優選精心整理圖像的傅里葉變換現在是1頁\一共有71頁\編輯于星期四

時域分析只能反映信號的幅值隨時間的變化情況，除單頻率分量的簡諧波外，很難明確揭示信號的頻率組成和各頻率分量大小。圖例：受噪聲干擾的多頻率成分信號

現在是2頁\一共有71頁\編輯于星期四時間幅值頻率時域分析頻域分析信號頻譜X(f)代表了信號在不同頻率分量成分的大小，能夠提供比時域信號波形更直觀，豐富的信息。

現在是3頁\一共有71頁\編輯于星期四現在是4頁\一共有71頁\編輯于星期四一維FT及其反變換連續函數f(x)的傅立葉變換F(u):傅立葉變換F(u)的反變換:現在是5頁\一共有71頁\編輯于星期四一維DFT及其反變換離散函數f(x)(其中x，u=0,1,2,…,N-1)的傅立葉變換:F(u)的反變換的反變換:計算F(u)：在指數項中代入u=0，然后將所有x值相加，得到F(0)；2)u=1，復對所有x的相加，得到F(1)；3)對所有M個u重復此過程，得到全部完整的FT。現在是6頁\一共有71頁\編輯于星期四離散傅里葉變換及其反變換總存在。用歐拉公式得每個F(u)

由f(x)與對應頻率的正弦和余弦乘積和組成；u值決定了變換的頻率成份，因此，F(u)覆蓋的域(u值)稱為頻率域，其中每一項都被稱為FT的頻率分量。與f(x)的“時間域”和“時間成份”相對應。現在是7頁\一共有71頁\編輯于星期四傅里葉變換的作用傅里葉變換將信號分成不同頻率成份。類似光學中的分色棱鏡把白光按波長(頻率)分成不同顏色，稱數學棱鏡。傅里葉變換的成份：直流分量和交流分量信號變化的快慢與頻率域的頻率有關。噪聲、邊緣、跳躍部分代表圖像的高頻分量；背景區域和慢變部分代表圖像的低頻分量現在是8頁\一共有71頁\編輯于星期四二維DFT傅里葉變換一個圖像尺寸為M×N的函數f(x,y)的離散傅立葉變換F(u,v):F(u,v)的反變換:現在是9頁\一共有71頁\編輯于星期四二維DFT傅里葉變換(u,v)=(0,0)位置的傅里葉變換值為即f(x,y)的均值，原點(0,0)的傅里葉變換是圖像的平均灰度。F(0,0)稱為頻率譜的直流分量(系數)，其它F(u,v)值稱為交流分量(交流系數)。現在是10頁\一共有71頁\編輯于星期四

二維連續傅里葉變換1）定義2）逆傅里葉變換3）傅里葉變換特征參數頻譜/幅度譜/模能量譜/功率譜相位譜現在是11頁\一共有71頁\編輯于星期四傅里葉變換中出現的變量u和v通常稱為頻率變量，空間頻率可以理解為等相位線在x,y坐標投影的截距的倒數。xy0XY相應的空間頻率分別為

對圖像信號而言，空間頻率是指單位長度內亮度作周期性變化的次數。思考：噪聲、線、細節、背景或平滑區域對應的空間頻率特性？現在是12頁\一共有71頁\編輯于星期四傅里葉變換的意義傅里葉變換好比一個玻璃棱鏡棱鏡是可以將光分成不同顏色的物理儀器，每個成分的顏色由波長決定。傅里葉變換可看做是“數學中的棱鏡”，將函數基于頻率分成不同的成分。一些圖像的傅里葉變換現在是13頁\一共有71頁\編輯于星期四

是g(x,y)的頻譜，物函數g(x,y)可以看作不同方向傳播的單色平面波分量的線性疊加。為權重因子。空間頻率表示了單色平面波的傳播方向。對于xy平面上一點的復振幅分布g(x,y)可由逆傅里葉變換表示成：現在是14頁\一共有71頁\編輯于星期四

二維離散傅里葉變換1）定義2）逆傅里葉變換離散的情況下，傅里葉變換和逆傅里葉變換始終存在。現在是15頁\一共有71頁\編輯于星期四例

設一函數如圖（a）所示，如果將此函數在自變量并重新定義為圖（b）離散函數，求其傅里葉變換。取樣（a）（b）現在是16頁\一共有71頁\編輯于星期四xy1-1j-j現在是17頁\一共有71頁\編輯于星期四圖像的頻譜幅度隨頻率增大而迅速衰減

