數字邏輯基礎第二章第1頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五教學基本要求1、熟悉邏輯代數常用基本定律、恒等式和規則。2、掌握邏輯代數的變換和卡諾圖化簡法；第2頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五

2.1.1

邏輯代數的基本定律和恒等式2.1

邏輯代數2.1.3

邏輯函數的變換及代數化簡法2.1.2

邏輯代數的基本規則第3頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五2.1

邏輯代數邏輯代數又稱布爾代數。它是分析和設計現代數字邏輯電路不可缺少的數學工具。邏輯代數有一系列的定律、定理和規則，用于對數學表達式進行處理，以完成對邏輯電路的化簡、變換、分析和設計。邏輯關系指的是事件產生的條件和結果之間的因果關系。在數字電路中往往是將事情的條件作為輸入信號，而結果用輸出信號表示。條件和結果的兩種對立狀態分別用邏輯“1”和“0”表示。第4頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五

1、基本公式交換律：A+B=B+AA·B=B·A結合律：A+B+C=(A+B)+C

A·B·C=(A·B)·C

分配律：A+BC=(A+B)(A+C)A(B+C)=AB+AC

A·1=AA·0=0A+0=AA+1=10、1律：A·A=0A+A=1互補律：

2.1.1邏輯代數的基本定律和恒等式第5頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五重疊律：A+A=AA·A=A反演律：AB=A+B

A+B=A·B吸收律

其它常用恒等式

AB＋AC＋BC＝AB+ACAB＋AC＋BCD＝AB+AC第6頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五2、基本公式的證明例證明，列出等式、右邊的函數值的真值表(真值表證明法)01·1=001+1=0001111·0=101+0=0011010·1=100+1=0100110·0=110+0=11100A+BA+BAB

AB第7頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五

2.1.2邏輯代數的基本規則

代入規則

：在包含變量A邏輯等式中，如果用另一個函數式代入式中所有A的位置，則等式仍然成立。這一規則稱為代入規則。例：B(A+C)=BA+BC，用A+D代替A，得B[(A+D)+C]=B(A+D)+BC=BA+BD+BC代入規則可以擴展所有基本公式或定律的應用范圍第8頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五對于任意一個邏輯表達式L，若將其中所有的與（?）換成或（+），或（+）換成與（?）；原變量換為反變量，反變量換為原變量；將1換成0，0換成1；則得到的結果就是原函數的反函數。2.反演規則：例2.1.1試求的非函數解：按照反演規則，得

第9頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五對于任何邏輯函數式，若將其中的與（?）換成或（+），或（+）換成與（?）；并將1換成0，0換成1；那么，所得的新的函數式就是L的對偶式，記作。

例:邏輯函數的對偶式為3.對偶規則：當某個邏輯恒等式成立時，則該恒等式兩側的對偶式也相等。這就是對偶規則。利用對偶規則，可從已知公式中得到更多的運算公式，例如，吸收律第10頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五“或-與”表達式“與非-與非”表達式

“與-或-非”表達式“或非－或非”表達式“與-或”表達式

2.1.3

邏輯函數的代數法化簡1、邏輯函數的最簡與-或表達式在若干個邏輯關系相同的與-或表達式中，將其中包含的與項數最少，且每個與項中變量數最少的表達式稱為最簡與-或表達式。DCCA+=第11頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五2、邏輯函數的化簡方法化簡的主要方法：１．公式法（代數法）２．圖解法（卡諾圖法）代數化簡法：運用邏輯代數的基本定律和恒等式進行化簡的方法。

并項法:

第12頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五吸收法：

A+AB=A

消去法：

配項法：A+AB=A+B第13頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五)例2.1.7

已知邏輯函數表達式為，要求：（1）最簡的與-或邏輯函數表達式，并畫出相應的邏輯圖；（2）僅用與非門畫出最簡表達式的邏輯圖。解：)

)

第14頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五例2.1.8試對邏輯函數表達式進行變換，僅用或非門畫出該表達式的邏輯圖。解：第15頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五2.2

邏輯函數的卡諾圖化簡法2.2.2邏輯函數的最小項表達式2.2.1最小項的定義及性質2.2.4用卡諾圖化簡邏輯函數2.2.3用卡諾圖表示邏輯函數第16頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五1.邏輯代數與普通代數的公式易混淆，化簡過程要求對所 有公式熟練掌握；2.代數法化簡無一套完善的方法可循，它依賴于人的經驗 和靈活性；3.用這種化簡方法技巧強，較難掌握。特別是對代數化簡 后得到的邏輯表達式是否是最簡式判斷有一定困難。 卡諾圖法可以比較簡便地得到最簡的邏輯表達式。代數法化簡在使用中遇到的困難：第17頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五n個變量X1,X2,…,Xn的最小項是n個因子的乘積，每個變量都以它的原變量或非變量的形式在乘積項中出現，且僅出現一次。一般n個變量的最小項應有2n個。

