|t|≥t1-0.5α(n-2)時應(yīng)該放棄原假設(shè)H0。

一元線性回歸第65頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五(3)r檢驗法：根據(jù)x與Y的觀測值的相關(guān)系數(shù)

可以推出當H0為真時，一元線性回歸第66頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五當F≥F1-α(1,n-2)或|r|≥rα(n-2)時應(yīng)該放棄原假設(shè)H0，式中的

可由r檢驗用表中查出。

因此，r常常用來表示x與Y的線性關(guān)系在x與Y的全部關(guān)系中所占的百分比，又稱為x與Y的觀測值的決定系數(shù)。一元線性回歸第67頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五

4.利用回歸方程進行點預(yù)測和區(qū)間預(yù)測若線性回歸作顯著性檢驗的結(jié)果是放棄H0，也就是放棄回歸系數(shù)β＝0的假設(shè)，便可以利用回歸方程進行點預(yù)測和區(qū)間預(yù)測，這是人們關(guān)注線性回歸的主要原因之一。⑴當x＝x0時，

Y0的觀測值y0的點預(yù)測是無偏的。

一元線性回歸第68頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五⑵當x＝x0時，用適合不等式P{Y0∈(G,H)}≥1-α的統(tǒng)計量G和H所確定的隨機區(qū)間(G,H)預(yù)測Y0的取值范圍稱為區(qū)間預(yù)測，而(G,H)稱為Y0的1-α預(yù)測區(qū)間。

若Y與樣本中的各Y相互獨立，則根據(jù)Z＝Y(jié)0-(a+bx0)服從正態(tài)分布，E(Z)＝0，

Z與SSE相互獨立，一元線性回歸第69頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五可以導(dǎo)出

因此，Y0的1-α預(yù)測區(qū)間為a+bx0±Δ(x0)，一元線性回歸第70頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五例1.1《吸附方程》某種物質(zhì)在不同溫度下可以吸附另一種物質(zhì)，如果溫度x(單位：℃)與吸附重量Y(單位：mg)的觀測值如下表所示：

溫度x1.51.82.43.03.53.94.44.85.0重量y4.85.77.08.310.912.413.113.615.3試求線性回歸方程并用三種方法作顯著性檢驗，若x0＝2，求Y0的0.95預(yù)測區(qū)間。解：根據(jù)上述觀測值得到n＝9，

一元線性回歸第71頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五dataex;inputxy@@;cards;1.54.81.85.72.4738.33.510.93.912.44.413.14.813.6515.32.;procgplot;ploty*x;symboli=rlv=dot;procreg;modely=x/cli;run;一元線性回歸第72頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五一元線性回歸第73頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五一元線性回歸第74頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五一元線性回歸第75頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五一元非線性回歸第76頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五dataex;inputxy@@;x1=1/x;lx=log(x);ly=log(y);cards;11.8521.3731.0240.7540.5660.4160.3180.2380.17;proc

gplot;ploty*x;symboli=splinev=star;proc

reg;modely=x1;proc

reg;modelly=lx;proc

reg;modelly=x;run;一元非線性回歸第77頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五一元非線性回歸第78頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五一元非線性回歸第79頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五一元非線性回歸第80頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五一元非線性回歸第81頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五一元非線性回歸第82頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五計算剩余平方和Qdataex;inputxy@@;x1=1/x;lx=log(x);ly=log(y);y1=0.1159+1.9291*x1;q1+(y-y1)**2;y2=exp(0.9638-1.1292*lx);q2+(y-y2)**2;y3=exp(0.9230-0.3221*x);q3+(y-y3)**2;cards;11.8521.3731.0240.7540.5660.4160.3180.2380.17;proc

print;varq1-q3;run;第83頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五計算剩余平方和Q第84頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五多元線性回歸人的體重與身高、胸圍血壓值與年齡、性別、勞動強度、飲食習(xí)慣、吸煙狀況、家族史糖尿病人的血糖與胰島素、糖化血紅蛋白、血清總膽固醇、甘油三脂射頻治療儀定向治療腦腫瘤過程中，腦皮質(zhì)的毀損半徑與輻射的溫度、與照射的時間第85頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五多元線性回歸模型的一般形式