許多圖像的傅里葉頻譜的幅度隨著頻率的增大而迅速減小，這使得在顯示與觀察一副圖像的頻譜時遇到困難。但以圖像的形式顯示它們時，其高頻項變得越來越不清楚。解決辦法：對數化現在是18頁\一共有71頁\編輯于星期四現在是19頁\一共有71頁\編輯于星期四現在是20頁\一共有71頁\編輯于星期四現在是21頁\一共有71頁\編輯于星期四現在是22頁\一共有71頁\編輯于星期四現在是23頁\一共有71頁\編輯于星期四現在是24頁\一共有71頁\編輯于星期四25現在是25頁\一共有71頁\編輯于星期四26現在是26頁\一共有71頁\編輯于星期四現在是27頁\一共有71頁\編輯于星期四現在是28頁\一共有71頁\編輯于星期四現在是29頁\一共有71頁\編輯于星期四現在是30頁\一共有71頁\編輯于星期四現在是31頁\一共有71頁\編輯于星期四主極大的值用Fmax表示，第一個旁瓣的峰值用Fmin表示現在是32頁\一共有71頁\編輯于星期四例題：對一幅圖像實施二維DFT，顯示并觀察其頻譜。解：源程序及運行結果如下：%對單縫進行快速傅里葉變換，以三種方式顯示頻譜，%即：直接顯示（坐標原點在左上角）；把坐標原點平%移至中心后顯示；以對數方式顯示。f=zeros(512,512);f(246:266,230:276)=1;subplot(221),imshow(f,[]),title('單狹縫圖像')F=fft2(f);%對圖像進行快速傅里葉變換S=abs(F);subplot(222)imshow(S,[])%顯示幅度譜title('幅度譜（頻譜坐標原點在坐上角）')現在是33頁\一共有71頁\編輯于星期四Fc=fftshift(F);%把頻譜坐標原點由左上角移至屏幕中央subplot(223)Fd=abs(Fc);imshow(Fd,[])ratio=max(Fd(:))/min(Fd(:))%ratio=2.3306e+007,動態范圍太大，顯示器無法正常顯示title('幅度譜（頻譜坐標原點在屏幕中央）')S2=log(1+abs(Fc));subplot(224)imshow(S2,[])title('以對數方式顯示頻譜')運行上面程序后，結果如下：現在是34頁\一共有71頁\編輯于星期四現在是35頁\一共有71頁\編輯于星期四

二維離散傅里葉變換的性質

線性性證明：現在是36頁\一共有71頁\編輯于星期四%imagelinear.m%該程序驗證了二維DFT的線性性質f=imread('D:\chenpc\data\thry\chpt4\Fig4.04(a).jpg');g=imread('D:\chenpc\data\thry\chpt4\Fig4.30(a).jpg');[m,n]=size(g);f(m,n)=0;f=im2double(f);g=im2double(g);subplot(221)imshow(f,[])title('f')subplot(222)imshow(g,[])title('g')現在是37頁\一共有71頁\編輯于星期四F=fftshift(fft2(f));G=fftshift(fft2(g));subplot(223)imshow(log(abs(F+G)),[])FG=fftshift(fft2(f+g));title('DFT(f)+DFT(g)')subplot(224)imshow(log(abs(FG)),[])title('DFT(f+g)')現在是38頁\一共有71頁\編輯于星期四現在是39頁\一共有71頁\編輯于星期四

可分離性二維DFT可視為由沿x,y方向的兩個一維DFT所構成。其中：現在是40頁\一共有71頁\編輯于星期四例題：編程驗證二維離散傅里葉變換可分離為兩個一維離散傅里葉變換。解：%myseparable.m%該程序驗證了二維DFT的可分離性質%該程序產生了岡薩雷斯《數字圖像處理》（第二版）%P125圖4.4現在是41頁\一共有71頁\編輯于星期四f=imread('D:\chenpc\data\thry\chpt4\Fig4.04(a).jpg');subplot(211)imshow(f,[])title('原圖')F=fftshift(fft2(f));subplot(223)imshow(log(1+abs(F)),[])title('用fft2實現二維離散傅里葉變換')[m,n]=size(f);F=fft(f);%沿x方向求離散傅里葉變換G=fft(F')';%沿y方向求離散傅里葉變換F=fftshift(G);subplot(224)imshow(log(1+abs(F)),[])title('用fft實現二維離散傅里葉變換')現在是42頁\一共有71頁\編輯于星期四現在是43頁\一共有71頁\編輯于星期四