、、A(B+C)等則不是最小項。例如，A、B、C三個邏輯變量的最小項有（23＝）8個，即、、、、、、、1.最小項的意義2.2.1

最小項的定義及其性質第18頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五對于變量的任一組取值，全體最小項之和為1。對于任意一個最小項，只有一組變量取值使得它的值為1；對于變量的任一組取值，任意兩個最小項的乘積為0；0001000000000101000000010001000001000000100001100010000101000001001100000001011100000001三個變量的所有最小項的真值表

2、最小項的性質

第19頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五3、最小項的編號

三個變量的所有最小項的真值表m0m1m2m3m4m5m6m7最小項的表示：通常用mi表示最小項，m

表示最小項,下標i為最小項號。0001000000000101000000010001000001000000100001100010000101000001001100000001011100000001第20頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五

2.2.2

邏輯函數的最小項表達式

為“與或”邏輯表達式；在“與或”式中的每個乘積項都是最小項。例1將化成最小項表達式=m7＋m6＋m3＋m5

邏輯函數的最小項表達式：第21頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五例2

將

化成最小項表達式a.去掉非號b.去括號第22頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五2.2.3用卡諾圖表示邏輯函數1、卡諾圖的引出卡諾圖：將n變量的全部最小項都用小方塊表示，并使具有邏輯相鄰的最小項在幾何位置上也相鄰地排列起來，這樣,所得到的圖形叫n變量的卡諾圖。邏輯相鄰的最小項：如果兩個最小項只有一個變量互為反變量，那么，就稱這兩個最小項在邏輯上相鄰。如最小項m6=ABC、與m7=ABC在邏輯上相鄰m7m6第23頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五AB10100100011110

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

m12

m13

m14

m15

m8

m9

m10

m110001111000011110ABCD三變量卡諾圖四變量卡諾圖兩變量卡諾圖m0m1m2m3ACCBCA

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7ADBB2、卡諾圖的特點:各小方格對應于各變量不同的組合，而且上下左右在幾何上相鄰的方格內只有一個因子有差別，這個重要特點成為卡諾圖化簡邏輯函數的主要依據。

第24頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五3.已知邏輯函數畫卡諾圖當邏輯函數為最小項表達式時，在卡諾圖中找出和表達式中最小項對應的小方格填上1，其余的小方格填上0（有時也可用空格表示），就可以得到相應的卡諾圖。任何邏輯函數都等于其卡諾圖中為1的方格所對應的最小項之和。例1：畫出邏輯函數L(A,B,C,D)=(0,1,2,3,4,8,10,11,14,15)的卡諾圖第25頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五例2

畫出下式的卡諾圖00000解1.將邏輯函數化為最小項表達式2.填寫卡諾圖第26頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五

2.2.4用卡諾圖化簡邏輯函數

1、化簡的依據第27頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五2、化簡的步驟用卡諾圖化簡邏輯函數的步驟如下：(4)將所有包圍圈對應的乘積項相加。(1)將邏輯函數寫成最小項表達式(2)按最小項表達式填卡諾圖，凡式中包含了的最小項，其對應方格填1，其余方格填0。(3)合并最小項，即將相鄰的1方格圈成一組(包圍圈)，每一組含2n個方格，對應每個包圍圈寫成一個新的乘積項。本書中包圍圈用虛線框表示。第28頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五畫包圍圈時應遵循的原則：

（1）包圍圈內的方格數一定是2n個，且包圍圈必須呈矩形。（2）循環相鄰特性包括上下底相鄰，左右邊相鄰和四角相鄰。（3）同一方格可以被不同的包圍圈重復包圍多次，但新增的包圍圈中一定要有原有包圍圈未曾包圍的方格。（4）一個包圍圈的方格數要盡可能多,包圍圈的數目要可能少。第29頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五例:用卡諾圖法化簡下列邏輯函數（2）畫包圍圈合并最小項，得最簡與-或表達式

解：(1)由L畫出卡諾圖(0，2，5，7，8，10，13，15)第30頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五0111111111111110例:用卡諾圖化簡0111111111111110圈0圈1第31頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五2.2.5

含無關項的邏輯函數及其化簡1、什么叫無關項：在真值表內對應于變量的某些取值下，函數的值可以是任意的，或者這些變量的取值根本不會出現，這些變量取值所對應的最小項稱為無關項或任意項。在含有無關項邏輯函數的卡諾圖化簡中，它的值可以取0或取1，具體取什么