第86頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五多元回歸分析數(shù)據(jù)格式第87頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五多元線性回歸分析的一般步驟

第88頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五擬合優(yōu)度公式回歸參數(shù)的檢驗公式參數(shù)估計公式多元回歸分析的幾個公式第89頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五多元回歸的假設(shè)檢驗第90頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五實例：湖北省油菜投入與產(chǎn)出的統(tǒng)計分析1投入指標（1）土地（S）。土地用播種面積來表示。農(nóng)作物播種面積是指當年從事農(nóng)業(yè)（2）勞動（L）。勞動用勞動用工數(shù)（成年勞動力一人勞動一天為一個工）來表示。勞動用工中包含著直接和間接生產(chǎn)用工。（3）資本（K）。資本用物質(zhì)費用來表示。物質(zhì)費用包含直接費用和間接費用。主要有種子秧苗費、農(nóng)家肥費、化肥費、農(nóng)藥費、畜力、固定資產(chǎn)折舊費和管理及其他費用等。第91頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五2產(chǎn)出指標產(chǎn)出指標用湖北省歷年油菜生產(chǎn)的總產(chǎn)量（Y）來表示。Y.S的資料均來自《湖北農(nóng)村統(tǒng)計年鑒》（歷年）的取值是依據(jù)《湖北農(nóng)村統(tǒng)計年鑒》（歷年）中的湖北省油菜每畝平均投入量乘以播種面積得到。

第92頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五年份產(chǎn)量（萬噸）Y物質(zhì)費用（萬元）K播種面積（萬畝）S勞動用工（萬個）L年份序號t199070.897240076.5884825.130515347.42731199183.750648008.7690915.150015832.09502第93頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五第94頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五dataex；inputykslt@@；x1=log(k)；x2=log(s)；x3=log(l)；y1=log(y)；cards；70.8972 40076.5884 825.1305 15347.4273 183.7506 48008.7690 915.1500 15832.0950 270.8627 44593.8425 801.6150 13306.8090 378.3451 43460.3229 783.2100 13314.5700 498.0749 72657.2633 923.8050 14596.1190 5134.8767 146108.3421 1282.8900 20911.1070 7147.5315 162433.3500 1244.7000 18670.5000 8154.7607 166979.6325 1330.5150 18627.2100 9159.9743 190395.5262 1505.4600 20775.3480 10198.4942 205914.6645 1738.4100 22599.3300 11194.7943 189762.7335 1677.0900 20963.6250 12187.1013 193461.5610 1761.9450 21936.2153 14235.1184 183768.4035 1779.1500 19606.2330 15；procreg；modely1=x1x2x3t；run；第95頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五

SumofMeanSourceDFSquaresSquareFValuePr>FModel42.152310.53808148.95<.0001Error80.028900.00361CorrectedTotal122.18121RootMSE0.06010R-Square0.9868DependentMean4.85895AdjR-Sq0.9801CoeffVar1.23697ParameterEstimatesParameterStandardVariableDFEstimateErrortValuePr>|t|Intercept10.930161.919200.480.6409x110.247810.096102.580.0327x211.282230.571222.240.0550x31-0.821020.55591-1.480.1780t1-0.001680.02437-0.070.9466第96頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五

SumofMeanSourceDFSquaresSquareFValuePr>FModel32.152290.71743223.29<.0001Error90.028920.00321CorrectedTotal122.18121RootMSE0.05668R-Square0.9867DependentMean4.85895AdjR-Sq0.9823CoeffVar1.16657ParameterEstimatesParameterStandardVariableDFEstimateErrortValuePr>|t|Intercept10.879501.672530.530.6117x110.245540.085182.880.0181x211.245680.202396.150.0002x31-0.787980.26689-2.950.0162第97頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五

DW=2.537F=404.25R2=0.988K，S。L的t值分別為（3.366）(6.647)(-10.316)第98頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五年數(shù)柑總產(chǎn)量

(萬噸)總面積

(千公頃)總勞動力

(十萬標