平移性證明：（1）頻域移位

現在是44頁\一共有71頁\編輯于星期四結論：即如果需要將頻域的坐標原點從顯示屏起始點（0，0）移至顯示屏的中心點只要將f(x,y)乘以(-1)x+y因子再進行傅里葉變換即可實現。例題：利用(-1)x+y對單縫圖像f(x,y)進行調制，實現把頻譜坐標原點移至屏幕正中央的目標。當現在是45頁\一共有71頁\編輯于星期四解：完成本題的源程序為：%在傅里葉變換之前，把函數乘以(-1)x+y，相當于把頻譜%坐標原點移至屏幕窗口正中央。f(512,512)=0;f=mat2gray(f);[Y,X]=meshgrid(1:512,1:512);f(246:266,230:276)=1;g=f.*(-1).^(X+Y);subplot(221),imshow(f,[]),title('原圖像f(x,y)')subplot(222),imshow(g,[]),title('空域調制圖像g(x,y)=f(x,y)*(-1)^{x+y}')F=fft2(f);subplot(223),imshow(log(1+abs(F)),[]),title('f(x,y)的傅里葉頻譜')G=fft2(g);subplot(224),imshow(log(1+abs(G)),[]),title('g(x,y)的傅里葉頻譜')現在是46頁\一共有71頁\編輯于星期四現在是47頁\一共有71頁\編輯于星期四（a）在[0N-1]周期中有兩個背靠背半周期（b）同一區間內有一個完整的周期

這就意味著，坐標原點移到了頻譜圖像的中間位置，這一點十分重要，尤其是對以后的圖像顯示和濾波處理。現在是48頁\一共有71頁\編輯于星期四例題：利用(-1)x對f(x)曲線進行調制，達到平移頻域坐標原點至屏幕正中央的目的。%以一維情況為例，說明空域調制對應著頻域坐標原點移位。f(1:512)=0;f(251:260)=1;%產生寬度為10的窗口函數subplot(221),plot(f),title('寬度為10的窗口函數')F=fft(f,512);%進行快速傅里葉變換，延拓周期周期為512subplot(222)plot(abs(F))%繪幅度頻譜（頻譜坐標原點在左邊界處）title('幅度譜（頻譜坐標原點在左邊界處）')x=251:260;f(251:260)=(-1).^x;%把曲線f(x)乘以(-1)^x，可以把頻譜

%坐標原點移至屏幕正中央subplot(223),plot(f),title('寬度為10的調制窗口函數')現在是49頁\一共有71頁\編輯于星期四F=fft(f,512);%進行快速傅里葉變換subplot(224);plot(abs(F))%直接顯示幅度頻譜（頻譜坐標原點在正中央）title('幅度譜（頻譜坐標原點在中央）')figuref(1:512)=0;f(251:270)=1;%產生寬度為20的窗口函數subplot(221),plot(f),title('寬度為20的窗口函數')F=fft(f,512);%進行快速傅里葉變換，延拓周期周期為512subplot(222)plot(abs(F))%繪幅度頻譜（頻譜坐標原點在左邊界處）title('幅度譜（頻譜坐標原點在左邊界處）')x=251:270;f(251:270)=(-1).^x;%把曲線f(x)乘以(-1)^x，可以把頻譜坐標原點移至屏幕正中央subplot(223),plot(f),title('寬度為20的調制窗口函數')F=fft(f,512);%進行快速傅里葉變換subplot(224);plot(abs(F))%直接顯示幅度頻譜（頻譜坐標原點在正中央）title('幅度譜（頻譜坐標原點在中央）')現在是50頁\一共有71頁\編輯于星期四現在是51頁\一共有71頁\編輯于星期四現在是52頁\一共有71頁\編輯于星期四（2）空域移位：現在是53頁\一共有71頁\編輯于星期四

周期性和共軛對稱性

周期性：共軛對稱性：現在是54頁\一共有71頁\編輯于星期四證明：（1）周期性：(2)共軛對稱性：現在是55頁\一共有71頁\編輯于星期四

旋轉不變性

證明：現在是56頁\一共有71頁\編輯于星期四注：為看清問題的實質、簡化旋轉不變性的證明，以上用二維連續傅里葉變換進行證明。實際上，由連續積分公式進行離散化處理，即可得到離散公式，證明可參照連續情況進行。現在是57頁\一共有71頁\編輯于星期四f=zeros(512,512);f(246:266,230:276)=1;subplot(221);imshow(f,[])title('原圖')F=fftshift(fft2(f));subplot(222);imshow(log(1+abs(F)),[])title('原圖的頻譜')f=imrotate(f,45,'bilinear','crop');subplot(223)imshow(f,[])title('旋轉45^0圖')Fc=fftshift(fft2(f));subplot(224);imshow(log(1+abs(Fc)),[])title('旋轉圖的頻譜')現在是58頁\一共有71頁\編輯于星期四現在是59頁\一